CHƢƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM 10/27/2013 Bài 1: NGUYÊN HÀM 1./ Khái niệm nguyên hàm 2./ Nguyên hàm số hàm thƣờng gặp 3./ Một số tính chất nguyên hàm 10/27/2013 1./ Khái niệm nguyên hàm VD: Tìm hàm số F(x) cho F’(x) = f(x) a) f(x) = 2x b) f(x) = cosx Giải : ' a)Ta có ( x )  2x nên F(x) = x b) Ta thấy (sin x) '  cos x nên F(x) = sinx ta nói F(x) nguyên hàm f(x) 10/27/2013 1./ Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: Kí hiệu K khoảng hay đoạn hay nửa khoảng Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K Câu hỏi : Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số ? Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số ? Trả lời : 1 Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số y= cos x Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số y = x ln 10 10/27/2013 1./ Khái niệm nguyên hàm Chú ý: • Trong trường hợp K = [a;b], đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) hiểu lim x a  F ( x)  F ( a ) hay  f (a) xa lim x b  F ( x)  F (b)  f (b) x b • Cho hai hàm số f F liên tục đoạn [a;b] Nếu F nguyên hàm f (a;b) chứng minh F’(a) = f(a) F’(b) = f(b) Do F nguyên hàm f đoạn [a;b] 10/27/2013 1./ Khái niệm nguyên hàm ĐỊNH LÝ Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x)=F(x)+C nguyên hàm f(x) K Ngƣợc lại, với nguyên hàm G(x) hàm số f tồn số C cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K 10/27/2013 1./ Khái niệm nguyên hàm Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) họ nguyên hàm f(x) F(x) + C kí hiệu  f ( x )dx  F( x )  C ,C  f(x)dx vi phân F(x) Ký hiệu dùng nguyên hàm hàm số f (  f ( x )dx )'  f ( x ) Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K 10/27/2013 2./ Nguyên hàm số hàm thƣờng gặp  0dx  C  dx  1dx  x C x  dx  x  1  1  C (  1)  x dx  ln x  C 10/27/2013 2./ Nguyên hàm số hàm thƣờng gặp cos( kx  b )  C ,k   sin( kx  b )dx   k sin( kx  b ) C  cos( kx  b )dx  k x kx a e x kx a dx   C(    ) e dx   C   ln a k  cos x dx  tan x  C 10/27/2013  dx   cot x  C sin x 3./ Một số tính chất nguyên hàm Định lý 2: Nếu f,g hai hàm số liên tục K , với a số thực khác thì:  [f ( x )  g( x )]dx   f ( x )dx   g( x )dx  af ( x )dx  a  f ( x )dx Chú ý: 10/27/2013 [  f ( x )dx ] '  f ( x )  f ( t )dt  F ( t )  C   f [u( x )]u'( x )dx  F [u( x )]  C  f ( u )du  F ( u )  C 10 3./ Một số tính chất nguyên hàm Chú ý: Nêu f ( x )dx  F ( x )  C   f ( ax  b )dx   f ( ax  b )d( ax  b ) a  F ( ax  b )  C a u ' ( x)  u( x) dx  ln u( x)  C  dx  x C x 10/27/2013 n n n1  xdx  n  x  C dx n n n 1  n x  n 1 x  C n dx 1  x n  (n  1) x n1  C 11 Hỏi nhanh: mệnh đề sau sai: A B e dx  e  C  x x dx  x  C  C  sin xdx  cos x  C x D  xdx  C 10/27/2013 12 Ví dụ 1: tìm nguyên hàm hàm số: f ( x )  x  3x  x Giải f ( x)  x  3x  x  x  (3x)  (5x)  f ( x)dx   [ x 2 3  (3x)  (5 x) ]dx 3 2x 3  3  x 5  x C 4 3 3  x   x  3  x C 4 10/27/2013 13 Ví dụ 2: tìm nguyên hàm hàm số: f( x)(3 2 ) x Giải x f ( x)  (3  )  (3 )  2.3  (2 ) x x x   2.6  x Vậy  10/27/2013 x x x x x x x x f ( x)dx    C ln ln ln 14 Ví dụ 3: tìm nguyên hàm hàm số: sin x  f( x) sin x Giải sin x  sin x   f ( x)      sin x 3  sin x  Vậy   sin x    sin x dx   cos x  cot x  C 10/27/2013 15 Ví dụ 3: tìm nguyên hàm hàm số: x x f ( x )  sin  sin 3 Giải x x f ( x)  sin  sin 3 Vậy x x  2(3 sin  sin )  2 sin x 3 f ( x ) dx  (  sin x ) dx    2( cos x)  C  cos x  C 10/27/2013 16 Bảng nguyên hàm mở rộng a   sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C dx  ax  b  a ln ax  b  C  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C 1  cos (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C e ax b axb dx  e C a  1 ( ax  b )  ( ax  b ) dx    C (  1)  a  1 1  sin (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C 10/27/2013 17 Ví dụ 4: tìm nguyên hàm hàm số: Giải f( x) x2  x  1 f ( x)    x  x  ( x  1)( x  ) 2 [( x  )  ( x  1)] 1    (  ) 3 x  ( x  1)( x  ) x 2 1 dx   dx] Vậy  f ( x)dx  [  x 1 x  [ln x   ln x  /  C ] x 1  ln C 10/27/2013 x  3/ 18 Ví dụ 5: tìm nguyên hàm hàm số: f( x) Giải  sin x  cos x 1 f ( x)     sin x  cos x  cos( x  ) 1     x 2[1  cos( x  )] 2 sin (  ) Vậy  10/27/2013 dx 1 x  f ( x)dx   cot(  )  C  2 sin ( x   ) 2 19 Ví dụ 6: tìm nguyên hàm hàm số: f( x) e e x Giải x x  2dx x 2 x f ( x)  e x  e  x   (e  e ) | e  e x Xét e  e x x x | x x 0   x0 2 x x x x x f ( x)  e  e   f ( x)dx   (e  e )dx  2(e  e )  C Xét x e e x x x 0 x0 x x x x f ( x)  e  e   f ( x)dx   (e  e )dx  2(e  e )  C 10/27/2013 20 Ví dụ 7: tìm nguyên hàm hàm số: Giải x3  x  f( x) x( x 2 x  ) x  3x  2 f ( x)   1  2 x( x 2 x  1) x x( x  1) Ta có a b c    x( x  1) x x  ( x  1)   a( x  1)  bx( x  1)  cx Cho x=0 a=1 , x=-1 c=-1 , x=1 b=-1 Do x  3x  2 1 1      4   2  x( x 2 x  1) x  x x  ( x  1)  x   f ( x)dx  x  ln | x | 4 ln  C 10/27/2013 x  x  21 [...]... x D  xdx  C 2 10/27/2013 12 Ví dụ 1: tìm nguyên hàm của hàm số: f ( x )  x  3 3x  3 5 x Giải 1 3 1 2 f ( x)  x  3 3x  3 5 x  x  (3x)  (5x)  f ( x)dx   [ x 3 2 1 2 1 3 1 3 1 3  (3x)  (5 x) ]dx 1 3 4 3 1 3 4 3 2x 3 3  3  x 5  x C 3 4 4 3 4 3 2 3 3 3 4 5 3 4  x   x  3  x C 3 4 4 10/27/2013 13 Ví dụ 2: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x)(3 2 ) x Giải x 2 f ( x)  (3  2 ) ... 2 x 9 6 4 f ( x)dx   2  C ln 9 ln 6 ln 4 14 Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: sin x  2 f( x) 2 3 sin x 3 Giải sin x  2 sin x 2  1  f ( x)     2  2 3 sin x 3 3  sin x  3 Vậy 2  1 2  sin x   3  3 sin 2 x dx   3 cos x  3 cot x  C 10/27/2013 15 Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: x x f ( x )  8 sin  6 sin 3 3 Giải x 3 x f ( x)  8 sin  6 sin 3 3 3 Vậy x 3 x  2(3 sin ... 1  ln C 10/27/2013 5 x  3/ 2 18 Ví dụ 5: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x) Giải 1 2  sin x  cos x 1 1 f ( x)    2  sin x  cos x 2  2 cos( x  ) 4 1 1     2 x 2[1  cos( x  )] 2 2 sin (  ) 4 2 8 Vậy  10/27/2013 dx 1 x  f ( x)dx   cot(  )  C  2 8 2 2 sin 2 ( x   ) 2 2 8 1 19 Ví dụ 6: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x) e e x Giải x x 2  2dx x 2 2 x 2 f ( x)  e x  e  x... 10/27/2013 16 Bảng các nguyên hàm mở rộng a  0 1  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C dx 1  ax  b  a ln ax  b  C 1  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C 1 1  cos 2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C e ax b 1 axb dx  e C a  1 1 ( ax  b )  ( ax  b ) dx    C (  1)  a  1 1 1  sin 2 (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C 10/27/2013 17 Ví dụ 4: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải 1 f( x) 2 x2...  e   f ( x)dx   (e  e )dx  2(e  e )  C Xét x 2 e e x 2 x 2 x 2 0 x0 x 2 x 2 x 2 x 2 f ( x)  e  e   f ( x)dx   (e  e )dx  2(e  e )  C 10/27/2013 20 Ví dụ 7: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải x3  3 x  2 f( x) x( x 2 2 x  1 ) x  3x  2 2 4 f ( x)   1  2 2 x( x 2 x  1) x x( x  1) 3 Ta có 1 a b c    2 x( x  1) x x  1 ( x  1) 2  1  a( x  1) 2  bx( x  1)...3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Chú ý: Nêu f ( x )dx  F ( x )  C thì   1 f ( ax  b )dx   f ( ax  b )d( ax  b ) a 1  F ( ax  b )  C a u ' ( x)  u( x) dx  ln u( x)  C  dx  2 x C x 10/27/2013 n n n1  xdx  n .. .Bài 1: NGUYÊN HÀM 1./ Khái niệm nguyên hàm 2./ Nguyên hàm số hàm thƣờng gặp 3./ Một số tính chất nguyên hàm 10/27/2013 1./ Khái niệm nguyên hàm VD: Tìm hàm số F(x) cho F’(x)... khoảng Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K Câu hỏi : Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số ? Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số ? Trả lời : 1 Hàm số... với số C, hàm số G(x)=F(x)+C nguyên hàm f(x) K Ngƣợc lại, với nguyên hàm G(x) hàm số f tồn số C cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K 10/27/2013 1./ Khái niệm nguyên hàm Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x)