TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ - - TÌM HIỂU VỀ NGUYÊN TỬ HYDRO Luận văn tốt nghiệp Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ T Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực ThS Nguyễn Thị Thúy Hằng Nguyễn Huyền Trâm Mã số SV: 1110222 Lớp: TL1102A1 Khóa: 37 Cần Thơ, năm 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ - - TÌM HIỂU VỀ NGUYÊN TỬ HYDRO Luận văn tốt nghiệp Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ T Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực ThS Nguyễn Thị Thúy Hằng Nguyễn Huyền Trâm Mã số SV: 1110222 Lớp: TL1102A1 Khóa: 37 Cần Thơ, năm 2014 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian dài tìm hiểu, nghiên cứu làm việc nghiêm túc, hoàn thành luận văn Để đạt kết nhờ cố gắng thân năm tháng giảng đường, giúp đỡ gia đình hướng dẫn tận tình quý thầy cô, bạn bè suốt năm học trường Và em xin chân thành cám ơn đến quý thầy cô tạo kiện giúp hoàn thành luận văn Đặc biệt em xin tri ân đến cô ThS-GVC Nguyễn Thị Thúy Hằng Cô tận tình hướng dẫn, dìu dắt bước giúp hoàn thành luận văn Với tất cố gắng mình, hy vọng luận văn mang đến cho người đọc điều mẻ Mặc dù vậy, luận văn hẳn thiếu sót, mong góp ý quý thầy cô bạn bè để đề tài ngày hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Cần Thơ, ngày 15 tháng 11 năm 2014 Nguyễn Huyền Trâm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ MỤC LỤC MỤC LỤC .i PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục tiêu đề tài Giới hạn đề tài Phương pháp nghiên cứu Các bước thực đề tài PHẦN NỘI DUNG .3 CHƯƠNG SỰ RA ĐỜI CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ VÀ HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT 1.1 SỰ BẾ TẮC CỦA VẬT LÝ CỔ ĐIỂN VÀ SỰ RA ĐỜI CỦA MÔN CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1.1 Max Planck vấn đề xạ vật đen 1.1.2 Albert Einstein hiệu ứng quang điện 1.1.3 Neils Bohr quang phổ nguyên tử .7 1.2 SÓNG VẬT CHẤT CỦA DE BROGLIE 1.2.1 Bản chất sóng electron 1.2.2 Giả thuyết de Broglie 10 1.3 HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT 10 1.4 NGUYÊN LÍ CHỒNG CHẤT TRẠNG THÁI 12 1.5 SỰ CHUẨN HÓA HÀM SÓNG 12 CHƯƠNG TOÁN TỬ 13 2.1 ĐỊNH NGHĨA, VÍ DỤ VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 13 2.1.1 Định nghĩa 13 2.1.2 Các ví dụ toán tử .13 2.2 CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TOÁN TỬ 13 2.3 HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ 14 2.4 TOÁN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (TOÁN TỬ HERMITIC) 15 2.4.1 Định nghĩa toán tử hermitic 15 2.4.2 Các tính chất toán tử hermitic 15 2.5 CHÚ THÍCH VỀ TRƯỜNG HỢP TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤC 17 CHƯƠNG CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 18 3.1 CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 18 3.2 TÍNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC 19 3.3 TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH 21 3.4 TRƯỜNG HỢP TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤC 22 3.4.1 Biểu thức xác suất 22 3.4.2 Giá trị trung bình 23 3.4.3 Tính hệ số phân tích 23 3.5 TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG LƯỢNG 24 3.5.1 Toán tử tọa độ xˆ .24 3.5.2 Toán tử xung lượng .24 i Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ 3.6 DẠNG CỦA CÁC TOÁN TỬ KHÁC 25 3.6.1 Toán tử lượng 25 3.6.2 Toán tử mômen động lượng 26 3.7 SỰ ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC 26 3.8 HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 28 CHƯƠNG MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG 29 4.1 TOÁN TỬ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG 29 4.2 TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG 32 4.3 HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG 33 4.4 MẪU VECTƠ VÀ PHÉP CỘNG MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG 40 4.4.1 Mẫu vectơ mômen động lượng .40 4.4.2 Phép cộng mômen động lượng 41 4.5 TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM CẦU ĐỐI VỚI PHÉP NGHỊCH ĐẢO KHÔNG GIAN 41 4.5.1 Toán tử nghịch đảo không gian .41 4.5.2 Tính chẵn lẻ hàm cầu 42 CHƯƠNG THẾ XUYÊN TÂM- NGUYÊN TỬ HYDRO 44 5.1 THẾ XUYÊN TÂM- CHUYỂN ĐỘNG TRONG MỘT THẾ XUYÊN TÂM 44 5.1.1 Thế xuyên tâm .44 5.1.2 Chuyển động xuyên tâm 44 5.2 PHẦN PHỤ THUỘC R CỦA HÀM SÓNG 45 5.3 CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG COULOMB NGUYÊN TỬ HYDRO PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI VỚI R(r) 47 5.4 BIỂU THỨC NĂNG LƯỢNG THÀNH PHẦN PHỤ THUỘC R CỦA HÀM SÓNG 50 5.5 CÁC HÀM RIÊNG 52 5.6 CÁC LƯỢNG TỬ SỐ VÀ TRẠNG THÁI SUY BIẾN CỦA NĂNG LƯỢNG 54 5.6.1 Các lượng tử số .54 5.6.2 Trạng thái suy biến lượng .54 5.7 QUANG PHỔ NGUYÊN TỬ HYDRO 55 5.8 SỰ PHÂN BỐ ELECTRON QUANH HẠT NHÂN NGUYÊN TỬ HYDRO 57 5.9 HIỆU ỨNG ZEEMAN 59 PHẦN KẾT LUẬN 61 PHỤ LỤC I PHỤ LỤC .I PHỤ LỤC .I PHỤ LỤC .I PHỤ LỤC II PHỤ LỤC III PHỤ LỤC IV PHỤ LỤC V TÀI LIỆU THAM KHẢO VII ii Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ iii Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Ngày nay, khoa học có phát triển không ngừng, đòi hỏi người phải luôn phấn đấu, nghiên cứu sáng tạo Đối với Vật lý, việc nghiên cứu ngày có vai trò quan trọng ứng dụng ngày rộng rãi Việc nghiên cứu Vật lý sở cho việc phát triển khoa học, kỹ thuật có ý nghĩa to lớn đường tiến tới giới văn minh loài người Vật lý cổ điển đời dựa hai hệ thống thuyết học Newton thuyết điện trường Maxwell, hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh phù hợp với thực nghiệm phạm vi Nhưng đến cuối kỉ XIX trở sau, có nhiều tượng vật lý mà Vật lý học cổ điển giải thích giải thích bền vững nguyên tử, xạ vật đen tuyệt đối, tách vạch quang phổ nguyên tử Hydro trường Do đòi hỏi phải có thuyết đời để giải thích vấn đề Từ Vật lý học đại đời đánh dấu bước phát triển cao ngành Vật lý học Cơ học lượng tử sở lý thuyết để nghiên cứu hạt vi mô, thuộc nhiều chuyên ngành khác Vật lý Hóa học Vật lý chất rắn, Hóa lượng tử, Vật lý hạt, nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật Khái niệm lượng tử để số đại lượng vật lý lượng, không liên tục mà rời rạc Vì mong muốn tìm hiểu khoa học, có niềm yêu thích với môn học lượng tử toán nguyên tử Hydro toán học lượng tử, có tầm quan trọng ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học nên định chọn đề tài này: “ TÌM HIỂU VỀ NGUYÊN TỬ HYDRO” làm luận văn tốt nghiệp Mục tiêu đề tài Tìm lượng hàm sóng electron nguyên tử Hydro để làm điều ta cần tìm hiểu rõ số vấn đề sau: - Hàm sóng vật chất - Toán tử, hàm riêng, trị riêng, phương trình trị riêng toán tử - Các tiên đề học lượng tử - Hàm riêng trị riêng toán tử mômen động lượng - Thế xuyên tâm, chuyển động xuyên tâm Giới hạn đề tài Tìm lượng hàm sóng electron nguyên tử Hydro trạng thái liên kết Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết, phân tích tổng hợp tài liệu - Sử dụng sách, báo, khai thác thông tin Internet để tìm hiểu học lượng tử, cụ thể nguyên tử Hydro Các bước thực đề tài - Bước 1: Nhận đề tài - Bước 2: Tìm kiếm, nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài - Bước 3: Tiến hành viết đề cương trao đổi với giáo viên hướng dẫn - Bước 4: Viết luận văn - Bước 5: Nộp thảo cho giảng viên hướng dẫn, xin ý kiến - Bước 6: Chỉnh sửa hoàn tất nội dung đề tài - Bước 7: Báo cáo nội dung đề tài Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG SỰ RA ĐỜI CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ VÀ HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT 1.1 SỰ BẾ TẮC CỦA VẬT LÝ CỔ ĐIỂN VÀ SỰ RA ĐỜI CỦA MÔN CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Cuối kỉ XIX, vật lý cổ điển công nhận phát triển hoàn thiện Đối tượng nghiên cứu vật lý cổ điển tính chất vật lý hệ vĩ mô Nhưng vào cuối kỉ XIX, nhờ phát triển khoa học kỹ thuật, nhà khoa học có hội tiếp cận hệ vi mô cấp độ phân tử, nguyên tử, hạt hạ nguyên tử,… Từ xuất tượng vật lý giải thích lí thuyết cổ điển, ví dụ như: tượng xạ vật đen tuyệt đối, hiệu ứng quang điện, quang phổ vạch nguyên tử,… dẫn đến việc xây dựng khái niệm lượng tử, bước đầu việc hình thành học lượng tử Cơ học lượng tử học thuyết nghiên cứu quy luật vận động tính chất hệ vi mô.[1] 1.1.1 Max Planck vấn đề xạ vật đen 1.1.1.1 Bức xạ nhiệt Hình 1.1 Năng lượng xạ vật đen phụ thuộc vào bước sóng nhiệt độ vật Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ   (2l  1)      (2n  1)   2n  n  n2 Để đánh dấu trạng thái khác electron, quang phổ học thường dùng kí hiệu gồm hai chữ số: chữ số đầu tương ứng với số lượng tử n, số thứ hai tương ứng với số lượng tử quỹ đạo l Nhưng thói quen nên người ta không viết chữ số thứ hai số mà viết chữ la tinh tương ứng với chữ số l Nghĩa thay viết l =0,1,2,4… người ta viết s, p, d, f, g… Ví dụ: n=1; l =0 ta kí hiệu trạng thái 1s ( trạng thái bản) n=2; l =1 ta kí hiệu trạng thái 2p n=3; l =0 ta kí hiệu trạng thái 3s[6] 5.7 QUANG PHỔ NGUYÊN TỬ HYDRO Ta có biểu thức lượng electron nguyên tử Hydro ion tương tự là: E n  k z e m0 2n  Và lượng nguyên tử Ta thấy mức lượng bị lượng tử hóa theo số nguyên (n=1,2,3, ) Công thức trùng với công thức Bohr thu năm 1913 sở hai tiên đề Bây ta xét chi tiết lượng nguyên tử Hydro Với n=1 mức lượng thấp ứng với trạng thái Còn trạng thái khác ứng với mức m0 e lượng có n  gọi trạng thái kích thích Đặt R  K , gọi số Rydberg, có 2 2 giá trị 13,6 eV thì: En   R z2 n2 với z=1 ứng với nguyên tử Hydro Mức lượng thấp nguyên tử ứng với n=1 Do mức lượng thấp nguyên tử Hydro E1  - 13,6 eV Khi n lớn mức lượng nguyên tử cao gần hơn, n   En=0, sau chuyển sang miền lượng liên tục E > Nguyên tử bị ion hóa nguyên tử có electron xa hạt nhân (electron tự do) Vậy muốn ion hóa nguyên tử trạng thái liên kết ta phải cấp cho lượng để electron tự (có lượng E=0) Ta xét lượng ion hóa trường hợp electron trạng thái có lượng E1 Gọi w0 lượng ion hóa, ta có: w0+ E1=  w0 = -E1 = 13,6 eV Khi nguyên tử trạng thái có mức lượng cao chuyển trạng thái có mức lượng thấp nguyên tử phát xạ xạ (photon) có tần số xác định là: Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý 55 Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 m, n  Em  En Trường Đại học Cần Thơ (m > n, Em > En) Em  En  R R ( )  ( ) n  R (  )  m   n2 m2   m, n   m , n Hình 5.2 Sơ đồ mức lượng electron nguyên tử Hydro Dãy Laiman: nằm vùng tử ngoại gồm vạch tương ứng với xạ nguyên tử chuyển từ trạng thái n  trạng thái n=1 Lúc tần số xạ tương ứng với vạch tính công thức:  n,1  R (1  )  n Dãy Banme: dãy gồm vạch tương ứng với xạ nguyên tử chuyển từ trạng thái có n  mức n=2 Khi đó, tần số xạ tương ứng với vạch tính công thức: n ,3  R 1 (  ) , tất vạch nằm vùng khả kiến vùng hồng ngoại  33 n3 Dãy Pasen: dãy gồm vạch tương ứng với xạ nguyên tử chuyển từ trạng thái có n  mức n=3 Khi đó, tần số xạ tương ứng với vạch tính công thức: n ,3  R 1 (  )  33 n3 Đối với ion tương tự Hydro tần số xác định: m, n z2R 1  (  2)  n m Nó lớn xạ tương tự quang phổ nguyên tử Hydro z lần [6] Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý 56 Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ 5.8 SỰ PHÂN BỐ ELECTRON QUANH HẠT NHÂN NGUYÊN TỬ HYDRO Hàm sóng mô tả trạng thái electron nguyên tử hydro  n,l , m (r , ,  ) mật độ xác suất tìm thấy hạt có tọa độ r, , là:  n , l , m   n ,l , m Như xác suất tìm thấy hạt thể tích dv dw =  dv Ta ý rằng: dv = rdrdRd với R  r sin   dv  r 2dr sin dd thay  n, l , m = An ,l Rn,l Yl m ta có: dW  An2,l Rn2,l r dr Yl m sin dd Nếu xét phân bố xác suất theo khoảng cách từ r  (r  dr ) vế phải phải lấy tích phân theo toàn miền biến thiên   :  dw(r )  An2,l Rn2,l r dr   Y m l sin dd Nếu hạt trạng thái (n=1, l =0, m=0) hàm sóng hạt là:  1,0,  r   a    e  a 2 Do dw(r )   1, 0, r dr  sin d  d 0 Thực phép tính ta được: dW (r )  4( )3 e a 2 r a r dr Suy xác suất tìm thấy hạt có tọa độ r là:  (r )  Trong a  dW (r ) 4 3e dr a 2 r a r2 2 gọi bán kính Bohr thứ nhất, có giá trị 0,529.10-10 m m0e Khoảng cách bán kính nguyên tử Hydro Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý 57 Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ Hình 5.3 Đồ thị mật độ xác suất electron quanh nguyên tử hydro Từ biểu thức mật độ xác suất, ta suy mật độ xác suất tìm thấy hạt lớn tọa độ r=a Chú ý kích thước hạt nhỏ nên chấp nhận độ xác, ta lấy a=1 đơn vị đo Khi mật độ xác suất tìm thấy hạt lớn r=a  (a ) =0,54 Kết luận: Electron nguyên tử Hydro không chuyển động theo quỹ đạo xác định quan điểm cổ điển Ta hình dung electron bao quanh hạt nhân đám mây Đám mây mô tả Hình 5.4, vùng có độ xám dày đặc khoảng cách ứng với xác suất cực đại Điều chứng tỏ tồn lưỡng tính sóng hạt l =0 m=0 l =1 m=-1 m=-2 m=0 l =2 m=-1 m=0 m=1 m=1 m=2 Hình 5.4 Electron xung quanh hạt nhân [11] Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý 58 Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ 5.9 HIỆU ỨNG ZEEMAN Hiện tượng Zeeman tượng tách vạch quang phổ nguyên tử thành nhiều vạch sít nguyên tử phát sáng đặt từ trường Thí nghiệm: Đặt nguồn khí Hydro phát sáng hai cực nam châm điện, nam châm điện tạo từ trường mạnh Khi quan sát xạ phát theo phương vuông góc với từ trường vạch quang phổ nguyên tử Hydro tách thành vạch sít Không có từ trường Có từ trường Hình 5.5 Mô tả tách vạch Zeeman  Hiện tượng Zeeman giải thích sau: Vì electron có mômen từ  nên  nguyên tử Hydro đặt từ trường B electron có thêm lượng phụ:  E    B  Giã sử từ trường B nằm dọc theo phương z ta có: E    z B  m B B Vậy nguyên tử Hydro đặt từ trường, lượng E’ electron có thêm lượng từ trường tác dụng lượng phụ thuộc vào lượng tử m: E '  E  E  E   z B  E  m B B E lượng electron nguyên tử Hydro không đặt từ trương, đó: E2'  E1' E2  m2  B B  ( E1  m1 B B)  h h E  E1 (m2  m1 )   BB h h E E Nhưng f  nên: h f ' f ' E 2'  E1' ( m  m1 )  f  BB h h Vì lượng phụ thuộc vào số lượng tử từ, chuyển trạng thái phải tuân theo qui tắc lựa chọn m m  0,1 Tần số có giá trị: Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý 59 Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ f ' f  BB h f ' f B B h nghĩa vạch quang phổ từ trường tách thành vạch có từ trường vạch trùng với vạch cũ [11] f ' f  Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý 60 Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ PHẦN KẾT LUẬN Nguyên tử Hydro nguyên tử đơn giản, bao gồm electron chuyển động xung quanh hạt nhân Bằng cách áp dụng lý thuyết hạt chuyển động xuyên tâm để giải phương trình schrodinger, luận văn tìm hiểu biểu thức lượng hàm sóng electron nguyên tử Hydro Trên sở giải thích quang phổ nguyên tử Hydro Khi tìm hiểu nguyên tử Hydro, ta tìm lượng nguyên tử Hydro là: En  K 2e 4m0 (n=1,2,3) 2 n Từ kết ta thấy lượng nguyên tử Hydro bị lượng tử hóa lượng tử số n, tức ứng với giá trị n ta có mức lượng Như lượng nguyên tử không liên tục mà gián đoạn Khi nguyên tử Hydro trạng thái cở tương ứng với n=1 mức lượng E1  13,6eV , mức lượng thấp nguyên tử Hydro Từ ta xác định lượng ion hóa w0=13,6 eV cần cung cấp để đưa electron từ trạng thái liên kết có lượng thấp đưa nguyên tử trở thành tự Và ta tìm hàm sóng nguyên tử hydro có dạng:  ( nlm ) (r ,  ,  )  Rn,l (r )Yl m ( ,  ) Từ việc giải toán vấn đề liên quan đến nguyên tử Hydro, ta mở rộng cho nguyên tử có nhiều electron chuyển động xung quanh hạt nhân Việc giải toán nguyên tử có nhiều electron điều dễ dàng, nhiên, hy vọng từ bước đầu giải toán nguyên tử Hydro giúp tất bạn có đam mê nghành học “ Vật lý lý thuyết” thực tiếp công việc nghiên cứu Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý 61 Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý Trường Đại học Cần Thơ 62 Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ PHỤ LỤC PHỤ LỤC d Ví dụ: Tìm hàm riêng trị riêng toán tử Aˆ  i , biết hàm riêng tuần hoàn dx khoảng (0, L) Từ phương trình trị riêng Aˆ : i dΨ n  x  dΨ n  x  dΨ n  x   AnΨ n  x    iAn dx    iAn dx  ln Ψ n  x   iAn x  C' dx Ψ n x  Ψ n x    Ψ n  x   eiAn x  C'  Ψ n  x   CeiAn x Hằng số C xác định từ điều kiện chuẩn hóa Theo đề bài, hàm riêng tuần hoàn khoảng (0, L) nên ta có: Ψ n  L   Ψ n 0  CeiAn L  Ce iAn  eiAn L   cos An L    An L  2nππ (n  Ν)  An  2nπ L 2nπ Vậy trị riêng Aˆ An  ứng với hàm riêng Ψ n x   Ce iA x n L Nhận xét: An có giá trị gián đoạn theo số n PHỤ LỤC Một số dạng toán tử:   * Toán tử Aˆ * định nghĩa sau: Aˆ * *  Aˆ  ~ Toán tử chuyển vị:  Aˆ   Aˆ  ~   Toán tử liên hiệp: Aˆ   Aˆ * Toán tử tự liên hiệp tuyến tính: Aˆ  Aˆ  Aˆ Aˆ *  Aˆ * Aˆ  Aˆ u  x   v  x   Aˆ * u*  x   v*  x  PHỤ LỤC Tính hệ số phân tích Theo tiên đề 3, để tính xác suất hay giá trị trung bình biến số động lực ta cần biết hệ số phân tích Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý I Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ Nhân hai vế phương trình Ψ   ci Ψ i với Ψ*k ( k hàm riêng thứ k i toán tử hermitic đó) lấy tích phân ta được: *  Ψ Ψd x   Ψ  c Ψ d x    * k k x i i i x *   ci  Ψ k Ψ i d  x  x i   ci δki i  ck k  i (vì δki  k  i ) PHỤ LỤC Chứng minh biểu thức giá trị trung bình A biến số động lực A Vì toán tử hermitic nên hàm riêng Aˆ lập thành hệ đủ Trong trường hợp phổ liên tục ta có: Ψ*   c*A' Ψ*A' dA' ; Ψ   c AΨ AdA A' A Từ ta có:  Ψ Aˆ Ψd x     c * * A' x x A'  Ψ*A' dA' Aˆ  c AΨ AdAd  x   A * A'   c x A' * A'   c x A' Ψ*A' dA'  c A Aˆ Ψ AdAd  x  A Ψ dA'  c A AΨ AdAd  x    c A AdA  c dA'  Ψ*A' Ψ Ad  x  * A' * A' A A x A'   c A AdA  c 'δ  A'-AdA   c c AdA * A' A * A A A' A   c A AdA A  Ψ Ψd x     c   * x * A' x A' Ψ*A' dA'  c AΨ A dAd  x    c A dA  c*A' dA'  Ψ*A' Ψ Ad  x  A A A' x   c AdA  c*A''δ  A'-AdA   c Ac*A dA A A' A   c A dA A Suy ra: Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý II Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ  Ψ Aˆ Ψd x   c * A x *  Ψ Ψd x   x  A A AdA A c A dA A cA 2  cA dA AdA   ρ A AdA A A PHỤ LỤC Chứng minh đẳng thức (3.36) Nếu Cˆ toán tử hermitic phương trình sau phải thỏa mãn:   Cˆ d x   Cˆ  d x  * * x * (1) x Từ [ Aˆ ,Bˆ ]  iCˆ ta có: [ Aˆ ,Bˆ ]  iCˆ  Cˆ  -i[ Aˆ ,Bˆ ]  Cˆ  i[ Bˆ ,Aˆ ]     * Suy Cˆ  i Bˆ Aˆ -Aˆ Bˆ Cˆ  i Bˆ Aˆ -Aˆ Bˆ   Xét vế trái phương trình (1) thay Cˆ  i Bˆ Aˆ -Aˆ Bˆ ta được:   VT   *Cˆ d  x    * i Bˆ Aˆ -Aˆ Bˆ  d  x  x  x               i * Bˆ Aˆ   Ψ * Aˆ Bˆ  d  x    i Aˆ  Bˆ * *  Bˆ  Aˆ * * d  x  x x          * *   i Aˆ * Bˆ * *  Bˆ * Aˆ * * d  x    i  Aˆ Bˆ   Bˆ Aˆ   d  x    x x       *    -i Bˆ Aˆ  Aˆ Bˆ * d  x    Cˆ * * d  x  x x  VP Gọi A B giá trị trung bình hai biến số động lực A B Độ lệch khỏi giá trị trung bình: ΔA  A  A ΔB  B  B Những đại lượng biểu diễn toán tử: ΔAˆ  Aˆ  A ΔBˆ  Bˆ  B Từ ta có: Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý III Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ [ ΔAˆ ,ΔBˆ ]  [ Aˆ  A ,Bˆ  B ]  Aˆ  A Bˆ  B  Bˆ  B Aˆ  A  Aˆ Bˆ -Aˆ B  A Bˆ  A B -Bˆ Aˆ  Bˆ A  B Aˆ -B A        Aˆ Bˆ -Bˆ Aˆ  [ Aˆ ,Bˆ ]  iCˆ   Từ suy ra: Cˆ  i[ Aˆ ,Bˆ ]  i Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ PHỤ LỤC Xét mối quan hệ ΔA,  ΔB  Xét tích phân I α     αΔAˆ  iΔBˆ  d x  x Trong α thông số thực Vì hàm dấu tích phân bình phương môđun số phức nên âm Do I    Ta có: I α    αΔAˆ  iΔBˆ  d x  x  αΔAˆ  iΔBˆ  αΔAˆ  iΔBˆ   d x   I α    αΔAˆ  iΔBˆ  αΔAˆ  iΔBˆ  d  x  *  I α   * x * * * x    ˆ ΔB ˆ toán tử hermitic nên αΔAˆ  iΔBˆ toán tử hermitic Vì ΔA Ta viết lại tích phân I   :       α ΔAˆ      α ΔAˆ    iα ΔAˆ ΔBˆ -ΔBˆ ΔAˆ   ΔBˆ d  x   αCˆ  ΔBˆ d  x  I α     * αΔ Aˆ  iΔBˆ αΔAˆ  iΔBˆ d  x  x * 2 * 2 x 2 x Giả sử hàm sóng φ chuẩn hóa, ta có: Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý IV Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ  I      *  2Aˆ  Cˆ  Bˆ  x    A2  C  B 2  C  C     A2     B   A2  A2  Vì I    nên: C    A2 B  C  A B   ΔA2 ΔB  C Đặt (1) ΔA2   ΔA gọi độ bất định A ; ΔB   ΔB  gọi độ bất định B C (1) viết lại thành: ΔA ΔB   (2) (2) hệ thức bất định Heisenberg Hệ thức cho ta biết độ bất định đo đồng thời hai biến số động lực A B PHỤ LỤC DẠNG CỦA TOÁN TỬ LAPLACE TRONG TỌA ĐỘ CẦU  Dạng did A trọng hệ tọa độ cong trục giao:  did A   ( A1h2 h3 ) ( A2 h3h1 ) ( A3h1h2 )      h1h2 h3  q1 q2 q3  Dạng grad trọng hệ tọa độ cong trục giao:    e  e2  e3  grad    h1 q1 h2 q2 h3 q3 Với:  (q1 , q2 , q3 ) hàm vô hướng, h1 , h2 , h3 hệ số Lame hệ tọa độ cong dang xét 2  x   y   z  Ta có: hi          với qi (i  1,2,3) ba số xác định tọa độ  qi   qi   qi   điểm hệ tọa độ cong, ei (i  1,2,3) vectơ đơn vị đường tọa độ hệ tọa độ cong (các vectơ có phương tiếp tuyến với đường tọa độ có chiều tăng tọa độ qi )  A vectơ hệ tọa độ cong  A1 , A2 , A3 thành phần vectơ A pháp tuyến mặt tọa độ Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý V Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ Ta có: Didgrad         h2h3     h3h1     h1h2         (1)  h1h2 h3  q1  h1 q1  q2  h2 q2  q3  h3 q3  Ta biết tọa độ cầu, vị trí điểm xác định ba số: q1  r , q2   , q3   Ta có hệ thức liên hệ hệ tọa độ cầu hệ tọa độ Descaster vuông góc: x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos  Các hệ số Lame hệ tọa độ cầu: 2 x y z  x   y   z  hr          , với  sin  cos  ,  sin  sin  ,  cos r r r  r   r   r  Vậy hr  sin  cos 2  sin  sin  2  cos 2  hr  2 2 2  x   y   z  2 2 h           r cos cos   r sin  cos    r sin    r  h  r           x   y   z  2 h            r sin  sin    r cos  sin     r sin   h  r sin           Thế hệ số Lame vào phương trình (1) ta dạng toán tử Laplace tọa độ cầu:    r.r sin      1.r sin      1.r           r    r     r sin      r    1.r r sin     r sin             r   sin   2 r r  r  r sin      r sin                   sin     r sin  r        sin     r   Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý       r   sin  r r  r  r sin     VI   2        2       2  r sin     Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Dũng, Nhập môn Cơ học lượng tử NXB Giáo dục, 1999 [2] physics.weber.edu [3] chemwiki.ucdavis.edu [4] www.pitt.edu [5] hyperphysics.phy-astr.gsu.edu [6] Phạm Quý Tư – Đỗ Đình Thanh, Cơ học lượng tử NXB ĐHQG Hà Nội, 1999 [7] Nguyễn Xuân Tư, Giáo trình Cơ học lượng tử Đại học Cần Thơ, 2006 [8] Nguyễn Thị Thúy Hằng, Áp dụng toán hệ hai hạt cho hạt nhân Deuteron giải thích tính không bền vững hạt Deuteron Cần thơ, 2003 [9] Trần Xuân Vinh, Từ toán nguyên tử hydro đến toán nguyên tử heli Cần Thơ, 2000 [10] Trần Thị Kiểm Thu, Sử dụng phương trình Lagendre để tìm lượng hàm sóng Cần Thơ, 2009 [11] Dương Hiếu Đẩu- Nguyễn Thanh Phong, Giáo trình Cơ học lượng tử NXB Đại học Cần Thơ, 2014 Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý VII Khoa Sư Phạm [...]... và một số nguyên lý, phép toán Là tiên đề để giải quyết của bài toán về nguyên tử Hydro Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý 12 Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ CHƯƠNG 2 TOÁN TỬ 2.1 ĐỊNH NGHĨA, VÍ DỤ VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 2.1.1 Định nghĩa Toán tử là một ánh xạ khi tác dụng lên một hàm bất kì thì nó biến hàm đó thành một hàm khác Aˆ    Trong đó: Aˆ là toán tử Ψ và ... CHÚ THÍCH VỀ TRƯỜNG HỢP TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤC Ta đã biết toán tử có phổ liên tục là toán tử có các trị riêng là liên tục Ví dụ toán tử Aˆ  i d , nếu không có điều kiện gì về hàm riêng thì trị riêng của Aˆ có giá trị liên tục dx và thuộc khoảng  ,  Phương trình trị riêng của toán tử có phổ liên tục: Aˆ A  AA Vì toán tử có phổ liên tục nên ta dùng trị riêng A làm chỉ số chạy Toán tử có phổ... được dùng để xác định các chất khí chưa biết [4] Hình 1.5 Quang phổ của khí Hydro [4] Đây là quang phổ của khí hydro Ánh sáng phát xạ bởi các nguyên tử của nguyên tố hydro ở trạng thái kích thích bị trải ra thành các tần số thành phần 1.1.3.2 Sự thất bại của mẫu hạt nhân Rutherford Theo mẫu hạt nhân Rutherforde, một nguyên tử giống như một Hệ Mặt Trời thu nhỏ Nó có hạt nhân nặng, kích thước nhỏ và... hàm riêng của toán tử Aˆ ; A là trị riêng của toán tử Aˆ ứng với hàm riêng Ψ; phương trình Aˆ   A là phương trình trị riêng của Aˆ [7] Dựa vào phổ của trị riêng ta phân toán tử thành hai loại: Các trị riêng gián đoạn  toán tử có phổ gián đoạn Các trị riêng liên tục  toán tử có phổ liên tục Để tìm hàm riêng và trị riêng của một toán tử, ta phải giải phương trình trị riêng của toán tử đó Chuyên ngành... một phổ gián đoạn - Nguyên tử chỉ phát xạ hoặc hấp thụ năng lượng khi nó chuyển từ trạng thái dừng này sang trạng thái dừng khác Tần số  của photon do nguyên tử phát xạ hoặc hấp thụ bằng  En  En '  (1.4) trong đó En và En ' là năng lượng của trạng thái đầu và trạng thái cuối Thuyết nguyên tử Bohr cho phép giải quyết hai bế tắc của vật lí học cổ điển là tính bền vững của nguyên tử và hiện tượng quang... toán tử có phổ gián đoạn Điều kiện chuẩn hóa của toán tử có phổ liên tục:    d x    * A A x Tích phân này tiến tới vô cực vì hàm Ψ hữu hạn khi x   Phần trên ta đã tìm hiểu về toán tử và các vấn đề quan trọng liên quan đến toán tử như: các tính chất, các phép tính, hàm riêng, trị riêng, phương trình trị riêng Và từ những kiến thức trên, ta có thể vận dụng một cách hiệu quả vào bài toán của nguyên. .. hàm riêng của toán tử B hàm riêng của Bˆ Tức là: Bˆ   Bk k Vậy muốn đo chính xác đồng thời hai biến số động lực A , B của hệ lượng tử ở cùng một trạng thái thì hai toán tử Aˆ và Bˆ phải có chung hàm riêng Ta sẽ chứng minh điều kiện cần và đủ để hai toán tử có chung hàm riêng là hai toán tử đó phải giao hoán với nhau Tức là giao hoán tử của chúng bằng 0 Điều kiện cần (hai toán tử có chung hàm riêng...  A 2 (1.3) 1.1.3 Neils Bohr và quang phổ nguyên tử 1.1.3.1 Quang phổ nguyên tử Phân tích về bức xạ vật đen và hiệu ứng quang điện đã cung cấp những manh mối đầu tiên về dạng vật chất có lưỡng tính sóng-hạt Năm 1896, Thomson đã tìm ra manh mối về tính chất sóng của các electron từ việc quan sát quang phổ nguyên tử [4] Nếu các chất khí được cung cấp năng lượng bằng cách nung nóng hoặc phóng điện qua... dụng một cách hiệu quả vào bài toán của nguyên tử hydro Chuyên ngành Sư phạm Vật Lý 17 Khoa Sư Phạm Luận văn tốt nghiệp Đại học khóa 37 Trường Đại học Cần Thơ CHƯƠNG 3 CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 3.1 CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Các tiên đề của cơ học lượng tử cung cấp cho ta mối liên hệ giữa thế giới vật lí thực và toán học trong cơ học lượng tử được sử dụng để mô hình hóa các hệ mà ta xét... diễn bằng một toán tử tuyến tính xác định Tính chất tuyến tính phản ánh nguyên lí chồng chất trạng thái đã nêu ở 1.4, chương 1 Tiên đề 3: Khi đo một biến số động lực A nào đó, ta chỉ thu được các giá trị bằng số là một trong những trị riêng Ak của toán tử Aˆ biểu diễn biến số động lực ấy Bởi vì trị riêng của toán tử Aˆ là số thực, do đó toán tử Aˆ biểu diễn biến số động lực phải là toán tử Hermitic Tiên ... muốn tìm hiểu khoa học, có niềm yêu thích với môn học lượng tử toán nguyên tử Hydro toán học lượng tử, có tầm quan trọng ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học nên định chọn đề tài này: “ TÌM HIỂU VỀ NGUYÊN... HIỂU VỀ NGUYÊN TỬ HYDRO làm luận văn tốt nghiệp Mục tiêu đề tài Tìm lượng hàm sóng electron nguyên tử Hydro để làm điều ta cần tìm hiểu rõ số vấn đề sau: - Hàm sóng vật chất - Toán tử, hàm riêng,... 54 5.6.1 Các lượng tử số .54 5.6.2 Trạng thái suy biến lượng .54 5.7 QUANG PHỔ NGUYÊN TỬ HYDRO 55 5.8 SỰ PHÂN BỐ ELECTRON QUANH HẠT NHÂN NGUYÊN TỬ HYDRO 57 5.9 HIỆU