Sõu tßm: Nguyçn Viãn 12A9 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Chủ đề ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Nội dung 1: Tính đơn điệu hàm số A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu hàm số f (x) đồng biến K f '(x)  với x  K b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến K f '(x)  với x  K  [ f(x) đồng biến K]  [ f '(x)  với x  K ]   [ f(x) nghịch biến K] [ f '(x)  với x  K ]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) không đổi K] 2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) nghịch biến K c) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) không đổi K  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) đồng biến K]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) nghịch biến K] 3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu f '  x   với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f '  x   với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) nghịch biến K 4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax  bx  cx  d a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d b) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   , ta có f '  x   3ax  2bx  c  a   đồng biến   f '  x   3ax  2bx  c  x    a   nghịch biến   f '  x   3ax  2bx  c  x   NHẮC LẠI Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax  bx  c ( a  0) ta có:    f ( x)  x     a     f ( x)  x     a  Nerver Stop Dreaming !!! Sõu tßm: Nguyçn Viãn 12A9 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN B Phương pháp giải toán Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu tập hợp X cho trước PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D  ? B2 Tính y '  ? B3 Lập luận:  y đồng biến X  y '  0, x  X  y nghịch biến X  y '  0, x  X Chú ý quan trọng: Trong điều kiện dấu xảy phương trình y '  có hữu hạn nghiệm, phương trình y '  có vô hạn nghiệm điều kiện dấu CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  (m2  m) x  2mx  x  Tìm m để hàm số đồng biến  Bài giải: ♦ Tập xác định: D   ♦ Đạo hàm: y '  (m  m) x  4mx  ♣ Hàm số đồng biến   y '  x   m  ♥ Trường hợp 1: Xét m  m    m  + Với m  , ta có y '   0, x   , suy m  thỏa + Với m  , ta có y '  x    x   , suy m  không thỏa m  ♥ Trường hợp 2: Xét m  m    , đó: m   3  m    '  m  3m  ♣ y '  x        3  m   m  m  m   m  ♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm 3  m   Ví dụ Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  2m  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng 1;2  Bài giải Nerver Stop Dreaming !!! ♦ Tập xác định: D   ♦ Đạo hàm: y '  3x  6mx  3(m  1) ♣ Hàm số nghịch biến khoảng 1;   y '  x  1;  Sõu tßm: Nguyçn Viãn 12A9 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Ta có  '  9m  9(m  1)   0, m Suy y ' có hai nghiệm phân biệt x1  m  1; x2  m  ( x1  x2 ) x  m 1  Do đó: y '  x  1;   x1    x2      1 m  m    x2  ♦ Vậy giá trị m cần tìm  m   Bài tập tương tự Cho hàm số y  x   2m  1 x  6m  m  1 x  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng  2;   Đáp số: m  Ví dụ Cho hàm số y  x  x  mx  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng  0;   Bài giải ♦ Tập xác định: D   ♦ Đạo hàm: y '  x  x  m ♣ Hàm số đồng biến khoảng  0;    y '  , x   0;   (có dấu bằng)  x  x  m  , x   0;    x  x  m , x   0;   (*) ♣ Xét hàm số f ( x )  x  x , x   0;   , ta có: f '( x)  x  ; f '( x)   x  Bảng biến thiên: x  f '( x) f ( x)    3 ♣ Từ BBT ta suy ra: (*)  m  3 ♦ Vậy giá trị m cần tìm m  3  Bài tập tương tự Cho hàm số y   x  x  3mx  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng  0;   Đáp số: m  1 Ví dụ Cho hàm số y  Nerver Stop Dreaming !!! mx  7m  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định x m 10 Sõu tßm: Nguyçn Viãn 12A9 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Bài giải ♦ Tập xác định: D   \ m ♦ Đạo hàm: y '  m  7m   x  m Dấu y ' dấu biểu thức m  7m  ♣ Hàm số đồng biến khoảng xác định  y '  , x  D (không có dấu bằng)  m  7m    8  m  ♦ Vậy giá trị m cần tìm 8  m   Ví dụ Cho hàm số y  mx  7m  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng 3; x m Bài giải ♦ Tập xác định: D   \ m ♦ Đạo hàm: y '  m  7m   x  m Dấu y ' dấu biểu thức m  7m  ♣ Hàm số đồng biến khoảng 3;  y '  , x   3;   (không có dấu bằng) m2  7m     m  8  m    m   8  m  ♦ Vậy giá trị m cần tìm 8  m   C Bài tập Bài 1: Cho hàm số y  (1  m) x  2(2  m) x  2(2  m) x  Tìm m để hàm số nghịch biến  Đáp số:  m  Bài 2: Cho hàm số y  (m  4) x  (m  2) x  x  Tìm m để hàm số đồng biến  Đáp số: m 2 m  Bài 3: Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  Tìm m để hàm số đồng biến 1; Đáp số: m  Bài 4: Cho hàm số y  Nerver Stop Dreaming !!! mx  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định x  m 3 11 Sõu tßm: Nguyçn Viãn 12A9 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Đáp số: m  m  Bài 5: Cho hàm số y  mx  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng x m  ;2 Đáp số:  m  Bài 6: Cho hàm số y  mx  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng 1;   x  m 1 Đáp số: m  2 Nội dung 2: Cực trị hàm số A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi f có đạo hàm x0 f '( x0 )  2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục khoảng  a; b  chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng  a; x   x0 ; b Khi a) Nếu f '( x)  với x   a; x0  f '( x)  với x   x ; b  hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f '( x)  với x   a; x0  f '( x)  với x   x ; b  hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng  a; b  chứa điểm x0 , f '( x0 )  f có đạo hàm cấp hai khác không điểm x0 Khi a) Nếu f ''( x0 )  hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f ''( x0 )  hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 4) Định lý 4: Nerver Stop Dreaming !!! a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt 12 Sõu tßm: Nguyçn Viãn 12A9 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN B Phương pháp giải toán Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có cực trị (có cực trị) PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D  ? B2 Tính y '  ? B3 Lập luận: Lưu ý: a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  (m  1) x  (m  1) x  x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị Bài giải ♦ Tập xác định: D   ♦ Đạo hàm: y '  (m  1) x  2(m  1) x  y '   ( m  1) x  2( m  1) x   ♣ Hàm số có hai điểm cực trị  y '  có hai nghiệm phân biệt m2 1      '  (m  1)2  3(m 1)   m  1   2m2  2m   m  1 m      1  m  1  m  m  ♦ Vậy giá trị m cần tìm   1  m  Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  x  mx  m  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị Đáp số: m  Nerver Stop Dreaming !!! 13 Sõu tßm: Nguyçn Viãn 12A9 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Ví dụ Cho hàm số y  mx  (m  9) x  10 Tìm m để hàm số có điểm cực trị Bài giải ♦ Tập xác định: D   ♦ Đạo hàm: y '  4mx3  2( m  9) x  x.(2mx  m  9) x  y'    mx  m2    (1) ♣ Hàm số có ba điểm cực trị  y '  có ba nghiệm phân biệt  (1) có hai nghiệm phân biệt khác m      '  2 m(m  9)   m   m     m  3  m  3       m     m   m   m  3 ♦ Vậy giá trị m cần tìm     m  Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  (m  1) x  2m  Tìm m để hàm số có điểm cực trị Đáp số: m  1 Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị điểm x PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D  ? B2 Tính y '  ? B3 Lập luận: a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị x0  y '( x0 )   Giá trị tham số m b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y ' thử lại Khi thử lại dùng quy tắc quy tắc 2 VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  x  m  m  x  (3m  1) x  m    Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x  2 Nerver Stop Dreaming !!! 14 Sõu tßm: Nguyçn Viãn 12A9 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Bài giải ♦ Tập xác định: D   ♦ Đạo hàm: y '  x   m  m   x  3m2  a) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu x  2  y '(2)  m   m  4m      m  b) Điều kiện đủ: ♣ Với m  , ta có: y '  x  x  , y '   x  2 Bảng biến thiên x  2  y'   y Từ BBT ta suy m  không thỏa  x  14 ♣ Với m  , ta có: y '  x 16 x  28 , y '     x  2 Bảng biến thiên x y'  14  y 2    CĐ CT Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu x  2 ♦ Vậy giá trị m cần tìm m   Bài tập tương tự Cho hàm số y  x  mx  x  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x  Đáp số: m  15 Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước PHƯƠNG PHÁP Nerver Stop Dreaming !!! B1 Tập xác định: D  ? B2 Tính y '  ? B3 Lập luận 15 Sõu tßm: Nguyçn Viãn 12A9 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  x  (2m  1) x  (2  m ) x  Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số có hoành độ dương Bài giải ♦ Tập xác định: D   ♦ Đạo hàm: y '  3x  2(2m  1) x   m y '   x  2(2 m  1) x   m  ♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số có hoành độ dương  y '  có hai nghiệm dương phân biệt    '  (2m 1)  3(2  m)   2m   P  0    S  2(2 m 1)    m  1  m  4m  m        2  m   m   m2   2m 1   m   ♦ Vậy giá trị m cần tìm Ví dụ Cho hàm số y   m   x  mx  2(3m  1) x  3 Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1 x2  2( x1  x2 )  Bài giải Nerver Stop Dreaming !!! ♦ Tập xác định: D   ♦ Đạo hàm: y '  x  2mx  2(3m  1) y '   x  2mx  2(3m  1)  ♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 (1)  y '  có hai nghiệm phân biệt   '  m2  4(3m 1)   13m    m   13 13 m 13 13 (*) 16 Sõu tßm: Nguyçn Viãn 12A9 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN  x1  x2  m Vì x1 x2 nghiệm (1) nên theo định lý Viet ta có:    x1 x2  1 3m  m   Do đó: x1 x2  2( x1  x2 )   1 3m  2m   3m  m   m   2 (**) ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m   1 Ví dụ Cho hàm số y  mx  (m  1) x  3(m  2) x  Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 3 cho x1  x2  Bài giải Nerver Stop Dreaming !!! ♦ Tập xác định: D   ♦ Đạo hàm: y '  mx  2( m  1) x  3(m  2) y '   mx  2( m  1) x  3(m  2)  (1)  y '  có hai nghiệm phân biệt ♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 m     '  2m  4m   m    2 2  m  2 (*)  2(m 1)  x1  x2  m Vì x1 x2 nghiệm (1) nên theo định lý Viet ta có:   3(m  2)  x1 x2  m  Theo đề : x1  x2  (2) (3) (4)   x1  3m  m Từ (2) (4) suy  (5) Thay (5) (3) ta được:   m   x2  m    3m     m   3(m  2)  6m 16 m     m    m   m   m  m  ♦ Từ (*) (**) ta suy giá trị m cần tìm m  (**) m   17 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Thí dụ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt x  mx   x  (1) Lời giải  Do x  nghiệm phương trình (1) nên    3x  x  1  3 x  x   mx  m (2) x     x         x  mx   x  x   x   x      2 3x  x    Xét hàm số y  f  x   D    ;   x   Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  Phương trình (2) có hai nghiệm phân   biệt x    ;    đường thẳng y  m có hai điểm chung khác với đồ thị hàm số y  f  x      vẽ   ;     3x    Lập BBT hàm số trên D Ta có: f '  x   , x    ;   \ 0 x   3x  x  Giới hạn: lim f ( x)  lim   x x x Bảng biến thiên x  f ' x  + +   f  x   Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  m   MINH HỌA ĐỒ THỊ 320 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Thí dụ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 2x  x   x   x  m (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   0; 6  Xét hàm số y  f  x   x  x   x   x  0;  Phương trình 1 có nghiệm  0;   đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  x  vẽ  0;   Lập BBT hàm số y  f  x  D Ta có: f '  x     1  1      x 3   x 3     1 Đặt u  x    , v  x  3 2x 6  x 2x  1    x   x 3 6 x 1    , x   0;6  2x 6 x  1 Ta thấy u    v    nên f '     2x 6 x Mặt khác u  x  , v  x  dương  0;  , âm  2;6  nên ta có Bảng biến thiên x f’(x) f(x) + ̶ 63 2  24 12   Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình 1 có nghiệm  0;     m    MINH HỌA ĐỒ THỊ 321 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm   x  x    m   6 x2  x  2x   (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D  1; 4  Đặt ẩn phụ t   x  x  với x  1; 4 Tìm tập giá trị ẩn phụ t x  1;  1  2x    x   , x  1;  4 x 2x  2  x 2x  t '    x  2x   4  x   x   x  Ta có: t' Bảng biến thiên x t' t + ̶ 3 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '   3;3  Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: t  4t   m (2) Phương trình (1) có nghiệm x  1; 4  Phương trình (2) có nghiệm t   3;3  Xét hàm số y  f  t   t  4t  với t   3;3 Phương trình   có nghiệm t   3;3  đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  3;3  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   2t  ; f '  t    t  Bảng biến thiên t 3 f 't  f t  ̶ 74 +  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1; 4   m   Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm tập giá trị ẩn phụ chuyển phương trình sang phương trình theo ẩn phụ với tập xác định tập giá trị ẩn phụ tìm Cụ thể  Khi đặt t  u  x  , x  D , ta tìm t  D ' phương trình f  x; m   (1) trở thành g  t; m   (2) Khi (1) có nghiệm x  D  (2) có nghiệm t  D ' 322 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN  Để tìm miền giá trị t ta nên lập BBT hàm số t  u  x  D (có thể sử dụng bất đẳng thức để đánh giá tính chất hàm số)  Nếu toán yêu cầu xác định số nghiệm ta phải tìm tương ứng x t Tức giá trị t  D ' phương trình u  x   t có nghiệm x  D ? (có thể xem toán nhỏ xét tương giao) Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm  x  x  3x  m  x   3 x  (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   2;3  Đặt t  x    x với x   2;3 Tìm tập giá trị ẩn phụ t x   2;3 3 x  x    x  2  x x   x t '    x  x    x   x    x  1 Ta có: t' Bảng biến thiên x t' t -2 + -1 ̶ 5 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '   5;5 14 (2) m t Phương trình (1) có nghiệm x   2;3  Phương trình (2) có nghiệm t   5;5  14 Xét hàm số y  f  t   t  với t   5;5  t Phương trình   có nghiệm t   5;5   đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  5;5 14 Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t     , t   5;5  t  Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: t  14t  mt  t    Bảng biến thiên t f 't  + f t  11  5 323 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG  HĐBM -TỔ TOÁN Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x   2;3   11 m  5 Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm m    x2   x2    x4   x2   x2 (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   1;1  Đặt t   x   x x   1;1 Tìm tập giá trị ẩn phụ t x   1;1 Ta có: x t'  x2   1  x   x2  x2  1 x x  , t'0  x   Bảng biến thiên x t' t -1 ̶ 0 + 2 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '  0;  t  t   m (2) t 2 Phương trình (1) có nghiệm x   1;1  Phương trình (2) có nghiệm t   0;   Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: m  t    t  t   t  t  với t  0;  t2 Phương trình   có nghiệm t   0;   đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ 0;   Xét hàm số y  f  t    Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   t  4t t  2  , t  0;  Bảng biến thiên t f 't  f t  ̶ 1  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x   1;1    m   324 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm   x  x 1  m x      x  x  1   x 1  (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   0;     x  x 1  m x   x  x  1   x 1   m x  x  x  1  x  x  x 1  x 1   x  x  1  1  m  x x 1  Khi đó: 1     x x 1 4  1 m x x 1 (2) x 1 x 1 , x  nên     t  Tập giá trị t là: D '   0;1 x x 1 Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành:  t   m  m    t  t t Phương trình (1) có nghiệm x  1;    Phương trình (2) có nghiệm t   0;1  Đặt t   (2)  t  với t   0;1 t2 Phương trình   có nghiệm t   0;   đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị  Xét hàm số y  f  t    hàm số y  f  t  vẽ  0;   Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t     0, t   0;1 t2 Bảng biến thiên t f 't  + f t  1   Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1;    m  1  Thí dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm x   m x   4 x2  (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D  1;   325 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG  Khi đó: 1  HĐBM -TỔ TOÁN x 1 x 1 x 1 x2 1  m  24 3  m  24 x 1 x 1 x 1  x  1 x 1 x 1 , x  nên     t  Tập giá trị t là: D '   0;1 x 1 x 1 Với ẩn phụ phương trình (1) trở thành: 3t  2t  m Phương trình (1) có nghiệm x  1;    Phương trình (2) có nghiệm t   0;1  Đặt t   (2)  Xét hàm số y  f  t   3t  2t với t   0;1 Phương trình   có nghiệm t   0;1  đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ t   0;1  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   6t  , f '  t    t  Bảng biến thiên t f 't  + f t  ̶ 1  Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1;    1  m   Thí dụ 10 Tìm m để phương trình sau nghiệm x  1;3  log 32 x  log32 x   2m   (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D  1;3     Đặt t  log x  với x  1;3  Tìm tập giá trị ẩn phụ t x  1;3      x  1;3    x      log32 x     log 32 x     t   t  1; 2 Tập giá trị ẩn phụ t x  1;3  D '  1; 2    Với ẩn phụ bất phương trình (1) trở thành: t  t   2m (2) Phương trình (1) có nghiệm x  1;3   phương trình (2) có nghiệm t  1; 2    Xét hàm số y  f  t   t  t  với t  1; 2 Phương trình (2) có nghiệm t  1; 2  đường thẳng y  2m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ 1;  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   2t   , t  1;  326 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Bảng biến thiên t f 't  + f t   Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm x  1;3    m   Thí dụ 11 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm (1) 4 x  x5  m Lời giải  Tập xác định bất phương trình : D   5; 4  Xét hàm số y  f  x    x  x   5;  Bất phương trình (1) có nghiệm x   5;   có điểm thuộc đường thẳng y  m nằm phía đồ thị hàm số y  f  x  vẽ  5;   Lập BBT hàm số trên D Ta có: f '  x   1 4 x  x5    x x    x  x   f ' x    x  x   x   x -5  + t' t 2 ̶ 3  Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) có nghiệm x   5;   m   Thí dụ 12 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx  x   m  (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   3;   Khi đó: 1  m  x  1 x 1 (2) 327 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN x  1 3;   x 1 Bất phương trình (2) có nghiệm x  3;    có điểm thuộc đường thẳng y  m nằm phía đồ  Xét hàm số y  f  x   thị hàm số y  f  x  vẽ 3;    Lập BBT hàm số D Ta có: f '  x   5 x x3 x   x  1 f ' x   x    x  x  x  1 0 x 1 Giới hạn lim f ( x)  lim x  x  Bảng biến thiên x f ' x +  ̶ f  x  Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) có nghiệm 3;    m   Thí dụ 13 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x   2;  4   x   x   x  x  m  18 (1) Lời giải  Tập xác định phương trình : D   2; 4  Đặt t   x  x  với x   2;  Tìm tập giá trị ẩn phụ t x   2;  Ta có: x 1 t'  x2  2x  , t'   x 1 Bảng biến thiên x t' t -2 + ̶ 0 Từ bảng biến thiên ta suy tập giá trị t : D '   0;3  Với ẩn phụ bất phương trình (1) trở thành: m  t  4t  10 (2) 328 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Bất phương trình (1) nghiệm với x   2;   Bất phương trình (2) nghiệm với t   0;3  Xét hàm số y  f  t   t  4t  10 với t   0;3 Bất phương trình (2) nghiệm với t   0;3  đường thẳng y  m nằm hoàn toàn phía phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  0;3  Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   2t  , f '  t    t  Bảng biến thiên t f 't  f t  10 ̶ +  Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) nghiệm với x   2;   m  10  Thí dụ 14 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x   (1) m.4 x   m  1 x   m   Lời giải  Tập xác định phương trình : D    Đặt t  2x với x   Tập giá trị ẩn phụ t x   D '   0;    Với ẩn phụ bất phương trình (1) trở thành: 4t  (2) t  4t  Bất phương trình (1) nghiệm với x   2;   Bất phương trình (2) nghiệm với mt   m  1 t  m   m  t   0;   4t  với t   0;   t  4t  Bất phương trình (2) nghiệm với t   0;    đường thẳng y  m nằm hoàn toàn phía  Xét hàm số y  f  t   phần đồ thị hàm số y  f  t  vẽ  0;    Lập BBT hàm số y  f  t  D ' Ta có: f '  t   4t  2t   t  4t   , t   0;   , Giới hạn: lim f  t   t  329 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Bảng biến thiên t f 't  f t   ̶  Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) nghiệm với x    m   Thí dụ 15 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  x   y   x  xy  m   x  x  y   2m (1) Lời giải        x2  x 2x  y   m  Ta có : 1    x  x   x  y    2m u  x  x Đặt  Điều kiện u u   v  x  y uv  m u   2m  1 u  m   u  v   2m v   2m  u  Hệ phương trình trở thành:  Hệ phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm thỏa mãn u    Với u   , ta có:    m  2u  1  u  u  m   2 u  u 2u  u  u   với u    ;   2u      Phương trình   có nghiệm u    ;    đường thẳng y  m có điểm chung với phần đồ     thị hàm số f  u  vẽ   ;     Lập BBT hàm số D Ta có: 1  2u  2u  ; f ' u    u  f ' u    2  2u  1  Xét hàm số f  u    330 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN Bảng biến thiên u  1  f ' u  + + f u  ̶ 2    Dựa vào BBT ta suy ra: Hệ phương trình (1) có nghiệm  m  2  BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập rèn luyện Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1) x  3x   m ĐS: m  2) x2   x  m 3) x  13 x  m  x   4) x x  x  12  m ĐS:  m   ĐS: m   5 x  4 x  ĐS:    m  12  Bài tập rèn luyện Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1) x   m   x    m  1 x3  x ĐS: m  2) x   m x   x  ĐS: 1  m  3)  4)   x  x 1  m x   16 x  x  1   x 1    x   x   x2  x  m 5)  x   x  6) m    x   x   m  x   x   x   x2  ĐS: m  12 37 m3 9 ĐS: m3 ĐS:  ĐS: m  Bài tập rèn luyện 1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm  x   m x 1  m  ĐS: m  331 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN 2) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x   4;6   x    x   x  x  m ĐS: m  3) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm m x2   x   m ĐS: m  4) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x   0;1   m   x2  2x    x   x   ĐS: m  5) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x   x   m  1 3x  m   ĐS: m   Hết - 332 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM -TỔ TOÁN ỨNG DỤNG GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRONG PT VÀ BPT Giả sử f  x  hàm số liên tục miền D đạt GTLN, GTNN miền Ký hiệu:  M  Max f  x  xD  m  f x  xD Khi ta có kết luận sau: 1) Phương trình f  x   a có nghiệm x  D  m  a  M Ví dụ 1: Tìm a để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 2x  4x  a x  m   x2   x  3 x  1  x   3;0  4x  x  2m    2x    m  1  x  2x   m   2) Bất phương trình f  x   a có nghiệm x  D  a  M Bất phương trình f  x   a có nghiệm x  D  a  m Ví dụ : Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm x    x  a 3) Bất phương trình f  x   a nghiệm với x  D  a  m Bất phương trình f  x   a nghiệm với x  D  a  M Ví dụ : Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x  2; 2 x  m   x2  B Bài tập Bài 1: Cho phương trình  x   x    x   x   m (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 2: Cho phương trình   x   x     x   x   3m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 3: Cho phương trình  x  1  2x  x  3m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 4: Cho phương trình x   x  x  x  5m   (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm 333 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG  HĐBM -TỔ TOÁN  Bài 5: Cho phương trình m  x   x    x   x   x (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài 6: Cho phương trình  sin x  cos4 x   cos 4x  2s in2x  m  (1)  Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x   0;   2 Bài 7: Cho bất phương trình  x    x   x  2x  m (1) Tìm m để bất phương trình (1) nghiệm nghiệm với 4  x  Hết 334 [...]...  19 C Bài tập Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C): y  x 2  4 và (C'): y  x 2  2 x 1 5 Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y  x 3  x 2 và đường thẳng (d) : y  3x  3 3 Nerver Stop Dreaming !!! 31 Sõu tßm: Ngun Viãn 12A9 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y  2x 1 và đường thẳng (d ) : y  3 x  1 x 1 Bài 4:... tuyến thỏa đề bài là y  x 1 và y   x   4 2 B Bài tập Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y   x3  3 x 2  1 tại điểm trên đồ thị có hồnh độ x  1 Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  2x  3 tại điểm trên đồ thị có hồnh độ x  3 x 1 Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  3x  2 tại điểm trên đồ thị có tung độ y  2 x 1 Bài 4: Cho... Nerver Stop Dreaming !!! 42 Sõu tßm: Ngun Viãn 12A9 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN B Bài tập Bài 1: Cho hàm số y  x3  3x 2  4 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 3  3x 2  m  5  0 Bài 2: Cho hàm số y  mx 3  3mx 2  4 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị C  của hàm số khi m  1 2) Tìm k để phương... y  6  3 x trên đoạn  1;1 4) y  ln 2 x trên đoạn 1; e3  x 24 Sõu tßm: Ngun Viãn 12A9 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 1) y  x 2 ln x trên đoạn 1;e x 1 2) y  3) y  x 2  3  x ln x trên đoạn 1; 2 Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: x2  1 trên đoạn  1; 2  4) y  x 2  ln(1  2x) trên đoạn  2;0  1) y  4 x  x 2 2) y...  x 3  3x 2  3(m 2  1) x  3m 2  1 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O 1 Đáp số: m   2 Bài 8: Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  m 2  2 Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vng Đáp số: m  1 Bài 9: Cho hàm số y   x3  3x 2  4 Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực... tuyến thỏa đề bài là y   x 3 và y  x 1  34 Sõu tßm: Ngun Viãn 12A9 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN 2 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước y (C): y = f(x) y0 M 0 x0  x Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải... (3;7)  pttt: y  5 x 22 ♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y  5 x 2 và y  5 x  22  Bài tập tương tự Cho hàm số y  2 x 1 có đồ thị là C  Viết phương trình tiếp tuyến của C  , biết hệ số góc của tiếp tuyến x 1 bằng 4 Đáp số: y  4 x  2; y  4 x  10 Nerver Stop Dreaming !!! 35 Sõu tßm: Ngun Viãn 12A9 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có...  1  y0  2 : M 1 (1; 2)  pttt: y  9 x  7 ♣ Với x0  3  y0  2 : M 2 (3; 2)  pttt: y  9 x 25 ♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y  9 x  7 và y  9 x 25  Bài tập tương tự Nerver Stop Dreaming !!! 36 Sõu tßm: Ngun Viãn 12A9 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Cho hàm số y  x3  3x 2  3x có đồ thị là C  Viết phương trình tiếp tuyến của C  , biết tiếp tuyến song song với... của các hàm số f  x   x  2 với x  1;   x 1 Bài giải ♥ D  1;  ♥ Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có: Nerver Stop Dreaming !!! 21 Sõu tßm: Ngun Viãn 12A9 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN 2 2 2  x 1  1  2  x  1  1  2 2  1, x  1;   x 1 x 1 x 1 2 2  Dấu “=” xảy ra khi x 1    x 1  2  x  1  2  D x 1  f x  x  ♥ Vậy min f ( x )  2 2  1  x D Bài tập. .. của hàm số y  2 sin 2 x  cos x  1 Bài giải ♥ Tập xác định: D   ♥ Đặt t  cos x với t  1;1 , hàm số trở thành: y  2t 2  t  3 1 ; y '  0  t    1;1 4  1  25 25 Do y 1  2; y 1  0; y     min y  0; max y  x D x D  4  8 8 Ta có: y '  4t 1 ♥ Vậy min y  2 2; max y  2  x D xD BÀI TẬP Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:  1 1) y  16 x 2  2 ... thỏa đề M1 (1; 0) M  ;   2  B Bài tập Bài 1: Cho đường cong (C): y  x3 Tìm điểm đồ thị (C) cách hai trục tọa độ x 1 Bài 2: Cho đường cong (C): y  x2 Tìm điểm đồ thị (C) cho khoảng cách... Dreaming !!! 42 Sõu tßm: Ngun Viãn 12A9 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN B Bài tập Bài 1: Cho hàm số y  x3  3x  1) Khảo sát biến thi n vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Dựa vào đồ thị (C) biện... Sõu tßm: Ngun Viãn 12A9 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM - TỔ TỐN B Bài tập Bài 1: Tính tích phân sau 1) I    x x 4  dx 2) I   sin x 1  cos x  dx Bài 2: Tính tích phân sau e3 e ln