1.6 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ  Định lý 1.2: Giả sử đồ thị G có n đỉnh Tồn đường từ đỉnh a đến đỉnh b đồ thị G tồn đường từ a đến b đồ thị với độ dài không n-1 1/63 1.6 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp) Chứng minh: Giả sử có đường ngắn từ a đến b Đường có độ dài k-1 a b Hình 1.6 Một đường từ đỉnh a đến đỉnh b 2/63 1.6 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp) Chứng minh: - Nếu k-1 ≤ n-1 định lý chứng minh - Ngược lại (nghĩa k > n), dãy đỉnh đường có hai đỉnh trùng nhau, chẳng hạn: xi = xj Khi đường từ a tới b với độ dài ngắn Mâu thuẫn với giả thiết đường ngắn 3/63 BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ  Bài toán đường Cho đồ thị G hai đỉnh a, b thuộc G Có hay không đường từ đỉnh a đến đỉnh b đồ thị G ? 4/63 BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)  Thuật toán 1.1 Xây dựng ma trận kề A cho đồ thị G Tính tổng ma trận luỹ thừa: T = A + A2 + … + An-1 Nếu T[a,b] ≥ kết luận có đường từ đỉnh a đến đỉnh b, ngược lại kết luận 5/63 BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)  Ma trận tổng T gọi bao đóng bắc cầu ma trận kề A  Các phần tử ma trận T lớn, ta quan tâm đến tính chất khác phần tử 6/63 BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)  Cải tiến thuật toán 1.1 - Có thể xem ma trận kề A ma trận logic - Trong phép nhân ma trận ta thay phép toán số học + , * phép toán logic OR AND - Dùng thuật toán Warshall để tính ma trận bao đóng bắc cầu logic AS Các phần tử logic ma trận AS cho biết có hay không đường cặp đỉnh đồ thị cho 7/63 BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp) Thuật toán 1.2 (Warshall) Dữ liệu: Ma trận kề logic A đồ thị G Kết quả: Ma trận bao đóng bắc cầu logic AS 8/63 BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp) Thuật toán 1.2 (Warshall) Begin for i := to n for j := to n AS[i,j] := A[i,j] ; for k := to n-1 for i := to n for j := to n if ! AS[i,j] then AS[i,j] := AS[i,k] and AS[k,j] End  Độ phức tạp: O(n3) 9/63 1.7 BẬC CỦA ĐỈNH VÀ TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ  Bậc đỉnh  Tính liên thông đồ thị  Đồ thị đầy đủ  Một số tính chất 10/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG  Định lý 1.3 Tổng tất bậc đỉnh đồ thị hai lần số cạnh đồ thị Chứng minh: Ta tính bậc đỉnh Mỗi đỉnh thuộc cạnh bậc tăng thêm Mà cạnh có hai đỉnh 16/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)  Hệ 1.1: Số đỉnh có bậc lẻ đồ thị phải số chẵn  Hệ 1.2: Nếu đồ thị G có hai đỉnh bậc lẻ hai đỉnh phải liên thông với 17/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)  Định lý 1.4 Đồ thị G có n đỉnh Nếu bậc đỉnh G không nhỏ n/2 đồ thị G liên thông 18/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)  Chứng minh: Phản chứng: Giả sử đồ thị G không liên thông Khi đó, có hai đỉnh a b nằm hai mảng liên thông khác Vậy thì, n ≤ r(a) + r(b) ≤ n-2 Suy điều mâu thuẫn 19/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp) Định lý 1.5 Giả sử đồ thị G có n đỉnh, m cạnh, p mảng liên thông đỉnh nút Khi đó: (n − p )(n − p + 1) m≤ 20/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)  Chứng minh: Giả sử mảng Gi có ni đỉnh Thế ni ≥ Không tính tổng quát xem G1 mảng có nhiều đỉnh Ta "dồn" đỉnh cho mảng G1 mà không làm thay đổi số đỉnh, số cạnh số mảng liên thông đồ thị n2 = n3 = = np = 21/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp) Chứng minh: Cách “dồn” đỉnh vào mảng G1: Giả sử mảng Gi mà n1 ≥ ni ≥ Chọn a đỉnh Gi cho ta bỏ a cạnh kề với phần lại liên thông Giả sử a nối với k đỉnh Gi 22/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp) Chứng minh: Hiển nhiên ≤ k ≤ ni -1 < n1 Ta chọn k đỉnh mảng G1 và: - Thêm k cạnh nối a với đỉnh chọn G1 - Xoá bỏ k cạnh nối a với đỉnh Gi Đỉnh a liên thông với đỉnh G1 nên thuộc vào mảng G1 23/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp) Chứng minh: Ta đồ thị với số đỉnh, số cạnh, số mảng liên thông không thay đổi mảng Gi bớt a k cạnh đỉnh, G1 thêm đỉnh a k cạnh 24/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp) Minh hoạ cách “dồn” đỉnh: a G1 G i Hình 1.8 Cách dồn đỉnh cho mảng G1 25/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp) Chứng minh: Thực phép “dồn” khi: n1 = n -p +1, n2 = n3 = = np = G1 có m cạnh Vậy m = số cạnh G1, đó: ( n − p )(n − p +1) m≤ Định lý chứng minh 26/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)  Hệ 1.3 (n − 2)(n − 1) Đồ thị G có n đỉnh số cạnh m > G liên thông Chứng minh: Theo Định lý 1.9 thì: Suy ra: (n − p)(n − p + 1) m≤ (n − 2)(n − 1) (n − p)(n − p + 1) [...]... G = (V, E) là một đồ thị, ta gọi bậc của một đỉnh là số cạnh kề với đỉnh đó Ký hiệu: r(a) là bậc của đỉnh a trong đồ thị G 11/63 TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ  Định nghĩa 1.12 Hai đỉnh của đồ thị G được gọi là liên thông, nếu trên đồ thị có đường đi vô hướng nối chúng với nhau Đồ thị được gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của đồ thị đều liên thông với nhau 12/63 TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)  Quan... ta đồ thị ban đầu Ký hiệu: p là số mảng liên thông của một đồ thị 15/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG  Định lý 1.3 Tổng tất cả các bậc của các đỉnh trong một đồ thị bằng hai lần số cạnh của đồ thị đó Chứng minh: Ta tính bậc của các đỉnh Mỗi đỉnh thuộc một cạnh nào đó thì bậc của nó tăng thêm một Mà mỗi cạnh thì có hai đỉnh 16/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)  Hệ quả 1.1: Số đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị. .. THỊ (tiếp)  Quan hệ liên thông trên tập đỉnh là một quan hệ tương đương Quan hệ đó cho một phân hoạch trên tập các đỉnh  Mỗi lớp tương đương của quan hệ này được gọi là một mảng liên thông (hay thành phần liên thông) của đồ thị 13/63 VÍ DỤ 1.6 b a c d e Hình 1.7 Một đồ thị liên thông 14/63 TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp) 1 Mỗi mảng liên thông của một đồ thị là một đồ thị con không rỗng liên thông... cạnh nối Ký hiệu Kn là đồ thị vô hướng đầy đủ n đỉnh - Đồ thị đầy đủ Kn là đồ thị liên thông - Mỗi đỉnh của Kn đều có bậc n-1 - Hai đỉnh bất kỳ được nối với nhau bằng một đường đi ngắn nhất có độ dài bằng 1, đó chính là cạnh nối hai đỉnh ấy 28/63 MỘT SỐ TÍNH CHẤT 1 Đồ thị vô hướng n đỉnh (n ≥ 3), không có đỉnh nút và bậc của mỗi đỉnh đều không nhỏ hơn 2, luôn có chu trình đơn 2 Đồ thị n đỉnh (n ≥ 4) và... chu trình đơn độ dài chẵn 29/63 MỘT SỐ TÍNH CHẤT (tiếp) 3 Đồ thị n đỉnh (n ≥ 2) không có đỉnh nút luôn có ít nhất hai đỉnh cùng bậc 4 Nếu đồ thị n đỉnh (n ≥ 4) có đúng hai đỉnh cùng bậc thì hai đỉnh này không thể đồng thời có bậc 0 hoặc bậc n-1 5 Trong đồ thị n đỉnh (n ≥ 4) mà cứ bốn đỉnh tuỳ ý thì có ít nhất một đỉnh kề với ba đỉnh còn lại, thì số đỉnh bậc n-1 của đồ thị này không ít hơn n-3 30/63... Số đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị phải là một số chẵn  Hệ quả 1.2: Nếu đồ thị G có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì hai đỉnh đó phải liên thông với nhau 17/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)  Định lý 1.4 Đồ thị G có n đỉnh Nếu bậc của mỗi đỉnh trong G không nhỏ hơn n/2 thì đồ thị G liên thông 18/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)  Chứng minh: Phản chứng: Giả sử đồ thị G không liên thông Khi đó, có ít nhất hai... 23/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp) Chứng minh: Ta được một đồ thị mới với số đỉnh, số cạnh, số mảng liên thông không thay đổi vì mảng Gi bớt a và k cạnh vẫn còn ít nhất một đỉnh, G1 thêm đỉnh a và k cạnh mới 24/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp) Minh hoạ cách “dồn” các đỉnh: a G1 G i Hình 1.8 Cách dồn đỉnh cho mảng G1 25/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp) Chứng minh: Thực hiện phép “dồn” trên cho đến... Vậy m = số cạnh trong G1, do đó: ( n − p )(n − p +1) m≤ 2 Định lý được chứng minh 26/63 BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)  Hệ quả 1.3 (n − 2)(n − 1) Đồ thị G có n đỉnh và số cạnh m > 2 thì G liên thông Chứng minh: Theo Định lý 1.9 thì: Suy ra: (n − p)(n − p + 1) m≤ 2 (n − 2)(n − 1) (n − p)(n − p + 1) ...1.6 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp) Chứng minh: Giả sử có đường ngắn từ a đến b Đường có độ dài k-1 a b Hình 1.6 Một đường từ đỉnh a đến đỉnh b 2/63 1.6 MỘT... ĐỈNH VÀ TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ  Bậc đỉnh  Tính liên thông đồ thị  Đồ thị đầy đủ  Một số tính chất 10/63 BẬC CỦA ĐỈNH  Định nghĩa 1.11: Giả sử G = (V, E) đồ thị, ta gọi bậc đỉnh số cạnh... r(a) bậc đỉnh a đồ thị G 11/63 TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ  Định nghĩa 1.12 Hai đỉnh đồ thị G gọi liên thông, đồ thị có đường vô hướng nối chúng với Đồ thị gọi liên thông cặp đỉnh đồ thị liên thông