SKKN: "Khai thác từ kết toán " MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU Mục Tên đề mục Trang Lý chọn đề tài Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG Mục Tên đề mục Cơ sở lý luận để thực đề tài Trang Thực trạng 3 Giải pháp, biện pháp, nội dung Kết 20 PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Mục Tên đề mục Kết luận Trang 22 Kiến nghị 22 Tài liệu tham khảo 26 PHẦN I: MỞ ĐẦU I.1./ Lý chọn đề tài: Hiện nay, nghiệp giáo dục đào tạo đổi mới, trước yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hoá đại hoá đất nước Hướng đổi Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " giáo dục đào tạo đào tạo người động, sáng tạo, chủ động học tập, dễ thích ứng với sống lao động Bên cạnh việc dạy cho học sinh (HS) nắm vững nội dung kiến thức, giáo viên (GV) phải dạy cho HS biết suy nghĩ, tư sáng tạo, biết tạo cho HS có nhu cầu nhận thức trình học tập Từ nhu cầu nhận thức hình thành động thúc đẩy trình học tập tự giác, tích cực tự lực học tập để chiếm lĩnh tri thức Những thành đạt tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ mà kiến thức trở thành “tài sản riêng” em HS nắm vững, nhớ lâu mà biết vận dụng tốt tri thức đạt để giải vấn đề nảy sinh học tập, thực tế sống lao động mai sau Đồng thời, HS có phương pháp học lớp học phương pháp tự học để đáp ứng đổi thường xuyên khoa học công nghệ ngày Trong trình dạy học Toán nói chung , người dạy người học cần phải tạo cho thói quen là: Sau tìm lời giải toán, dù đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ, lật lại vấn đề để tìm kết Tìm rồi, lại tiếp tục tìm tìm mối liên hệ vấn đề, tìm kết thú vị Đã giảng dạy toán dạy toán lớp 8, tích cực tự bồi dưỡng hướng dẫn em HS bồi dưỡng kiến thức nâng cao, quan tâm đến việc khai thác toán Với lí trên, xin trình bày đề tài “Khai thác từ kết toán ” hi vọng góp phần vào giải vấn đề I 2./ Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài: Củng cố phát triển cho học sinh lớp số kiến thức để giải toán khai thác chúng Cũng từ mà phát triển tư lôgic cho học sinh, phát triển lực giải toán cho em, giúp cho giải em hoàn thiện hơn, xác giúp em tự tin làm toán I 3/ Đối tượng nghiên cứu: HS lớp 8ª1; 8ª2 THCS Lê Đình Chinh Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " I.4/ Giới hạn phạm vi nghiên cứu: Các toán chương trình toán lớp I.5./ Các phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo… - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm lớp học sinh trước để rút kinh nghiệm cho lớp học sinh sau PHẦN II: NỘI DUNG II.1./ Cơ sở lý luận: Đặc điểm lứa tuổi HS THCS muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự khám phá, tìm hiểu trình nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy, cô giáo Hình thành phát triển tư tích cực, độc lập, sáng tạo cho HS trình lâu dài * Tư tích cực, độc lập sáng tạo HS thể số mặt sau: - Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tư tưởng rập khuôn, máy móc - Có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh - Có óc hoài nghi, đặt câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Liệu có cách khác không? Các trường hợp khác kết luận hay không? … - Tính độc lập thể chỗ biết nhìn nhận vấn đề giải vấn đề - Có khả khai thác vấn đề từ vấn đề quen biết * Khai thác, phát triển kết toán nói chung có nhiều hướng như: - Nhìn lại toàn bước giải Rút phương pháp giải loại toán Rút kinh nghiệm giải toán Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " - Tìm thêm cách giải khác - Khai thác thêm kết có toán, đề xuất toán II 2./ Thực trạng: a.Thuận lợi - Khó khăn: * Thuận lợi : Khi thực đề tài thuận lợi lớn HS, dạng khai thác toán dạng khó em cố gắng chăm lắng nghe đặc biệt em HS giỏi thích tìm tòi thường xuyên đặt câu hỏi cho để gợi mở em thực * Khó khăn: - Đa số HS, sau tìm lời giải cho toán em hài lòng dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm toán, không sáng tạo thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân b Thành công – hạn chế: * Thành công : Qua trình thực đề tài ( Chỉ sáng kiến nho nhỏ) đến số em HS em : Nguyễn Thị Nga lớp 8ª2 ; Em : Lê Thị Duyên lớp 8ª1 phần thành thạo trình giải xong toán lại tò mò tìm lời giải tiếp tục tự đặt đề cho tự giải * Hạn chế: Điều hạn chế đề tài em HS yếu lớp, em chưa thực thấy thích thú với dạng toán việc làm đòi hỏi trí óc phải hoạt động thực nhanh nhạy, thời gian lớp c./ Mặt mạnh – mặt yếu: * Mặt mạnh : Việc chuyên sâu vấn đề đó, liên hệ toán với nhau, phát triển toán giúp cho HS khắc sâu kiến thức Quan trọng nâng cao tư cho em HS, giúp HS có hứng thú học toán * Mặt yếu: Không HS thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu học tập chưa cao Một số toán giải không chịu hỏi thầy cô Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " d./ Nguyên nhân: - Đa số HS, sau tìm lời giải cho toán em hài lòng dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm toán, không sáng tạo thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân Mặt khác em học lớp ngại hỏi thêm thầy cô toán giải, chí có HS cách giải mà không hỏi thầy cô khai thác thêm toán e Phân tích, đánh giá vấn đề thực trạng mà đề tài đề ra: Qua trình công tác giảng dạy, thấy: - Học sinh học không đôi với hành, làm cho thân HS củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức mới, lực cá nhân không phát huy hết - HS học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc Từ dẫn đến làm tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - Một số GV chưa thực quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo toán tiết dạy nói riêng công tác dạy học nói chung Trước thực trạng đòi hỏi phải có giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp ngày có chiều hướng tích cực Phân tích nguyên nhân: * HS không giải được: - HS chưa biết liên hệ kiến thức kiến thức nâng cao - Chưa có tính sáng tạo giải toán khả vận dụng kiến thức chưa linh hoạt - HS chưa trang bị đầy đủ phương pháp giải dạng toán * HS giải được: - Trình bày lời giải chưa chặt chẽ , nhiều thời gian Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " - Chưa sáng tạo vận dụng kiến thức Trước thực đề tài qua khảo sát điều tra thu kết sau: Số h/s Số h/s giải Số h/s có cách giải chưa Số h/s không giải hợp lý 8ª1 8ª2 Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ 10% 16% 23 74% Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ 7% 10% 25 83% II.3./ Giải pháp , biện pháp : a Mục tiêu giải pháp,biện pháp : Qua toán mà HS giải được, định hướng cho em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm lời giải, kết toán Bằng hình thức như: - Kiểm tra kết Xem xét lại lập luận - Nghiên cứu, tìm tòi, với việc tập trung giải vấn đề như: Liệu toán có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi kiện cho để đề xuất toán không? Bài toán cho có liên quan với toán khác không? Trong đề tài này, xin minh hoạ cách khai thác, phát triển từ kết toán quen thuộc Tôi xin đưa toán gốc tập SGK Đại số lớp số ví dụ nhằm giúp HS thấy hay, đẹp, thú vị học toán Từ đó, giúp HS tự tin, tích cực, sáng tạo học toán , giúp HS thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết học tập môn toán b Nội dung cách thức thực giải pháp,biện pháp : Việc khai thác hình thành cho học sinh cách tự đặt đề tương tự cách thường xuyên áp dụng nên dạy đến tập 18 trang 11 SGK Toán Tập Bài tập 32 SGK Toán tập trang 50 nảy ý định làm sáng kiến nho nhỏ Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " từ kết toán đơn giản ban đầu, chịu khó suy xét tiếp ta khai thác theo nhiều khía cạnh như: Tìm lời giải khác, phát triển toán, tạo chuỗi toán hay thú vị khác Theo tôi, phần quan trọng khai thác, phát triển toán LỜI DẪN Từ toán gốc, giáo viên phải có lời dẫn để đến với toán khác Hay nói cách khác VÌ SAO lại có toán (thay gì, thêm ) * Các biện pháp cụ thể tiến hành để giải vấn đề: - Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức học vào giải tốt tập sách giáo khoa sách tập - Giáo viên đưa toán gốc toán hệ Học sinh dựa vào toán gốc để giải quyết, hướng dẫn học sinh “tìm nhiều lời giải cho toán” - Hướng dẫn học sinh liên hệ vận dụng phương pháp “Sử dụng toán gốc” - Sau hệ thống toán mà áp dụng cho học sinh trường Nội dung toán sau: * Phương pháp sử dụng toán gốc: 3.1 Bài toán gốc 1: Bài tập 32 SGK Toán tập trang 50: Đố em tính tổng sau: S= 1 1 1 + + + + + x ( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) Hướng dẫn : 1 = − x( x + 1) x x + 1 1 = − ( x + 1)( x + 2) x + x + 1 = − ( x + 5)( x + 6) x + x + Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " 1 Vậy: S = x − x + = x( x + 6) Nếu thời gian không cần yêu cầu học sinh làm lớp GV hướng dẫn HS nhà làm, Khai thác toán sau: a Khai thác 1: Nếu GV muốn rèn thêm cho HS cách phân tích đa thức thành nhân tử khai thác toán sau: Bài toán 1.1: Rút gọn biểu thức sau : S= 1 1 1 + + + + + x + x x + x + x + x + x + x + 12 x + x + 20 x + 11x + 30 * Hướng giải: S= = 1 1 1 + + + + + x + x x + x + x + x + x + x + 12 x + x + 20 x + 11x + 30 1 1 1 + + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) b Khai thác 2: Còn GV muốn vận dụng toán vào giải phương trình thêm vào vế phải sau: x+6 Bài toán 1.2: Giải phương trình: 1 1 1 + + + + + = (1) x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) x + * Hướng giải: ĐKXĐ : x ∉ { 0; −1; −2; −3; −4; −5; −6} x Rút gọn vế trái : VT= − (1) ⇔ , Khi : x+6 6− x = ⇒ x = (TM ĐK) − =0 ⇔ x( x + 6) x x+6 Vậy pt (1) có nghiệm là: x = c Khai thác 3: Muốn dẫn học sinh giỏi vào dạng toán tìm cực trị yêu cầu HS làm tập sau: Bài toán 1.3: Tìm GTLN biểu thức: Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " B= 1 1 1 + + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) * Hướng giải: Rút gọn A = x + 6x Vì: x + x = ( x + 3)2 − ≥ −9∀x Nên A ≥ 6: (-9) = − Vậy MaxA = − x = - 3 d Khai thác 4: Ta mở rộng toán với số lớn yêu cầu HS tính giá trị biểu thức Bài toán 1.4: Tính giá trị biểu thức x = 1 2010 1 S = x( x + 1) + ( x + 1)( x + 2) + ( x + 2)( x + 3) + + ( x + 2009)( x + 2010) 2010 Kết quả: S = x( x + 2010) Tại x = S = 2009,999502 2010 *Ứng dụng quy luật vào tính giá trị biểu thức số: Bài toán 5: Tính tổng 1 1 + + + + + 2 3 4 2009.2010 2009 = Kết quả: S = 12010 2010 S= • Tổng quát hóa toán 1-5 ta có: Bài toán 1- 6: Tính tổng 1 1 S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + n( n + 1) Kết quả: S = - với n ∈ N* n = n +1 n +1 • Dùng phép tương tự ta xét đặc điểm mẫu phân thức: Mỗi phân thức có tử thức mẫu thức tích hai nhân tử “hơn đơn vị ” Hoặc “hơn 3; 4; 5; đơn vị ”để từ ta có dạng toán khác: Bài toán 1- 7: Tính tổng sau: Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " 1 1 + + + + 3 5 2009.2011 1 1 B = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + ( 2n + 1)( 2n + 3) với n ∈ N A= Hướng giải: 1 1  =  −  1.3   11 1 =  −  3.5   1 1  =  −  2009.2011  2009 2011  1  1005 = Suy A = 1 −  2011  2011 1  n +1 = B = 1 −  2n +  2n + Bài toán - 8: Tính tổng sau: 1 1 M = 2.5 + 5.8 + 8.11 + + ( 3n + 2)( 3n + 5) với n ∈ N 1 1  n +1 HD: Khai triển tương tự ta có kết quả: M =  − 3n +  = 2(3n + 5)   • Nếu tiếp tục biến đổi cách thay tử toán 1-5 đến 1-8 thành số khác tổng quát lên ta toán thú vị Bài toán - 9: Tính tổng sau: a a a S = b b + b b + + b b với bk+1 - bk = b a; b ; k ∈ N* 2 k k +1 Hướng Dẫn : Phân tích tương tự : S= a a 1   kết =  − bk bk +1 b  bk bk +1  a 1  ab −b   −  =  k +1  b  b1 bk +1  b  b1.bk +1  • Nếu thay đổi mẫu thức thành tích 3;4;5 nhân tử “cách nhau” ta có toán sau: Bài toán - 10: Kim Nhân 10 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " Tớnh M = 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2007.2008.2009 Giải: 2 + + + 1.2.3 2.3.4 2007.2008.2009   1  1    − = − =  −  +  −  + +   1.2 2.3   2.3 3.4   2007.2008 2008.2009  2008.2009 2017035 => M = 0,249999876 = 8068144 a) 2M= • Nếu tổng quát lên ta có toán sau 1 Bài toán - 11: Tớnh N = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n − 1)n(n + 1) Hướng giải: Chú ý Thì N = 1 = − (n − 1)n(n + 1) (n − 1)n n( n + 1) 11   −   n(n + 1)  • Nếu ta nâng mẫu lên lũy thừa ta có toán sau: Bài toán - 12: Tính 2n + E = ( ) + ( ) + + ( với n = 1;2;3 1.2 2.3 n(n + 1) ) Hướng giải: 2n + 1 = 2− [ n( n + 1) ] n ( n + 1) n( n + ) = Thỡ E = - ( ( n + 1) n + 1) Chỳ ý • Nếu ta muốn cho HS vào giải phương trình ta có: Bài toán -13: Giải phương trình ẩn x sau đây: 1 1 2009 + + + + = x( x + 1) 2011 (1) 10 ĐK : x ≠ x ≠ -1 (*) Hướng giải : 2 2 2009 Phương trình (1) 2.3 + 3.4 + 4.5 + + x( x + 1) = 2011 Kim Nhân 11 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán "  =>  −  2009 = x +  2011 2 => 1- 2009 = x + 2011 => 2 = x + 2011 => x = 2010 (Thỏa mãn ĐK (*) ) • Bài toán có liên quan đến bất đẳng thức hay không ? - Hoặc khai thác thêm ta toán thường làm cho ta đau đầu chủ quan không chuẩn bị trước lên lớp bồi dưỡng: Bài toán – 14: Chứng minh 1 1 + + + + < víi n ∈ N* 1.1.3 2.3.5 3.5.7 (2n − 1)n(2n + 1) Hướng giải: 1 Vì (2n − 1)n(2n + 1) < (2n − 1)(2n + 1) 1 1 1 1 =>S = 1.1.3 + 2.3.5 + 3.5.7 + + (2n − 1)n(2n + 1) < 1.3 + 3.5 + 5.7 + + (2n − 1)(2n + 1) = P 2 2 1 Mà 2P = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + (2n − 1)(2n + 1) = − 2n + < ⇔ P < => S < (đpcm) - Còn ý ∀n > (2n-1)n(2n+1) > n(n+1)(n+2) => 1 < ( 2n − 1) n( 2n + 1) n( n + 1)( n + 2) kết hợp với toán – 13 ta được: Bài toán – 14a: Chứng minh 1 1 + + + + < 1.1.3 2.3.5 3.5.7 (2n − 1)n(2n + 1) 12 với n ∈ N*, n >1 Hướng giải: 1 Vì (2n − 1)n(2n + 1) < n(n + 1)(n + 2) 1 1 =>S = 1.1.3 + 2.3.5 + 3.5.7 + + (2n − 1)n(2n + 1) 1 1 < 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) = P Mà P =  11  −  < nên S < (đpcm)  ( n + 1)( n + )  12 Đối với dạng khai thác thêm nên dừng lại Kim Nhân 12 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " 3.2 Bài toán gốc 2: Bài 18 SGK trang 11 Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại đẳng thức bị mực làm nhoè số chỗ: a) x2 + 6xy + = ( + 3y)2; b) - 10xy + 25y2 = ( - )2; Hãy nêu đề tương tự Lời giải: * Nếu phần đẳng thức bị mực làm nhoè đơn thức ta khôi phục lại đẳng thức sau: a) x2 + 6xy + 9y2 = ( x + 3y)2; b) x2 - 10xy + 25y2 = (x - 5y )2 (hoặc x2 - 10xy + 25y2 = (5y - x)2) * Nếu phần đẳng thức bị mực làm nhoè biểu thức ta khôi phục lại đẳng thức nhiều cách khác sau: Ví dụ 1: a) x2 + 6xy + (2xy + 16y2 ) = [(x + y) + 3y]2 tức x2 + 8xy + 16y2 = (x + 4y)2 ; Hay ta thay sau : b) (x2 + 4xy - 16y2) – 10xy + 25y2 = (x – 3y)2 tức x2 - 6xy + 9y2 = (x – 3y)2; Ví dụ 2: a) x2 + 6xy + (4xy + 25y2 ) = [(x + 2y) + 3y]2 tức x2 + 10xy + 25y2 = (x + 5y)2 ; b) (x2 + 8xy - 24y2) - 10xy + 25y2 = (x - y)2 tức x2 - 2xy + y2 = (x - y)2; * Đối với em HS yếu đưa đề tương tự sau: Hãy tìm cách giúp bạn Bình khôi phục lại đẳng thức bị mực làm nhoè số chỗ: a) x2 + 10xy + = ( + 5y)2; b) – 6xy + 9y2 = ( - )2; Kim Nhân 13 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " Trở lại nội dung 18 SGK trang 11 ta có nhận xét đưa lời giải tối ưu có nhiều cách để giúp bạn An khôi phục lại đẳng thức bị mực làm nhoè số chỗ Để giúp học sinh đỡ lúng túng trình bày lời giải toán giáo viên nên thay đổi nội dung câu hỏi chút để có lời giải tối ưu cho toán sau: Bài toán 1: Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại đẳng thức bị mực làm nhoè số chỗ cách điền đơn thức thích hợp vào chỗ trống ( ): a) x2 + 6xy + = ( + 3y)2; b) – 10xy + 25y2 = ( - )2; Hãy nêu đề tương tự Hoặc là: Bài toán 2: Điền đơn thức thích hợp vào chỗ có dấu * để biểu thức a) x2 + 6xy + * ; b) * – 10xy + 25y2 trở thành bình phương nhị thức *Việc đưa nội dung toán lại giúp hình thành ý tưởng tiếp tục khai thác lời giải toán 2, ta có ví dụ Ví dụ 1: Điền đơn thức thích hợp vào chỗ có dấu * để biểu thức A = x2 – 20x + * trở thành bình phương nhị thức Giải: Đây toán quen thuộc mà học sinh lớp làm được: A = x2 – 20x + * = x2 – 20x + 100 = x2 – 2.x.10 + 100 = (x - 10)2 Nhận xét: Trường hợp dấu * số cho trước Chẳng hạn * = -1 ta có ví dụ Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 - 10x - Giải: A = x2 - 10x - = x2 - 10x + 25 - 26 = (x - 5)2 - 26 Vì (x - 5)2 ≥ với x thuộc R nên (x - 5)2 – 26 ≥ -26 với x thuộc R Giá trị nhỏ A -26 x – = hay x = Vậy giá trị nhỏ A -26 x = Nhận xét: Nếu ta đổi dấu biểu thức A nói ta có -A = -x2 + 10x + = - (x2 – 10x +25) + 26 = - (x - 5)2 + 26 ≤ 26 Giá trị lớn A 26 Ta có ví dụ Kim Nhân 14 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức B = + 10x - x2 Giải: B = + 10x – x2 = - (x2 – 10x) + = - (x2 – 10x + 25) + 26 = - (x - 5)2 + 26 Vì (x - 5)2 ≥ với x thuộc R nên - (x - 5)2 ≤ với x thuộc R Do - (x - 5)2 + 26 ≤ 26 với x thuộc R Giá trị lớn B 26 x – = hay x = Vậy giá trị lớn B 26 x = Nhận xét: Tổng quát toán ví dụ ta có ví dụ Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ax2 + bx + c Giải: với a > b x) + c a b b2 b2 P = a ( x + x + − ) + c 2a a a P = a( x + b b2 b2 P = a ( x + x + ) +c − 2a 4a 4a b b2 4ac − b P = a ( x + ) + (c − ) ≥ 2a 4a 4a 4ac − b Giá trị nhỏ P 4a x = −b 2a Tương tự tổng quát toán ví dụ ta có ví dụ Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn biểu thức P = ax2 + bx + c với a < Kim Nhân 15 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " Giải: Tương tự ví dụ ta giá trị lớn biểu thức P −b 4ac − b x = 2a 4a Nhận xét: Kết hợp ví dụ ví dụ ta có tam thức ax2 + bx + c có giá trị nhỏ a > ; có giá trị lớn a < Trong nhiều trường hợp, ta cần đổi biến đưa biểu thức dạng tam thức bậc hai biến Ví dụ Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = (3x - 1)2 – 3x − + Giải: Đặt 3x − = y , ta có: M = y2 – 4y + = (y – 2)2 + ≥ Giá trị nhỏ M y – = hay y = Với y = ta có: x = 3 x − = 3x − = ⇔  ⇔ x = − 3 x − = −2  Vậy giá trị nhỏ M x = x = − Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức N = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) Giải: Biến đổi N = x(x - 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)(x2 – 7x + 12) Cách 1: Đặt x2 – 7x = y ta có: N = y(y + 12) = y2 + 12y = (y + 6)2 – 36 ≥ -36 Giá trị nhỏ N -36 y + = ⇔ y = - Với y = - ta có x2 – 7x = - ⇔ x = x = Cách 2: Đặt x2 – 7x + 12 = y ta có: N = (y – )(y + 6) = y2 – 36 ≥ -36 Giá trị nhỏ N - 36 y = Khi x = x = * Phương pháp tìm nhiều lời giải cho toán: Kim Nhân 16 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " - Phương pháp phương pháp khai thác toán , có lẽ tất thấy dạy đến phần “Phân tích đa thức thành nhân tử” tất gợi ý cho học sinh tìm nhiều cách giải khác Sau ví dụ minh họa: 3.3 Bài toán: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 1: x2 – 3x + * Hướng dẫn học sinh tìm cách giải toán Ở toán học sinh thấy nhân tử chung Không có dạng đẳng thức không nhóm hạng tử Vậy làm để xuất nhân tử chung? Chúng ta “Tách ” hạng tử cách sau: - Để chia nhóm ta tách hạng tử thành hạng tử để thành hạng tử ta chia thành nhóm xuất nhân tử chung - Có thể hướng dẫn học sinh giải theo cách sau: a Tách hạng tử: * Cách 1: x2 – 3x + = x2 – x –2x +2 = (x2 – x) – (2x – 2) = x (x – 1) – (x – 1) = (x – 1) (x –2) * Cách 2: x2 – 3x + = x2 – 3x + − 4 4 = (x - )2 – ( )2 2 3 = (x - + ) (x - - ) 2 2 = (x2 – 3x + ) - = (x – 1) (x – 2) * Cách 3: x2 – 3x + = x2 – 3x +3 – = (x2 – 1) – (3x – 3) = (x + 1) (x – 1) –3(x – 1) = (x – 1) (x + – 3) = (x – 1) (x – 2) * Cách 4: x2 – 3x + 2= x2 – 3x + – = (x2 – 4) – (3x – 6) = (x – 2) (x + 2) – 3(x – 2) Kim Nhân 17 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " = (x – 2) (x + – 3) = (x – 2) (x – 1) * Cách 5: x2 – 3x + 2= 3x2 – 2x2 – 3x + = (3x2 – 3x) – (2x2 – 2) = 3x(x – 1) – 2(x2 – 1) = 3x(x – 1) – 2(x – 1) (x + 1) = (x – 1) (3x – 2x – 2) = (x – 1) (x – 2) b Tách hai hạng tử: Có thể hướng dẫn học sinh giải theo cách tách hạng tử để chia thành nhóm có nhóm viết dạng đẳng thức nhóm xuất nhân tử chung, theo cách sau: * Cách 6: x2 – 3x + 2= x2 – 2x – x + + = (x2 – 2x + 1) – (x – 1) = (x – 1)2 – (x – 1) = (x – 1) (x – – 1) = (x – 1) (x – 2) * Cách 7: x2 – 3x + 2= x2 – 4x + x + – = (x2 – 4x + 4) + (x – 2) = (x – 2)2 + (x – 2) = (x – 2) (x – + 1) = (x – 2) (x – 1) c Tách ba hạng tử Có thể tách hạng tử để chia thành nhóm mà nhóm có nhân tử chung cách sau: * Cách 8: x2 – 3x + 2= 3x2 – 2x2 – 6x + 3x + – = (3x2 – 6x) – (2x2 – 8) + (3x – 6) = 3x(x – 2) – 2(x2 – 4) + 3(x – 2) = 3x(x – 2) – 2(x – 2) (x + 2) + 3(x – 2) = (x – 2) (3x – 2x – + 3) = (x – 2) (x – 1) Ví dụ 2: x2 + x – Tương tự ví dụ giáo viên hướng dẫn giải theo cách tách hạng, tách hạng tử tách hạng tử, theo cách sau: * Cách 1: x2 + x – = x2 + 3x – 2x – = (x2 +3x) – (2x + 6) = x(x + 3) – 2(x + 3) = (x + 3) (x – 2) Kim Nhân 18 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " * Cách 2: x2 + x – = x2 + x + 25 − 4 25 )4 = (x + )2 – ( )2 2 5 = (x + - ) (x + + ) 2 2 = (x2 +x + = (x – 2) (x + 3) * Cách 3: x2 + x – = x2 + x – – = (x2 – 4) + (x – 2) = (x – 2) (x + 2) + (x – 2) = (x – 2) (x + + 1) = (x – 2) (x + 3) * Cách 4: x2 + x – = x2 + x – + = (x2 – 9) + (x + 3) = (x – 3) (x + 3) + (x + 3) = (x + 3) (x –3 + 1) = (x – 2) (x + 3) * Cách 5: x2 + x – = x2 - 4x + + 5x – 10 = (x2 - 4x + 4) + (5x – 10) = (x – 2)2 + 5(x – 2) = (x – 2) (x – + 5) = (x – 2) (x + 3) * Tổng quát: Để phân tích đa thức có dạng: x2 + px + q Nếu ta tìm số a b cho: a + b = p ab = q ta tách px = (a + b)x = ax + bx để có dạng đẳng thức: x2 + px + q = x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) Ở dạng có nhiều dạng tập đưa số ví dụ để tham khảo, mong quý thầy cô góp ý thêm c Điều kiện để thực giải pháp, biện pháp: Để thực giải pháp, biện pháp nêu phải đảm bảo điều kiện sau: - Yêu cầu học sinh phải nắm thật kiến thức có liên quan đến toán mà đưa ra, nghĩa toán gốc ban đầu phải giải khai thác Ghi nhớ dạng toán phương pháp giải cho dạng - Học sinh biết nhận dạng toán cụ thể, từ lựa chọn phương pháp giải hợp lí - Học sinh biết cách biến đổi từ toán chưa biết cách giải toán quen thuộc biết cách giải Kim Nhân 19 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " - Học sinh biết trình bày giải cách đầy đủ, xác khoa học - Giáo viên cần phân loại học sinh để có phương pháp tập yêu cầu phù hợp - Thường xuyên kiểm tra, hướng dẫn, sữa sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến phản hồi học sinh để có hướng điều chỉnh Quá trình sâu khai thác, phát triển toán có ý nghĩa vô tích cực cho việc dạy học toán Quá trình rèn luyện trí thông minh, óc sáng tạo cho HS Sau giải xong toán tìm nhiều cách giải khác, nên tiếp tục sáng tạo: Dựa vào toán mà tự nghĩ toán Việc làm này, giúp nắm vững mối quan hệ đại lượng quan hệ chất toán Từ mà HS hiểu nhiều d Mối quan hệ biện pháp, giải pháp: Do dạng toán khó nên ban đầu chưa dám đưa nhiều dạng khác, thử nghiệm xem học sinh có thực hứng thú với việc khai thác toán hay chưa Nhưng bước đầu gây hứng thú học sinh làm cho thấy phát huy cách làm Để khai thác nội dung kiến thức triệt để đòi hỏi người GV phải có chuẩn bị chu đáo kỹ càng, đồng thời phải có nguồn tư liệu dồi phong phú Việc khai thác toán phải xác định nhiều hướng khác nhau, nhiều dạng tập khác nhau, phải đảm bảo tính logich, tính khoa học tính xác, tránh lung tung xa rời thực tế Cung cấp kiến thức cho đối tượng HS phát huy trí lực phát triển tính tự giác tích cực học tập em.Vì giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh vào tình có vấn đề để em tư duy, tự tìm hiểu kiến thức qua dạng toán Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương cố gắng em, trân trọng thành đạt em e Kết khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu: Trên nội dung nhỏ việc rèn kĩ khai thác toán cho học sinh Tôi áp dụng kinh nghiệm vào thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi trường thu số kết khả quan: Đa phần em ngòai việc sau giải xong toán thường thấy em trăn trở tìm cách khai thác thêm toán Kim Nhân 20 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " Học sinh, đặc biệt em đội tuyển Toán tạo cho kĩ khai thác toán có khả phân tích, định hướng tìm lời giải Hơn nữa, em tự tin vào khả giải toán Điều quan trọng giáo viên hướng dẫn học sinh cách khai thác toán em biết quan sát nhạy bén, linh hoạt từ làm cho tư em phát triển Sau thực đề tài qua khảo sát điều tra thu kết cụ thể sau: Số h/s Số h/s giải Số h/s có cách giải chưa Số h/s không giải hợp lý 8ª1 8ª2 Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ 23 74% 13% 13% Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ 20 67% 13% 20% Ngoài năm học 2014-2015 với việc áp dụng cách làm kết bồi dưỡng học sinh giỏi đạt thành công đáng kể em Lê Thị Duyên lớp 8ª1 đạt giải khuyến khích Nguyễn Thị Nga lớp 8ª2 công nhận học sinh giỏi môn Toán cấp huyện II.4./ Kết đạt được: Trong trình dạy học, áp dụng đề tài không để dạy bồi dưỡng cho đối tượng HS giỏi mà linh hoạt dạy cho HS đại trà Đặc biệt HS lớp Hầu HS có ý thức làm tìm lời giải dừng lại không suy nghĩ thêm sau có kết toán, thỏa mãn với Các em chưa thấy tác dụng mạnh việc nhìn lại toán nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác củng cố kiến thức mình, rèn cho thói quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư sáng tạo, tính kiên trì, độc lập – đức tính tốt cần thiết người học toán Song, qua thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài dạy HS theo ý tưởng trên, đến nay, hầu hết em tham gia, hưởng ứng cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức thành thạo làm số dạng Kim Nhân 21 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " có liên quan từ dễ đến khó Do em nhiệt tình, chủ động, tích cực hơn, có nhiều phát thể tìm tòi, sáng tạo bước đầu tích cực ( Ở không dám nói sau thực đề tài em làm tất HS yếu thay chữ khác tập) Thực tế, sử dụng vào giảng dạy cho khối hai năm học liền gần kết cho thấy HS có ý thức thi đua học tập, hào hứng phát biểu suy nghĩ, tìm tòi, phát cách giải khác, toán mới, Và thấy tinh thần học tập em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả tự nghiên cứu toán học em phát huy cách tích cực; kết học tập môn toán, hình học có nhiều tiến Các em nắm vững kiến thức SGK, em có cố gắng việc tìm hiểu giải toán nâng cao, toán khó, bước đầu có thói quen tốt: Biết chịu khó, tích cực tìm tòi khai thác, phát triển toán cho trước, HS đại trà khó khăn HS giỏi bổ ích PHẦN III KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ III.1./ Kết luận: Việc khai thác, phát triển toán cho trước góp phần quan trọng việc nâng cao lực tư cho HS học môn Toán - việc bồi dưỡng HS giỏi Qua trình giảng dạy nghiên cứu, thân nhận thấy: - Các GV giảng dạy toán đánh giá cao tầm quan trọng việc khai thác, phát triển từ toán mà HS giải Mở rộng, phát triển thêm toán khác (đơn giản thường phức tạp hơn) nhằm phát triển tư sáng tạo, linh hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho người dạy người học - Trong trình giảng dạy học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết toán quan trọng có ích Nó không giúp nắm bắt kĩ kiến thức dạng toán mà nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá toán; từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh Kim Nhân 22 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " hoạt cho em HS; giúp cho HS nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức cách lôgic, khoa học; tạo hứng thú khoa học yêu thích môn toán Sau thời gian kiên trì, nghiêm túc nỗ lực thực với giúp đỡ đồng nghiệp, hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài "Khai thác từ kết toán " Tôi mong muốn học hỏi, trao đổi thêm tất đồng nghiệp bạn đọc quan tâm vấn đề Đồng thời, hi vọng đề tài đóng góp phần nhỏ việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy toán học toán, từ nâng cao chất lượng dạy học môn toán nhà trường Bước đầu, đề tài thu nhiều kết tích cực, tạo thói quen tốt cho nhiều HS tính kiên trì, độc lập suy nghĩ có khả sáng tạo học toán, tự thấy phong phú, thú vị toán học Các em ham thích với môn toán Mặc dù vậy, với khuôn khổ đề tài chưa phải cho tất đối tượng HS ý kiến riêng cá nhân III.2./ Kiến nghị: - Với đối tượng HS trung bình trở xuống khả lĩnh hội kiến thức, tư duy, nhận thức chậm nên chuyển tải kiến thức khó khăn Do cần có thời gian phải vận dụng linh hoạt, thường xuyên, kiên trì cần có nhiều tài liệu tham khảo liên quan - Muốn dạy HS biết cách “Khai thác từ kết toán”, thân GV phải thường xuyên thực điều đó, liên tục tự tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm qua đồng nghiệp, sách, báo đặc biệt qua trang Web có liên quan ; GV cần có chủ động, có kế hoạch ngày, lên lớp Phong trào thi viết sáng kiến kinh nghiệm trường học phong trào có tác dụng tốt, có ý nghĩa, đặc biệt xu thời đại cần sáng tạo, chủ động, tích cực lĩnh vực công tác Vì vậy, mạnh dạn mong muốn Phòng giáo dục đào tạo cấp trì phong trào này, khích lệ Kim Nhân 23 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " động viên tập thể, cá nhân có sáng kiến hữu hiệu, tích cực; có hình thức phổ biến, trao đổi sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên để nâng cao chất lượng mũi nhọn học sinh Tuy cố gắng kinh nghiệm cá nhân hạn chế nên nội dung sáng kiến kinh nghiệm chắn không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết Tôi mong trao đổi, bảo đóng góp ý kiến bổ sung thầy giáo, cô giáo để đề tài hoàn thiện Quảng điền, ngày 22 tháng 02 năm 2015 Người viết Dương Thị Kim Nhân NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN (Ký tên, đóng dấu) Kim Nhân 24 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " TÀI LIỆU THAM KHẢO: - SGK Toán - NXBGD - SBT Toán - NXBGD - Phương pháp dạy học môn Toán - NXBGD (dùng cho hệ CĐSP) - Nâng cao phát triển Toán – NXBGD - Các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THCS chu kì I, II, III - Một số tạp chí Toán tuổi thơ - Đề thi chọn HSG tỉnh thành phố - Một số tạp chí Thế giới ta Kim Nhân 25 THCS Lê Đình Chinh [...]... được Ghi nhớ được các dạng bài toán và phương pháp giải cho từng dạng - Học sinh biết nhận dạng được từng bài toán cụ thể, từ đó lựa chọn phương pháp giải hợp lí - Học sinh biết cách biến đổi từ một bài toán chưa biết cách giải về bài toán quen thuộc đã biết cách giải Kim Nhân 19 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " - Học sinh biết trình bày bài giải một cách đầy đủ, chính xác... ngòai việc sau khi giải xong một bài toán thường thấy các em trăn trở và tìm cách khai thác thêm bài toán Kim Nhân 20 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " Học sinh, đặc biệt là các em trong đội tuyển Toán đã tạo cho mình kĩ năng khai thác một bài toán và có khả năng phân tích, định hướng tìm lời giải mới Hơn nữa, các em đã tự tin vào khả năng giải toán của mình Điều quan trọng... giảng dạy và học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết quả của bài toán là rất quan trọng và rất có ích Nó không chỉ giúp chúng ta nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán mà nó còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá một bài toán; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh Kim Nhân 22 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " hoạt cho các... nhiều lời giải cho một bài toán: Kim Nhân 16 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " - Phương pháp này cũng là một trong những phương pháp khai thác bài toán , chắc có lẽ tất cả chúng ta đều thấy rằng khi dạy đến phần “Phân tích đa thức thành nhân tử” thì tất cả chúng ta đều gợi ý cho học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau Sau đây là một ví dụ minh họa: 3.3 Bài toán: Phân tích các... Nhân 11 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "  => 2  − 1  2009 = x + 1  2011 1 2 => 1- 2 2009 = x + 1 2011 => 2 2 = x + 1 2011 => x = 2010 (Thỏa mãn ĐK (*) ) • Bài toán 1 có liên quan gì đến bất đẳng thức hay không ? - Hoặc khai thác thêm ta được một bài toán cũng thường làm cho ta đau đầu nếu chủ quan không chuẩn bị trước khi lên lớp bồi dưỡng: Bài toán 1 – 14: Chứng minh... 1)( n + 2 )  4 12 Đối với dạng này thì nếu khai thác thêm thì hơi quá nên dừng lại Kim Nhân 12 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " 3.2 Bài toán gốc 2: Bài 18 SGK trang 11 Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ: a) x2 + 6xy + = ( + 3y)2; b) - 10xy + 25y2 = ( - )2; Hãy nêu một đề bài tương tự Lời giải: * Nếu những phần của... luận: Việc khai thác, phát triển một bài toán cho trước góp phần rất quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho HS khi học môn Toán - nhất là việc bồi dưỡng HS giỏi Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu, bản thân tôi nhận thấy: - Các GV giảng dạy toán đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc khai thác, phát triển từ một bài toán mà HS đã giải được Mở rộng, phát triển thêm các bài toán khác (đơn... Dựa vào bài toán đó mà tự nghĩ ra các bài toán mới Việc làm này, giúp chúng ta nắm vững mối quan hệ giữa các đại lượng và những quan hệ bản chất trong mỗi bài toán Từ đó mà HS hiểu bài hơn rất nhiều d Mối quan hệ giữa các biện pháp, giải pháp: Do đây là dạng toán hơi khó nên ban đầu tôi chưa dám đưa ra nhiều dạng khác, chỉ thử nghiệm xem học sinh có thực sự hứng thú với việc khai thác một bài toán hay... tính tốt và cần thiết của người học toán Song, qua một thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài và dạy HS theo ý tưởng trên, đến nay, hầu hết các em đã tham gia, hưởng ứng một cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức khá thành thạo khi làm một số dạng bài Kim Nhân 21 THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " có liên quan từ dễ đến khó Do đó các em đã nhiệt tình, chủ động,.. .SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán " Tớnh M = 1 1 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2007.2008.2009 Giải: 2 2 2 + + + 1.2.3 2.3.4 2007.2008.2009 1   1 1  1 1 1  1   1 − = − =  −  +  −  + +   1.2 2.3   2.3 3.4   2007.2008 2008.2009  2 2008.2009 2017035 => M = 0,249999876 = 8068144 a) 2M= • Nếu tổng quát lên thì ta có bài toán sau 1 1 1 Bài toán 1 - 11: Tớnh N ... phương pháp giải loại toán Rút kinh nghiệm giải toán Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " - Tìm thêm cách giải khác - Khai thác thêm kết có toán, đề xuất toán II 2./ Thực trạng:... Tập Bài tập 32 SGK Toán tập trang 50 nảy ý định làm sáng kiến nho nhỏ Kim Nhân THCS Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " từ kết toán đơn giản ban đầu, chịu khó suy xét tiếp ta khai thác. .. Lê Đình Chinh SKKN: "Khai thác từ kết toán " 1 Vậy: S = x − x + = x( x + 6) Nếu thời gian không cần yêu cầu học sinh làm lớp GV hướng dẫn HS nhà làm, Khai thác toán sau: a Khai thác 1: Nếu GV