ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀO TUẤN ANH HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU CÁC TẬP HỢP VỚI ĐIỀU KIỆN CM* VÀ IM* LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀO TUẤN ANH HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU CÁC TẬP HỢP VỚI ĐIỀU KIỆN CM* VÀ IM* Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Trần Phương THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo trung thực xác, tuân thủ qui định quyền sở hữu trí tuệ Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Tác giả Đào Tuấn Anh ii LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Trần Phương, người tận tình hướng dẫn để hoàn thành khóa luận Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Thái Nguyên dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới tập thể trường THPT 19-5, Kim Bôi, Hoà Bình gia đình, bạn bè người giúp đỡ chia sẻ với tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Đào Tuấn Anh iii Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phân bố giá trị cho hàm phân hình 1.1.1 Công thức Poison-Jensen 1.1.2 Các hàm Nevanlinna tính chất 1.1.3 Hai định lý 1.1.4 Định lý thứ hai cho hàm nhỏ 1.2 Điều kiện CM* IM* 11 1.2.1 Khái niệm điều kiện IM*, CM* 11 1.2.2 Một số tính chất hàm Nevanlinna 14 Hàm phân hình chung hàm nhỏ với điều kiện CM*, IM* 18 2.1 Các hàm phân hình chung bốn giá trị 18 2.1.1 Định lý bốn điểm với điều kiện CM* 18 2.1.2 Hàm phân hình chung bốn giá trị 21 2.2 Các hàm phân hình chung cặp hàm nhỏ 33 2.2.1 Một số kết mở đầu 33 2.2.2 Kết P Li C.C Yang 35 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 47 Mở đầu Năm 1929, R Nevanlinna chứng minh hai định lí tiếng vấn đề cho hàm phân hình, thường gọi Định lý năm điểm Định lý bốn điểm Về sau có nhiều nhà toán học mở rộng kết Nevanlinna cho trường hợp khác nhau: hàm phân hình chung tập điểm, kể bội, không kể bội, Cho f, g hàm phân hình, ta nói f g chung giá trị a CM (hoặc IM) f − a, g − a có không điểm kể bội (hoặc không kể bội)1 Nếu 1/f 1/g chung giá trị CM (IM) ta nói f g chung giá trị ∞ CM (IM) Hiển nhiên, hai hàm f g chung giá trị a CM chung giá trị a IM.Định lý năm điểm cho thấy f g chung ảnh ngược năm giá trị phân biệt đồng Nếu hai hàm phân hình chung bốn điểm kể bội chúng phép biến đổi Mobius nội dung định lý bốn điểm Gần đây, P Li C C Yang giới thiệu khái niệm hàm chung nhau hàm nhỏ CM*, IM* điều kiện "nhẹ" CM IM tương ứng tác giả viết lại sách Unicity of Meromorphic Mappings ([4]) Cũng ([4]), tác giả nghiên cứu lại định lý năm điểm định lý bốn điểm điều kiện IM*, CM* thấy định lý điều kiện IM* CM* tương ứng Trong thời gian gần có số tác giả giới thiệu công trình vấn đề cho hàm phân hình chung giá trị, hàm nhỏ cặp hàm nhỏ CM*, CM kể bội viết tắt counting multiplicities nghĩa kể bội, IM viết tắt ignoring multiplicities nghĩa không IM* Với mong muốn tìm hiểu vấn đề cho hàm phân hình chung giá trị, hàm nhỏ cặp hàm nhỏ CM*, IM*, chọn đề tài "Hàm phân hình chung tập hợp với điều kiện CM* IM*" Mục đích luận văn giới thiệu số kết định lý điểm mở rộng định lý trường hợp hàm phân hình chung giá trị hay hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM* P Li C C Yang trình bày ([4]) Chứng minh số kết quan hệ biến đổi Mobius hai hàm phân hình chúng chung cặp hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM* P Li C C Yang trình bày ([13]) Luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Giới thiệu số kiến thức sử dụng luận văn giới thiệu khái niệm hàm phân hình chung giá trị, hàm nhỏ cặp hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM* Chương 2: Chứng minh định lý điểm mở rộng định lý trường hợp hàm phân hình chung giá trị hay hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM* chứng minh số kết quan hệ biến đổi Mobius hai hàm phân hình chúng chung cặp hàm nhỏ với điều kiện IM* Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác Giả Đào Tuấn Anh Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phân bố giá trị cho hàm phân hình 1.1.1 Công thức Poison-Jensen Định nghĩa 1.1 Cho hàm chỉnh hình f mặt phẳng phức C, điểm z0 gọi không điểm bội k f tồn hàm chỉnh hình h(z) không triệt tiêu lân cận U z0 cho lân cận hàm f biểu diễn dạng: f (z) = (z − z0 )k h(z) Nghĩa f (z0 ) = f (z0 ) = = f (k−1) (z0 ) = f k (z0 ) = Với z ∈ C, ta kí hiệu: ordf (z0 ) = k z0 không điểm bội k f ; f (z0 ) = Định nghĩa 1.2 Cho f hàm phân hình mặt phẳng phức C, f1 f = , f1 , f2 hàm chỉnh hình Một điểm z0 gọi f2 không điểm bội k f z0 không điểm bội k f1 , z0 gọi cực điểm bội k f z0 không điểm bội k f2 Trong mặt phẳng phức C, ta kí hiệu D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | < r}; D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r}; ∂D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | = r}, tương ứng hình tròn mở, hình tròn đóng đường tròn tâm z0 , bán kính r Với z0 = 0, ta kí hiệu ngắn gọn DR = D(0, R); DR = D(0, R) Định lý 1.1 (Công thức Poison-Jensen) Giả sử f (z) ≡ hàm phân hình đĩa đóng DR , < R < ∞ Giả sử a1 , , ap không điểm f DR , kể bội, b1 , , bp cực điểm f DR , kể bội Khi với z {|z| < R} không điểm hay cực điểm f , ta có 2π log |f (z)| = 2π p + i=1 R2 − |z|2 log |f (Reiϕ )|dϕ iϕ |Re − z| R2 − a ¯i z log − R(z − ) q R2 − ¯bj z log R(z − b ) j j=1 (1.1) Hệ 1.1 Với |z| < R, ta có 2π dθ = |R2 eiθ − z|2 2π R2 − |z|2 Cho z0 ∈ DR Nếu f (z) = c(z − z0 )m + , c số khác không nhỏ nhất, m gọi bậc f z0 kí hiệu ordz0 f Hệ 1.2 Giả sử f (z) ≡ hàm phân hình đĩa đóng DR , < R < ∞ Giả sử a1 , , ap không điểm f DR − {0}, kể bội, b1 , , bp cực điểm f DR − {0}, kể bội Khi 2π log |cf | = 2π p iθ log |f (Re )|dθ − − (ord0 f ) log R, i=1 R log + q log j=1 R bj (1.2) f (z) = cf z ord0 f + , ord0 f ∈ Z, cf số khác không nhỏ khai triển Laurent f 1.1.2 Các hàm Nevanlinna tính chất Với số thực x > 0, kí hiệu: log+ x = max{log x, 0} Khi log x = log+ x − log+ (1/x) Bây ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng hàm phân hình Cho f hàm phân hình DR số thực r > 0, < R ≤ ∞, r < R Dễ thấy: 2π 2π 2π log f (reiϕ ) dϕ = 2π 2π f (reiϕ ) dϕ − 2π log+ log+ dϕ f (reiϕ ) Định nghĩa 1.3 Hàm 2π m(r, f ) = 2π log+ f (reiϕ ) dϕ gọi hàm xấp xỉ hàm f Kí hiệu n(r, 1/f ) số không điểm kể bội, n(r, 1/f ) số không điểm không kể bội f , n(r, f ) số cực điểm kể bội, n(r, f ) số cực điểm không kể bội f Dr , nk (r, f ) số cực điểm bội cắt cụt k f (tức cực điểm bội l > k tính k lần tổng nk (r, f ) Dr Định nghĩa 1.4 Hàm r N (r, f ) = n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t gọi hàm đếm kể bội f (còn gọi hàm đếm cực điểm) Hàm r N (r, f ) = n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t gọi hàm đếm không kể bội Hàm r Nk (r, f ) = nk (r, f ) − nk (0, f ) + nk (0, f ) log r t 33 với bội (n + 1)2 − với điều kiện z 1- điểm chung f1 f2 Từ N (r, fi ) + N (r, f1i ) = S(r), i = 1, 2, ta có T (r, ast ) = S(r) với ≤ s + t ≤ n Nếu T (r, f1s f2t ) = S(r) với số nguyên svà t (|s| + |t| > 0), theo Định lý 1.108 ([4]) ta có h ≡ Như T (r, h) ≤ T f1s f2t r, + S(r) 1≤s+t≤n ≤ nT (r, f1 ) + nT (r, f2 ) + S(r) Lấy n > ε − 2, ta có 1 N r, (n + 1)2 − h T (r, h) + O(1) ≤ n(n + 2) ≤ (T (r, f1 ) + T (r, f2 )) + S(r) n+2 ≤ ε(T (r, f1 ) + T (r, f2 )) + S(r) N (r, f1 = = f2 ) ≤ Nếu tồn số nguyên s t (|s| + |t| > 0) cho T (r, f1s f2t ) = S(r), ta lại có N (r, f1 = = f2 ) ≤ N r, f1s f2t −1 ≤ S(r) với điều kiện f1s f2t = 1, định lý chứng minh 2.2 Các hàm phân hình chung cặp hàm nhỏ 2.2.1 Một số kết mở đầu Ta biết, định lý điểm Nevanlinna suy rộng cho trường hợp hàm nhỏ (xem [7, 14, 5]), phát biểu hai hàm phân hình phải đồng chúng chung hàm nhỏ IM Ta thấy số giảm xuống f g có vài cực điểm định lý sau Ishizaki Toda: Định lý 2.11 ([6]) Cho f g hai hàm phân hình siêu việt, cho a1 , , a4 hàm nhỏ phân biệt f g Nếu f g chung 34 a1 , , a4 IM, N (r, f ) ≤ uT (r, f ) + S(r, f ) N (r, g) ≤ vT (r, g) + S(r, g), với số u, v ∈ [0, 1/19), f ≡ g Điều dẫn đến định lý điểm Nevanlinna suy rộng sau: Định lý 2.12 ([8]) Cho f g hai hàm phân hình khác a1 , a2 , a3 , a4 bốn hàm nhỏ phân biệt f g Nếu f g chung giá trị a1 , a2 CM* a3 , a4 IM* f biến đổi tựa Mobius g , nghĩa tồn α1 g + α2 bốn hàm nhỏ αi (i = 1, 2, 3, 4) g cho f = α3 g + α4 Ngoài ra, năm 1997, P Li C C Yang ([4]) chứng minh Định lý 2.13 ([4, 9]) Cho f g hai hàm phân hình khác , bi (i = 1, 2, 3, 4) (ai = aj , bi = bj , i = j) hàm nhỏ f g Nếu f g chung bốn cặp hàm nhỏ (ai , bi ) CM* f biến đổi tựa Mobius g Ta xem xét lần ví dụ G.G Gundersen (Xem [2]) vào năm 1979: hàm số (ez + 1)2 ez + ˆ f (z) = z gˆ(z) = (e − 1)2 8(ez − 1) chung giá trị 0, 1, −1/8, ∞ IM, fˆ không biến đổi Mobius gˆ Chú ý rằng, hàm fˆ gˆ chung cặp giá trị (−1/2, 1/4) CM, tức fˆ gˆ chung năm cặp giá trị (0, 0), (1, 1), (−1/8, −1/8), (∞, ∞), (−1/2, 1/4) IM Điều có nghĩa là, hai hàm phân hình chung năm cặp giá trị không liên kết với phép biến đổi Mobius Định lý sau hai hàm phân hình phải liên kết phép biến đổi Mobius chúng chung sáu cặp giá trị Định lý 2.14 ([1]) Cho f g hai hàm phân hình khác chung sáu cặp giá trị (ak , bk ), ≤ k ≤ 6, IM, = aj , bi = bj với i = j Khi f biến đổi Mobius g 35 2.2.2 Kết P Li C.C Yang Năm 2009, P Li C C Yang ([13]) chứng minh: Định lý 2.15 ([13]) Cho f g hai hàm phân hình khác , bi (i = 1, 2, 3, 4)(ai = aj , bi = bj , i = j) hàm nhỏ f g Nếu f g chung ba cặp giá trị (ai , bi ), (i = 1, 2, 3) CM* chung cặp hàm nhỏ thứ tư (a4 , b4 ) IM*, f biến đổi tựa Mobius g Chứng minh Không tính tổng quát, ta giả sử f g chung cặp 0, 1, ∞ CM*, chung cặp (a, b) IM*, a(≡ 0, 1, ∞) b(≡ 0, 1, ∞) hàm nhỏ f g , mặt khác, ta xem xét phép biến đổi sau: F = g − b1 b2 − b3 f − a1 a2 − a3 G = f − a3 a2 − a1 g − b3 b2 − b1 Theo định lý thứ hai Nevanlinna, ta có: 1 + N r, + S(r, f ) f −1 f ≤ N E (r, f = ∞, g = ∞) + N E (r, f = 1, g = 1) T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N r, + N E (r, f = 0, g = 0) + S(r, f ) ≤ 3T (r, g) + S(r, f ) Tương tự, ta có T (r, g) ≤ 3T (r, f ) + S(r, g) Do đó, lượng S(r, f ) lượng S(r, g), ngược lại Ta viết S(r) = S(r, f ) = S(r, g) Đặt b f h1 = , a g h2 = b−1 f −1 a−1 g−1 (2.7) Từ f g chung giá trị 0, 1, ∞ CM*, ta có: N (r, hi ) + N r, hi = S(r), i = 1, (2.8) Hiển nhiên T (r, hi ) ≤ T (r, f ) + T (r, g) + S(r) ≤ 4T (r, f ) + S(r) Giả sử f không biến đổi tựa Mobius g Thì h1 h2 hàm nhỏ f g Từ f g chung cặp hàm 36 nhỏ (a, b) IM*, theo Định lý 2.11, ta có a ≡ b Theo Bổ đề 1.3, ta có + S(r) ≤ 2N (r, f = a, g = b) + S(r) f −a ≤2N (r, h1 = 1, h2 = 1) + S(r) T (r, f ) ≤2N r, Theo Bổ đề 1.4, tồn hai số nguyên khác không s1 t1 cho hs11 = ht21 Đặt d ước chung lớn s1 t1 Vậy tồn số c cho hs1 = cht2 , s = s1 /d t = t1 /d Lưu ý có nhiều 1- điểm chung h1 h2 Do đó, c = Vậy ta có hs1 = ht2 Từ s t nguyên tố suy tồn hai số nguyên khác không u v cho us + vt = Đặt h = hv1 hu2 (2.9) Thì ta có h1 = ht , h2 = hs (2.10) Không tính tổng quát, ta giả sử s ≥ Từ ( 2.7) ( 2.10), ta có a(a − 1) hs+t − bhs + (b − 1)ht f −a= , a−1 s a t b(b − 1) h − h b−1 b (1 − a)hs + aht − g−b= a−1 s a t h − h b−1 b (2.11) Nếu N (2 (r, 1/f − a) = S(r) N (2 (r, 1/g − a) = S(r), f g chung cặp hàm nhỏ (a, b) CM* Do đó, theo Định lý 2.12, f g phải liên kết phép biến đổi tựa Mobius Vì vậy, không tính tổng quát giả sử N (2 r, f −a = S(r) Giả sử z0 không điểm bội f − a, không không điểm hay cực điểm a, b, không 1- điểm a b Từ ( 2.11) ta có z0 phải không điểm bội hs+t − bhs + (b − 1)ht , nghĩa {hs+t − bhs + (b − 1)ht }(z0 ) = 0, (s + t)hs+t − sbhs + t(b − 1)ht α − b hs + b ht (z0 ) = 0, 37 Trong α = h /h ≡ hàm nhỏ f Lưu ý f g chung cặp hàm nhỏ (a, b) IM* Từ ( 2.7) ( 2.9), ta có h(z0 ) = Từ phương trình ta có α(z0 ) = s − (s − t)b(z0 ) = Từ N (2 (r, 1/(f − a)) = S(r) α ≡ 0, ta có s − (s − t)b ≡ Vậy b = s/(s − t) số Từ f g chung giá trị ∞ CM* chung cặp (a, b) IM*, thấy từ (2.11) ta có hai phương trình sau: F (h) := hs+t − bhs + (b − 1)ht G(h) := (1 − a)hs + aht − (2.12) chung giá trị IM* Giả sử z1 không điểm chung F G, không không điểm hay cực điểm a, không 1điểm a Thì ta có hs (z1 ) = ht (z1 ) = hs (z1 ) = b(z1 ) − , a(z1 ) − ht (z1 ) = b(z1 ) a(z1 ) Dẫn đến h(z1 ) = h(z1 ) = r0 (z1 ), r0 := {(b − 1)/(a − 1)}u (b/a)v hàm nhỏ f , r0 ≡ Do F G biểu diễn thành F = A1 hk1 (h − 1)p1 (h − r0 )q1 G = A2 hk2 (h − 1)p2 (h − r0 )q2 , (2.13) Ai hàm nhỏ f , ki , pi , qi số nguyên không âm Theo Bổ đề 1.6, ta thấy pi ≤ qi ≤ Từ h = nghiệm G(h) = 0, nghiệm bội F (h) = ta có p1 = p2 ≥ Lưu ý có ba số hạng F (h) Ta có q1 ≤ Nếu p2 = h = nghiệm bội G(h) = Bằng cách lập luận tương tự trên, ta chứng minh a ≡ s/(s − t) = b Do đó, f g chung hàm nhỏ a IM* Theo Định lý 2.12, f biến đổi tựa Mobius g , mâu thuẫn với giả sử Vậy p2 = Từ (2.12), ta thấy có nhiều ba số hạng G(h) Do q2 ≥ q1 ≥ 1, mặt khác F G chung giá trị IM* 38 Vậy q1 = 1, ta có F = A1 k1 −k2 h (h − 1)G A2 (2.14) Bằng tính toán, ta có (h − 1)G = (1 − a)hs+1 − (1 − a)hs + + aht+1 − aht − h (2.15) Tuy nhiên, có nhiều ba số hạng F (h) Điều xảy t = 1, s = 2, b = t = −1, s = 1, b = 21 Trong hai trường hợp, F biểu diễn thành A1 hk1 (h − 1)2 , F (h) có dạng A1 hk1 (h − 1)2 (h − r0 ), r0 ≡ Vậy f không biến đổi tựa Mobius g , ta đến mâu thuẫn Điều hoàn thành chứng minh Định lý 2.15 Nếu điều kiện "f g chung cặp hàm nhỏ (a, b) IM*" Định lý 2.15 thay "f (z) − a(z) = ⇒ g(z) − b(z) = 0" kết luận không Trong thực tế, hàm số f (z) = (e2z − 2ez + 4) g(z) = e−2z (e2z − 2ez + 4) chung giá trị 0, 1, ∞ CM f (z) − 3/4 = ⇒ g(z) − = f biến đổi Mobius g Điều kiện "f g chung ba cặp giá trị CM* chung cặp giá trị thứ tư IM*" Định lý 2.15 thay "f g chung hai cặp giá trị CM* chung hai cặp giá trị khác IM*" Ví dụ, hàm −2(ez − 1)2 −(ez − 1) g(z) = f (z) = ez − ez − chung cặp giá trị (1, 1), (∞, ∞) CM, chung cặp giá trị (0, 0), (−2, −8) IM, f (z) không biến đổi Mobius g(z) Định lý 2.16 ([13]) Cho f g hai hàm phân hình khác hằng, aj , bj (j = 1, , 5) hàm nhỏ tương ứng f g , = aj , bi = bj với i = j Nếu f g chung bốn cặp hàm nhỏ (ak , bk ) IM*, ≤ k ≤ 39 bất đẳng thức f − a5 N r, ≤ λT (r, f )+S(r, f ) N r, g − b5 ≤ λT (r, g)+S(r, g), với λ ∈ [0, 1/3), f biến đổi tựa Mobius g Chứng minh Bằng cách sử dụng phép biến đổi tựa Mobius, không tính tổng quát, ta giả sử không hàm aj bj (j = 1, , 5) vô cực Đặt L phép biến đổi tựa Mobius cho aj ≡ L(aj ), j = 1, 2, Lưu ý f g chung cặp hàm nhỏ (aj , bj ) IM* (1 ≤ j ≤ 4) Một lượng S(r, f ) lượng S(r, g) ngược lại Để thuận tiện, phần ta viết S(r) := S(r, f ) = S(r, g) S ∗ (r) := S ∗ (r, f ) = S ∗ (r, g) Giả sử f không biến đổi tựa Mobius g , ta có: N r, j=1 f − aj ≤ N r, f − L(g) + S(r) ≤ T (r, f ) + T (r, g) + S(r) (2.16) Theo Bổ đề 1.5, ta có: 3T (r, f ) ≤ N r, j=1 f − aj + S ∗ (r) (2.17) Từ ( 2.2) ( 2.16) ( 2.17), ta có 3T (r, f ) ≤ T (r, f ) + T (r, g) + N r, f − a4 + λT (r, f ) + S ∗ (r) Tức 2T (r, f ) ≤ T (r, g) + N r, f − a4 + λT (r, f ) + S ∗ (r) (2.18) Tương tự, ta có 2T (r, f ) ≤ T (r, g)+N r, +λT (r, f )+S ∗ (r), f − aj j = 1, 2, (2.19) Cộng ba bất đẳng thức ( 2.19) với sử dụng ( 2.16) ta có: 6T (r, f ) ≤ 3T (r, g) + T (r, f ) + T (r, g) + 3λT (r, f ) + S ∗ (r) Như 5T (r, f ) ≤ 4T (r, g) + 3λT (r, f ) + S ∗ (r) (2.20) 40 Đổi vai trò f g , ta có: 5T (r, g) ≤ 4T (r, f ) + 3λT (r, g) + S ∗ (r) (2.21) Cộng hai bất đẳng thức ta có: T (r, f ) + T (r, g) ≤ 3λ(T (r, f ) + T (r, g)) + S ∗ (r) Điều xảy với λ < 1/3 Vậy f phải biến đổi tựa Mobius g Từ Định lý 2.16, ta có kết sau cho hàm nguyên chung bốn cặp giá trị phân biệt Hệ 2.1 ([13]) Cho f g hai hàm nguyên khác hằng, aj , bj (j = 1, , 4) giá trị phân biệt, = aj , bi = bj với i = j Nếu f g chung bốn cặp giá trị (ak , bk ) IM* ≤ k ≤ 4, f biến đổi Mobius g Định lý 2.17 ([13]) Cho f g hai hàm phân hình khác hằng, aj , bj (j = 1, , 6) hàm nhỏ tương ứng f g , = aj , bi = bj với i = j Nếu f g chung năm cặp hàm nhỏ (ak , bk ) IM* ≤ k ≤ f không biến đổi tựa Mobius g suy đồng thức bất đẳng thức sau: (a) T (r, f ) = T (r, g) + S ∗ (r, f ); (b) i=1 N r, f −a = 3T (r, f ) + S ∗ (r, f ); i 1 + N r, f −a + S ∗ (r, f ), i = j, i, j = 1, , 5; (c) T (r, f ) ≤ N r, f −a i j (d) T (r, f ) ≤ 3N r, f −a + S ∗ (r, f ), i = 1, , 5; i (e) T (r, f ) = N r, f −a + S ∗ (r, f ); (f) N (r, f = a6 , g = b6 ) ≤ 53 T (r, f ) + S ∗ (r, f ); 1 (g) T (r, f ) = N r, f −a + S ∗ (r, f ) T (r, f ) = 2N r, f −a + S ∗ (r, f ) i với i = 1, , = bi , i = 1, , 41 Chứng minh Không tính tổng quát, ta giả sử aj ≡ ∞, bj ≡ ∞ (j = 1, , 6), a ≡ ∞ Hơn nữa, ta giả sử (a1 , b1 ) = (0, 0), (a2 , b2 ) = (1, 1) (a3 , b3 ) = (−1, −1) Không khó để tìm năm hàm nhỏ cj (j = 1, , 5) (ít số chúng không đồng không) cho hàm sau: F := F (f, g) = c1 f g + c2 f g + c3 f + c4 f + c5 g (2.22) thỏa mãn F (aj , bj ) ≡ với j = 1, , Theo Bổ đề 1.7, ta có T (r, F ) ≤ 2T (r, f ) + T (r, g) + S(r) (2.23) Nếu F ≡ 0, (c1 f + c2 f + c5 )g ≡ −(c3 f + c4 f ) Lưu ý cj khác không Do đó, c1 f + c2 f + c5 ≡ Như c3 f + c4 f g=− c1 f + c2 f + c5 (2.24) Từ g không biến đổi tựa Mobius f , vế phải phương trình rút gọn Do đó, T (r, g) = 2T (r, f ) + S(r) Theo Bổ đề 1.5, ta có: 3T (r, g) ≤ N r, g − bj + S ∗ (r) N r, f − aj + S ∗ (r) j=1 ≤ j=1 ≤5T (r, f ) + S ∗ (r) Do 6T (r, f ) ≤ 5T (r, f ) + S ∗ (r), điều Vậy F ≡ Từ f g chung năm cặp hàm nhỏ (aj , bj ) IM*, F (aj , bj ) ≡ với j = 1, , 5, Theo Bổ đề 1.5 Bổ đề 1.7, ta có: 4T (r, f ) ≤ N r, j=1 ≤N r, F f − aj + N r, f − a6 + N r, f − a6 + S ∗ (r) ≤2T (r, f ) + T (r, g) + N r, f − a6 + S ∗ (r) + S ∗ (r) 42 Do 2T (r, f ) ≤ T (r, g) + N r, f − a6 + S ∗ (r), (2.25) điều dẫn đến T (r, f ) ≤ T (r, g) + S ∗ (r) (2.26) Đổi vai trò f g , ta có T (r, g) ≤ T (r, f ) + S ∗ (r) (2.27) Từ ta chứng minh (a) Từ ( 2.27) Bổ đề 1.7 ta có: N r, j=1 f − aj ≤ N r, F + S(r) ≤ 3T (r, f ) + S ∗ (r), theo Bổ đề 1.5, bất đẳng thức ngược lại Do đó, (b) Từ ( 2.17), ( 2.16) ( 2.27), ta có 3T (r, f ) ≤ 2T (r, f ) + N r, f − a4 + N r, f − a5 + S ∗ (r) Nghĩa T (r, f ) ≤ N r, f − a4 + N r, f − a5 + S ∗ (r) Tương tự, ta kết luận T (r, f ) ≤ N r, f − + N r, f − aj + S ∗ (r) (2.28) với i, j = 1, , i = j Do đó, (c) Từ ( 2.28), ( 2.16) ( 2.27), ta có 3T (r, f ) ≤ N r, j=1 f − aj ≤ 2T (r, f ) + 3N r, + 3N r, f − a4 f − a4 + S ∗ (r) Dẫn đến T (r, f ) ≤ 3N r, f − a4 + S ∗ (r) + S ∗ (r) 43 Tương tự, ta có T (r, f ) ≤ 3N r, f − + S ∗ (r), i = 1, , 5, từ suy (d) Từ (2.25), (2.26) (2.27), ta kết luận T (r, f ) ≤ N r, f − a6 + S ∗ (r) (2.29) Do đó, (e) Bằng cách lập luận tương tự cách chứng minh (b), ta có: N r, i=1 f − + N (r, f = a6 , g = b6 ) ≤ 3T (r, f ) + S ∗ (r) Do N r, i=1 f − ≤ 3T (r, f )+N r, −N (r, f = a6 , g = b6 )+S ∗ (r) f − a5 Từ theo Bổ đề 1.5, ta có: N (r, f = a6 , g = b6 ) ≤ N r, f − a5 + S ∗ (r) Tương tự, ta có N (r, f = a6 , g = b6 ) ≤ N r, f − + S ∗ (r), i = 1, , Cộng năm bất đẳng thức với sử dụng (b), ta có 5N (r, f = a6 , g = b6 ) ≤ 3T (r, f ) + S ∗ (r) Vậy (f) Hơn nữa, giả sử = bi với i = 1, , Ta có N r, i=1 f − ≤ N r, f −g ≤ 2T (r, f ) + S ∗ (r) (2.30) Từ theo (c), ta có N r, f − + N r, f − aj ≤ T (r, f ) + S ∗ (r) (2.31) 44 Và N r, f − + N r, f − aj = T (r, f ) + S ∗ (r), i, j = 1, , 4, i = j, (2.32) điều dẫn đến N r, f − = T (r, f ) + S ∗ (r), i = 1, , (2.33) Từ (b), ta có N r, f − a5 = T (r, f ) + S ∗ (r) Điều hoàn thành chứng minh Định lý 2.17 Nhận xét 2.1 Từ phần (g) Định lý 2.17, ta thấy f g chung năm hàm nhỏ phân biệt IM*, f biến đổi tựa Mobius g , f ≡ g Kết chứng minh ([7]) (trường hợp hàm nguyên) ([14]) (trường hợp hàm phân hình) Hệ 2.2 ([13]) Cho f g hai hàm phân hình khác aj , bj (j = 1, , 6) hàm nhỏ f g , = aj , bi = bj với i = j Nếu f g chung năm cặp hàm nhỏ (ak , bk ) IM*, ≤ k ≤ tồn số λ ∈ [0, 2/5) cho N r, f − a6 − N (r, f = a6 , g = b6 ) ≤ λT (r, f ) + S(r, f ), f phải biến đổi tựa Mobius g Nhận xét 2.2 Kết luận Hệ 2.2 cho trường hợp đặc biệt: λ = tất , bi giá trị, tìm thấy ([4]) Hiển nhiên, Định lý 2.16 khái quát hóa Định lý 2.11, Định lý 2.15 khái quát hóa Định lý 2.13, Hệ 2.2 khái quát hóa Định lý 2.14 45 Kết luận Trong luận văn trình bày số kết sau: Trình bày số khái niệm định lý phân bố giá trị cho hàm phân hình hàm nhỏ Giới thiệu khái niệm hàm phân hình chung giá trị, hàm nhỏ cặp hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM* Chứng minh số kết định lý điểm mở rộng định lý trường hợp hàm phân hình chung giá trị hay hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM* Chứng minh số kết quan hệ biến đổi Mobius hai hàm phân hình chúng chung cặp hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM* 46 Tài liệu tham khảo [1] Czubiak T., Gundersen G (1997), “Meromorphic functions that share pairs of values”, Complex Variables 34, pp 35–46 [2] Gundersen G (1979), “Meromorphic functions that share three or four values”, J London Math Soc 20, pp 457–466 [3] Gundersen G (1987), “Correction to meromorphic functions that share four values", Trans.Amer.Math.Soc.304, pp 847-850 [4] Hu P C., Li P., Yang C C (2003), Unicity of meromorphic mappings, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [5] Ishizaki K (2001), “Meromorphic functions sharing small functions”, Arch Math 77, pp 273– 277 [6] Ishizaki K., Toda N (1998), “Unicity theorems for meromorphic functions sharing four small functions”, Kodai Math J 21, pp 350–371 [7] Li B Q (1997), “Uniqueness of entire functions sharing four small functions”, Amer J Math 119 , pp 841–858 [8] Li P (2001), “Meromorphic functions that share four small functions”, J Math Anal Appl 263 , pp 316–326 [9] Li P., Yang C C (1997), “On two meromorphic functions that share pairs of small functions”, Complex Variables 32, pp 177–190 [10] Li P., Yang C C (1998), “On the characteristic of meromorphic functions that share three values CM” , J of Math Anal and Appl 220, pp 132–145 47 [11] Li P., Zhang Y (2004), “Meromorphic functions whose derivatives share small functions”, Kodai Math J 27, pp 261–271 [12] Li P., Yang C C (1998), “On the characteristic of meromorphic functions that share three values CM”, J of Math Anal and Appl 220, pp 132–145 [13] Li P., Yang C C (2009), “Meromorphic functions that share some pairs of small functions”, Kodai Math J 32, pp 130–145 [14] Li Y H., Qiao J Y (1999), “The uniqueness of meromorphic functions concerning small functions”, Adv Math (China) 28, pp 87–88 [15] Mues E (1989), “Meromorphic functions sharing four values”, Complex Variables 12, pp 167-179 [16] Nevanlinna R (1926), “Einige Eindentigkeissatze in der Theorie der Meromorphen funktionen”, Acta Math 48, pp 367-391 [17] Wang S.P (1993), “Meromorphic functions sharing four values”, J of Math Analysis and Appl 173, pp.359-369 [18] Yamanoi K (2004), “The second main theorem for small functions and related problems”, Acta Math 192, pp 225–294 [...]... Điều kiện CM* và IM* 1.2.1 Khái niệm về điều kiện IM* , CM* Trong mục này ta luôn kí hiệu f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức C, a là một giá trị hoặc một hàm nhỏ của f và g , nghĩa là a ∈ S(f ) ∩ S(g) Để trình bày khái niệm hai hàm phân hình chung nhau một giá trị hoặc một cặp giá trị với điều kiện CM* hoặc IM* , trước hết ta nhắc lại khái niệm về chung nhau với điều kiện IM, CM. .. cặp hàm 13 nhỏ CM* hoặc IM* Hiển nhiên nếu f và g chung nhau giá trị a (hàm nhỏ a) CM (IM) thì f và g chung nhau giá trị a (hàm nhỏ a CM* (IM* ) Định nghĩa 1.11 (Xem [13]) Ta nói rằng f và g chung nhau cặp các giá trị (a, b) IM (CM) nếu f (z) − a và g(z) − b có cùng các không điểm không tính bội (tính bội) Bây giờ ta mở rộng khái niệm chung nhau cặp các giá trị (a, b) đối với điều kiện IM* , CM* Cho f và. .. nhiên, hai hàm f và g chung nhau giá trị a CM thì cũng chung nhau giá trị a IM Tiếp theo ta nghiên cứu khái niệm các hàm chung nhau giá trị với điều kiện CM* và IM* Kí hiệu S(f = a = g) là tập tất cả các không điểm chung, không tính bội của f (z) − a(z) và g(z) − a(z), SE (f = a = g) là tập các các không điểm chung của f (z) − a(z) và g(z) − a(z) với cùng bội, S(k,l) (f = a = g) là tập tất cả các điểm là... và g chung nhau một giá trị a CM (hoặc IM) nếu f − a, g − a có cùng không điểm kể cả bội (không kể bội) Nếu 1/f và 1/g chung nhau giá trị 0 CM (IM) thì ta nói rằng f và g chung nhau giá trị ∞ CM (IM) Dễ thấy, nếu a là một điểm bỏ được Picard của f và g thì f và g chung nhau giá trị a CM, chẳng hạn, hàm ez và e−z chung nhau các giá trị 0 và ∞ CM là các điểm bỏ được Picard của chúng Hiển nhiên, hai hàm. .. g) và Định nghĩa 1.9 (Xem [4]) Ta nói hàm f và g chung nhau giá trị a IM* nếu N r, 1 f −a − N (r, f = a = g) = S(r, f ) N r, 1 g−a − N (r, f = a = g) = S(r, g) và Định nghĩa 1.10 (Xem [4]) Ta nói hàm f và g chung nhau giá trị ∞ CM* (IM* ) nếu 1/f và 1/g chung nhau giá trị 0 CM* (IM* ) Các khái niệm về chung nhau giá trị hoặc cặp giá trị CM* hoặc IM* được mở rộng một cách tự nhiên thành chung nhau các hàm. .. Bằng cách cộng m(r, F ) ≤ pm(r, f ) + qm(r, g) + S(r, f ) (1.12) trong đó Ψ = log+ |F (reiθ )| và Φ = log+ ( các bất đẳng thức trên, ta có Bất đẳng thức (1.10) được suy ra từ (1.11) và (1.12) 18 Chương 2 Hàm phân hình chung nhau hàm nhỏ với điều kiện CM* , IM* 2.1 Các hàm phân hình chung nhau bốn giá trị 2.1.1 Định lý bốn điểm với điều kiện CM* Hai kết quả quan trọng đầu tiên của giá trị chung nhau. .. giá trị phân biệt Nếu f và g chung nhau giá trị a1 CM và chung nhau giá trị a2 , a3 , a4 IM, hơn nữa nếu τ (a2 ) > 2/3 thì f và g chung nhau giá trị a2 , a3 , a4 CM, và từ đó suy ra kết luận của Định lý 2.2 Định lý 2.7 ([15]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng phân biệt và a1 , a2 , a3 , a4 là bốn giá trị phân biệt với tỉ lệ chéo (a1 , a2 , a3 , a4 ) = −1 Nếu f và g chung nhau giá trị a1 CM, a2... và g ta cũng có N r, 1 g − ai − N E (r, f = ai = g) = S(r, g), i = 3, 4 Như vậy f và g chung nhau giá trị a3 , a4 CM* Định lí 2CM+ 2IM= 4CM của Gundersen ([3]) phát biểu rằng rằng nếu hai hàm phân hình khác hằng chung nhau 2 giá trị CM và hai giá trị IM khác, thì chúng chung nhau 4 giá trị IM, và do đó chúng có mối quan hệ biến đổi Mobius với nhau Định lí sau đây là một phiên bản * của định lí 2CM+ 2IM= 4IM. .. , a3 , a4 IM và τ (a2 ) > 1/2 thì f và g chung nhau giá trị a2 , a3 , a4 CM, và từ đó suy ra kết luận của Định lý 2.2 Bằng cách sử dụng phương pháp của Mues, Wang đưa ra một cải thiện khác của định lý 2CM+ 2IM = 4CM như sau Định lý 2.8 ([17]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng phân biệt chung nhau giá trị a1 , a2 , a3 và a4 IM Nếu f = g và τ (a1 ) > 4/5, τ (a2 ) > 4/5 thì f và g chung nhau giá... (C) là tập tất cả các hàm phân hình trên C Với f ∈ M (C), đặt S (f ) = {g ∈ M (C) : T (r, g) = S(r, f )}, S ∗ (f ) = {g ∈ M (C) : T (r, g) = S ∗ (r, f )} Hiển nhiên S (f ) ⊂ S ∗ (f ) 1.2.2 Một số tính chất của các hàm Nevanlinna Bổ đề 1.3 ([9, 11]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, a1 , a2 và a3 là ba hàm nhỏ phân biệt của f và g Nếu f và g chung nhau các giá trị a1 , a2 , a3 CM* , và nếu ... niệm hàm phân hình chung giá trị, hàm nhỏ cặp hàm nhỏ với điều kiện IM* , CM* Chương 2: Chứng minh định lý điểm mở rộng định lý trường hợp hàm phân hình chung giá trị hay hàm nhỏ với điều kiện IM* ,... điều kiện CM* , IM* 18 2.1 Các hàm phân hình chung bốn giá trị 18 2.1.1 Định lý bốn điểm với điều kiện CM* 18 2.1.2 Hàm phân hình chung bốn giá trị 21 2.2 Các hàm phân hình. .. lý trường hợp hàm phân hình chung giá trị hay hàm nhỏ với điều kiện IM* , CM* Chứng minh số kết quan hệ biến đổi Mobius hai hàm phân hình chúng chung cặp hàm nhỏ với điều kiện IM* , CM* 46 Tài liệu