§1 KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TOÁN THỰC HÀNH −−− Tính xác tích a) Phương pháp tính: Nhân số lớn máy tính chắn làm tràn hình, kết không xác Mặt khác, toán đòi hỏi phải có đáp số nguyên nên việc tính toán máy cách trực tiếp không khả thi Để tính kết xác phải tính nhiều giai đoạn, máy tính lúc thực phép tính trung gian, phần tính kết thực giấy nháp Cách 1: Ta áp dụng tính chất (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D, tính tích cộng lại Ví dụ: Tính 222223333×222225555 Giải: Ta có: 222223333 = 22222.104 + 3333 222225555 = 22222.104 + 5555 ⇒ 222223333×222225555 = (22222.104 + 3333)( 22222.104 + 5555) = 222222.108 + 22222.104(3333+5555) + 3333x5555 = 493817284.108 + 197509136.104 + 18514815 = 49381728400000000 + 1975091360000 + 18514815 = 49383703509874815 Cách 2: Ta lấy A nhân với B máy để xác đònh tích có chữ số, đồng thời thu chữ số phía trước tích Ta tiếp tục tìm chữ số phía sau sau: + Lấy chữ số cuối A nhân chữ số cuối B ta kết có chữ số cuối chữ số cuối tích + Lặp lại bước với chữ số cuối, ta thêm chữ số nữa, cho đủ hết chữ số lại Ví dụ: Tính 222223333×222225555 Lấy 222223333×222225555 = 4.938370351x1016 Ta biết tích có 17 chữ số chữ số phía trước 493837035, ta cần tìm chữ số lại Lấy 3333x5555 = 18514815, ta chữ số cuối tích 4815 Lấy 23333x25555 = 596274815, ta chữ số cuối tích 74815 Lấy 223333x225555 = 5.037387482x1010, ta chữ số cuối tích 874815 Lấy 2223333x2225555 = 4.948149875x1012, ta chữ số cuối tích 9874815 Lấy 22223333x22225555 = 4.939259099x1014, ta chữ số cuối tích 09874815 Vậy tích cần tìm 222223333×222225555 = 49383703509874815 b) Bài tập: Bài 1: Tính xác tích sau: M = 222 255 555 x 222 266 666 N = 20 082 008 x 20 092 009 O = 13 032 006 x 13 032 007 P = 333 355 555 x 333 377 777 Bài 2: Tính xác số sau: A = 414 213 5622 B = 732 050 8082 Bài 3: Tính xác tích sau: X = 895 489 x 56 326 Y = 99 887 456 752 x 89 685 Z = 123 456 789 104 563 456 x 98 761 Trang Tìm dư phép chia a) Phương pháp tính: Giả sử cần tìm số dư phép chia a:b, ta có thể: + Trường hợp 1: Đối với số tương đối nhỏ (Phần nguyên thương chữ số) ta tính xác số dư cách lấy thương a:b nhân với b trừ cho tích phần nguyên a:b với b Trên máy fx−570MS, ta thực sau: b = × b −  a  × b = b   a b (Trong   phần nguyên thương a:b, lấy sau ấn dấu lần đầu) + Trường hợp 2: Đối với số lớn hơn, việc tính không xác Ta làm sau: − Giả sử a có k chữ số Ta lấy từ trái qua m chữ số (gọi a1) cho a1 chia b thương có phần nguyên không chữ số a = p1p p m p m +1 p n ⇒ a1 = p1p p m − Tìm số dư phép chia a1:b phương pháp trên, gọi số dư r1 − Thêm vào bên phải r1 chữ số a (từ vò trí m + đến cuối) cho đủ m chữ số, gọi a2 a2 = r1p m +1p m +2 có m chữ số − Tìm số dư phép chia a2:b phương pháp trên, gọi số dư r2 Lặp lại quy trình đến a không chữ số Số dư cuối số dư a:b Lưu ý: Khi tính kết có dạng …x,99…, lúc ta làm tròn hàng đơn vò lên đơn vò, có dạng …x,8… phải tính lại mà không làm tròn b) Bài tập: Bài Tìm dư phép chia sau: a) 123 456 789 cho 23 456 b) 503 021 930 cho 022 009 Bài Tìm dư phép chia sau: a) 103 103 103 cho 009 b) 30 419 753 041 975 cho 151 975 Bài Tìm dư phép chia sau: a) 24 728 303 034 986 194 cho 003 b) 103 200 610 320 061 032 006 cho 010 Tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ hai số a b a) Phương pháp tính: a không làm tràn hình Ta làm sau: b − Nhập vào máy a ↵ b nhấn = , máy tính thương a:b, ta nhấn phím a b / c để chuyển số dạng phân số Lấy a chia cho tử số (hoặc lấy b chia cho mẫu số) ta UCLN(a, b) − Tính BCNN(a, b) = (a.b)÷UCLN(a, b) + Trường hợp 1: Nếu phân số Trang a làm tràn hình Ta làm sau: b − Giả sử a > b Ta tìm số dư a:b mục 2, gọi r1 Nếu b⋮ r1 UCLN = r1 + Trường hợp 2: Nếu phân số − Nếu b ⋮ r1 , ta tìm số dư b:r1 mục 2, gọi r2 Nếu r1 ⋮ r2 UCLN = r2 Nếu r1 ⋮ r2 , ta lập lại quy trình đến rn ⋮ rn +1 , UCLN = rn+1 − BCNN = (a.b)÷UCLN b) Bài tập: Bài Tìm UCLN, BCNN cặp số sau: a) 209 865 283 935 c) 100 712 68 954 b) 287 135 14 277 835 d) 106 848 92 079 458 Bài Tìm UCLN, BCNN cặp số sau: a) 022 005 503 021 930 c) 168 599 421 654 176 b) 419 580 247 802 197 531 d) 24 614 205 10 719 433 Viết phân số dùi dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn ngược lại a) Viết phân số a dùi dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn b a b phân số đơn giản (chu kì không chữ số), chu kì nhận biết chữ số thập phân (các chữ số thập phân lặp lại) Ngược lại, ta ghi lại kết Thực tiếp bước phía sau + Tìm số dư a.10m :b (với m = − [Số chữ số a] + [Số chữ số b]), gọi số dư r1 + Lấy r1:b phần dãy chữ số, có chữ số trùng với phần cuối kết ghi, phần chu kì Ta ghi kết lại Nếu chưa nhận thấy chu kì, ta làm tiếp bước sau + Tìm số dư r1.10m :b (với m = − [Số chữ số r1] + [Số chữ số b]) , gọi số dư r2 + Lấy r2:b phần dãy chữ số, có chữ số trùng với phần cuối kết ghi, phần chu kì Ta ghi kết lại Nếu chưa nhận thấy chu kì, ta thực lại quy trình đến nhận chu kì phân số b) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số Giả sử số thập phân vô hạn tuần hoàn A có k chữ số phần nguyên, m chữ số chu kì bất thường, n chữ số chu kì lặp Tức A = a1a2 a k , b1b2 bm (c1c2 cn ) Lúc ta có + Lấy a:b, ta phần nguyên (nếu a > b) chữ số thập phân đầu tiên, k chữ số m chữ số b1b2 b m A = a1a2 a k + Phần nguyên Chu kì bất thường 00 m chữ số n chữ số c1c2 cn + Chu kì lặp 99 00 n chữ số m chữ số c) Bài tập: Bài Tìm chu kì phân số sau: 17 113 263 49 ; ; ; ; ; 23 61 123 2009 15 419 Bài 10 Viết số thập phân sau thành phân số: 23,(421); 2,13(132); 1,9(89); 2,63(1245); 0,(1274) Trang §2 NHÓM CÁC BÀI TOÁN VỀ TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA −−−−−−−−−−− Tìm chữ số tận lũy thừa a) Phương pháp tính: − Nếu a tận chữ số: 0, 1, 5, an tận 0, 1, 5, − Nếu tận an tận n ⋮ ; tận n chia dư 1; tận n chia dư 2; tận n chia dư − Nếu a tận an tận n ⋮ ; tận n chia dư 1; tận n chia dư 2; tận n chia dư − Nếu a tận an tận n ⋮ ; tận n chia dư 1; tận n chia dư 2; tận n chia dư Chữ số tận a n chia hết cho (n = 4k) 1 Chữ số tận an n chia dư n chia dư (n = 4k + 1) (n = 4k + 2) 9 n chia dư (n = 4k + 3) − Nếu a tận p an có chữ số tận chữ số tận pn Nhờ tính chất này, số có tận 4, quy tận tức (22)n, (23)n; số có chữ số tận quy tận tức (32)n b) Bài tập: Bài 11 Tìm chữ số tận của: a) 19921993 b) 20092008 c) 252011 d) 1642003 e) 132009 f) 106106 g) 2007141 Bài 12 Tìm chữ số hàng đơn vò 172002 Tìm số dư phép chia am : b a) Phương pháp tính: Để tìm số dư phép chia am : b, ta tìm dư rm : b (trong đó, r số dư a: b) Bằng cách tìm số dư r : b, r2 : b, r3 : b, r4 : b, … để tìm quy luật tuần hoàn số dư rm : b Giả sử ta tìm chu kì tuần hoàn n Tiếp theo ta tìm số dư m : n, giả sử k Khi số dư am : b số dư rk : b * Chú ý: Tìm chữ số tận lũy thừa am trường hợp đặc biệt tìm số dư phép chia am : b b = 10 b) Bài tập: Bài 13 Tìm số dư phép chia sau: a) 176 59427 cho 293 b) 1112 cho 2001 c) 736 cho 2003 Bài 14 Tìm số dư phép chia sau: a) 2004376 cho 1975 b) 176 59439 cho 293 c) 122008 cho Trang Tìm chữ số thập phân thứ k phép chia a:b a) Phương pháp tính: a theo mục 4, §1 Giả sử chu kì có m chữ số b + Bước 2: Tìm số dư k:m theo mục 2, §1 gọi r Chữ số thập phân cần tìm chữ số thứ r (đếm từ bên trái sang bên phải) chu kì Nếu k ⋮ m chữ số cần tìm chữ số cuối chu kì * Chú ý: Mỗi phân số biểu diễn thành số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn Đối với số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn ta làm cách xác Nếu số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp r số dư (k − n):m (với n số chữ số chu kì bất thường) b) Bài tập: Bài 15 Tìm chữ số thập phân thứ 2009 phép chia số 64 cho 37 + Bước 1: Tìm chu kì phân số Bài 16 Tìm chữ số thập phân thứ 2005 phép chia cho 23 Bài 17 Tìm chữ số thập phân thứ 456 456 phép chia 13 cho 23 Bài 18 Tìm chữ số thập phân thứ 122008 phép chia 64 cho 31 Bài 19 Tìm chữ số thập phân thứ 122005 phép chia 10 000 cho 17 77 viết dạng số thập phân 74 b) Tìm chữ số thập phân thứ 2005 phép chia 6061 cho 33300 c) Tìm chữ số thập phân thứ 302009 phép chia 23 cho 43 phép chia 801 cho 570 Bài 20 a) Tìm chữ số thập phân thứ 7774 số §3 LIÊN PHÂN SỐ −−− Đònh nghóa Cho a, b (a > b) số tự nhiên Dùng thuật toán Euclide chia a cho b, phân số viết dạng b a = a + = a0 + b b b b0 Vì b0 dư phép chia a cho b nên b > b0, lại tiếp tục biểu diễn phân số a b b dạng b0 b b = a1 + = a1 + Tiếp tục vậy, trình kết thúc sau n bước, cuối ta được: b0 b0 b0 b1 a = a0 + b a1 + an −1 + an Trang Cách biểu diễn gọi biểu diễn số hữu tỉ dạng liên phân số Người ta chứng minh số hữu tỉ có biểu diễn dạng liên phân số Liên phân số viết gọn dạng [a0, a1, …, an] Vì số vô tỉ viết dạng số thập phân vô hạn không tuàn hoàn nên ta biểu diễn dạng liên phân số xấp xó với độ xác tùy ý Phương pháp tính Để chuyển phân số sau: a thành liên phân số, ta phải tìm dãy a0, a1, a2, …, an Ta thực b + Thực chia a : b, ta thương + Trừ thương a , phần nguyên a0 b a a cho   , nhấn phím x − b b = Khi phần nguyên số vừa tìm a1 + Trừ kết cho phần nguyên nhấn phím x − = Khi phần nguyên số vừa tìm a2 + Lặp lại nhận số cuối số nguyên Khi ta dãy a0, a1, a2, …, an viết lại dạng phân số * Chú ý: Trong vài trường hợp, số cuối nhận không số nguyên có dạng x,9999… ta làm thành x + Để chuyển liên phân số thành phân số, ta làm sau: + Bấm an x − = + an−1 = x − = + an−2 = x − = + an−3 = … x − = + a0 = Khi đó, ta dạng phân số liên phân số [a0, a1, a2, …, an] Bài tập Bài 21 Biết: 15 = 17 + , a, b số dương, tìm a, b b Bài 22 Tính viết kết dạng phân số: 1) A = + 2+ 2+ 2+ 2+ Bài 23 Tính viết kết dạng phân số: 20 1) A = 2+ 3+ 4+ a+ Bài 24 Tìm số tự nhiên a, b biết rằng: 2) B = + 2) B = 329 = 1051 3+ 5+ 1 b Bài 25 Lập quy trình tính giá trò liên phân số M = [3, 17, 15, 1, 292] Trang a+ 3+ 3+ 3+ 5+ 6+ 7+ Bài 26 Các số: 2, 3, π có biểu diễn xấp xó dạng liên phân số sau: = [1,2,2,2,2,2]; = [1,1,2,1,2,1]; π = [3,17,15,1,292,1,1,1,2,1,3] Tính liên phân số §4 ĐA THỨC Dạng toán tính giá trò đa thức Để tính giá trò đa thức, biểu thức, ta sử dụng biến A, B, … gán cho giá trò x, sau bấm đa thức, biểu thức theo A, B, … bấm dấu = để tính Trường hợp, toán yêu cầu tính giá trò đa thức nhiều điểm x, ta bấm đa thức theo A, B, … sử dụng phím CALC, máy hỏi A, B, … ta nhập giá trò x ấn = * Bài tập: 3x − 2x + 3x − x + Bài 27: Tính A = x = 1,8165 4x3 − x + 3x + Bài 28 a) Tính giá trò biểu thức x4 + 5x3 − 3x2 + x − x = 1,35627 b) Tính P(x) = 17x5 − 5x4 + 8x3 +13x2 − 11x − 357 x = 2,18567 Dạng toán tìm số dư phép chia đa thức Chia đa thức P(x) cho đa thức ax + b ta P(x) = (ax + b)Q(x) + r, thay x = − b , ta a  b r = P  −  Như toán tìm dư phép chia trở thành toán tìm giá trò đa thức  a * Nhận xét: − Để tìm số dư chia đa thức P(x) cho ax + b, ta tính giá trò đa thức P(x) giá trò nghiệm ax + b − Tìm số dư chia đa thức P(x) cho x − c trường hợp đặc biệt toán a = 1, b = −c, lúc r = P(c) *Bài tập: Bài 29 Tìm dư phép chia: x14 − x − x + x + x + x − 723 x − 6,723x3 + 1,857x − 6,458x + 4,319 a) b) x − 1,624 x + 2,318 c) Cho P(x) = x + 5x − 4x + 3x − 50 Gọi r1 phần dư phép chia P(x) cho x − r2 phần dư phép chia P(x) cho x − Tìm BCNN r1 r2 Dạng toán xác đònh m để đa thức P(x) + m chia hết cho đa thức ax + b Vì P(x) + m = (ax + b)Q(x) + r + m nên để P(x) + m chia hết cho ax + b r + m = hay  a m = − r = − P  −  toán tìm giá trò biểu thức  b * Chú ý: Cần lưu ý dấu m để tránh sai xót Trang * Bài tập: Bài 30 Xác đònh tham số: a) Tìm a để x4 + 7x3 +2x2 + 13x + a chia hết cho x + b) Cho P(x) = 3x3 + 17x − 625 ( ) b.1 Tính P 2 b.2 Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + Bài 31 Tìm thương dư phép chia x7 − 2x5 − 3x4 + x − cho 2x + Bài 32: Cho đa thức P(x) = 6x3 − 7x2 − 16x + m a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b) Với m tìm câu a, tính số dư r chia P(x) cho 3x − c) Tìm m n để Q(x) = 2x3 − 5x2 − 13x + n P(x) chia hết cho (x − 2) d) Với n tìm trên, phân tích Q(x) tích thừa số bậc Bài 33: Cho đa thức P(x) = x4 + 5x3 − 4x2 + 3x + m Q(x) = x4 + 4x3 − 3x2 + 2x + n Tìm m, n để P(x) Q(x) chia hết cho x − Dạng toán tìm đa thức thương Dạng toán thường không yêu cầu tìm số dư tìm thương phép chia Ta sử dụng sơ đồ Horner để chia đa thức Giả sử f(x) = a0xn + a1xn−1 + … + an−1x + an đa thức bậc n, chia cho đa thức x − c thương q(x) = b0xn−1 + b1xn−2 + … + bn−2x + bn−1 số dư r Tức là: a0xn + a1xn−1 + … + an−1x + an = (x − c)( b0xn−1 + b1xn−2 + … + bn−2x + bn−1) + r Khi đó, bi tính theo bảng sau: Hệ số f(x) c a0 + a1 a2 a3 … an-1 an b0 = a0 b1 = b0.c + a1 b2 = b1.c + a2 b3 = b2.c + a3 bn−1 = bn−2.c + an−1 r= bn−1.c + an × * Nhận xét: Chia đa thức sơ đồ Horner, ta tìm số dư đa thức f(x) chia cho x − c Trường hợp chia f(x) cho đa thức ax + b, ta làm sau: Hệ số f(x) a0 a Chia hệ số a′0 = f(x) cho a a − b a b0 = a′0 a1 a2 … an-1 an a1 a2 an −1 a a1′ = a′2 = a′n −1 = a′n = n a a a a  b  b  b  b b1 = b0  −  + a1′ b2 = b1  −  + a′2 bn−1 = bn−2  −  + a′n −1 r = bn−1  −  + a′n  a  a  a  a * Bài tâp: Bài 34 Tìm đa thức thương số dư phép chia sau: a) f(x) = x5 − 2x4 + x3 − 2x2 + x − cho x − b) f(x) = x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + cho x + c) f(x) = x5 cho x − d) f(x) = x4 − 8x3 + 24x2 − 50x + 11 cho 3x − Trang Bài 35 Xác đònh giá trò a để f(x) chia hết cho g(x), tìm thương số dư trường hợp sau: a) f(x) = x3 − (2a + 1)x2 + x + a2 − 4; g(x) = x − 2 b) f(x) = x4 − (a − 1)x3 + (a + 1)x2 − 3x − 7; g(x) = 3x − c) f(x) = x3 − 6x2 + (2a + 1) − a − 7; g(x) = x − d) f(x) = x4 − (a − 4)x3 − 8x2 + (a + 7)x + 6; g(x) = x − Bài tập tổng hợp Bài 36 a) Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f Biết P(1) = 3, P(2) = 6, P(3) = 11, P(4) = 18, P(5) = 27 Tính P(6), P(7), P(8), P(9) b) Cho Q(x) = mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = 5, Q(2) = 7, Q(3) = 9, Q(4) = 11 Tính giá trò Q(10), Q(11), Q(12), Q(13) c) Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f Biết P(1) = −1, P(2) = 21, P(3) = 79, P(4) = 191, P(5) = 375 Tính P(6), P(7), P(8), P(9) Bài 37 a) Cho P(x) = x5 + 2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + m a.1 Tìm số dư chia P(x) cho x − 2,5 m = 2008 a.2 Tìm giá trò m để P(x) chia hết cho x − 2,5 a.3 P(x) có nghiệm Tìm m ? b) Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) 1  1   89 Bài 38: Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết f   = Tính giá trò ;f −  = − ;f   =   500   108   2 gần f   3 Bài 39 Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(0) = 12, P(1) = 12, P(2) = 0, P(4) = 60 a) Xác đònh hệ số a, b, c P(x) b) Tính P(2009) c) Tìm số dư phép chia P(x) cho 5x − Bài 40 Cho đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + c a) Tìm hệ số a, b, c biết f(1) = 1996, f(2) = 1999, f(3) = 1990 b) Tìm số dư r chia f(x) cho x − c) Tìm x, biết f(x) = 1930 Trang §5 DÃY SỐ TRUY HỒI I Đònh nghóa Dãy số truy hồi dãy số, số hạng phía sau tính dựa vào số hạng đứng trước Có nhiều loại dãy truy hồi, chủ yếu ta thường gặp dạng sau: + Truy hồi bậc I: Tức số hạng phía sau tính dựa vào số hạng phía trước + Truy hồi bậc II: Tức số hạng phía sau tính dựa vào hai số hạng phía trước + Truy hồi bậc III: Tức số hạng phía sau tính dựa vào ba số hạng phía trước II Phương pháp tính Dãy truy hồi bậc I Dạng tổng quát: u1 = a, un+1 = f(un) với f(un) hàm số với biến un Để tính số hạng thứ n + (un+1), ta sử dụng biến Ans lập lại phím f(un), ta có quy trình bấm phím cụ thể = Tùy theo hàm * Bài tập: Bài 41 Cho dãy số: a0 = 1, an +1 = a2n + an + − an , với n = 0, 1, 2, … a) Lập quy trình bấm phím tính an+1 máy tính cầm tay b) Tính a1, a2, a3, a4, a5, a10 a15 + an Bài 42 Cho dãy số a0 = 1, an +1 = , với n = 1, 2, 3, … + an a) Lập quy trình bấm phím tính an+1 máy tính cầm tay b) Tính a5, a6, a7, a18, a19, a20 a2009 un-1 Dãy truy hồi bậc II Dạng tổng quát: u1 = a, u2 = b, un+1 = f(un, un-1) với f(un, un-1) hàm số với hai biến un, a) Dãy Fibonaci: − Tổng quát: u1 = 1, u2 = 1, un+1 = un + un−−1 Áp dụng công thức trên, ta tính dãy sau: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … dãy này, ta có công thức tính số hạng thứ n sau: n n  1+   1−    un =  −           − Nếu đề yêu cầu tính số hạng thứ n, ta việc áp dụng công thức − Nếu đề yêu cầu lập quy trình phím bấm để tính liên tục, áp dụng quy trình sau: + Quy trình 1: Shift Sto A Shift Sto B + A n p h a A Shift Sto A + A np B Shift Sto B ∆ Shift C o p y Lặp lại phím = , ta un + Quy trình 2: Trang 10 Shift Shift Shift Anpha Sto A (Biến đếm) Sto B Sto C A Anpha = Anpha A + Anpha : Anpha D Anpha = Anpha B + Anpha C Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D Lặp lại phím = , với giá trò A, ta giá trò D tương ứng uA − Nhận xét: Quy trình dễ hiểu thực dễ bò lộn ui Quy trình khó hiểu dễ dàng xác đònh ta tính u thứ b) Dãy Luca: − Tổng quát: u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un−−1 với a, b hai số nguyên Dãy dạng tổng quát dãy Fibonaci − Dãy công thức tổng quát, để tính un+1, ta lập quy trình bấm phím + Quy trình 1: a Shift Sto A b Shift Sto B + Anpha A Shift Sto A + Anpha B Shift Sto B ∆ Shift Copy Lặp lại phím = , ta un + Quy trình 2: (Biến đếm) Shift Sto A a Shift Sto B b Shift Sto C Anpha A Anpha = Anpha A + Anpha : Anpha D Anpha Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D Lặp lại phím = Anpha B + Anpha C = , với giá trò A, ta giá trò D tương ứng uA c) Dãy Luca suy rộng: − Tổng quát: u1 = a, u2 = b, un+1 = K.un + L.un−−1 với a, b, K, L số nguyên − Dãy công thức tổng quát chung, để tính un+1, ta lập quy trình bấm phím + Quy trình 1: a Shift Sto A b Shift Sto B × K + L × Anpha A Shift Sto A × L + Anpha B × K Shift Sto B ∆ Shift Copy Lặp lại phím = , ta un Trang 11 + Quy trình 2: Shift a Shift b Shift Anpha Sto A (Biến đếm) Sto B Sto C A Anpha = Anpha A + Anpha : Anpha D Anpha = L × Anpha B + K × Anpha C Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D Lặp lại phím = , với giá trò A, ta giá trò D tương ứng uA d) Dãy truy hồi dạng : u1 = a, u2 = b, un+1 = K.un + L.un−−1 + f(n) Dãy giống dãy Luca suy rộng, có thêm phần phụ f(n), quy trình bấm phím, ta bổ sung hàm tính f(n) (lúc n A − quy trình 2) phần tính D e) Dãy phi tuyến tính dạng: u1 = a, u2 = b, un+1 = F1(un) + F2(un−−1) Dãy lặp phím quy trình (Dãy Luca suy rộng) nhiều thời gian để lặp hàm F1, F2 Để tính nhanh hơn, ta dùng quy trình 2, phần tính D, ta bấm hai hàm F1, F2 để tính F1(un), F2(un−1) f) Dãy phi tuyến tính dạng: u1 = a, u2 = b, u n+1 = u 2n + u 2n-1 Quy trình bấm phím: + Quy trình 1: a Shift Sto A b Shift Sto B × Anpha B + Anpha A × Anpha A Shift Sto A × Anpha A + Anpha B × Anpha B Shift Sto B ∆ Shift Copy Lặp lại phím = , ta un + Quy trình 2: Shift a Shift b Shift Anpha Sto A (Biến đếm) Sto B Sto C A Anpha = Anpha A + Anpha : Anpha D Anpha = Anpha B × Anpha B + Anpha C × Anpha C Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D Lặp lại phím = , với giá trò A, ta giá trò D tương ứng uA * Bài tập: Bài 43.Cho dãy số u1 = 2, u2 = 3; un+1 = 3un + 2un−1 + với n ≥ a) Lập quy trình bấm phím tính un+1 máy tính cầm tay b) Tính u3, u4, u5, u10, u15 u19 Bài 44 Cho dãy số u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un−1 (n = 2, 3, …) a) Hãy lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trò un+1 với n ≥ Trang 12 b) Sử dụng quy trình tính giá trò u13 u17 Bài 45 Cho dãy số u1 = 144, u2 = 233, un+1 = un + un−1 a) Hãy lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trò un+1 b) Tính u12, u37, u38, u39 c) Tính xác tỉ số với chữ số thập phân tỉ số sau: u u3 u u ; ; ; u1 u2 u3 u5 Bài 46 Cho dãy u1 = 2, u2 = 20, un+1 = 2un + un−1 a) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính un b) Tính u3, u4, u5, u6, u7, u22, u23, u24, u25 (2 + ) − (2 − ) = n Bài 47 Cho dãy số: un n a) Tính số hạng dãy b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un un−1 c) Lập quy trình tính un Bài 48 Cho dãy số: un = ( 3+ ) ( n − 3− ) n a) Tính số hạng dãy b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un un−1 c) Lập quy trình tính un Bài 49 Cho dãy số: un (2 + ) − (2 − ) = Bài 50 Cho dãy số un (5 + ) + (5 − ) = n n 2 a) Tính số hạng dãy b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un un−1 c) Lập quy trình tính un n n , với n số tự nhiên a) Tính u1, u2, u3, u4, u5 b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un un−1 c) Lập quy trình tính un n Bài 51 Cho dãy số: un ( −1 + ) − ( −1 − ) = n Bài 52 Cho dãy số: un (10 + ) − (10 − ) = n a) Tính số hạng dãy b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un un−1 c) Lập quy trình tính un n a) Tính số hạng dãy b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un un−1 c) Lập quy trình tính un Trang 13 Dãy truy hồi bậc III Dạng u1 = a, u2 = b, u3 = c, un+2 = f(un−1, un, un+1) Trong đó, hàm f(un−1, un, un+1) làm hàm số un−1, un, un+1 a) Dãy truy hồi dạng: u1 = a, u2 = b, u3 = c, un+2 = K.un+1 + L.un + M.un−−1 Quy trình bấm phím: + Quy trình 1: a Shift Sto A b Shift Sto B c Shift Sto C × K + Anpha B × L + Anpha A × M Shift Sto A × K + Anpha C × L + Anpha B × M Shift Sto B × K + Anpha A × L + Anpha C × M Shift Sto C ∆ ∆ Shift Copy Lặp lại phím = , ta un + Quy trình 2: Shift a Shift b Shift Anpha Sto A (Biến đếm) Sto B Sto C; c Shift Sto D A Anpha = Anpha A + Anpha : Anpha E Anpha = K × Anpha D + L × Anpha C + M × Anpha B Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D Anpha : Anpha D = Anpha E Lặp lại phím = , với giá trò A, ta giá trò E tương ứng uA b) Dãy truy hồi dạng: u1 = a, u2 = b, u3 = c, un+2 = K.un+1 + L.un + M.un−−1 + f(n) Quy trình bấm phím tương tự dạng a (quy trình 2), phần tính E, ta thêm hàm tính f(n) (n A) * Bài tập: Bài 53 Cho dãy u1 = 1, u2 = 3, u3 = 11, un+2 = 2un+1 − un + 3un−1 + n2 − a) Lập quy trình phím bấm tính un+2 b) Tính số hạng đầu dãy Trang 14 §6 TOÁN TĂNG TRƯỞNG, PHẦN TRĂM −−− Bài 54 Hiện dân số Quốc gia Q a người, tỉ lệ tăng dân số m% năm a) Hãy xây dựng công thức tính số dân quốc gia Q đến hết năm thứ n b) Dân số nước ta tính đến năm 2001 76,3 triệu người Hỏi dân số nước ta đến 2010 tỉ lệ tăng dân số 1,2% năm c) Đến năm 2020 dân số nước ta khoảng 100 triệu người, hỏi tỉ lệ tăng dân số trung bình năm ? GIẢI a) Xây dựng công thức tính số dân đến năm thứ n: Hết năm thứ … Dân số a + a.m% = a(1 + m%) a(1 + m%) + a(1 + m%).m% = a(1 + m%)2 a(1 + m%)2 + a(1 + m%)2.m% = a(1 + m%)3 … … n a(1 + m%)n−1 + a(1 + m%)n−1.m% = a(1 + m%)n Gọi An dân số sau n năm ta có: An = a(1 + m%)n b) Từ 2001 đến 2010 năm, ta có:  1,2  A9 = a(1 + m%) = 76,3  +  = 84,947216 (triệu người)  100  c) Từ 2001 đến 2020 19 năm, ta có:  A   100.106  − 1 100 ≈ 1,4% A19 = 76,3.(1 + m%)19 ⇒ m% =  19 19 − 1 100 =  19  76,3   76,3.10      Bài 55 Dân số nước năm 1976 55 triệu người Với mức tăng dân số 2,2% năm dân số nước sau 10 ? Bài 56 Dân số nước 65 triệu người, mức tăng dân số 1,2% a) Viết công thức tính dân số sau n năm b) Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm c) Dân số nước sau k năm vượt 100 triệu Tìm số k bé Bài 57 Một người sử dụng xe có giá trò ban đầu 10 triệu Sau năm, giá trò xe giảm 10% hỏi sau năm giá trò xe ? Bài 58 Dân số Việt Nam năm 2008 83 triệu người, mức tăng dân số năm 1,2% a) Viết công thức tính dân số sau n năm b) Viết quy trình bấm phím tính dân số sau năm 2020 Bài 59 Một số tiền 58000 đồng gởi tiết kiệm theo lãi suất kép (mỗi tháng tiền lãi cộng vào tiền gốc thành vốn) Sau 25 tháng vốn lẫn lãi 84155 đồng Tính lãi suất Bài 60 Một người gửi tiết kiệm 1000 USD vào ngân hàng với lãi suất 5%/ năm Hỏi người nhận tiền hay nhiều ngân hàng trả lãi % / tháng ? 12 Trang 15 Bài 61 Một người hàng tháng gởi vào ngân hàng số tiền t với lãi suất m%/ tháng a) Lập công thức tính số tiền người nhận (cả gốc lẫn lãi) sau n tháng b) Áp dụng tính với t = triệu (đồng), m = 0,35%/ tháng, n = 24 tháng c) Nếu người muốn sau 24 tháng nhận số tiền khoảng 30 triệu người phải gửi tiền với lãi suất ? GIẢI a) Lập công thức tính số tiền có được: Giả sử đầu tháng gửi t (đồng), cuối tháng số tiền t + t.m% = t(1 + m%) Vì tháng, người gửi vào t đồng nên đầu tháng thứ 2, số tiền gốc người t t + t(1 + m%) = t[(1 + m%) + 1] = [(1+ m%)2 − 1] m% t [(1+ m%)2 − 1](1 + m%) Cuối tháng thứ số tiền T2 = m% t Cuối tháng thứ n, số tiền gốc lẫn lãi Tn = [(1+ m%)n − 1](1 + m%) m% b) Với t = triệu, m = 0,35%, n = 24 tháng, ta có: 24   0,35  1.100  0,35  T24 =  +  − 1  +  = 25,078725 (triệu) 0,35  100  100     c) Từ công thức ta có: t = Tn m% [(1 + m%)2 − 1](1 + m%) Áp dụng với T24 = 30 triệu, m = 24 tháng, n = 0,35%/ tháng, ta có: t= 30.0,35 = 1,196233 (triệu)  0,35 24   0,35  100  + − 1  + 100  100     Bài 62 Một người muốn sau năm phải có 20000 đôla Hỏi phải gởi khoảng tiền (như nhau) hàng tháng bao nhiêu, biết lãi suất tiết kiệm 0,27%/ tháng ? Nếu tính theo Việt Nam đồng người phải gởi tháng bao nhiêu, biết 100 đôla 1489500 đồng ? Bài 63 Một người vào bưu điện để gởi tiền cho người thân, túi có triệu đồng Chi phí dòch vụ 0,9% số tiền gởi Hỏi người thân nhận tiền ? Trang 16 §7 PHÉP THỬ − Đây dạng đề kết hợp suy luận toán học với tính toán máy − Có toán đòi hỏi không nắm vững kiến thức toán (lí thuyết chia hết, đồng dư, …) sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trình giải đòi hỏi xét loại trừ nhiều trường hợp Không dùng máy tính tốc độ làm lâu Máy tính đẩy nhanh tốc độ làm − Mặt khác, nhóm toán khác nhau, phương pháp chung để giải Để giải toán này, ta phải thử giá trò tìm quy luật kết Bài 64 Tìm tất số tự nhiên n (1010 ≤ n ≤ 2010) cho an = 20203 + 21n số tự nhiên GIẢI Dùng máy, thay n = 1010 ta an = 203,5018427; thay n = 2010 ta an = 249,8259394 ⇒ 203 < an ≤ 249 a2 − 20203 Mặt khác, n = n 21 Lập quy trình sau: 203 Shift Sto A Anpha (Anpha A x2 − 20203)÷21 Anpha :Anpha = Anpha A + Lặp lại dấu =, khoảng A = 203 đến 249 (43 số), biểu thức (Anpha A x2 − 20203)÷21 nhận giá trò nguyên n cần tìm Ta được: n 1118 1158 1301 1406 1557 1601 1758 1873 an 209 211 218 223 230 232 239 244 Bài 65 Tìm số tự nhiên n (1000 ≤ n ≤ 2000) cho an = 57121 + 35n số tự nhiên Bài 66 Tìm chữ số a, b, c, d để ta có: a5 × bcd = 7850 24 Bài 67 Hãy tìm chữ số cuối số 22 + (Số Fecmat thứ 24) Bài 68 Tìm cặp số nguyên dương (x, y) cho: x2 = 37y2 + Bài 69 Tìm nghiệm gần phương trình: x7 + x − = Bài 70 Tìm ước nguyên tố nhỏ số 2152 + 3142 Bài 71 Tìm số lớn số nhỏ số tự nhiên có dạng 1x2y3z4 chia hết cho Bài 72 Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244 Tính x3000 + y3000 Bài 73 Tính 17320508082, từ tìm 16 chữ số sau dấu phẩy Trang 17 [...]... là dạng đề kết hợp giữa suy luận toán học với tính toán trên máy − Có những bài toán đòi hỏi không chỉ nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết chia hết, đồng dư, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trong quá trình giải còn đòi hỏi xét loại trừ nhiều trường hợp Không dùng máy tính thì tốc độ làm bài sẽ lâu Máy tính sẽ đẩy nhanh tốc độ làm bài − Mặt khác, nhóm các bài toán này... ta thêm hàm tính f(n) (n chính là A) * Bài tập: Bài 53 Cho dãy u1 = 1, u2 = 3, u3 = 11, un+2 = 2un+1 − un + 3un−1 + n2 − 1 a) Lập quy trình phím bấm tính un+2 b) Tính 7 số hạng đầu của dãy Trang 14 §6 TOÁN TĂNG TRƯỞNG, PHẦN TRĂM −−− Bài 54 Hiện nay dân số của Quốc gia Q là a người, tỉ lệ tăng dân số là m% trên năm a) Hãy xây dựng công thức tính số dân quốc gia Q đến hết năm thứ n b) Dân số nước ta tính... nhiều trường hợp Không dùng máy tính thì tốc độ làm bài sẽ lâu Máy tính sẽ đẩy nhanh tốc độ làm bài − Mặt khác, nhóm các bài toán này rất khác nhau, không có phương pháp chung để giải Để giải các bài toán này, ta phải thử các giá trò rồi tìm quy luật của kết quả Bài 64 Tìm tất cả các số tự nhiên n (1010 ≤ n ≤ 2010) sao cho an = 20203 + 21n cũng là số tự nhiên GIẢI Dùng máy, thay n = 1010 ta được an ... người thân nhận tiền ? Trang 16 §7 PHÉP THỬ − Đây dạng đề kết hợp suy luận toán học với tính toán máy − Có toán đòi hỏi không nắm vững kiến thức toán (lí thuyết chia hết, đồng dư, …) sáng tạo (cách... 2,18567 Dạng toán tìm số dư phép chia đa thức Chia đa thức P(x) cho đa thức ax + b ta P(x) = (ax + b)Q(x) + r, thay x = − b , ta a  b r = P  −  Như toán tìm dư phép chia trở thành toán tìm giá... r1 r2 Dạng toán xác đònh m để đa thức P(x) + m chia hết cho đa thức ax + b Vì P(x) + m = (ax + b)Q(x) + r + m nên để P(x) + m chia hết cho ax + b r + m = hay  a m = − r = − P  −  toán tìm giá