Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN – P2 Thầy Đặng Việt Hùng LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Ví dụ 1: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có ∆ABC vuông A, d ( AA ';( ABC ) ) = a; d ( C ; ABC ') = b; ( ABC '; ABC ) = φ a) Tính thể tích lăng tru cho theo a, b φ b) Khi a = b, tìm φ để thể tích khối lăng trụ nhỏ Đ/s: a) V = ab3 sin 2φ b − a sin φ b) Vmin = 3a ⇔ cos φ = Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có ( AC '; ABC ) = 300 ; AC ' = a; AC ' B = φ Tính thể tích khối hộp cho tìm φ để thể tích khối hộp lớn Đ/s: Vmax = 9a 10 ⇔ cos φ = 32 Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AC ' = a; ( AC '; ABCd ) = α; ( AC '; BCC ' B ') = β Tìm hệ thức liên hệ α, β để A ' D ' CB hình vuông tìm thể tích khối hộp max a3 Đ/s: cos α − sin β = ;Vmax = ⇔ α = β = 300 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AB ' = AC ' = a 2; A ' B ' = A ' C ' = a, khoảng cách từ A ' đến mặt phẳng ( AB ' C ') a Tính góc hai mặt phẳng ( AB ' C ') ( A ' B ' C ') , biết thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a 15 Lời giải: Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 +) Đặt A ' I = x ⇒ B ' I = 2a − AI = a − x ⇒ AI = a + x +) A ' H = A ' I sin φ = x sin φ ⇒ x sin φ = a 3 +) Ta có AK = AI sin φ = a + x sin φ ⇒ V = AK S A ' B 'C ' ⇔ ⇔ a4 − x4 a 15 a 15 = a + x sin φ x.2 a − x ⇔ a − x ( x sin φ) = 9 a a 15 a = ⇒ a4 − x4 = a4 ⇒ = ⇒ sin φ = ⇒ φ = 450 9 x 2 Ví dụ 5: [ĐVH] Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' , biết A ' ABC hình chóp có cạnh đáy a Góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) ( BCC ' B ') 900 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AA ' B ' C theo a Lời giải: Gọi M , N , E trung điểm AB, BC B’C’; H = CM ∩ AN Có H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ A ' ABC hình chóp ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) Góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) ( BCC ' B ') 900 ⇒ ( A ' BC ) ⊥ ( BCC ' B ') Ta có A ' N ⊥ BC ⇒ A ' N ⊥ ( BCC ' B ') ⇔ A ' N ⊥ NE • Đặt A 'A = A 'B = A 'C = x( x > 0) a  NE = BB '  NE = AA ' A ' N = A ' B − BN = x − ;  ⇒ ⇒ Tứ giác ANEA ' hình bình  NE / / BB '  NE / / AA '  NE = x  hành ⇒  a A' E =  2 a 3 a2 a 2 • Trong tam giác vuông A ' NE có A ' N + NE = A ' E ⇔ x − + x =   ⇔ x = a ⇔ x =   P = −3c3 + 96c − 384c + 512 − 3ab (8 − 2c) 2 2 ≤ −3c3 + 96c − 384c + 512 − 3(7 − 2c)(8 − 2c ) ⇒ P ≤ −3c3 + 84c − 294c + 344 Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 a a2 a3 Thể tích khối lăng trụ ABC A' B ' C ' V = A ' H S ∆ABC = = A ' A / / B ' B ⇒ A ' A / /( BCC ' B ') ⇒ d ( A ' A, B ' C ) = d ( A ' A, ( BCC ' B ') ) = d ( A, ( BCC ' B ') )  BC ⊥ AN •  ⇒ BC ⊥ ( A ' AN ) ⇒ BC ⊥ AA ' ⇒ BC ⊥ BB ' ⇒ Tứ giác BCC ' B ' hình chữ nhật  BC ⊥ A ' N 1a a2 ⇒ S ∆B ' BC = B ' B.BC = a = 2 3V a • VB ' ABC = V = = d ( A, ( BCB ') ) S ∆B ' BC ⇒ d ( A, ( BCB ') ) = B ' ABC 24 S ∆B ' BC a3 a ⇒ d ( A, ( BCB ') ) = 28 = a 2 Ví dụ 6: [ĐVH] Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, điểm A ' cách ba điểm A, B, C Góc AA ' mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AB , CC’ theo a Lời giải: A' C' B' K C A H G G trọng tâm ∆ ABC Ta có A ' G ⊥ ( ABC ) ( AA ';( ABC ) ) = A ' AG = 600 a Xét ∆A ' AG có A ' G = AG.tan 600 = a a2 S ABC = a2 a3 a = Thể tích VABC A ' B 'C ' = S ABC A ' G = 4 AG = B Kẻ CK ⊥ A ' H ⇒ CC '// AA ' ⇒ d ( CC ', AA ') = d ( CC ', ( AA ' B ' B ) ) = CK Ta có CK = A ' G.CH = A' H a a2 a a 13 = = 13 A ' G + HG a 39 Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh AB = AD = a, AA ' = a , BAD = 600 Gọi M N trung điểm cạnh A ' D ' A ' B ' Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN theo a Lời giải: Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! ... năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 a a2 a3 Thể tích khối lăng... D ' A ' B ' Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN theo a Lời giải: Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! ... C ' có đáy tam giác cạnh a, điểm A ' cách ba điểm A, B, C Góc AA ' mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AB , CC’ theo a Lời giải: A' C'