Lượng Giác 1) Cho cota = Tính A = sin a − sin a cos a − cos2 a  1 1 + ÷ 3(1 + cot a) =  9 =6 • Vì cota = nên sina ≠ ⇒ A = − cot a − cot a − − 3 sin α cos α 2) Cho tan α = Tính giá trị biểu thức : A = sin α − cos2 α tan α 15 = =− • Vì tan α = nên cosα ≠ ⇒ A = 16 tan α − − 25 cosα + sin α = + cot α + cot α + cot α ( α ≠ kπ , k ∈ ¢ ) 3) Chứng minh: sin α cosα + sin α cosα 1 = + = cot α (1 + cot α ) + + cot α = + cot α + cot α + cot α 2 sin α sin α sin α sin α tan 2α + cot 2α π α = 4) Rút gọn biểu thức: A = Sau tính giá trị biểu thức + cot 2α tan 2α + cot 2α A= = sin 2α = tan 2α sin 2α cos 2α + cot 2α π π π Khi α = A = tan = tan = 8 5) Tính giá trị biểu thức sau: A = sin   π π 11π 25π π  π sin = sin  4π − ÷sin  6π + ÷ = sin  − ÷sin = − =− ,  3  4  3 2  13π 21π π  π π π sin = sin  2π + ÷sin  5π + ÷ = − sin sin = −  6  4 4 6) Cho sina + cosa = Tính sina.cosa 16 33 sin a + cosa = ⇔ + sin a cos a = ⇔ sin a cos a = − 49 98 sin α + cos α sin α 1 = + = tan α (1 + tan2 α ) + + tan α = + tan α + tan α + tan3 α 7) Cmr 2 cos α cos α cos α cos α 1 −8 8) Tính sin α cos α biết sin α + cos α = − ⇔ + 2sin α cos α = ⇔ 2sin α cos α = ⇔ sin α cos α = − 9 9) Cho cos α – sin α = 0,2 Tính cos3 α − sin3 α ? B = sin Ta có: cos α − sin α = 0,2 ⇔ − 2sin α cos α = 0,04 ⇔ sin α cos α = 0,48 Do đó: cos3 α − sin3 α = (cos α − s inα )(1 + sin α cos α ) = 0,2(1 + 0,48) = 0,296 π Tính giá trị biểu thức A = (cos a + cos b)2 + (sin a + sin b)2 A = (cos a + cos b)2 + (sin a + sin b)2 = + 2(cos a cos b + sin a sin b) π = + cos(a − b) = + cos = 3 10) Cho a − b = sin a 11) Cho tana = Tính sin3 a + cos3 a sin α tan α (1 + tan α ) 3(1 + 9) 30 15 = = = = Vì tan α = ⇒ cos α ≠ ⇒ 27 + 28 14 sin α + cos3 α tan3 α + 1 12) Cho cos a = , cos b = Tính giá trị biểu thức A = cos(a + b).cos(a − b) Ta có: A = cos(a + b).cos(a − b) = (cos 2a + cos 2b) 9 Mặt khác ta có cos 2a = cos2 a − = − = − , cos 2b = cos2 b − = 1 2 7 8 Vậy A =  − − ÷ = − −1 = − 16 119 144 π cos3 α − sin3 α Sau tính giá trị biểu thức A α = + sin α cos α cos3 α − sin3 α (cos α -sin α )(cos2 α + sin α cos α + sin α ) A= = + sin α cos α (1 + sin α cos α ) (cos α − sin α )(1 + sin α cos α ) = = cos α − sin α (1 + sin α cos α ) 13) Rút gọn biểu thức A = Khi α = π π π 1− A = cos − sin = 3 14) Tính giá trị lượng giác sin2α, cos2α biết cotα = −3 7π < α < 4π ⇒ cos2 α = 10 + cot α 10 • cos 2α = cos2 α − = − = 10 • sin α = = • 7π < α < 4π ⇔ 7π < 2α < 8π ⇒ sin 2α < ⇒ sin 2α = − − cos2 2α = − −  ÷ = − 5 2sin α + cos α 15) Cho biết tan α = Tính giá trị biểu thức: sin α − cos α 2sin α + cos α tan α + = =7 Vì tan α = ⇒ cos α ≠ ⇒ sin α − cos α tan α − cot 2α − cos2 2α sin 2α cos 2α + 16) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào α A = cot 2α cot 2α A= cot 2α − cos2 2α cot 2α + sin 2α cos 2α = − sin2 2α + sin2 2α = cot 2α π  Q = sin  − α ÷ sin ( π − α ) Tính P + Q = ? 2  π  Ta có P = sin(π + α ) cos(π − α ) = sin α cos α , Q = sin  − α ÷ sin ( π − α ) = cos α sin α Vậy P + Q = sin 2α 2  17) Cho P = sin(π + α ) cos(π − α ) 18) Rút gọn A  π sin(π + x ) cos  x − ÷tan(7π + x ) − sin x.sin x.tan x  2 A= = = − tan x cos x.cos x.tan x  3π  cos(5π − x )sin  + x ÷tan(2π + x )    π π   11π π  π π π π π = cos  π − ÷ = − cos = − cos  − ÷ = −  cos cos + sin sin ÷ 19)Tính cos 12  12  12 3 4  4 1 2 2+ = −  + ÷= − 2 2  20) Cho sin a = với 900 < a < 1800 Tính cosa, tana • Vì 900 < a < 1800 nên cos a < ⇒ cos a = − − sin a = − − = − 16 • tan a = sin a =− cos a 21) Chứng minh: sin x − cos4 x = − cos2 x • Ta có sin x − cos4 x = (sin2 x − cos2 x )(sin2 x + cos2 x ) = − cos2 x − cos2 x = − cos2 x  π π  < α < π ÷ Vì < α < π nên cos α < 2  sin α =− ⇒ cot α = − • cos α = − − sin α = − − = − • tan α = cosα 16  3π  3π b) tan α = 2  π < α < ÷ Vì π < α < nên cos α <   22) a) sin α = • cos α = − 1 + tan α =− 1 + (2 2)2 =− π 2 2 sin α = tan α cos α = − , cot α = • 3 2   π 2   23) Rút gọn A = sin(− x ) + sin(π − x ) + sin  + x ÷+ sin  − x ÷ = − sin x + sin x + cos x + cos x = cos x 1 1 + = cos α + sin α = 2 + tan α + cot α + tan a + cot a b) + sin α + cos α + tan α = + tan α + cos α (1 + tan α ) = (1 + tan α )(1 + cos α ) 24) Cmr a) + =1 ~ cos a cos α sin α cos2 α + sin α + sin2 α + sin α + tan a = + = = = + sin a + sin α cos α (1 + sin α ).cos α (1 + sin α ).cos α cos α π π 25) Cho sin a = với < a < Vì < a < nên cos α > 2 sin α 5 = ⇒ cot α = • cos α = − sin α = − = • tan α = cos α π 1 26) Cho < a, b < tan a = , tan b = Tính góc a + b =? 2 1 + π tan a + tan b π • < a, b < ⇒ < a + b < π ⇒ tan(a + b) = − tan a tan b = 31 = 65 = ⇒ a + b = 1− c) 27) a) Cho cosα = vaø 00 < α < 900 cot α + tan α sin α cos α 1 25 = = • Ta có A = cot α − tan α = cos 2α = cos 2α = 2 cos α − 16 − sin α cos α 25 28) Biết sin α + cos α = , tính sin 2α = ? Ta có (sin α + cosα ) = ⇔ + 2sin α cos α = ⇔ sin 2α = sin3 α − cos3 α (sin α − cos α )(1 + sin α cos α ) + sin α + cos α = + (sin α + cos α ) sin α − cos α sin α − cos α = + sin α cos α + sin α + cos α ⇒ A = (1 + cos α )(1 + sin α ) 29) Rút gọn A = 30) Cho A, B, C góc tam giác Chứng minh rằng: a) Ta có: A + B + C = π nên A + B = π − C ⇒ sin( A + B) = sin(π − C ) ⇔ sin( A + B) = sin C b) Ta có: A+ B π C A+ B A+ B C π C  = − ⇒ sin = sin  − ÷ ⇔ sin = cos 2 2 2 2 2 31) Tính giá trị biểu thức A = 8sin2 450 − 2(2 cot 300 − 3) + 3cos 90   A = 8sin 45 − 2(2 cot 30 − 3) + 3cos 90 =  ÷ − ( − ) + 3.0 = −  2 0 32) Cho tan x = −4 vaø Ta có: A = 3π + cos2 x < x < 2π Tính A = sin2 x + cos2 x sin x = sin2 α + cot α = + cot α = + 2 tan2 α = 1+ = 16 33) Ko phụ thuộc A = ( tan α + cot α ) − ( tan α − cot α ) = (tan2 α + cot α + 2) − (tan α + cot α − 2) = 2sin x + 3cos x tan x + −4 + = = =− cos x − 5sin x − tan x + 10 12 2 2 − 2sin α cos α − cos α − sin α cos2 α − sin α = cos α − sin α + cos α + sin α = cos α 35) B = + = + cos α + sin α cos α − sin α cos α + sin α cos α − sin α   − sin x = cot x.cos2 x 36) Cmr cot x − cos2 x = cos2 x  − 1÷ = cos2 x sin x  sin x  34) Rút gọn A = 37) Cmr ( x sin a − y cos a)2 + ( x cos a + y sin a)2 = x (sin a + cos2 a) + y (sin a + cos2 a) = x + y 38) Cmr cos x 2sin x + cos x = − sin x ( VT = cos x ( 2sin 2 ) x + cos x ) = = ( − sin x ) ( sin x + sin x + cos x ) = = ( − sin x ) ( + sin x ) = = − sin x = VP ... b).cos(a − b) Ta có: A = cos(a + b).cos(a − b) = (cos 2a + cos 2b) 9 Mặt khác ta có cos 2a = cos2 a − = − = − , cos 2b = cos2 b − = 1 2 7 8 Vậy A =  − − ÷ = − −1 = − 16 119 144 π cos3 α... cot α + tan α sin α cos α 1 25 = = • Ta có A = cot α − tan α = cos 2α = cos 2α = 2 cos α − 16 − sin α cos α 25 28) Biết sin α + cos α = , tính sin 2α = ? Ta có (sin α + cosα ) = ⇔ + 2sin α cos α... 30) Cho A, B, C góc tam giác Chứng minh rằng: a) Ta có: A + B + C = π nên A + B = π − C ⇒ sin( A + B) = sin(π − C ) ⇔ sin( A + B) = sin C b) Ta có: A+ B π C A+ B A+ B C π C  = − ⇒ sin = sin 