BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ LỚP 11: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC GV: PHAN HỒNG HUỆ Xét hai mệnh đề chứa biến : P(n): “3n < n +100” Q(n): “2n >n” với n 3n So P(n) n + 100 sánh Đ/S ? n = 31=3 < 1+100=101 Đ n=2 n=3 n=4 n=5 27 81 243 < < < > 102 103 104 105 Đ Đ Đ S 2n n = 21=2 n=2 n=3 n=4 n=5 So sánh > > > 16 > 32 > n * Q(n) Đ/S ? Đ Đ Đ Đ Đ I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n với n mà không thử trực tiếp ta tiến hành sau: - B1: Kiểm tra mệnh đề với n = -B2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥1 ( gọi giả thiết qui nạp) - B3:Ta cần chứng minh với n = k + * PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n *mà không thử trực tiếp ta tiến hành sau: - B1: Kiểm tra mệnh đề với n = - B2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥1 ( gọi giả thiết qui nạp) - B3: Ta cần chứng minh với n = k + II VÍ DỤ ÁP DỤNG: Giải: Ví dụ 1: Chứng minh với n * n  n  1     n  1 Đặt Sn= 1+2+3+…+n B1: n=1 VT= 1, VP = Khi mệnh đề (1) B2: Giả sử mệnh đề (1) với n= k ≥ , nghĩa là: Sk      k  k  k  1 B3: Ta cần chứng minh mệnh đề (1) với n= k+1, tức chứng minh :  k  1 k  2 Sk 1     k   k  1  Thật vậy: Sk+1 = Sk + (k+1)   Vậy (1) với n * k  k  1   k  1  k  1 k  2 2 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên với n mà không thử trực tiếp ta tiến hành sau: - B1: Kiểm tra mệnh đề với n = - B2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥1 ( gọi giả thiết qui nạp) - B3: Ta cần chứng minh với n = k + II VÍ DỤ ÁP DỤNG: Ví dụ 2: Chứng minh với n  N * n3  n chia hết cho Giải: Đặt An = n3  n B1: Với n = 1, ta có A1= B2:Giả sử với n = k ≥ ta có : Ak = (k3 – k) (GT quy nạp) B3: Ta cần chứng minh Ak+1 Thật vậy, ta có : Ak+1= (k+1)3 – (k+1)  k  3k  3k   k 1   k  k    k  k   Ak   k  k  Theo giả thiết quy nạp ta có Ak Mặt khác:3( k2 + k) Do đó: Ak+1 Vậy n  N * n3  n chia hết cho Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n ≥ p (p số tự nhiên) thì:  Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p;  Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ p  Ở bước 3, ta phải chứng minh với n = k+1 Cho hai số 3n 8n với n số tự nhiên khác a) So sánh 3n với 8n n = 1, 2, 3, 4, b) Dự đoán kết tổng quát ? n 3n < < 16 27 > 24 81 > 32 243 > 40 ? 8n b) Kết quả: 3n > 8n với mọi n3 Hướng dẫn: Đặt P(n): “ 3n > 8n” với mọi n3 B1: Với n = thì 33 > 8.3 nên P(1) đúng B2: Giả sử mệnh đề vớin  k  Nghĩa là: 3k > 8k (giả thiết quy nạp) B3:Ta phải chứng minh mệnh đề với n = k +1 Tức là chứng minh 3k+1 > 8(k+1) Thật vậy: 3k 1  8(k  1)  3k.3  8k   (3k  8k )  2.3k   0 Vậy: 3n > 8n với mọi n3 0 ... I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n với n mà không thử trực tiếp ta tiến hành sau: - B1: Kiểm tra mệnh đề với n = -B2: Giả thiết mệnh đề với số. .. số tự nhiên n = k ≥1 ( gọi giả thiết qui nạp) - B3:Ta cần chứng minh với n = k + * PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n *mà không thử trực tiếp ta... 2 2 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên với n mà không thử trực tiếp ta tiến hành sau: - B1: Kiểm tra mệnh đề với n = - B2: Giả thiết mệnh đề với số tự