KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG TOÁN VỎ THOẢI CONG HAI CHIỀU DƯƠNG, MẶT BẰNG HÌNH CHỮ NHẬT KÊ BỐN GÓC BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ XẤP XỈ LIÊN TIẾP (XXLT) TS NGUYỄN HIỆP ĐỒNG Đại học Kiến trúc Hà Nội Tổng quan: Ngày nay, việc ứng dụng phương pháp số để tính toán công trình xây dựng ngày phổ biến đa dạng Có nhiều phương pháp số khác như: phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), phương pháp sai phân hữu hạn (SPHH), phương pháp xấp xỉ liên tiếp (XXLT),… Mỗi phương pháp có ưu điểm nhược điểm riêng, phổ biến phương pháp PTHH Bài báo giới thiệu phương pháp XXLT, phát triển sở phương pháp sai phân hữu hạn, để tính mái vỏ thoải cong hai chiều mặt hình chữ dạng tải trọng khác nhau, kể tải trọng cục [1], [3],[ 5] Từ khóa: Phương pháp số, xấp xỉ liên tiếp, mái vỏ mỏng thoải, phương trình vi phân Ứng dụng phương pháp số xấp xỉ liên tiếp (XXLT) để tính mái vỏ thoải cong chiều mặt hình chữ nhật 1.1.Phương pháp XXLT Phương pháp XXLT phương pháp số nhật chịu tải trọng tác dụng phân bố Ưu điểm phương pháp XXLT : thuật toán tương đối đơn giản, không cần thiết lập ma trận độ cứng nên tính toán không chiếm nhiều nhớ máy tính, kết phát triển sở phương pháp sai phân hữu hạn có độ xác đáng tin cậy, đặc biệt tính toán với nhiều điều kiện biên khác với phương trình vi phân bậc tổng quát có dạng GS TSKH Gabbasov R F người Nga nghiên cứu phát triển thành công vào thập niên 80 kỷ XX Bản chất phương pháp giải sau:  2   2   2 n   2i i  2i i  2i                     i   p i i i i      i 1        đó:  и i - ẩn; , , , , , i, i, i, i, i - tham số  Để giải phương trình vi phân tổng quát (1) GS TSKH Gabbasov R.F sử dụng phương pháp chia lưới qua thiết lập nên mối quan hệ điểm, từ rút kết chuyển từ phương trình vi phân tổng quát (1) sang hệ phương trình (1) Bài báo tiếp tục giới thiệu phương pháp XXLT để tính vỏ thoải bê tông cốt thép cong hai chiều có liên kết kê bốn góc gối tựa không dịch chuyển tuyến tính cho điểm lưới 1.2.Thuật toán tính mái vỏ cong hai chiều dương, mặt hình chữ nhật Phương pháp XXLT tác giả nghiên cứu, phát triển ứng dụng để tính toán mái vỏ thoải cong hai chiều dương, mặt hình chữ nhật Luận văn tiến sỹ đại học Tổng hợp Xây dựng Matxcova năm 2008 Mái vỏ cong hai chiều dương, mặt hình chữ nhật có kích thước a x b, độ vồng vỏ  , có Rx, Ry – bán kính cong tương ứng theo phương x y, chịu tải trọng tác dụng theo phương thẳng đứng pz (hình 1) 28 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2014 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG pz (i-1,j) (i-1,j-1) (i-1,j+1)  O My Ty Nx Tx S I z III Ny (i,j) (i,j-1) S II d b x (i,j+1) a Rx (i+1,j-1) IV (i+1,j)  h Mx  Myx Mxy h y (i+1,j+1)   Ry Hình Phần tử lưới Hình Sơ đồ tính vỏ Các phương trình cân trạng thái ứng suất - biến dạng mái vỏ thoải cong hai chiều dương mặt hình chữ nhật dạng không đơn vị [4]:   u  v  2u  v  2 w    C1  0;  2      2    1 v  v 1 v  u w    C2  0; 2       2  m  m u    C4  C5   p  C3 w;        2w 2w     m,     (2) đó: Ed d Ed d Ed u U;   V; w  W; p0 (1  v )a a p0 (1  v )a a 12  p0 (1  v )a m M ; p0 a x y P   ; ; p z ; a a p0          C4  1 ; C5   ; d d  (3)   2 1; C2  12  ; C3  12 3 ; d d d U , V - chuyển vị tiếp tuyến tương ứng theo phương x y, W- độ võng (chuyển vị theo phương z), а – kích thước đặc trưng; v - hệ số Poisson; p0 – giá trị Pz điểm xác định; d – chiều dày vỏ;  - độ C1  12 võng tâm vỏ (hình 1) M Mx  M y 1 v   2W  2W  M x  D   v  ; y   x ; a 1     v   ;  a      v   ;     a; Rx   2W  2W   M y  D   v  ;  x    y  a  3   2  2  2v     ;        a;  Ry  (4) Rx, Ry – bán kính cong tương ứng theo phương x y; Mx, My – mô men uốn tương ứng theo trục x trục y; Nx, Ny – nội lực pháp tương ứng theo phương x y; S - nội lực trượt (hình 1), D  trụ, B  Ed - độ cứng 12(1  v ) Ed , Е – modul đàn hồi vật liệu  v2 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2014 29 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Các phương trình vi phân bậc hệ (2) trường hợp riêng phương trình vi phân tổng quát (1) , w m hệ (2) Do phương trình đầu 1 v tiên hệ (2) ta thay ẩn sau:  u với hệ số =1, = ==0,   , 1 –  1 v với hệ số 1 =1 =0, 1  , 1=1=0 2 – w với hệ số 2=0, 2=-C1,  2=2=2=0, vế phải Vì ẩn  и i (1) có vai trò ẩn u, thay р=0, sau trình biến đổi điểm (hình 2) kết có dạng sau: h   1 v h      1 v h     ui 1, j 1  10  (1  v)  ui 1, j     ui 1, j 1     h  h h h h     1 v h       5(1  v)  ui , j 1  20    ui , j    5(1  v)  ui , j 1      h h  h h   1 v h      1 v h     ui 1, j 1  10  (1  v)  ui 1, j     ui 1, j 1     h  h h  (1  v) i 1, j 1  i 1, j 1  i 1, j 1  i 1, j 1     C1  wi 1, j 1  10 wi 1, j  wi 1, j 1  wi 1, j 1  10wi 1, j  wi 1, j 1   (5) Hoàn toàn tương tự với ba phương trình vi phân lại hệ (2), kết ta có phương trình tuyến tính ứng với ẩn điểm (i, j) ui,j, i , j , wi,j mi,j Để giải hệ bốn phương trình cần phải kể đến điều kiện biên liên kết mái vỏ Đối với mái vỏ kê bốn góc liên kết bốn cạnh tự bốn góc liên kết khớp cố định Điều kiện biên liên kết tự Xét với trường hợp   điều kiện là: s  ; m( )  ; q ( )  (6) lực viết dạng không đơn vị sau: m( )  n ( )  My Mx ; p0 a m( )  N yd Sd s ; p0 a p0 a ; p0 a Nxd  ; p0 a   Qy d   ; p0 a  n ( )  ; q ( ) (7) Qy - lực cắt tổng theo phương y [4] Để thuận tiện cho việc tính toán hệ (6) viết dạng sau:  2w  2w   m( )     v  ;         u n ( )  v  C2 w;      q ( )  m  (1  v) w    2w 2w  m( )     v  ;     u  n ( )  v  C1w;   s  v   u   ;     (8) Sử dụng phương pháp số XXLT xây dựng phương trình cho bốn điều kiện Trong phạm vi báo giới thiệu cách thiết lập điều kiện q tương tự 30 ( )  theo phương pháp số XXLT, điều kiện lại hoàn toàn Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2014 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Từ điều kiện q ( )  sử dụng phương pháp số XXLT sau trình biến đổi, kết sau:  h    h  h     6v    mi 1, j     mi 1, j 1     mi 1, j   h    h  h    h h    h  2   6v    mi , j     mi , j 1     mi , j   h     h  h  h    h  h     6v    mi 1, j     mi 1, j 1     mi 1, j   h    h  h   h   h  4h    mi, j  2h    mi, j 1   h h    C4  7ui 1, j  6ui 1, j 1  ui 1, j 2 7ui 1, j  6ui 1, j 1  ui 1, j     hC5  i 1, j  i1, j 1  12i , j  14i , j 1  2i , j  i 1, j  i 1, j 1         h   12 122 С3  5  2 1  v   wi 1, j  8  2 1  v   wi 1, j 1  wi 1, j 2  12    h С3    h С3      122 12  74  2 1  v   wi , j  56  2 1  v   wi , j 1  10 wi , j    h С3  h С3     2     12 12   5  2 1  v   wi 1, j  8  2 1  v   wi 1, j 1  wi 1, j      h С3    h С3    h pi 1, j  pi 1 j 1  pi 1 j   74 pi , j  56 pi , j 1  10 pi , j  5 pi 1, j  pi 1, j 1  pi 1, j   12  (9) Để thiết lập cho điều kiện biên  = 0, từ phương trình (9) ta thay đổi giá trị u,  , t, h, i, j  , u, h, t, j, i Chỉ cần lấy đối xứng với hai điều kiện biên lại, kết thu điều kiện biên cho cạnh liên kết tự Điều kiện biên cho bốn góc: u=  =w=m=0 1.3 Ví dụ tính toán Tính toán mái vỏ thoải bê tông cốt thép cong hai chiều dương, mặt chữ nhật có liên kết bốn góc gối tựa cố định chịu tải trọng phân bố toàn diện tích (hình 3) Mái vỏ có thông số sau: a=b=10m, =2m, d=0,4m, Rx=Ry=12,5m , Е=2,1·107T/m2, 0,3, рz=1T/m2 00 O 01 02 03 04 10 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 pz =1T/m m 20 30 a/2=5m y 10m 40 b/2=5m x Hình Sơ đồ kết cấu Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2014 Hình Các điểm chia mặt 31 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Bảng Giá trị độ võng W (mm) điểm (hình 4) W (mm) Các điểm nút XXLT PTHH 8х8 16х16 32x32 (40х40) (80х80) 00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 10 0,00942 0,01905 0,02286 0,02478 0,02972 11 0,02845 0,03655 0,04130 0,03972 0,04653 20 0,04351 0,04825 0,05253 0,04850 0,05590 21 0,05124 0,05609 0,06100 0,05620 0,06444 22 0,06201 0,06522 0,07030 0,06427 0,07317 30 0,07150 0,07254 0,07658 0,06782 0,07674 31 0,07062 0,07179 0,07655 0,06887 0,07800 32 0,07148 0,07291 0,07795 0,07061 0,07990 33 0,07378 0,07472 0,07976 0,07232 0,08170 40 0,07912 0,08183 0,08570 0,07517 0,08460 41 0,07608 0,07777 0,08244 0,07360 0,08304 42 0,07524 0,07593 0,08092 0,07301 0,08244 43 0,07492 0,07559 0,08061 0,07306 0,08247 44 0,07512 0,07569 0,08069 0,07320 0,08260 Kết bảng độ võng W (mm) điểm (hình 4): kết cột (tính theo XXLT) – W ứng với trường hợp chia lưới x 8, 16 x 16 32 x 32 Các kết so sánh với kết điểm tương ứng tính theo phương pháp PTHH chương trình SCAD Office v.11 với phần tử tam giác quan hệ điểm theo phương trình lập phương ứng với lưới 40 x 40 80 x 80 W10 0.8 0.6 0.4 0.2 x 10 Hình Biểu đồ độ võng W mặt cắt biên y = 0: đường 1, 1a, 1b kết tính theo phương pháp XXLT tương ứng với lưới: 8x8, 16x16 32x32; đường 2, 2a – kết tính theo phương pháp PTHH tương ứng với lưới 40x40 80x80 O Dựa vào số liệu bảng đồ thị (hình 5) ta - Kết phụ thuộc vào việc chia lưới Lưới mịn kết xác (hình 5); - Kết tính theo phương pháp XXLT chia lưới 8x8 có kết xác phương pháp PTHH chia lưới 40x40 thấy rằng: - Kết tính toán phương pháp XXLT phương pháp PTHH có độ sai lệch nhỏ Tại điểm nhịp độ sai lệch ... dụ tính toán Tính toán mái vỏ thoải bê tông cốt thép cong hai chiều dương, mặt chữ nhật có liên kết bốn góc gối tựa cố định chịu tải trọng phân bố toàn diện tích (hình 3) Mái vỏ có thông số sau:... HIỆP ĐỒNG, LÊ THẾ ANH Ứng dụng phương pháp tính xấp xỉ liên tiếp để tính mái vỏ cong hai chiều bê tông cốt thép Hội nghị Khoa học Vật liệu, Kết cấu & Công nghệ Xây dựng 2012, Đại học Kiến trúc... a/2=5m y 10m 40 b/2=5m x Hình Sơ đồ kết cấu Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2014 Hình Các điểm chia mặt 31 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Bảng Giá trị độ võng W (mm) điểm (hình 4) W (mm) Các điểm nút