MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Dạng 1: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (1) với a+b=c+d m ≠ Cách giải: Phương trình (1) viết lại: [x2 +(a+b)x +ab][ x2 +(c+d)x +cd] =m Vì a+b = c+d nên ta đặt t=x2 +(a +b)x= x2 +(c+d)x lúc phương trình (1) viết lại sau: (t +ab)(t+cd) = m  t2 +(ab+cd)t +abcd –m =0 Giải phương trình theo t  x Ví dụ: giải phương trình sau (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 120  (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=120  (x2 +5x +4)(x2 +5x+6)=120 Đặt t = x2+5x Lúc phương trình viết lại: (t+4)(t+6)=120  t2 +10t-96 =0  t=6, t=-16 Với t=6 x2 +5x-6=0  x=1, x=-6 Với t=-16 x2 +5x+16=0 ( vô nghiệm) BÀI TẬP (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=4 (2x-1)(2x+3)(x+2)(x+4)+9=0 (x+2)(x+4)(x2 +6x+1)=8 (x+1)(x+2)(x+5)(x+6)=252 (16(x2 -1)(x2 +8x+15)=105 Tìm m để phương trình sau (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=m có nghiệm x(x+1)(x+2)(x+3)=m có nghiệm phân biệt (x+2)(x+4)(x2 +4x +m)=8m có nghiệm dương phân biệt Được biên soạn Trương Quang Phú MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI mx nx  Dạng 2: + =k ax2+bx+c ax2+dx+c Với giả thiết biểu thức mẫu khác không Cách giải: Trước tiên ta nhận xét x=0 nghiệm phương trình cho Khi x≠ ta chia tử mẫu phân thức cho x, lúc phương trình cho (2) viết lại sau: m n + =k (2.1) c c ax+b+ ax+d+ x x c Đặt t= ax+ lúc phương trình (2.1) viết lại: x m n + =k (2.2) t+b t+d Giải phương trình (3) ta nghiệm giả sử t1, t2 từ ta suy nghiệm phương trình (2) cách giải phương trình c c ax+ = t1 , ax+ = t2 x x Ví dụ: giải phương trình 4x 3x + =1 (2.3) 4x2-8x+7 4x2-10x+7 Nhận xét x=0 nghiệm phương trình cho Xét x≠ lúc chia tử mẫu phân thức cho x ta Được biên soạn Trương Quang Phú MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI + =1 (2.4) 7 4x-8+ 4x-10+ x x Đặt t = 4+ phương trình (2.4) dược viết lại x + =1 t-8 t-10 Quy đồng mẫu ta có phương trình t2 -25t +144=0 Phương trình có hai nghiệm t 1=16, t2=9 Với t1=16 ta có phương trình 4x+ =16 x  4x2 -16x +7=0  x1 = , x2 = 2 Với t2 =9 ta có phương trình 4x + =9  4x2 -9x+7=0 (không có nghiệm thực) x Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = , x2 = 2 BÀI TẬP Giải phương trình sau 2x x + = 3x2-x+1 3x2-4x+1 2x 13x + =6 2x2-5x+3 2x2+x+3 2x 6x + =1 x +8x+5 x +x+5 3x 2x - = x -4x+1 x +x+1 2x 6x Cho phương trình sau + =m x2+8x+5 x2+x+5 Được biên soạn Trương Quang Phú MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tìm m để phương trình cho thoả mãn điều kiện sau: Phương trình cho có nghiệm Phương trình cho có nghiệm Phương trình cho có nghiệm phân biệt Phương trình cho có nghiệm phân biệt Phương trình cho có nghiệm dương phân biệt 10 Với giá trị m phương trình 3x 2x + =1 có nghiệm dương phân biệt x2-4mx+1 x2+mx+1 x1, x2, x3, x4 thoả mãn x1+x2+x3+x4 = 14  Nhân muốn nói đến dạng phương trình họ hàng với dạng toán 1 1 + + = (*) x2+9x+20 x2+11x+30 x2+13x+42 18 Giải sau: Ta thấy (*) viết lại: 1 1 + + = (x+4)(x+5) (x+5)(x+6) (x+6)(x+7) 18 1 1 1  + + = x+4 x+5 x+5 x+6 x+6 x+7 18 1  =  x2 +11x-26 =0  x1= 2, x2= -13 x+4 x+7 18 Tương tự giải phương trình sau: 1 + +…… + =k x +3x+2 x +5x+6 x +(2n-1)x+n2-n Giả sử A thành công sống Vậy A=X+Y+Z X=làm việc, Y=vui chơi, Z=im lặng (Albert Einstein's) Được biên soạn Trương Quang Phú MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  4 (x+a) + (x+b) =c Dạng Cách giải: Đặt t= x+ (3) a+b lúc phương trình (3) viết lại sau:  a-b4  a-b4 t+  + t-  =c     (a-b)4  2t +3(a-b) t + -c=0 Giải phương trình trùng phương ta tìm t từ t suy giá trị x Ví dụ: Giải phương trình (x+1)4 + (x+3)4 = 272 Giải: Đặt t=x+2 Lúc phương trình cho viết lại là: (t-1)4 +(t+1)4 =272  t4 +6t2 -135=0 Đặt X=t2 ta có X2 +6X-135=0  X=9, X=-15[...]... TẬP Giải các phương trình sau: 1 2x2 -3x+2= 4x2-6x+28 Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 17 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2 x2-7x +2= 2x2-14x+84 Cho phương trình sau x2 -7x+m - 3x2-21x+85 =0 3 Giải phương trình khi m=19 4 Giải và biện luận theo m nghiệm của phương trình Cho phương trình 6x2-12x+5= 2x2-4x+m (8.3) 5 Giải phương trình khi m= 85, m=2 119 6 Giải phương trình khi... SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ví dụ: Giải phương trình x3 +2x2 +3x +4=0 (12.3) Hướng dẫn: Bằng cách đặt x = t - 2 ta đưa phương trình đã cho 3 5 70 t+ =0 (12.4) 3 27 5 Bằng cách đặt t= X ta có thể đưa (12.4) về dạng 3 -14 X3 +3X = (12.5) 5 Phương trình (12.4) có duy nhất nghiệm (vì có dạng 3x3 +3x=m) và như đã trình bày ở phần giải phương trình tổng quát ta tìm được nghiệm của phương. .. (9.1) là một phương trình trùng phương theo X mà bạn có thể giải được dễ dàng Khi tìm được X = X0 là nghiệm thì dựa vào cách đặt X ta đưa phương trình đã cho về dạng: a+b f(x) + =X0 2 Lúc này bạn có thể tìm được x dễ dàng bằng cách giải phương trình trên  k 2  k 2 Lưu ý: Dạng phương trình f(x)+a + f(x)+b =c ta     luôn đưa về được dạng phương trình (9) Ví dụ: Giải phương trình:  1 2  1... SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Dạng 11 (Phương trình hồi quy) ax4 +bx3+cx2  dx+k=0 (11) trong đó kb2=ad2 Ở đây chỉ xét trường hợp k≠ 0, còn khi k=0 thì phương trình đã suy biến về phương trình bậc ba Với loại này ta có cách giải như sau d k Trước hết để thuận tiện ta đặt = = b a Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình (11) Với x≠ 0, ta chia hai vế của phương trình. .. , x4=-2- 2 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thực là: x1 =1, x2=2, x3 =-2+ 2 , x4=-2- 2 BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1 4x4+2x3 -8x2 +3x+9=0 2 x4 + x3 -8x2 -3x+9=0 Cho phương trình x4+x3+mx2+2x+4=0 3 Tìm m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt 4 Tìm m để phương trình có một số lẻ nghiệm Cho phương trình 9x4+3x3 -2m2x2+4x+16=0 5 Giải phương trình khi m=4 6 Giải phương trình khi m= 12-2... 4 Vậy phương trình (7.1) có 4 nghiệm là 0, 4, 5-1, - 5-1 BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1 (x2+4x+2)2 +4(x2+4x+2)=x-2 2 (x2 -4x+3)2 -4x2 +15x-9=0 Cho phương trình (x2+5x+m)2+5x2+24x+6m=0 3 Giải phương trình khi m=-12 4 Giải phương trình khi m=-22 5 Giải và biện luận nghiệm của phương trình đã cho 6 Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có it nhất hai nghiệm dương phân biệt Cho phương trình. .. SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Dạng 10 (Phương trình phản phương) ax4+bx3+cx2 bx+a=0 (a≠ 0) (10) Với loại này ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho Khi x≠ 0 thì ta chia hai vế xủa phương trình cho x2 khi đó ta được ax2+bx+c  b a + =0 x x2  1 2  1  axx +bxx+c 2=0     1 khi đó ta có phương trình mới x at2 +bt +c 2=0 (10.1) Việc giải phương. ..MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Khi đó ta có các nghiệm của phương trình đã cho là: 1, -10, -9 3 1121 -9 3 1121 + , 2 118 2 118 BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1 1 1 1 29 1 + = x+2 x+5 x+4 x+7 252 4 4 4 4 43 2 2 + 2 - 2 - 2 = x -3 x -5 x +7 x +9 36 3 Giải và biện luận phương trình sau: 3 3 3 3 + =m (5.2) x2+1 x2+2 x2+3 x2+4 4 Tìm m để phương trình (5.2) có hai nghiệm... Giải hệ phương trình này ta thu được nghiệm của phương trình đã cho Ví dụ: Giải phương trình sau: (x2+3x-4)2 +3(x2+3x-4) =x+4 (7.1) Đặt t=x2+3x-4 Khi đó ta có hệ phương trình sau: x2+3x-4=t  2 (7.2)  t +3t-4=x Giải hệ (7.2) bằng cách lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai khi đó ta có (x2-t2)+4(x-t)=0  (x-t)(x+t+4)=0 Với t=x thì ta có các nghiệm là 5 1, 1 5 Với t=-x-4 thì các nghiệm... SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI x2-x-1=0  x1= 1+ 5 1- 5 , x2= 2 2 Với t=3 thì ta có phương trình 3+ 13 3- 13 x2 -3x-1=0  x3= , x4= 2 2 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm 1+ 5 1- 5 3+ 13 3- 13 x1= , x2= , x3= 2 , x4= 2 2 2 BÀI TẬP Giải phương trình 1 9x4 -9x3 -52x2 -9x+9=0 2 x4+ 2x3 -6x2 -2x+1=0 3 x4+10x3 +26x2 +10x+1=0 Cho phương trình x4+5x3 +mx2 +5x+1=0 (10.2) 4 Giải phương trình ... SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tìm m để phương trình cho thoả mãn điều kiện sau: Phương trình cho có nghiệm Phương trình cho có nghiệm Phương trình cho có nghiệm phân biệt Phương. .. Giải phương trình m=19 Giải biện luận theo m nghiệm phương trình Cho phương trình 6x2-12x+5= 2x2-4x+m (8.3) Giải phương trình m= 85, m=2 119 Giải phương trình m= 72 Tìm giá trị m để phương trình. .. cho dạng: a+b f(x) + =X0 Lúc bạn tìm x dễ dàng cách giải phương trình  k 2  k 2 Lưu ý: Dạng phương trình f(x)+a + f(x)+b =c ta     đưa dạng phương trình (9) Ví dụ: Giải phương trình: