phòng giáo dục đào tạo kim bảng kiểm tra chất lợng học sinh giỏi năm học 2008 2009 môn toán lớp Thời gian 150 phút Không kể thời gian giao đề Đề thức Bài (3 điểm)Tính giá trị biểu thức 1+ ữ + ữ + ữ 29 + ữ 4 A= + ữ + ữ + ữ 30 + ữ 4 Bài (4 điểm) a/Với số a, b, c không đồng thời nhau, chứng minh a2 + b2 + c2 ab ac bc b/ Cho a + b + c = 2009 chứng minh a + b3 + c3 - 3abc = 2009 a + b + c - ab - ac - bc Bài (4 điểm) Cho a 0, b ; a b thảo mãn 2a + 3b 2a + b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = a2 2a b Bài (3 điểm) Giải toán cách lập phơng trình Một ô tô từ A đến B Cùng lúc ô tô thứ hai từ B đến A vơí vận tốc vận tốc ô tô thứ Sau chúng gặp Hỏi ô tô quãng đờng AB bao lâu? Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm M, N thứ tự trung điểm BC AC Các đờng trung trực BC AC cắt O Qua A kẻ đờng thẳng song song với OM, qua B kẻ đờng thẳng song song với ON, chúng cắt H a) Nối MN, AHB đồng dạng với tam giác ? b) Gọi G trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ? c) Chứng minh ba điểm M , O , G thẳng hàng ? Phòng GD - ĐT Can lộc đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 Môn: Toán lớp Thời gian làm 120 phút Bài Cho biểu thức: A = x5 + x x3 x + x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A - A = c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Bài 2: a) Cho a > b > 2( a2 + b2) = 5ab Tính giá trị biểu thức: P = 3a b 2a + b b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh a2 + 2bc > b2 + c2 Bài 3: Giải phơng trình: a) 2 x x x = 2007 2008 2009 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = Bài 4: Cho tam giác ABC; Điểm P nằm tam giác cho ãABP = ãACP , kẻ PH AB, PK AC Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, đờng thẳng d cắt cạnh AB, AD M K, cắt đờng chéo AC G Chứng minh rằng: UBND THàNH PHố Huế PHòNG Giáo dục đào tạo Đề thức AB AD AC + = AM AK AG Kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố lớp thCS - năm học 2011 - 2012 Môn : Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + x + x + 2008 x + 2007 x + 2008 Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình: x x + + x = 2 2 x + ữ + x + 12 ữ x + 12 ữ x + ữ = ( x + 4) x x x x x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 Bài 3: (3điểm) Tìm số d phép chia biểu thức x + 10 x + 21 ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho đa thức a2 b2 c2 c b a Chng minh + + + + (a, b, c > 0) b a c b c a 1 1 Tớnh A = + + + + 15 2600 Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vuông góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD = BC AH + HC Hết đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008 - 2009 môn: Toán Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH ***** (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) đề thức Đề thi gồm trang Bi (4 im): Cho biu thc A= 4xy y x2 : + 2 y + xy + x y x a) Tỡm iu kin ca x, y giỏ tr ca A c xỏc nh b) Rỳt gn A c) Nu x; y l cỏc s thc lm cho A xỏc nh v tho món: 3x + y2 + 2x 2y = 1, hóy tỡm tt c cỏc giỏ tr nguyờn dng ca A? Bi (4 im): a) Gii phng trỡnh : x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 b) Tỡm cỏc s x, y, z bit : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx v x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 Bi (3 im): Chng minh rng vi mi n N thỡ n5 v n luụn cú ch s tn cựng ging Bi (7 im): Cho tam giỏc ABC vuụng ti A Ly mt im M bt k trờn cnh AC T C v mt ng thng vuụng gúc vi tia BM, ng thng ny ct tia BM ti D, ct tia BA ti E ã ã a) Chng minh: EA.EB = ED.EC v EAD = ECB ã b) Cho BMC = 1200 v S AED = 36cm Tớnh SEBC? c) Chng minh rng im M di chuyn trờn cnh AC thỡ tng BM.BD + CM.CA cú giỏ tr khụng i d) K DH BC ( H BC ) Gi P, Q ln lt l trung im ca cỏc on thng BH, DH Chng minh CQ PD Bi (2 im): a) Chng minh bt ng thc sau: x y + (vi x v y cựng du) y x b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x y x2 y + + ữ+ y x y x (vi x 0, y ) Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn: Toán Lớp Phòng giáo dục - Đào tạo huyện Vũ th năm học 2008 2009 đề thức Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) a+b+c=0 1, Cho ba số a, b, c thoả mãn , tính A = a + b + c 2 a + b + c = 2009 2, Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + zx Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức f ( x ) = x + px + q với p Z, q Z Chứng minh tồn số nguyên k để f ( k ) = f ( 2008 ) f ( 2009 ) Bài 3: (4 điểm) 1, Tìm số nguyên dơng x, y thoả mãn 3xy + x + 15y 44 = 2, Cho số tự nhiên a = ( ) 2009 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c Tính d Bài 4: (3 điểm) Cho phơng trình Bài 5: (3 điểm) 2x m x + = , tìm m để phơng trình có nghiệm dơng x2 x+2 Cho hình thoi ABCD có cạnh đờng chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC F, CE cắt O Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính ãEOF Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, DC lần BE BF AB lợt lấy điểm E F cho ãEAD = ãFAD Chứng minh rằng: = CE CF AC Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy hai số thay hiệu chúng, làm nh đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng lại số đợc không? Giải thích Hết Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp trờng thcs xi măng năm học 2008-2009 môn toán 2008-2009 môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 số nguyên tố b) B= n + 3n +2 2n + 6n có giá trị số nguyên c) n +2 D=n -n+2 số phơng (n 2) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh : a) a b c + + = biết abc=1 ab + a + bc + b + ac + c + b) Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 2 c) a + b + c c + b + a b c a b a c Câu 3: (5 điểm) giảI phơng trình sau: a) x 214 x 132 x 54 + + =6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dơng câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O giao điểm hai đờng chéo Qua O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E ,cát BC F a) chứng minh : diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC b) Chứng minh : 1 + = AB CD EF c) Gọi K điểm thuộc OE.Nêu cách dựng dờng thẳng đI qua K chia đôI diện tích tam giác DEF -hết -pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 tính giá trị biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh biểu rhứ sau luôn dơng (hoặc âm) với giá trị chử cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh tứ giác có tâm đối xứng tứ giác hình bình hành Bài 4: (2 đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: x + 8x Bài 5: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập phơng số tự nhiên khác.Tìm số Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, BAC = CAD Tính AD chu vi hình thang 20 cm góc D 600 Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3m+2a2m+am b) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số d phép chia biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 2x 2x : x x + x x x +1 C= a) Tìm điều kiện x để biểu thức C đợc Xác định b) Rút gọn C c) Với giá trị x biểu thức C đợc xác định Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông A (AC>AB) , đờng cao AH Trên tia HC lấy HD =HA, đờng vuông góc với BC D cắt AC E a) chứng minh AE=AB b) Gọi M trung điểm BE Tính góc AHM hết Phòng GD-đt vũ th Hớng dẫn chấm môn toán Bài 1.1 Nội dung Điểm a+b+c=0 Cho ba số a, b, c thoả mãn , tính A = a + b + c 2 a + b + c = 2009 2 Ta có a + b + c = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) = ( ab + bc + ca ) a + b + c2 2009 a b + b c + c a = ( ab + bc + ca ) 2abc ( a + b + c ) = ữ = 2009 A = a + b + c = ( a + b + c2 ) ( a b + b c + c 2a ) = 1.2 Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + zx 2 2 2 B = xy + z ( x + y ) = xy + ( x + y ) ( x + y ) 2,00 0,50 0,50 1,00 2,00 = xy + ( x + y ) ( x + y ) = x y xy + 3x + 3y 2 2 y 3y + 6y + y = x + + = x + + ( y 1) + ữ ữ y = y Dấu = xảy x + = x = y = z =1 x + y + z = Vậy giá trị lớn B x = y = z = Cho đa thức f ( x ) = x + px + q với p Z, q Z Chứng minh tồn số nguyên k để 1,25 0,50 0,25 2,00 f ( k ) = f ( 2008 ) f ( 2009 ) f f ( x ) + x = f ( x ) + x + p ( f ( x ) + x ) + q = f ( x ) + 2.x.f ( x ) + x + p.f ( x ) + p.x + q = f ( x ) f ( x ) + 2x + p + ( x + px + q ) = f ( x ) x + px + q + 2x + p + = f ( x ) ( x + 1) + p ( x + ) + q = f ( x ) f ( x + ) Với x = 2008 chọn k = f ( 2008 ) + 2008 Â Suy f ( k ) = f ( 2008 ) f ( 2009 ) 3.1 Tìm số nguyên dơng x, y thoả mãn 3xy + x + 15y 44 = 3xy + x + 15y 44 = ( x + ) ( 3y + 1) = 49 x, y nghuyêndơng x + 5, 3y + nguyên dơng lớn 1,25 0,50 0,25 2,00 0,75 0,50 Thoả mãn yêu cầu toán x + 5, 3y + ớc lớn 49 nên có: x+5 = x = 3y + = y = Vậy phơng trình có nghiệm nguyên x = y = 3.2 Cho số tự nhiên a = 2009 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d ( ) 0,75 2,00 tổng chữ số c Tính d a = ( 29 ) 2009 = ( 23 ) 3.2009 = ( 23 ) 6027 < 10 6027 b 9.6027 = 54243 c + 4.9 = 41 d + 1.9 = 13 1mod a 1mod mà a b c d mod d 1mod ( ) Từ (1) (2) suy d = 2x m x Cho phơng trình + = , tìm m để phơng trình có nghiệm dơng x2 x+2 Điều kiện: x 2;x 2x m x + = x ( m ) = 2m 14 x2 x+2 m = 1phơng trình có dạng = -12 vô nghiệm 2m 14 m phơng trình trở thành x = m 2m 14 m m4 2m 14 Phơng trình có nghiệm dơng < m < m 2m 14 m > m4 Vậy thoả mãn yêu cầu toán < m < Cho hình thoi ABCD có cạnh đờng chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC F Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính ( 1) ãEOF 1,00 0,75 0,25 3,00 0,25 0,75 0,25 0,50 1,00 0,25 3,00 AEB đồng dạng CBF (g-g) AB = AE.CF AC = AE.CF AE AC = AC CF AEC đồng dạng CAF (c-g-c) AEC đồng dạng CAF ã ã mà AEC = CAF ã ã ã ã ã EOF = AEC + EAO = ACF + EAO ã = 180 DAC = 120 E A O B D C 1,00 1,00 1,00 F Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, DC 3,00 lần lợt lấy điểm E F cho ãEAD = ãFAD Chứng minh rằng: BE BF AB = CE CF AC A AE EH = AF FK K S ABE BE EH.AB AE.AB BE AE.AB = = = = S CF FK.AC AF.AC CF AF.AC D C ACF E F B BF AF.AB = Tơng tự CE AE.AC BE BF AB = (đpcm) CE CF AC Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy hai số thay hiệu chúng, làm nh đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng lại số đợc không? Giải thích Khi thay hai số a, b hiệu hiệu hai số tính chất chẵn lẻ tổng số có bảng không đổi 2008 ( 2008 + 1) Mà S = + + + + 2008 = = 1004.2009 mod ; 1mod 2 bảng lại số H Kẻ EH AB H, FK AC K ã ã ã ã BAE = CAF; BAF = CAE UBND THàNH PHố Huế HAE đồng dạng KAF (g-g) kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố 1,00 1,25 0,50 0,25 2,00 1,00 1,00 lớp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án thang điểm: Nội dung PHòNG Giáo dục đào tạo Bài Câu 1.1 1.2 (0,75 điểm) = ( x + 1) ( x + ) 0,5 (1,25 điểm) = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) x + 2007 ( x + x + 1) 2 2 2 = ( x + x + 1) ( x x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x x + 2008 ) 2.1 2 2 0,25 0,25 0,25 2,0 x x + + x = (1) + Nếu x : (1) ( x 1) = x = (thỏa mãn điều kiện x ) 2.2 Điểm 2,0 0.5 x + x + = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) x + 2008 x + 2007 x + 2008 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + 10 + Nếu x < : (1) x x + = x x ( x 1) = ( x 1) ( x ) = x = 1; x = (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có nghiệm x = 2 0,5 0,5 1 x + ữ + x + ữ x + ữ x + ữ = ( x + ) (2) x x x x Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x 2 1 (2) x + ữ + x + ữ x + ữ x + ữ = ( x + ) x x x x 0,25 1 2 x + ữ x + ữ = ( x + ) ( x + ) = 16 x x x = hay x = x Vậy phơng trình cho có nghiệm x = Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH ***** 0,5 0,25 đáp án hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn: Toán Bi 1: (4 im) a) iu kin: x y; y (1 im) b) A = 2x(x+y) (2 im) c) Cn ch giỏ tr ln nht ca A, t ú tỡm c tt c cỏc giỏ tr nguyờn dng ca A + T (gt): 3x2 + y2 + 2x 2y = 2x2 + 2xy + x2 2xy + y2 + 2(x y) = 2x(x + y) + (x y)2 + 2(x y) + = A + (x y + 1)2 = 50 UBND THàNH PHố Huế PHòNG Giáo dục đào tạo Bài Câu 1.1 1.2 kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố lớp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án thang điểm: Nội dung (0,75 điểm) 0.5 x + x + = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) ( x + ) 0,5 (1,25 điểm) x + 2008 x + 2007 x + 2008 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) x + 2007 ( x + x + 1) 2 2 2 = ( x + x + 1) ( x x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x x + 2008 ) 2 2.1 2 2 0,25 0,25 0,25 2,0 x x + + x = (1) + Nếu x : (1) ( x 1) = x = (thỏa mãn điều kiện x ) 2.2 Điểm 2,0 + Nếu x < : (1) x x + = x x ( x 1) = ( x 1) ( x ) = x = 1; x = (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có nghiệm x = 2 0,5 0,5 1 x + ữ + x + ữ x + ữ x + ữ = ( x + ) (2) x x x x Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x 2 1 (2) x + ữ + x + ữ x + ữ x + ữ = ( x + ) x x x x 0,25 1 2 x + ữ x + ữ = ( x + ) ( x + ) = 16 x x x = hay x = x Vậy phơng trình cho có nghiệm x = Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH ***** 0,5 0,25 đáp án hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn: Toán Bi 1: (4 im) m) iu kin: x y; y n) A = 2x(x+y) (1 im) (2 im) 51 o) Cn ch giỏ tr ln nht ca A, t ú tỡm c tt c cỏc giỏ tr nguyờn dng ca A + T (gt): 3x2 + y2 + 2x 2y = 2x2 + 2xy + x2 2xy + y2 + 2(x y) = 2x(x + y) + (x y)2 + 2(x y) + = A + (x y + 1)2 = A = (x y + 1)2 (do (x y + 1) (vi mi x ; y) A (0,5) x y + = x = + A = 2x ( x + y ) = y = x y;y (x y + 1)2 = + A = 2x ( x + y ) = T ú, ch cn ch c mt cp giỏ tr ca x v y, chng x y;y x = hn: y = + + Vy A ch cú th cú giỏ tr nguyờn dng l: A = 1; A = Bi 2: (4 im) x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + a) 115 104 93 82 x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 ( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + =0 115 104 93 82 (0,5 im) (1 im) (0,5 im) x + 126 = x = 126 b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 2xy 2yz 2zx = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = (0,5 im) (0,75 im) x y = y z = z x = x=y=z x2009 = y2009 = z2009 (0,75 im) 52 2009 2010 Thay vo iu kin (2) ta cú 3.z = z2009 = 32009 z =3 Vy x = y = z = (0,5 im) Bi (3 im) Cn chng minh: n5 n M10 - Chng minh : n5 - n M2 n5 n = n(n2 1)(n2 + 1) = n(n 1)(n + 1)(n2 + 1) M2 (vỡ n(n 1) l tớch ca hai s nguyờn liờn tip) (1 im) - Chng minh: n5 n M5 n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 + 5) = n( n ) (n + 1)(n 2) ( n + ) + 5n( n 1)( n + ) lý lun dn n tng trờn chia ht cho (1,25 im) 5 - Vỡ ( ; ) = nờn n n M2.5 tc l n n M10 Suy n5 v n cú ch s tn cng ging (0,75 im) Bài 4: điểm E D A M Q B P I H Câu a: điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh EBD đồng dạng với C (1 điểm) ECA (gg) EB ED = EA.EB = ED.EC EC EA ã ã * Chứng minh EAD (1 điểm) = ECB - Từ suy - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) ã ã - Suy EAD = ECB 0,5 điểm 0,5 điểm 0,75 điểm 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm ã - Từ BMC = 120o ãAMB = 60o ãABM = 30o - Xét EDB vuông D có B = 30o 0,5 điểm 53 ED = ED EB = EB 2 0,5 điểm S ED từ - Lý luận cho EAD = ữ S ECB EB SECB = 144 cm2 0,5 điểm Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) - Chứng minh CM.CA = CI.BC - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu d: điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm 0,5 điểm BH BD BP BD BP BD = = = DH DC DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) ã ã BDP = DCQ CQ PD o ã ã ma`BDP + PDC = 90 điểm Bi 5: (2 im) i) vỡ x, y cựng du nờn xy > 0, ú x y + y x (*) x + y 2xy (x y)2 (**) Bt ng thc (**) luụn ỳng, suy bt (*) ỳng (pcm) (0,75) x y + =t y x x2 y2 + = t2 (0,25) y x Biu thc ó cho tr thnh P = t2 3t + P = t2 2t t + + = t(t 2) (t 2) + = (t 2)(t 1) + (0,25) - Nu x; y cựng du, theo c/m cõu a) suy t t ; t > ( t ) ( t 1) P ng thc xy v ch t = x = y (1) (0,25) j) t - Nu x; y trỏi du thỡ x y < v < y x ( t ) ( t 1) > P > t < t < v t < (2) (0,25) - T (1) v (2) suy ra: Vi mi x ; y thỡ luụn cú P ng thc xy v ch x = y Vy giỏ tr nh nht ca biu thc P l Pm=1 x=y 54 55 56 57 UBND THàNH PHố Huế PHòNG Giáo dục đào tạo Đề thức kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố lớp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 phút 58 Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 11 x + x + 12 x + 2008 x + 2007 x + 2008 Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình: 12 x x + + x = 2 2 13 x + ữ + x + 12 ữ x + 12 ữ x + ữ = ( x + 4) x x x x Bài 3: (2điểm) 12 Căn bậc hai 64 viết dới dạng nh sau: 64 = + Hỏi có tồn hay không số có hai chữ số viết bậc hai chúng dới dạng nh số nguyên? Hãy toàn số 13 Tìm số d phép chia biểu thức x + 10 x + 21 ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho đa thức Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vuông góc với BC D cắt AC E 16 Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB 17 Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM 18 Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD = BC AH + HC Hết đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008 - 2009 môn: Toán Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH ***** (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) đề thức Đề thi gồm trang Bi (4 im): Cho biu thc A= 4xy y x2 : + 2 y + xy + x y x a) Tỡm iu kin ca x, y giỏ tr ca A c xỏc nh b) Rỳt gn A c) Nu x; y l cỏc s thc lm cho A xỏc nh v tho món: 3x + y2 + 2x 2y = 1, hóy tỡm tt c cỏc giỏ tr nguyờn dng ca A? Bi (4 im): a) Gii phng trỡnh : x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 59 b) Tỡm cỏc s x, y, z bit : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx v x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 Bi (3 im): Chng minh rng vi mi n N thỡ n5 v n luụn cú ch s tn cựng ging Bi (7 im): Cho tam giỏc ABC vuụng ti A Ly mt im M bt k trờn cnh AC T C v mt ng thng vuụng gúc vi tia BM, ng thng ny ct tia BM ti D, ct tia BA ti E ã ã a) Chng minh: EA.EB = ED.EC v EAD = ECB ã b) Cho BMC = 1200 v S AED = 36cm Tớnh SEBC? c) Chng minh rng im M di chuyn trờn cnh AC thỡ tng BM.BD + CM.CA cú giỏ tr khụng i d) K DH BC ( H BC ) Gi P, Q ln lt l trung im ca cỏc on thng BH, DH Chng minh CQ PD Bi (2 im): a) Chng minh bt ng thc sau: x y + (vi x v y cựng du) y x x y x2 y b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = + + ữ+ y x y x (vi x 0, y ) pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp trờng thcs xi măng năm học 2008-2009 môn toán 2008-2009 môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 số nguyên tố b) B= n + 3n +2 2n + 6n có giá trị số nguyên n +2 c) D=n5-n+2 số phơng (n 2) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh : a) a b c + + = biết abc=1 ab + a + bc + b + ac + c + b) Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 2 c) a + b + c c + b + a b c a b a c Câu 3: (5 điểm) giảI phơng trình sau: a) x 214 x 132 x 54 + + =6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dơng câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O giao điểm hai đờng chéo Qua O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E ,cát BC F p) chứng minh : diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC q) Chứng minh : 1 + = AB CD EF r) Gọi K điểm thuộc OE.Nêu cách dựng dờng thẳng đI qua K chia đôI diện tích tam giác DEF -hết 60 đề thi phát học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề) pgd thị xã gia nghỉa Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 tính giá trị biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh biểu rhứ sau luôn dơng (hoặc âm) với giá trị chử cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh tứ giác có tâm đối xứng tứ giác hình bình hành Bài 4: (2 đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: x + 8x Bài 5: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập phơng số tự nhiên khác.Tìm số Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, BAC = CAD Tính AD chu vi hình thang 20 cm góc D 600 Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: k) a3m+2a2m+am l) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số d phép chia biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 2x 2x : x x + x x x +1 C= p) Tìm điều kiện x để biểu thức C đợc Xác định q) Rút gọn C r) Với giá trị x biểu thức C đợc xác định Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông A (AC>AB) , đờng cao AH Trên tia HC lấy HD =HA, đờng vuông góc với BC D cắt AC E k) chứng minh AE=AB l) Gọi M trung điểm BE Tính góc AHM hết - UBND THàNH PHố Huế PHòNG Giáo dục đào tạo kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố lớp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án thang điểm: Bài Câu 1.1 1.2 Nội dung Điểm 2,0 (0,75 điểm) 0.5 x + x + = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) ( x + ) 0,5 (1,25 điểm) x + 2008 x + 2007 x + 2008 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) x + 2007 ( x + x + 1) 2 2 = ( x + x + 1) ( x x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x x + 2008 ) 2 2.1 2 2 0,25 0,25 2,0 x x + + x = (1) + Nếu x : (1) ( x 1) = x = (thỏa mãn điều kiện x ) 2.2 0,25 + Nếu x < : (1) x x + = x x ( x 1) = ( x 1) ( x ) = x = 1; x = (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có nghiệm x = 2 0,5 0,5 1 x + ữ + x + ữ x + ữ x + ữ = ( x + ) (2) x x x x Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x 2 1 (2) x + ữ + x + ữ x + ữ x + ữ = ( x + ) x x x x 0,25 1 2 x + ữ x + ữ = ( x + ) ( x + ) = 16 x x x = hay x = x Vậy phơng trình cho có nghiệm x = Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH ***** 0,5 0,25 đáp án hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn: Toán Bi 1: (4 im) p) iu kin: x y; y (1 im) q) A = 2x(x+y) (2 im) r) Cn ch giỏ tr ln nht ca A, t ú tỡm c tt c cỏc giỏ tr nguyờn dng ca A + T (gt): 3x2 + y2 + 2x 2y = 2x2 + 2xy + x2 2xy + y2 + 2(x y) = 2x(x + y) + (x y)2 + 2(x y) + = A + (x y + 1)2 = A = (x y + 1)2 (do (x y + 1) (vi mi x ; y) A (0,5) 61 62 x y + = x = + A = 2x ( x + y ) = y = x y;y 2 (x y + 1) = + A = 2x ( x + y ) = T ú, ch cn ch c mt cp giỏ tr ca x v y, chng x y;y x = hn: y = + + Vy A ch cú th cú giỏ tr nguyờn dng l: A = 1; A = Bi 2: (4 im) x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + a) 115 104 93 82 x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 ( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + =0 115 104 93 82 (0,5 im) (1 im) (0,5 im) x + 126 = x = 126 2 (0,5 im) b) x + y + z = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 2xy 2yz 2zx = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = (0,75 im) x y = y z = z x = x=y=z x2009 = y2009 = z2009 Thay vo iu kin (2) ta cú 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z =3 Vy x = y = z = Bi (3 im) (0,75 im) (0,5 im) 63 Cn chng minh: n n M10 - Chng minh : n5 - n M2 n5 n = n(n2 1)(n2 + 1) = n(n 1)(n + 1)(n2 + 1) M2 (vỡ n(n 1) l tớch ca hai s nguyờn liờn tip) (1 im) - Chng minh: n n M5 n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 + 5) = n( n ) (n + 1)(n 2) ( n + ) + 5n( n 1)( n + ) lý lun dn n tng trờn chia ht cho (1,25 im) 5 - Vỡ ( ; ) = nờn n n M2.5 tc l n n M10 Suy n5 v n cú ch s tn cng ging (0,75 im) Bài 4: điểm E D A M Q B P I C H Câu a: điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh EBD đồng dạng với (1 điểm) ECA (gg) EB ED = EA.EB = ED.EC EC EA ã ã * Chứng minh EAD (1 điểm) = ECB - Từ suy - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) ã ã - Suy EAD = ECB 0,5 điểm 0,5 điểm 0,75 điểm 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm ã - Từ BMC = 120o ãAMB = 60o ãABM = 30o - Xét EDB vuông D có B = 30o ED = ED EB = EB 2 0,5 điểm 0,5 điểm S ED từ - Lý luận cho EAD = ữ S ECB EB SECB = 144 cm2 0,5 điểm Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) - Chứng minh CM.CA = CI.BC - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 64 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu d: điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm 0,5 điểm BH BD BP BD BP BD = = = DH DC DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) ã ã BDP = DCQ CQ PD o ã ã ma`BDP + PDC = 90 điểm Bi 5: (2 im) k) vỡ x, y cựng du nờn xy > 0, ú x y + y x (*) x + y 2xy (x y)2 (**) Bt ng thc (**) luụn ỳng, suy bt (*) ỳng (pcm) (0,75) x y + =t y x x2 y2 + = t2 (0,25) y x Biu thc ó cho tr thnh P = t2 3t + P = t2 2t t + + = t(t 2) (t 2) + = (t 2)(t 1) + (0,25) - Nu x; y cựng du, theo c/m cõu a) suy t t ; t > ( t ) ( t 1) P ng thc xy v ch t = x = y (1) (0,25) l) t - Nu x; y trỏi du thỡ x y < v < y x ( t ) ( t 1) > P > t < t < v t < (2) (0,25) - T (1) v (2) suy ra: Vi mi x ; y thỡ luụn cú P ng thc xy v ch x = y Vy giỏ tr nh nht ca biu thc P l Pm=1 x=y [...]... phơng trình có nghiệm: x 0 2 2 1 1 2 2 1 2 1 (2) 8 x + ữ + 4 x + 2 ữ x + 2 ữ x + ữ = ( x + 4 ) x x x x 0,25 2 1 1 2 2 8 x + ữ 8 x 2 + 2 ữ = ( x + 4 ) ( x + 4 ) = 16 x x x = 0 hay x = 8 và x 0 Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x = 8 0,5 0,25 19 Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH ***** đáp án và hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 20 08 - 2009 môn: Toán 8 Bi 1: (4... phơng trình có nghiệm: x 0 2 2 1 1 2 2 1 2 1 (2) 8 x + ữ + 4 x + 2 ữ x + 2 ữ x + ữ = ( x + 4 ) x x x x 0,25 2 1 1 2 2 8 x + ữ 8 x 2 + 2 ữ = ( x + 4 ) ( x + 4 ) = 16 x x x = 0 hay x = 8 và x 0 Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x = 8 Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH ***** 0,5 0,25 đáp án và hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 20 08 - 2009 môn: Toán 8 Bi 1: (4... giỏi tHàNH PHố lớp 8 thCS - năm học 2007 - 20 08 Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 phút Đề chính thức Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 7 x 2 + 7 x + 6 8 x 4 + 20 08 x 2 + 2007 x + 20 08 Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình: 8 x 2 3 x + 2 + x 1 = 0 2 2 2 1 2 9 8 x + 1 ữ + 4 x 2 + 12 ữ 4 x 2 + 12 ữ x + ữ = ( x + 4) x x x x Bài 3: (2điểm) 35 8 Căn bậc hai của 64 có thể viết dới... tr nh nht ca biu thc P = 2 + 2 3 + ữ+ 5 y x y x (vi x 0, y 0 ) pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8 trờng thcs xi măng năm học 20 08- 2009 môn toán 20 08- 2009 môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) 17 Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố 4 3 2 b) B= n + 3n +2 2n + 6n 2 có giá trị là một số nguyên n +2 c) D=n -n+2 là số chính phơng (n 2) Câu 2: (5 điểm)... ca biu thc P = x y x2 y 2 + 2 3 + ữ+ 5 2 y x y x (vi x 0, y 0 ) pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8 trờng thcs xi măng năm học 20 08- 2009 môn toán 20 08- 2009 môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố 4 3 2 b) B= n + 3n +2 2n + 6n 2 có giá trị là một số nguyên n +2 c) D=n5-n+2 là số chính phơng (n 2) Câu 2: (5 điểm)... đồng dạng Tính số đo của góc AHM 9 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD = BC AH + HC Hết Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH ***** đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 20 08 - 2009 môn: Toán 8 (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 1 trang 27 Bi 1 (4 im): Cho biu thc 4xy 2 y x2 A= 1 1 : 2 + 2 2 2 y x y + 2 xy + x a) Tỡm iu kin ca x, y giỏ... tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM 6 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD = BC AH + HC Hết đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 20 08 - 2009 môn: Toán 8 Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH ***** (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) đề chính thức Đề thi này gồm 1 trang Bi 1 (4 im): Cho biu thc A= 4xy y x2 2 1 1 : 2 + 2 2 2 y + 2 xy + x y x a) Tỡm iu... tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM 12 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD = BC AH + HC Hết đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 20 08 - 2009 môn: Toán 8 Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH ***** (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) đề chính thức Đề thi này gồm 1 trang Bi 1 (4 im): Cho biu thc A= 4xy y x2 2 1 1 : 2 + 2 2 2 y + 2 xy + x y x a) Tỡm iu... - 29 UBND THàNH PHố Huế PHòNG Giáo dục và đào tạo Bài 1 Câu 1 1.1 1.2 kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố lớp 8 thCS - năm học 2007 - 20 08 Môn : Toán Đáp án và thang điểm: Nội dung (0,75 điểm) 0.5 x 2 + 7 x + 6 = x 2 + x + 6 x + 6 = x ( x + 1) + 6 ( x + 1) = ( x + 1) ( x + 6 ) 0,5 (1,25 điểm) x 4 + 20 08 x 2 + 2007 x + 20 08 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1 = x + x + 1 + 2007 ( x + x + 1)... - UBND THàNH PHố Huế PHòNG Giáo dục và đào tạo Bài 1 Câu 1 1.1 1.2 kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố lớp 8 thCS - năm học 2007 - 20 08 Môn : Toán Đáp án và thang điểm: Nội dung (0,75 điểm) 0.5 x 2 + 7 x + 6 = x 2 + x + 6 x + 6 = x ( x + 1) + 6 ( x + 1) = ( x + 1) ( x + 6 ) 0,5 (1,25 điểm) x 4 + 20 08 x 2 + 2007 x + 20 08 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1 = x + x + 1 + 2007 ( x + x + 1) ... tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp trờng thcs xi măng năm học 20 08- 2009 môn toán 20 08- 2009 môn toán (150... liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: 37 pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp trờng thcs xi măng năm học 20 08- 2009 môn toán 20 08- 2009 môn toán (150... tạo TRựC NINH ***** đề thức đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 20 08 - 2009 môn: Toán (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang 48 Bi (4 im): Cho biu