ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH QUANG NGỌC MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN PHÂN TUYẾN TÍNH THEO PHƯƠNG PHÁP NHÁNH CẬN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH QUANG NGỌC MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN PHÂN TUYẾN TÍNH THEO PHƯƠNG PHÁP NHÁNH CẬN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ANH TUẤN Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan iii Mở đầu 1 Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính thuật toán giải 1.1 1.2 Một số toán thực tế đưa toán quy hoạch phân tuyến tính quy hoạch nguyên phân tuyến tính 1.1.1 Bài toán vận tải phân tuyến tính 1.1.2 Bài toán cực tiểu giá thành sản phẩm 1.1.3 Bài toán cực đại hiệu suất tiêu diệt mục tiêu địch Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính vài tính chất 1.2.1 1.2.2 Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính Một vài tính chất toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính 1.3 Thuật toán nón xoay xấp xỉ giải toán quy hoạch phân tuyến tính 10 1.3.1 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính 11 1.3.2 Khái niệm cạnh phương cạnh nón đơn hình 11 1.3.3 Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh từ nón M 18 1.3.4 Dấu hiệu tối ưu (Điều kiện tối ưu): 22 ii 1.3.5 Thuật toán nón xoay xấp xỉ giải toán quy hoạch phân tuyến tính 23 1.4 Bảng lặp giải toán quy hoạch phân tuyến tính thuật toán PTT 25 1.5 Thuật toán nón xoay tìm nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính 30 1.5.1 Thuật toán nón xoay tìm nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính với sở xuất phát từ gốc toạ độ đỉnh nón Rn+ 31 1.5.2 Bảng lặp tìm nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính với sở xuất phát từ gốc toạ độ đỉnh nón Rn+ 32 Thuật toán nhánh cận xấp xỉ giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính ứng dụng 2.1 34 Bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính thuật toán Land-Doig 34 2.1.1 Bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính 35 2.1.2 Thuật toán Land-Doig giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính 36 2.2 Thuật toán nhánh cận xấp xỉ giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính 40 2.3 Minh họa ứng dụng thuật toán nhánh cận xấp xỉ ILF giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính có số chiều nhỏ với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính 42 Kết luận Đề nghị 57 Tài liệu tham khảo 58 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 20 tháng 04 năm 2015 Học viên Đinh Quang Ngọc Mở đầu Nhiều toán thực tế kinh tế toán học, thường gặp lý thuyết trò chơi, công nghiệp hóa chất, cắt nguyên vật liệu, mạng vận tải định giá thành sản phẩm, dẫn đến phải giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính Một phương pháp hiệu thường sử dụng để giải toán phương pháp nhánh cận Land-Doig Để giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính thông thường phải tiến hành giải toán quy hoạch phân tuyến tính tương ứng chưa có điều kiện nguyên biến với ràng buộc bổ sung dạng bất phương trình cho thành phần biến Rõ ràng sử dụng phương pháp nhánh cận để tìm cận tốt (đối với toán min) cho toán quy hoạch nguyên ta thường phải giải toán tương ứng chưa có điều kiện nguyên với miền ràng buộc bổ sung thêm sau bước ràng buộc dạng bất phương trình thành phần chưa nguyên biến Các thuật toán giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ phương trình tuyến tính với biến không âm có nhiều thuật toán giải tương tự thuật toán đơn hình quy hoạch tuyến tính (xem [2], [8]) Tuy nhiên thực tế toán thường có miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính Do việc sử dụng thuật toán giải trực tiếp toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính ưu việt hiệu (vì thêm vào biến bù) ta phải giải chúng phương pháp mà miền ràng buộc đòi hỏi dạng tắc (tức miền ràng buộc hệ phương trình tuyến tính ràng buộc chính) Chính vậy, luận văn trình bày việc xây dựng thuật toán xấp xỉ giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính khai thác đặc thù riêng hàm mục tiêu có tính đơn điệu chứng minh toán có lời giải có lời giải đạt biên miền chấp nhận, bước để tìm cận toán nguyên, phải giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng chưa có điều kiện nguyên có số chiều n − (n số chiều toán) Như thuật toán hiệu giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính dạng chuẩn có số chiều Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Đinh Quang Ngọc Học viên Cao học Toán K7A Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: ngocdq.c3nguyenhue@gmail.com Chương Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính thuật toán giải Như biết, nhiều toán thực tế kinh tế toán học, thường gặp lý thuyết trò chơi, công nghiệp hóa chất, cắt nguyên vật liệu, mạng vận tải định giá thành sản phẩm, có mô hình toán học dạng toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính Vì nội dung chương giới thiệu số mô hình thực tế có dạng toán sau trình bày thuật toán xấp xỉ giải toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính, làm sở để xây dựng thuật toán giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính trình bày chương 1.1 Một số toán thực tế đưa toán quy hoạch phân tuyến tính quy hoạch nguyên phân tuyến tính Sau trình bày số mô hình toán thực tế có dạng toán quy hoạch phân tuyến tính toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính 1.1.1 Bài toán vận tải phân tuyến tính Có m trạm phát (kho hàng gồm loại hàng như: ti vi, tủ lạnh, máy giặt, ) Ai (i = 1, 2, , m) Mỗi trạm Ai cung cấp tối đa đơn vị hàng Có n trạm thu (nơi có nhu cầu hàng) Bj (j = 1, 2, , n) Mỗi trạm thu Bj cần phải đáp ứng tối thiểu bj đơn vị hàng pij lợi nhuận (lãi suất) mà công ty vận tải thu vận chuyển đơn vị hàng từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj , dij chi phí vận chuyển đơn vị hàng từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj , Các lợi nhuận khác chi phí khác vận chuyển xác định số p0 d0 Gọi xij lượng hàng cần vận chuyển trạm phát Ai đến trạm thu Bi Ta có toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính sau gọi toán vận tải phân tuyến tính: Hàm mục tiêu: m P (x) Q (x) = = D(x) n pij xij + p0 i=1 j=1 m n (1.1) dij xij + d0 i=1 j=1 Chúng ta cần phải cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm mục tiêu với điều kiện ràng buộc sau: n xij (i = 1, 2, m) (1.2) xij bj (j = 1, 2, n) (1.3) j=1 m i=1 xij 1.1.2 0, nguyên, (i = 1, 2, , m) , (j = 1, 2, , n) (1.4) Bài toán cực tiểu giá thành sản phẩm Một loại sản phẩm sản xuất theo phương pháp Tj (j = 1, 2, , n) Gọi pj suất phương pháp Tj (tức số lượng sản phẩm sản xuất đơn vị thời gian), rj chi phí đơn vị thời gian phương pháp Tj , xj số đơn vị thời gian sản xuất theo phương pháp Tj Như giá thành sản phẩm n rj xj c(x) = j=1 n pj xj j=1 Bài toán đặt cần cực tiểu hàm c(x) với ràng buộc vật tư, vốn, lao động, kỹ thuật, 1.1.3 Bài toán cực đại hiệu suất tiêu diệt mục tiêu địch Một máy bay chiến đấu mang vũ khí với tải trọng M Trong kho vũ khí có n loại (bom, tên lửa, rốc két, ) Máy bay phải mang vũ khí đến đánh mục tiêu địch, trọng lượng đơn vị vũ khí loại j aj (j = 1, 2, , n) Xác suất tiêu diệt mục tiêu địch (trúng mục tiêu) đơn vị vũ khí loại j pj , số lượng vũ khí loại j có kho Nj Gọi xj số lượng vũ khí loại j mà máy bay cần mang Bài toán đặt máy bay cần mang loại vũ khí để hàm hiệu suất chiến đấu đạt cực đại: n pj xj P (x) = j=1 n xj j=1 Với ràng buộc n aj xj M j=1 xj Nj , nguyên, (j = 1, 2, , n) 44  6x1 + 8x2 +   − →   2x1 + 3x2 +       x1 + 2x2    P2 7x1 + 3x2 10        x2      x ,x 0, nguyên  6x1 + 8x2 +   − →   2x1 + 3x2 +       x1 + 2x2    P3 7x1 + 3x2 10        x2      x ,x 0, nguyên Để tính cận toán Pi (i = 2, 3) này, dựa định lý tính tái tối ưu hóa hàm phân tuyến tính trình bày mục 1.2.2 chương 1, giải toán quy hoạch phân tuyến tính tướng ứng với Pi (i = 2, 3) bỏ qua điều kiện nguyên, theo thuật toán xấp xỉ P T T giải toán quy hoạch phân tuyến tính tương ứng Pi0 (i = 2, 3) (bỏ qua điều kiện nguyên)   6x1 + 8x2 + 6x1 + 8x2 +     → → − −     2x + 3x + 2x + 3x +   2           x + 2x x1 + 2x2       P30 7x1 + 3x2 P20 7x1 + 3x2 10 10               x = x2 = 2           x,x x,x 0 2 Giải toán tương đương với việc giải toán quy hoạch phân tuyến tính biến tương ứng sau: 45  6x1 + 8.1 +  − →    2x + 3.1 +      x + 2.1 1 P2    7x1 + 3.1 10      x  6x1 + 8.2 +  − →    2x + 3.2 +      x + 2.2 1 P3    7x1 + 3.2 10      x Hay  6x1 + 11  → −    2x +     x 1 P2    x1      x  6x1 + 19   − →   2x +       x1 P3    x1        x1 Dễ dàng thấy lời giải P21 x1 = 1, suy toán quy hoạch phân tuyến tính tương ứng P2 có phương án tối ưu x1 = 1; x2 = với giá trị hàm mục 17 tiêu z = − lời giải P31 x1 = 0, suy toán quy hoạch phân tuyến tính tương ứng P3 có phương án tối ưu x1 = 0, x2 = với giá trị hàm mục tiêu 19 17 19 z = − Vì − < − nên ta nhận giá trị kỷ lục hàm mục tiêu 8 19 − Đến không toán phải xem xét nên phương án nguyên nhận phương án tối ưu cần tìm toán quy hoạch nguyên cho Quá trình giải toán nêu thể sơ đồ sau: 46 225 ; 92 18 x1 = ; x2 = 11 11 P1 : z = − P2 : z = − 17 ; P3 : z = − x1 = 1; x2 = 19 ; x1 = 0; x2 = (loại) Ví dụ 2.2 Giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính sau thuật toán nhánh cận xấp xỉ ILF:  x1 + x2  → −    x + 2x + 1       −4x1 + 2x2 −1    4x1 + 2x2 11       x       x,x 0, nguyên Kí hiệu P1 toán quy hoạch phân tuyến tính (bỏ qua điều kiện nguyên) tương ứng với toán quy hoạch nguyên cho P0 Giải P1 thuật toán xấp xỉ P T T , từ bảng mục1.4 sau hai bước lặp ta nhận phương án tối ưu: x1 = ; x2 = ứng với giá trị hàm mục tiêu z = − 2 Đó cận cho phương án nguyên toán quy hoạch nguyên xét Vì biến x1 có giá trị không nguyên nên ta chọn x1 để phân nhánh Ta thu toán quy hoạch phân tuyến tính Thêm vào P1 ràng buộc x1 ta thu toán P2 47 Thêm vào P1 ràng buộc x1 P2 ta thu toán P3  x1 + x2   − →   x + 2x +       −4x1 + 2x2 −1        4x1 + 2x2 11    x2         x1      x, 1 P3 x2 0, nguyên  x1 + x2   − →   x + 2x +       −4x1 + 2x2 −1        4x1 + 2x2 11    x2         x1      x ,x 0, nguyên Để tính cận toán Pi (i = 2, 3) này, dựa định lý tính tái tối ưu hóa hàm phân tuyến tính trình bày mục 1.2.2 chương 1, giải toán quy hoạch phân tuyến tính tướng ứng với Pi (i = 2, 3) bỏ qua điều kiện nguyên, theo thuật toán xấp xỉ P T T giải toán quy hoạch phân tuyến tính tương ứng Pi0 (i = 2, 3) (bỏ qua điều kiện nguyên)  x1 + x2   → −   x + 2x +       −4x1 + 2x2 −1        4x1 + 2x2 11 P2    x2         x1 =      x,x  x1 + x2   → −   x + 2x +       −4x1 + 2x2 −1        4x1 + 2x2 11 P3    x2         x1 =      x,x Giải toán tương đương với việc giải toán quy hoạch phân tuyến tính biến tương ứng sau: 48  + x2  − →    + 2x +       −4.2 + 2x2 −1    P21 4.2 + 2x2 11       x2       x  + x2  − →    + 2x +       −4.3 + 2x2 −1    P31 4.3 + 2x2 11       x2       x Hay  + x2   → −   2x +       x2     P21 x2        x       x  + x2   → −   2x +     11   x2     P31 x2 −        x2       x Dễ dàng thấy lời giải P21 x2 = , suy toán quy hoạch phân tuyến tính tương ứng P2 có phương án tối ưu x1 = 2; x2 = với giá trị hàm mục tiêu z = − toán P31 phương án, suy toán P3 phương án (bài toán P3 bị loại không xét tiếp nữa) Bài toán P2 có biến x2 có giá trị không nguyên nên ta chọn x2 để phân nhánh Ta thu toán quy hoạch phân tuyến tính Thêm vào P2 ràng buộc x2 ta thu toán P4 Thêm vào P2 ràng buộc x2 ta thu toán P5 49  x1 + x2   − →    x1 + 2x2 +       −4x1 + 2x2 −1        4x1 + 2x2 11    P4 x        x1        x2        x1 , x2 0, nguyên  x1 + x2   − →    x1 + 2x2 +       −4x1 + 2x2 −1        4x1 + 2x2 11    P x2        x1        x2        x1 , x2 0, nguyên Để tính cận toán Pi (i = 4, 5) này, dựa định lý tính tái tối ưu hóa hàm phân tuyến tính trình bày mục 1.2.2 chương 1, giải toán quy hoạch phân tuyến tính tướng ứng với Pi (i = 4, 5) bỏ qua điều kiện nguyên, theo thuật toán xấp xỉ P T T giải toán quy hoạch phân tuyến tính tương ứng Pi0 (i = 4, 5) (bỏ qua điều kiện nguyên)  x1 + x2   → −    x + 2x + 1       −4x1 + 2x2 −1        4x1 + 2x2 11    P40 x2        x1        x2 =        x1 , x2  x1 + x2   → −    x + 2x + 1       −4x1 + 2x2 −1        4x1 + 2x2 11    P50 x2        x1        x2 =        x1 , x2 Giải toán tương đương với việc giải toán quy hoạch phân tuyến tính biến tương ứng sau: 50  x1 +   − →   x1 + 2.0 +       −4x1 + 2.0 −1        4x1 + 2.0 11 P4            x1      x 1 2  x1 +   − →   x1 + 2.1 +       −4x1 + 2.1 −1        4x1 + 2.1 11 P5            x1      x 1 2 Hay   x x1 +     → − → −       x + x + 1             x x1     4          x1  x1 11 4 P51 P41   1           2           x1 x1              x1  x1 Dễ thấy toán P41 phương án suy toán P4 phương án (bài toán P4 bị loại không xét tiếp nữa) dễ thấy lời giải toán P51 x1 = 2, suy lời giải toán quy hoạch phân tương ứng P5 x1 = 2; x2 = với giá trị hàm mục tiêu z = − Đến không toán phải xem xét nên phương án nguyên nhận phương án tối ưu cần tìm toán quy hoạch nguyên cho Quá trình giải toán nêu thể vẽ hình đây: 51 P1 : z = − ; x1 = ; x2 = 2 P2 : z = − ; x1 = 1; x2 = P3 phương án (loại) P4 P5 : z = − ; phương án (loại) x1 = 2; x2 = Ví dụ 2.3 ([8]): Giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính P0 sau thuật toán nhánh cận xấp xỉ ILF :  3x1 + 2x2 + 2x3 +  → max    3x + 3x + 2x + 16      6x + 3x + 5x 32    7x1 + 4x2 + 2x3 27      x ,x ,x 0, nguyên  3x1 + 2x2 + 2x3 +  → −    3x + 3x + 2x + 16      6x + 3x + 5x 32 ⇔    7x1 + 4x2 + 2x3 27      x ,x ,x 0, nguyên Kí hiệu P1 toán quy hoạch phân tuyến tính (bỏ qua điều kiện nguyên) tương ứng với toán quy hoạch nguyên cho P0 Giải P1 thuật toán xấp xỉ P T T , từ bảng mục1.4 sau hai bước lặp ta nhận phương án tối 62 452 71 ưu: x1 = ; x2 = 0; x3 = ứng với giá trị hàm mục tiêu z = − 23 23 705 Đó cận cho phương án nguyên toán quy hoạch nguyên xét Vì biến x3 có giá trị không nguyên nên ta chọn x3 để phân nhánh Ta thu toán quy hoạch phân tuyến tính 52 Thêm vào P1 ràng buộc x3 ta thu toán P2 Thêm vào P1 ràng buộc x3 ta thu toán P3  3x1 + 2x2 + 2x3 +   − →   3x + 3x + 2x + 16       6x1 + 3x2 + 5x3 32    P2 7x1 + 4x2 + 2x3 27 ;        x3      x ,x ,x 0, nguyên  3x1 + 2x2 + 2x3 +   − →   3x + 3x + 2x + 16       6x1 + 3x2 + 5x3 32    P3 7x1 + 4x2 + 2x3 27        x3      x ,x ,x 0, nguyên Để tính cận toán Pi (i = 2, 3) này, dựa định lý tính tái tối ưu hóa hàm phân tuyến tính trình bày mục 1.2.2 chương 1, giải toán quy hoạch phân tuyến tính tướng ứng với Pi (i = 2, 3) bỏ qua điều kiện nguyên, theo thuật toán xấp xỉ P T T giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng Pi0 (i = 2, 3) (bỏ qua điều kiện nguyên)  3x1 + 2x2 + 2x3 +   → −   3x + 3x + 2x + 16       6x1 + 3x2 + 5x3 32    P20 7x1 + 4x2 + 2x3 27 ;        x3 =      x ,x ,x  3x1 + 2x2 + 2x3 +   → −   3x + 3x + 2x + 16       6x1 + 3x2 + 5x3 32    P30 7x1 + 4x2 + 2x3 27        x3 =      x ,x ,x Giải toán tương đương với việc giải toán quy hoạch phân tuyến tính hai biến tương ứng sau: 53  3x1 + 2x2 + 2.2 +  − →    3x + 3x + 2.2 + 16      6x + 3x + 5.2 32 P2 ;    7x1 + 4x2 + 2.2 27      x ,x  3x1 + 2x2 + 2.3 +  − →    3x + 3x + 2.3 + 16      6x + 3x + 5.3 32 P3    7x1 + 4x2 + 2.3 27      x ,x Hay  3x1 + 2x2 +  → −    3x + 3x + 20      6x + 3x 22 P2 ;    7x1 + 4x2 23      x ,x  3x1 + 2x2 + 11  → −    3x + 3x + 22      6x + 3x 17 P3    7x1 + 4x2 21      x ,x Giải P21 thuật toán xấp xỉ P T T , từ bảng mục 1.4 sau bước 23 lặp ta nhận phương án tối ưu: x1 = ; x2 = ứng với giá trị hàm mục tiêu 132 z=− Suy phương án tối ưu toán quy hoạch phân tuyến tính tương 209 23 132 ứng P2 x1 = ; x2 = 0; x3 = với giá trị hàm mục tiêu z = − 209 Giải P31 thuật toán xấp xỉ P T T , từ bảng mục1.4 sau bước 17 lặp ta nhận phương án tối ưu: x1 = ; x2 = ứng với giá trị hàm mục tiêu 117 Suy phương án tối ưu toán quy hoạch phân tuyến tính tương z=− 183 17 117 ứng P3 x1 = ; x2 = 0; x3 = với giá trị hàm mục tiêu z = − 183 117 132 Ta thấy cận toán P3 nhỏ cận toán P2 − [...]...6 1.2 Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính và một vài tính chất của nó Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính và một và tính chất cần thiết cho việc xây dựng thuật toán giải bài toán này khi nó có điều kiện nguyên, những tính chất đề cập ở đây là tính đơn điệu... của bài toán là hàm đơn điệu trên mọi đoạn thẳng nằm trong P Do vậy ta có thể xây dựng được theo kỹ thuật đơn hình thuật toán giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính với ràng buộc tuyến tính, trước khi xây dựng thuật toán giải bài toán LF P trên, chúng ta trình bày một vài tính chất riêng của bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính 1.2.2 Một vài tính. .. vào theo quy tắc chọn min hoặc max 1.4 Bảng lặp giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính bởi thuật toán PTT Để thuận tiện cho tính toán, tại mỗi bước lặp k = 0, 1, 2, , ta lập bảng dưới đây để giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LF P ) gọi là bảng lặp nón xoay thu gọn và trong trường hợp đặc biệt khi hàm phân tuyến là hàm tuyến tính thì bảng lặp nón xoay sẽ cho ta giải trực tiếp bài toán quy hoạch. .. buộc bài toán Để giải bài toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính thì khi sử dụng thuật toán P T T để đi tìm cận dưới đúng cho các bài toán phân tuyến tính tương ứng, đòi hỏi chúng ta phải biết một điểm chấp nhận được của miền ràng buộc Do vậy trong phần này chúng tôi trình bày một thuật toán tìm một nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính với cơ sở xuất phát từ gốc toạ độ Nếu một hệ bất phương trình tuyến. .. mới này (gọi là bài toán tái tối ưu hóa) có phương án thì nó sẽ có lời giải thỏa mãn chặt ràng buộc mới thêm vào 1.3 Thuật toán nón xoay xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính Chúng ta đã biết đối với bài toán quy hoạch phân tuyến tính (Linear-fractional programming) dạng “chính tắc” với các ràng buộc chính là hệ phương trình 11 tuyến tính trong Rn , thì khi biết một phương án cực biên... của nó chúng ta có thể giải bài toán bằng thuật toán tương tự như thuật toán đơn hình (xem [2] , [8]) Sau đây chúng ta từ khái niệm nón xoay tuyến tính trình bày trong [5], xây dựng một thuật toán xấp xỉ trong giải trực tiếp bài toán quy hoạch phân tuyến tính dạng chuẩn với các ràng buộc chính là hệ bất phương trình tuyến tính trong Rn Rõ ràng việc giải trực tiếp bài toán quy hoạch với các ràng buộc... của bài toán trên là xopt = (0, 6) 2 30 Vậy xuất phát từ x0 (0, 0) Sau một bước lặp ta nhận được lời giải của bài toán Vậy phương án tối ưu của bài toán là xopt (0, 6) 1.5 Thuật toán nón xoay tìm một nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính Trong phần trên chúng ta đã trình bày thuật toán P T T giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính khi biết một. .. bài toán trên đoạn thẳng và tính đạt trên biên của ràng buộc bổ sung vào bài toán trong trường hợp tái tối ưu hóa, tính chất này rất quan trọng vì sự khẳng định này sẽ làm cho chúng ta khi đi tìm cận dưới đúng của các bài toán quy hoạch phân tuyến tính tương ứng (chưa có điều kiện nguyên) sẽ khá hiệu quả, cụ thể là chúng ta khi giải các bài toán này để tìm cận dưới đúng chỉ phải giải các bài toán quy. .. do x1 là phương án tối ưu của bài toán (T∗ ) nên suy ra x∗ = x(α1 ) cũng là phương án tối ưu của bài toán (T∗ ) thoả mãn (1.9) Định lý này cho ta kết luận rằng: Nếu biết lời giải của bải toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính, không còn là lời giải của bài toán mới khi thêm vào miền ràng buộc một ràng buộc là bất phương trình tuyến tính, và nếu bài toán mới... và d0 = 1 ) thì thuật toán giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính trên sẽ trở thành một thuật toán giải trực tiếp bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với điều kiện tối ưu suy ra từ mục 1.3.4 đơn giản và ngắn gọn là ∆ki =< A0 , zki > 0, ∀i ∈ Ik 3) Trong trường hợp bài toán P bị thoái hóa, tức là αrskk = 0 thì thuật toán vẫn thực hiện sau hữu hạn bước lặp bởi quy tắc chọn chỉ số đưa ra và đưa vào ... THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH QUANG NGỌC MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN PHÂN TUYẾN TÍNH THEO PHƯƠNG PHÁP NHÁNH CẬN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng. .. dẫn đến phải giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính Một phương pháp hiệu thường sử dụng để giải toán phương pháp nhánh cận Land-Doig Để giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính thông thường... thuật toán nhánh cận Land-Doig giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính Chúng ta thấy giải toán quy hoạch nguyên phân tuyến tính theo 40 thuật toán