BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012    1              § 1 – PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN              ThS. HỒ LỘC THUẬN  A Kiến thức cơ bản:    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)  ¾ Hệ số góc của tiếp tuyến là giá trị đạo hàm tại hòanh độ tiếp điểm.   ktt = f / (x0)  ¾ Tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) ∈ (C):  y – y0 = f /(x0).(x – x0)  ¾ ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC của 2 đồ thị (C) y=f(x) và (C’) y=g(x) LÀ   ⎧⎨ f ( x) = g ( x) / / ⎩ f ( x) = g ( x)  (*) CÓ NGHIỆM  Nghiệm x của hệ (*) là hòanh độ tiếp điểm.  B Dạng toán cơ bản  1 – Tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) ∈ (C) y = f(x)    + y0 = f(x0)    + ktt = f/ (x0)  + PTTT  y – y0 = f /(x0).(x – x0)    2 – Tiếp tuyến có hệ số góc  ktt  cho trước    Cách 1  + Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm.  + Ta có   ktt = f/(x0) → x0  →y0 = f(x0)        + PTTT (d)  y – y0 = ktt.(x – x0)      3 – Tiếp tuyến kẻ từ (đi qua) điểm A (xA; yA)    Cách 1  + Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm.  + Ta có   ktt = f/(x0) ; y0 = f(x0)        + PTTT  (d) : y – y0 = f /(x0).(x – x0)        + (d) qua A →  yA – y0 = f /(x0).(xA – x0)          → x 0 → (d)     Cách 2 (ĐKTX)  +  (d) có hệ số góc ktt:  y = ktt.x + m   ⎧⎪ f ( x) = ktt x + m (1) + ĐKTX :  ⎨ có nghiệm  / (2) ⎪⎩ktt = f ( x) + Giải (2) → x → thế vào (1) → m → (d)  Cách 2 (ĐKTX)  +  (d) qua A , có hệ số góc k:  y = k.(x‐xA) + yA    ⎪⎧ f ( x) = k ( x − x A ) + y A (1) + ĐKTX :  ⎨ có nghiệm  / (2) ⎪⎩k = f ( x) + Thế  (2) vào (1) → x → thế vào (2) → k → (d)  C Một vài kiến thức bổ sung  1 – Hệ số góc của đường thẳng AB là  k AB = yB − y A   xB − x A 2 ‐ Đường thẳng (d) hợp với trục hoành 1 góc ϕ → hệ số góc (d) là   kd = ± tan φ   3 ‐  Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A và trục Oy  tại B →  hệ số góc (d) là    kd = ± 4 ‐  Phương trình đường thẳng qua A(xA; yA) có hệ số góc k là : y = k(x – xA) + yA.   5 – Cho hai đường thẳng (d) y = k.x + b ; (d’) y =k’.x + b’      (d) // (d’) ⇔ k = k’ và b ≠ b’        (d) ⊥ (d’)  ⇔ k.k’ = –1  kk '+ k −k'     Gọi α = góc (d ; d’) →  tanα = ;  cos α =   + k k ' + k + k '2 6 – Phương pháp chung để giải bài toán liên quan đến tiếp tuyến:  + Gọi tiếp điểm M(m;f(m))  + Viết PTTT tại điểm M   + Dựa vào giả thiết tìm m    OB   OA BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012    2                  ThS. HỒ LỘC THUẬN  D Bài tập áp dụng:  Bài 1:  Phương trình tiếp tuyến tại điểm  1.1) (TN‐07) Viết PTTT của (C)  y = x − x +  tại điểm A(2;4)  1.3) (TN‐04) Viết PTTT của (C)  y = x − x2 + tại điểm có hoành độ x = 1.  1.4) (TN‐07) Viết PTTT của (C)  y = x +  tại điểm có tung độ bằng –7  2x −     Bài 2: Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trước  2x + 2.1) (TN‐09) Viết PTTT của (C)  y = , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5  x −2 2.2) (B1‐02) Viết p.t.t.t của (C)  y = x3 + x − x −  biết tiếp tuyến đó song song với  d : y = 4x+2.  3 2.3) (B‐06) Viết p.t.t.t  của (C)  y = x + x − , biết tiếp tuyến vuông góc với  (d) y= x–1.   x+2   Bài 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước  3.1) (TN‐05) Viết PTTT của (C)  y = x + , biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(–1;3)  x +1 3.2) (TN‐04) Viết PTTT của (C)  y = x − x2 biết tiếp tuyến đi qua điểm A(3; 0)  3.3) (B2‐05) Cho y= x + x + (C )  CMR  không có tiếp tuyến nào của (C) qua  điểm I(–1;0).  x +1   E Bài tập tự luyện cơ bản:   Bài 4 :   3x − tại điểm có tung độ bằng  –2  x +1 x+2 4.2)  Viết PTTT của (C)  y = f ( x) = tại điểm có hoành độ bằng –5  1− x 4.3) (TN‐06) Viết PTTT của (C)  y = x − x2 + x  tại điểm có hoành độ là nghiệm của y// =0.  4.1) Viết PTTT của (C)  y = 4.4) (TN‐07) Viết PTTT của (C)  y = x − x2 +  tại điểm có hoành độ là nghiệm của y/ =0  4.5) (TN‐07) Viết PTTT của (C)  y = x + − tại giao điểm của (C) và trục tung  2x − 4.6) Viết PTTT của (C)  y = x( x − 2)2 tại giao điểm của (C) và trục hoành.  4.7) Viết PTTT của (C)  y = − x + x2 + tại giao điểm của(C) và đường thẳng y = 3 biết giao điểm  ấy có hoành độ âm.  4.8) Viết PTTT của (C)  y = x − x2 + x −  tại giao điểm của (C) và (d)  y = x −   3x + 4.9) (D1‐08) Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ  và tiếp tuyến của (C)  y =  tại   x +1 điểm M(–2;5)            Bài 5 :   5.1) (D‐10) Viết PTTT của (C)  y = − x − x2 + biết tiếp tuyến vuông góc với  (d)  y = x −   x + x + 5.2) (D1‐04) Viết PTTT của (C)  y =  biết tiếp tuyến đó vuông góc với d : x–3y+3=0.  x +1 5.3) (TN‐07) Viết PTTT  có hệ số góc lớn nhất của (C)  y = − x + x2 −   5.4) (B‐04) Viết PTTT   Δ của (C)  y = x − x + x   biết  tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất   5.5) (CĐĐL_06) Tìm M∈ (C)  y = x + 3x + sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với (d): y=  x  x +1 BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012  Bài 6 :     3                  ThS. HỒ LỘC THUẬN  6.1) (A2‐04) Viết p.t.t.t  của (C) y= x+ , biết tiếp tuyến đi qua M(–1;7)  x 6.2) (CĐSPMGTW3‐06) Viết  pttt  của (C) y= x3 –3x2 +2, biết tiếp tuyến qua A(2,–7)  6.3) Cho (C) y= f(x) = x3 –4x2 +4x. Viết PTTT của  (C) biết tiếp tuyến qua B(3;3). Tìm tiếp điểm.   6.4) (B‐08) Viết PTTT của (C) y = x − x2 + biết tiếp tuyến đi qua M(–1 ;–9)         6.5) Tìm m để đường thẳng  (d) y = 8x + m tiếp xúc với (C)  y = − x − x2 +    6.6) (D‐2000)Cho  (Cm) y= x3 –3x2 +3mx +3m +4. Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành.    F Bài tập tự luyện nâng cao:   1) D‐05) Gọi M∈(Cm)  y = x − m x +  có hòanh độ bằng –1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song  3 song với đường thẳng (D): 5x–y=0.            ĐS : m = 4  2) A1‐08) Tìm m để tiếp tuyến của (C)  y = x + 3mx + ( m + 1) x + tại điểm có hoành độ x = –1 đi qua  điểm A(1;2).                  ĐS:  m =   3) Tìm m để tiếp tuyến của (Cm)  y = x − x + m  tại điểm có hoành độ bằng 1 tạo với hai trục tọa độ  một tam giác có diện tích bằng              ĐS : m=2 ;m=–4   2 4) Tìm a,b biết (C)  y = ax − bx  đi qua A(–1 ;  ) và tiếp tuyến của (C) tại O(0 ;0) có hệ số góc bằng –3.   x −1 ĐS : a= –2 ; b= –3  5) D‐2007) Cho  y = x  (C). Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến tại  M cắt Ox, Oy tại A, B và  ΔOAB có  x +1 ĐS : M(1;1); M(– ; –2)   x − 6) Tìm các điểm M∈ (C) y =   sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại 2 điểm A, B sao  diện tích bằng                              x −2 cho AB ngắn nhất.     ĐS : M(1; 1), M(3; 3))  7) Tìm m để  tại giao điểm của (C)  y = (3m+1)x −m +m với Ox, tiếp tuyến song song với (d) y= x–10  x +m ĐS : m = − ; m = −1   8)  Gọi M ∈ (C)  y = x + ; tiếp tuyến (Δ) của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A, B  x −1 a) Chứng minh M là trung điểm của AB.  b) Δ IAB có diện tích không đổi (I là giao điểm hai tiệm cận)  c) *Tìm M sao cho  chu vi Δ IAB nhỏ nhất.        ĐS: M (1 ± 2;1 ± )   2x − biết (d) cắt trục hoành tại A và trục tung tại B sao cho OA=4OB.   x −1 ĐS : x+4y–5=0 ; x+4y–15=0  (3m − 1) x + m + m 10)  Gọi (d) là tiếp tuyến của (Cm)  y = tại giao điểm của (Cm) và trục hoành. Tìm m  m−x để (d) tạo với trục hoành một góc 450.            ĐS :  m = 1; m =   9) Viết PTTT (d) của (C)  y = 11) D2‐07) Viết PTTT (d) của  (C) y = x  sao cho d tạo với trục Ox một góc 450 .   ĐS: y= –x; y= –x+4)  x −1 12) A‐09) Viết  PTTT  (d) của (C)  y = x + biết tiếp tuyến (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.   2x + BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012  13) B2‐03) Cho hàm số   y= vuông góc với IM.     4                  ThS. HỒ LỘC THUẬN  ĐS: y = –x +2   2x − (C). Gọi I (1; 2). Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm M  x −1               ĐS : M(0; 1); M(2, 3)  14) Tìm m ≠ –1  để đồ thị (Cm) y=  x + m  tiếp xúc với đường thẳng y = –x+7.     ĐS :m=1  x −1 (2m − 1) x − m2 15) D‐02)  Tìm m để (Cm)  y = tiếp xúc với đường thẳng y = x.  x −1 ĐS :   m ≠   16) D1‐05)  Tìm m để (Cm) y= –x3+(2m+1)x2–m–1 tiếp xúc với (d) y= 2mx–m–1.  ĐS : m=0 ; m=1/2  17) A2‐08) Tìm m để y = mx –9 tiếp xúc với (C)  y = x − x2 +       ĐS : m=0  18) Gọi A, B là hai điểm thuộc (C)  y = x − 2x +  có hoành độ xA, xB thỏa xA+ xB =2. CMR tiếp tuyến  x −1 của (C) tại A và B song song nhau.  19) Tìm m để y = 2x +m cắt (C) y =  x + tại 2 điểm phân biệt  A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B  B B x −1 song song nhau.                  ĐS :   20) Cho (Cm)  y = x −(m + 1)x + (m −1)x +1  CMR với mọi m khác 0, (Cm) luôn cắt trục hoành tại 3  điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc m. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại B  và  C song song nhau.                ĐS :m=2    *  21) Tìm 2 điểm A, B∈ (C) y = x  –3x  +1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song nhau và  AB=                      ĐS:  (3; 1), (–1; –3)   x + 22) Tìm a để từ A(0; a)  kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C) y =  sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2  x −1 phía trục Ox.                  ĐS:  − < a ≠   23) HSG Thanh Hóa)* Với mỗi điểm M∈ (C) y = x3 –3x2 +2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C)?   ĐS: M(a; a3 –3a2 +2) → a = 1: 1 tiếp tuyến; a ≠ 1: 2 tiếp tuyến  24) Tìm m để (Cm) y = x + mx − x−m    a) CMR  nếu (Cm) cắt Ox  tại điểm có h.đ xo thì tiếp tuyến tại  điểm đó có hệ số góc k =  xo + m    xo − m b) Tìm m để (Cm) cắt Ox  tại 2 điểm phân biệt  A, B sao cho tt  của (Cm) tại A và tại B vuông góc  nhau.                     ĐS:  m = ±2 10   x 25) Tìm k để (d) y = k cắt (C) y = x –2 +   tại 2 điểm A, B mà tại đó 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc  nhau.                     ĐS: k = −2 ±   26) Tìm m để (C)  y = x + x + mx +  cắt y =1 tại 3 điểm A(0 ;1), B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B  và C vuông góc nhau.                ĐS :  m = ± 65   27) Tìm m để đt (d) qua M (3 ;4) có hệ số góc m cắt (C)  y = x − x + tại 3 điểm M, A, B sao cho tiếp  tuyến tại A và B vuông góc nhau.             ĐS :  m = 18 ± 35   28) Tìm m để 2 tiếp tuyến của (Cm)   y = x − mx + m kẻ từ O(0;0) vuông góc nhau.   ĐS : m=  ±   x −1 2x − 29) Tìm M ∈ (C)  y =  sao cho khoảng cách từ I(–1 ;2) đến tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.   x +1 ĐS :  M ( −1 ± ; ∓ )   30) Viết PTTT  của (C)  y = x biết khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.  x −1 ĐS : y = –x ; y = –x +4  ...  sao cho d tạo với trục Ox một góc 450 .   ĐS: y= –x; y= –x+4)  x −1 12) A‐09) Viết  PTTT  (d) của (C)  y = x + biết tiếp tuyến (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.   2x + BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2 012 13) B2‐03) Cho hàm số   y=... 5.5) (CĐĐL_06) Tìm M∈ (C)  y = x + 3x + sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với (d): y=  x  x +1 BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2 012 Bài 6 :     3                  ThS. HỒ LỘC THUẬN  6.1) (A2‐04) Viết p.t.t.t  của (C) y= x+...BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2 012   2                  ThS. HỒ LỘC THUẬN  D Bài tập áp dụng:  Bài 1:  Phương trình tiếp tuyến tại điểm