BỘ ĐỀ THI HSG TOÁN ĐỀ SỐ Câu Tính giá trị biểu thức sau: 2010 a) A = (-1).(-1) (-1) (-1) … (-1) b) B = 70.( c) C = 131313 565656 2a 3b + 3b 4c + 2011 (-1) + 131313 + 131313 ) 727272 909090 4c 5d 3b 2a + = biết 5d 2a 3b 4c = 4c 5d = 5d 2a Câu Tìm x số tự nhiên, biết: a) x = x 2 11 b) x : ( - ) = 2 8 1,6 11 0,4 Câu a) Tìm tất cặp số tự nhiên (x,y) cho 34x5y chia hết cho 36 b) Không quy đồng mẫu số so sánh A 10 2010 19 10 2011 ; B 19 10 2011 10 2010 n n Câu Cho A = a) Tìm n nguyên để A phân số b) Tìm n nguyên để A số nguyên Câu Cho tam giác ABC có ABC = 55 , cạnh AC lấy điểm D (D không trùng với A C) a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b) Tính số đo DBC, biết ABD = 30 c) Từ B dựng tia Bx cho DBx = 90 Tính số đo ABx d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A B) Chứng minh đoạn thẳng BD CE cắt ………….Hết………… ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM CÂU NỘI DUNG Câu a) A = -1.1.(-1).1…(-1).1(-1) = -1 13 1 13 13 (4,5 + ) = 70.13.( + + ) b) B = 70.( + 56 72 90 7.8 8.9 9.10 đ) = 70.13.( c) Đặt Ta 2a = 3b = 10 ĐIỂM 1,5 1,0 ) = 39 4c = 5d 0,5 =k 3b 4c 5d 2a 2a 3b 4c 5d có = k4 => k4 = 3b 4c 5d 2a 5d 2a 3b 4c C= + + + = 3b 4c 5d 2a 0,5 k= 0,5 0,5 x Câu 2  (x + 1) = 16 = ( 4) a) = x (3,5đ) +) x + = => x = +) x + = - => x = -5 (loại) Vậy x = 2 0,4 0,4 11  x 11  x :( 19 ) = b) x : ( - ) = 2 8 2 2 1,6 0,4 11 11 => x = Câu a) Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1 (3,0 đ) Vậy để 34x5y chia hết cho 36 34x5y chia hết cho 34x5y chia hết cho + + x + + y  => 12 + x + y  (1) 34x5y chia hết cho 5y => y = y = Với y = thay vào (1) => 14 + x  => x = Với y = thay vào (1) => 18 + x  => x = x = Vậy cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) (9,6) 10 2011 2011 10 10 10 10 10 19 10 B 2011 2010 2011 2010 2010 10 10 10 10 110 10 10 Ta thấy 2011 => Vậy A > B 10 102010 b) Ta có A Câu (3,0 2010 19 0,75 0,5 0,5 0,25 1,0 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2011 2010 đ) 0,5 0,5 0,5 a)A = n 1,0 phân số n + => n - n CÂU NỘI DUNG b) A = n n = n n ĐIỂM n 0,5 Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên   n + hay n + Ư(5) Lập luận tìm n = -9, -5, -3, 0,5 1,0 A Câu (6,0 đ) E D B C a) D nằm A C => AC = AD + CD = + = cm b) Tia BD nằm hai tia BA BC nên ABC = ABD + DBC 0 => DBC = ABC –ABD = 55 – 30 = 25 c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bx BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB Tính ABx = 90 – ABD 0 Mặt khác tia BD nằm hai tia BA BC nên tia BA thuộc nửa MP chứa điểm A E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa MP bờ BD chứa điểm A => E C nửa MP bờ BD => đường thẳng BD cắt đoạn EC - Xét đường thẳng CE Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy đoạn thẳng EC BD cắt 1,5 1,0 0,5 0,75 0,75 0,75 0,5 0,25 ĐỀ S Ố Bài 1: ( 2.0 điểm ) a) Rỳt gn phõn số: ( 2) 33.53.7.8 3.5 42 b) So sánh không qua quy đồng: A 10 2005 10 15 ; B 2006 15 10 2005 10 2006 Bài 2: ( 2.0 điểm ) Khụng quy đồng tính hợp lý tổng sau: a) A 20 1 1 30 42 56 72 1.11 11.2 2.15 90 13 15.4 b) B 2.1 Bài 3: ( 2.0 điểm ) Một người bán năm giỏ xoài cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg Sau bán giỏ cam số lượng xồi cịn lại gấp ba lần số lượng cam lại Hãy cho biết giỏ đựng cam, giỏ đựng xoài? Bài 4: ( 3.0 điểm ) Cho gúc AOB v góc BOC hai góc kề bù Biết góc BOC năm lần góc AOB a) Tính số đo góc b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD c) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với tia OA;OB;OC;OD cho) có tất bao nhiờu gúc? Bài 5: ( 1.0 điểm ) Cho p p + số nguyên tố( p > 3) Chøng minh r»ng p + lµ hợp số A Đáp án biểu điểm Bài 1: ( 2.0 điểm ) Thang điểm 0.5 0.5 Đáp án a) b)A 15 7 0.5 2006 10 2005 10 10 2005 10 2006 10 2006 B 7 15 10 2005 10 2006 10 2005 10 2005 10 2006 8 A B 10 2006 10 2005 Bài 2: ( 2.0 điểm ) 1 1 ( 20 30 42 90 4.5 5.6 1 1 1 ) ( 5 6 10 a) A b) B 0.5 13 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 1 1 1 ( 11 11 14 14 7.( 2.7 15 15 1 6.7 9.10 ) ( ) 10 20 7.11 ) 28 11.14 14.15 ( 1 ) 28 0.5 0.5 13 ) 15.28 13 31 0.5 0.5 Bài 3: ( 2.0 điểm ) Tng s xoi v cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) Vì số xồi cịn lại gấp ba lần số cam cịn lại nên tổng số xồi cam cịn lại số chia hết cho 4, mà 359 chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho dư Trong số 65; 71; 58; 72; 93 có 71 chia cho dư Vậy giỏ cam bán giỏ 71 kg Số xồi cam cịn lại : 359 - 71= 288 (kg) Số cam lại : 288:4 = 72(kg) Vậy: giỏ cam giỏ đựng 71 kg ; 72 kg giỏ xoài giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg Bµi 4: ( 3.0 ®iĨm ) Vẽ hình B A D O C 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 a)Vì góc AOB góc BOC hai góc kề bù nên: AOB + BOC =180 mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 180 0 0 Do đó: AOB = 180 : = 30 ; BOC = 30 = 150 0.5 0.5 b)Vì OD tia phân giác góc BOC nên BOD = DOC = BOC = 75 Vì góc AOD góc DOC hai góc kề bù nên: AOD + DOC =180 0 0 Do AOD =180 - DOC = 180 - 75 = 105 c) Tất có 2010 tia phân biệt Cứ tia 2010 tia tạo với 2009 tia cịn lại thành 2009 góc Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009góc, 2010.2009 góc tính hai lần Vậy có tất =2 019 045 góc 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 5: ( 1.0 điểm ) P cã d¹ng 3k + 1; 3k + k N Dạng p = 3k + p + hợp số trái với đề p = 3k + p + = 3k + p + hợp số 0.5 0.5 ĐỀ SỐ Bài : (5 điểm) Thực phép tính sau cách hợp lý : a) 10 112 122 : 132 142 b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.82 16 c) 3.4.2 13 11 11.2 169 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - Bài : (4 điểm) Tìm x, biết: a) 19x 2.52 :14 13 42 b) x x x x 30 1240 c) 11 - (-53 + x) = 97 d) -(x + 84) + 213 = -16 Bài : (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 a+15=b Bài : (3 điểm) a) Tìm số nguyên x y, biết : xy - x + 2y = 101102 b) So sánh M N biết : M 101103 101103 N 101104 Bài : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ OA < OB b) Trong ba điểm O, M, N điểm nằm hai điểm lại ? c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) B - PHẦN ĐÁP ÁN : Bài : (5 điểm) Thực phép tính sau cách hợp lý : Đáp án 2 2 a) 10 11 12 : 13 14 100 121 144 : 169 196 365 : 365 b) 1.2.3 1.2.3 1.2.3 7.8 1.2.3 7.8 c) 3.4.2 13 11.2 16 11 16 2 16 13 11.2 2 11 1.2.3 7.8 0 3.2 Điểm 2 18 11.213.222 236 36 36 36 3 3 2 22 36 35 36 35 11.2 2 11.2 2 11 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374 = (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = 65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - = = 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - - + 5) - (4 - - + 1) = 13 Bài : (4 điểm) Tìm x : Câu Đáp án Điểm 2 a 19x 2.5 :14 13 13 b x 14 13 x x x x 2 x x x 2.5 :19 x 30 30 1240 1240 31 So hang 30 30 1240 31x 1240 31.15 775 x 25 31 11 - (-53 + x) = 97 x 11 97 ( 53) 33 -(x + 84) + 213 = -16 (x 84) 16 213 (x 84) 229 31x c d x 84 229 x 229 84 145 1 Bài : (3 điểm) Đáp án Từ liệu đề cho, ta có : + Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 15m; b = 15n (1) ƯCLN(m, n) = (2) + Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy : BCNN 15m; 15n 300 15.20 Điểm BCNN m; n 20 (3) + Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy : 15m 15 15n 15 m 15n m n (4) Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có trường hợp : m = 4, n = thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = 5, ta số phải tìm : a = 15 = 60; b = 15 = 75 Bài : (2 điểm) Câu Đáp án Điểm Chứng minh đẳng thức: - (-a + b + c) + (b + c - 1) = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c Biến đổi vế trái đẳng thức, ta : VT = -(-a + b + c) + (b + c - 1) = -(-a) - (b + c) + (b + c) + (-1) = a - a Biến đổi vế phải đẳng thức, ta : VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c = b + (-c) + - + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] =a-1 So sánh, ta thấy : VT = VP = a - Vậy đẳng thức chứng minh Với a > b S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta có : S a b c c b a a b b S ( a b)+c ( c) (b a) (a b) S ( a b) a b S a b Tính S : theo ta suy : * Xét với a b dấu, ta có trường hợp sau xảy : + a b dương, hay a > b > 0, a + b > : S a b a b (a b) , nên suy + a b âm, hay > a > b, a + b < : S a b a b a b * Xét với a b khác dấu : b , ta cần xét trường Vì a > b, nên suy : a > b < hợp sau xảy : Do đó: x = 1000 + (1000 + 1) = 2001 (0,25đ) Câu (6 điểm): a) (2 điểm): Hai điểm M B thuộc hai tia đối CM CB nên điểm C nằm hai điểm B M (1đ) Do đó: BM= BC + CM = + = (cm) (1đ) b) (2 điểm): Do C nằm hai điểm B M nên tia AC nằm hai tia AB AM (1đ) Do CAM BAM BAC= 800 - 600 = 200 (1đ) B K2 C c) (2 điểm): + Nếu K thuộc tia CM C nằm B K (ứng với điểm K1 hình vẽ) (0,5đ) Khi BK = BC + CK = + = (cm) (0,5đ) + Nếu K thuộc tia CB K nằm B C (ứng với điểm K2 hình vẽ) (0,5đ) Khi BK = BC - CK = - = (cm) (0,5đ) K1 M ĐỀ SỐ Câ u 1(3, điểm ) : Tính giá trị biểu thức sau: a 24.5 [131 (13 4)2 ] b 28.43 28.5 5.56 5.24 Câu 2(4, điểm ): a 3 x 28.21 5.63 Tìm số nguyên x biết 24 35 b (7 x 11)3 ( 3)2 15 208 c x 20 5.( 3) Câ u 3(5, điểm ) : a, Một số tự nhiên chia cho dư 5,chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? b, Học sinh khối xếp hàng; xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 dư học sinh Nhưng xếp hàng 11 vùa đủ Biết số học sinh khối chưa đến 400 học sinh.Tính số học sinh khối 6? Câ u 4(6, điểm ) : Cho góc bẹt xOy Trên nửa mặt phẳng có bờ xy,vẽ tia Oz Ot cho xOz 700 ; yOt 550 a Chứng tỏ tia Oz nằm hai tia Ox Ot ? b Chứng tỏ tia Ot tia phân giác góc yOz? c.Vẽ tia phân giác On góc xOz Tính góc nOt? Câ u 5(2, điểm ) : Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số - - ĐÁP ÁN Câu Câu 1(4điểm) a (1,5) b (1,5) câu (4điểm) a (1,0) b (1,5) Nội dung Thang điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 16.5 (131 ) 80 50 30 28 43 ( ) 5 56 24 3 28 29 35 56 ( ) 5 168 168 168 28 08 5 168 18 5 0.5 0,25 0.25 0.5 0.5 0.5 (7 x 11)3 ( 3) 15 208 (7 11)3 9.15 208 x (7 11)3 x x 11 0.5 18 x 0.5 (không thỏa mãn) c (1,5) 2x 20 5.( 3) 2x [2x 2x [2x 12 2x 0.5 0.5 0.5 [x x Vậy x 1; Câu3(4,0 Gọi số a ) Vì a chia cho dư 5, chia cho 13 dư a  7; a  13 mà (7,13)=1 nên a (2,0) a 97.13 a+9=91k a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (k N) Vậy a chia cho 91 dư 82 b (2,0) Gọi số Hs khối a (3