Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12 tỉnh vĩnh phúc năm học 2015 2016 (có đáp án)

6 17.9K 350
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12 tỉnh vĩnh phúc năm học 2015   2016 (có đáp án)

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,5 điểm) a) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 − ( m − 1) x − ( m − 3) x + 8m đồng biến khoảng ( 0;3) b) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = − x3 + 3mx − 3m − có điểm cực đại, cực tiểu điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng x + y + = Câu (2,0 điểm) cos x − cos3 x − a) Giải phương trình: cos x − tan x = cos x b) Cho đa giác có 15 đỉnh Gọi M tập tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân tam giác Câu (1,5 điểm) x −1 + x +1 ( x ∈ ¡ ) Giải phương trình: ( x − ) ( − x ) + x − + − x = Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = b ( a, b > ) , SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SA = 2a Lấy điểm M thuộc cạnh SA cho AM = x với < x < 2a a) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( MBC ) b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, có trọng tâm G Gọi E, H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A, I giao điểm đường thẳng AB đường thẳng CD Biết điểm D ( −1; − 1) , đường thẳng IG có phương trình x − y − = điểm E có hoành độ Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [ 1;9] x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = y 1 y z  +  + ÷ 10 y − x  y + z z + x  -Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …… .…….….….; Số báo danh:……… ……… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN - THPT (Hướng dẫn chấm có 05 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình học thí sinh không vẽ hình phần không cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm a) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x − ( m − 1) x − ( m − 3) x + 8m đồng biến khoảng ( 0;3) b) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số 2,5 a y = − x3 + 3mx − 3m − có điểm cực đại, cực tiểu điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng x + y + = TXĐ: ¡ y ' = x − ( m − 1) x − ( m − 3) Do phương trình y ' = có nhiều hai nghiệm ¡ , nên để hàm số 0,5 cho đồng biến khoảng ( 0;3) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;3) x2 + 2x + ⇔ ≥ m, ∀x ∈ ( 0;3) 2x + x2 + 2x + khoảng ( 0;3) 2x + x = 2x2 + x − g '( x ) = ; g ' x = ⇔ ( )  ( x + 1)  x = −2 ( loai ) BBT x − g '( x ) + g ( x) Xét hàm số g ( x ) = 0,5 18 0,5 Từ BBT, g ( x ) ≥ m, ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ m ≤ Vậy, m ≤ hàm số cho đồng biến khoảng ( 0;3) b TXĐ: ¡ x = y ' = −3 x + 6mx; y ' = ⇔  Hàm số cho có cực đại cực tiểu ⇔  x = 2m phương trình y ' = có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ uuu r 3 Tọa độ hai điểm cực trị A ( 0; − 3m − 1) , B ( 2m;4m − 3m − 1) ⇒ AB ( 2m;4m ) 0,5 0,5 trung điểm AB I ( m;2m − 3m − 1) I ∈ d A, B đối xứng với qua đường thẳng d : x + y + = ⇔   AB ⊥ d a 4m − 5m − = ⇔ ⇔ m = −1 (thỏa mãn) Vậy, m = −1 4m − 4m = cos x − cos3 x − a) Giải phương trình: cos x − tan x = cos x b) Cho đa giác có 15 đỉnh Gọi M tập tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân tam giác π Điều kiện: x ≠ + lπ ( l ∈ ¢ ) Suy (1) ⇔ cos x − tan x = − cos x − (1 + tan x) 2,0 0,25 cos x = −1 ⇔ cos x = − cos x ⇔ 2cos x + cos x − = ⇔  cos x =  +) cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ ¢ ) π ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) Kết hợp với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x = −π + k 2π , π x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) Số tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: C153 = 455 tam giác 0,25 0,25 +) cos x = b Số phần tử tập M là: M = 455 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Xét đỉnh A đa giác: Có cặp đỉnh đa giác đối xứng với qua đường thẳng OA, hay có tam giác cân đỉnh A Như vậy, với đỉnh đa giác có tam giác nhận làm đỉnh tam giác cân 15 = tam giác Số tam giác có ba đỉnh đỉnh đa giác Tuy nhiên, tam giác cân xác định có tam giác đều, tam giác cân ba đỉnh nên tam giác đếm ba lần Suy ra, số tam giác giác cân tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: 7.15 − 3.5 = 90 Vậy, xác suất để chọn tam giác cân tam giác từ tập M: P = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 90 18 = 455 91 Giải phương trình: ( x − 2) ( − x ) + x −2 + 4− x = Điều kiện: ≤ x ≤ x −1 + x + ( 1) 1,5 0,5 ( 1) ⇔ ( x − ) ( − x ) + ( ⇔ ( x−2 + 4− x ) +2 ( ) x − + − x = x −1 + x +1 ) x − + − x = x + 1+ x + Xét hàm số: f ( t ) = t + 2t , t > Có f ' ( t ) = 2t + > 0∀t > ⇒ hàm số đồng biến ( 0;+∞ ) Suy phương trình (1) có dạng f ( ) x−2 + 4− x = f ( 0,5 ) x +1 ⇔ x − + − x = x +1 11 Nghiệm tìm thỏa mãn 11 Vậy phương trình có nghiệm: x = 3; x = S ABCD Cho hình chóp có đáy ABCD hình chữ nhật, ⇔2 ( x − 2) ( − x ) = x − ⇔ x = 3; x = 0,5 AB = a, AD = b ( a, b > ) , SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SA = 2a Lấy điểm M thuộc cạnh SA cho AM = x với < x < 2a a) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( MBC ) b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có 2,0 thể tích a Do BC / / AD ⇒ mặt phẳng (MBC) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MN ( N ∈ SD ) MN / / AD AD ⊥ ( SAB ) ⇒ MN ⊥ ( SAB ) ⇒ MN ⊥ BM Suy thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (MBC) hình thang BCNM vuông B M b ( 2a − x ) MN SM BM = x + a , = ⇒ MN = AD SA 2a Diện tích thiết diện BCNM: S BCNM b  b ( 2a − x )  a + x2 b +  2a b ( 4a − x ) a + x   = = 4a Kẻ AH ⊥ BM H, suy AH ⊥ ( BCNM ) , AH = a +x 0,5 0,5 ax 0,5 Do ( BCNM ) ⊥ ( SAB ) ⇒ ⇒ d ( S , ( BCNM ) ) = d ( S , ( BCNM ) ) d ( A, ( BCNM ) ) = MS MA a ( 2a − x ) a2 + x2 Thể tích khối chóp S.BCNM: b ( 2a − x ) ( 4a − x ) VS BCNM = d ( S , ( BCNM ) ) S BCNM = 12 Để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích nhau: VS ABCD = 2VSBCNM ⇔ a 2b b ( a − x ) ( a − x ) = ( ( ) )  x = + a (lo¹i) 2 ⇔ x − 6ax + a = ⇔  Vậy x = − a x = − a  Cho tam giác ABC vuông cân A, có trọng tâm G Gọi E, H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A, I giao điểm ( 0,5 ) đường thẳng AB đường thẳng CD Biết điểm D ( −1; − 1) , đường thẳng IG có 1,0 phương trình x − y − = điểm E có hoành độ Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Gọi K trung điểm BI, suy HK / / CD ⇒ A trung điểm KI, HK = DI = IC ; AK = BK ⇒ GK / / AC ⇒ GK ⊥ AB ⇒ GB = GI = GC hay G tâm đường · · tròn qua ba điểm C, I, B CGI = IBC = 90o , ID = IC ⇒ DE / / IG Phương trình đường thẳng DE: x − y + = ⇒ E ( 1;3) CE ⊥ IG , suy phương trình CE : x + y − = Tọa độ G nghiệm 0,5 0,25  x=  x + y − =  7 7 ⇔ ⇒ G  ; ÷ ⇒ C ( 5;1) hệ phương trình  3 3 6 x − y − = y =  uuur uuur DG = AG ⇒ A ( 1;1) ⇒ B ( 1;5 ) Vậy, A ( 1;1) , B ( 1;5 ) C ( 5;1) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [ 1;9] x ≥ y , x ≥ z Tìm giá trị nhỏ 1,0 y 1 y z  +  + biểu thức P = ÷ 10 y − x  y + z z + x  Với a, b dương thỏa mãn ab ≥ ta có bất đẳng thức 1 + ≥ + a + b + ab 1 + ≥ ⇔ a− b ab − ≥ ab ≥ + a + b + ab Dấu xảy a = b ab = ( Thật vậy: )( )    1 1 ÷ 1 ÷≥ +  + + Áp dụng bất đẳng thức trên: P = x 2 z x x x 10 − 1+ 1+ ÷ 10 − 1+  ÷ y y z y y   Đặt 0,25 0,25 0,25 x 1 = t ∈ [ 1;3] Xét hàm số f ( t ) = + đoạn [ 1;3] y 10 − t + t 2t f '( t ) = − ; f ' ( t ) = ⇔ t − 2t − 24t − 2t + 100 = ( 10 − t ) ( + t ) ( t − ) ( t − 24t − 50 ) = ⇔ t = t 2 3 − 24t − 50 < ∀t ∈ [ 1;3] 0,25 BBT t f '( t ) f ( t) − + 11 18 Suy Pmin x = y    z = x x = y =   y z ⇔   z = y   x  =   y -Hết 0,25 ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015- 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN - THPT (Hướng dẫn chấm có 05 trang) I LƯU Ý CHUNG: -... có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình học thí sinh không vẽ hình phần không cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu... MN ⊥ ( SAB ) ⇒ MN ⊥ BM Suy thi t diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (MBC) hình thang BCNM vuông B M b ( 2a − x ) MN SM BM = x + a , = ⇒ MN = AD SA 2a Diện tích thi t diện BCNM: S BCNM b  b

Ngày đăng: 19/12/2015, 20:55

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan