Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 ĐỀ THI HSG LỚP – QUẬN (2015-2016) Bài 1: (1,5 điểm) Thời gian: 120 phút  x 1 xy  x   xy  x x 1  Rút gọn biểu thức : A     1 :      xy  1  xy   xy  xy      Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a)  2x  3x  1 2x  5x  1  9x  x, y  1  xy  x  y   b)  yz  y  z  13 zx  x  z   Bài 3: (2 điểm) x y x y2 a) Cho x, y  Chứng minh rằng:        y x y x b) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện a + b =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a  b3  ab Bài 4: (2,5 điểm) Trong ABC lấy điểm O cho ABO  ACO Gọi H, K hình chiếu O lên AB, AC OB sin OAB a) Chứng minh:  OC sin OAC b) Gọi M, N trung điểm BC, HK Chứng minh rằng: MN vng góc với HK Bài 5: (1 điểm) Trong xưởng hàn người ta tiện chi tiết máy từ phơi thép Một phơi thép tiện chi tiết Từ phần thừa ba phơi thép tiện người ta nấu lại nhận phơi thép Hỏi từ 100 phơi thép người ta làm chi tiết máy? Giải thích  HẾT  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – – Quận Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 Hướng Dẫn Giải: ĐỀ THI HSG LỚP – QUẬN – (2015-2016) Bài 1: (1,5 điểm)  x 1 xy  x   xy  x x 1  Rút gọn biểu thức : A     1 :      xy  1  xy   xy  xy       x, y  1  x 1 x 1   x 1 x 1  A  :     xy  1  xy   xy  xy      =   1  x 1   :  xy  1  xy       1  x 1     xy  xy     xy :  xy  xy = xy = Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a)  2x  3x  1 2x  5x  1  9x Đặt t  2x  x  , phương trình trở thành:  t  5x  t  5x  t  4x  t  4x   9x  t 16x  9x  t  25x   2 TH2: t = -5x  2x  x   5x  2x  6x    x    2 TH1: t = 5x  2x  x   5x  2x  4x    x    xy  x  y   b)  yz  y  z  13 zx  x  z    x  1 y  1  x  y         xy  x  y  z   z   4   y  1 z  1  12      x   hay  x   2  yz  y  z  13   y  1 z  1  12   zx  x  z    z  1 x  1  y 1   y   3     z  1 x  1   x  y  z   24      Trang Học Sinh Giỏi Lớp – – Quận Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 z  z  3     x  hay  x  1 y   y  4   Bài 3: (2 điểm) a) Cho x, y  Chứng minh rằng: x y x y2   3     y x y x x y x y x y  x y  x y  x y2 Ta có:                      1     y x y x y x y x  y x  y x  2 2 x  y   x  y   x  y x  y2  xy x  y  2xy    0   (bất đẳng thức 2 xy xy 2x y x, y  ) b) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện a + b =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a  b3  ab 1 (vì a + b =1)   a  b   3ab  a  b     3ab  ab ab ab Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương, ta có: 1 16ab   16ab   16ab   1 ab ab ab Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương, ta có: 19 a  b  ab   ab  ab   19ab  2 4 19 19 17 Từ (1) (2), ta suy ra: 3ab     3ab       P  ab ab 4 17 Vậy giá trị nhỏ P Dấu ‘’=’’ xảy a  b  Ta có: P  a  b3  Bài 4: (2,5 điểm) Trong ABC lấy điểm O cho ABO  ACO Gọi H, K hình chiếu O lên AB, AC A K N H O B Trang E F M Học Sinh Giỏi Lớp – C – Quận với Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long a) Chứng minh: 2015 -2016 OB sin OAB  OC sin OAC OH Ta có: OB sin OBH OH OA sin OAH sin OAB     OK OC OK OA sin OAK sin OAC sin OCK b) Gọi M, N trung điểm BC, HK Chứng minh rằng: MN vng góc với HK Gọi E, F trung điểm OB, OC Dễ chứng minh tứ giác MEOF hình bình hành  MEO  MFO OEH  2OBA Ta chứng minh được:  mà OBA  OCA (gt) nên OEH  OFK OFK  2OCA   MEO  MFO  MEO  OEH  MFO  OFK  MEH  MFK Ta có :  OEH  OFK   Từ chứng minh MEH  KFM  c  g  c   MH  MK  MHK cân M Mà MN đường trung tuyến (N trung điểm HK) Nên MN đường cao MHK  MN  HK Bài 5: (1 điểm) Trong xưởng hàn người ta tiện chi tiết máy từ phơi thép Một phơi thép tiện chi tiết Từ phần thừa ba phơi thép tiện người ta nấu lại nhận phơi thép Hỏi từ 100 phơi thép người ta làm chi tiết máy? Giải thích Từ 100 phơi thép ta lấy phơi thép làm chi tiết máy thu lại phơi thép Như vậy, lại 100    98 phơi thép Tiếp tục, ta lấy phơi thép làm chi tiết máy thu lại phơi thép, lại 96 phơi thép …cứ tiếp tục thế, cuối lại phơi thép làm chi tiết máy Số lượt làm chi tiết máy 100   :  49 Số chi tiết máy làm : 49.3   149  HẾT  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – – Quận ... Trang Học Sinh Giỏi Lớp – – Quận Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 z  z  3     x  hay  x  1 y   y  4   Bài 3: (2 điểm) a) Cho x, y  Chứng minh rằng:... hình chiếu O lên AB, AC A K N H O B Trang E F M Học Sinh Giỏi Lớp – C – Quận với Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long a) Chứng minh: 2015 -2016 OB sin OAB  OC sin OAC OH Ta có: OB... tiết máy Số lượt làm chi tiết máy 100   :  49 Số chi tiết máy làm : 49. 3   1 49  HẾT  Trang Học Sinh Giỏi Lớp – – Quận