ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ THỊ THU HƯỜNG XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ THỊ THU HƯỜNG XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ ANH VINH Hà Nội – 2014 LỜI CẢM ƠN Nhân dịp này, em xin chân thành cảm ơn thầy Lê Anh Vinh, người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo em suốt trình thực luận văn Đồng thời, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2014 Học viên Lê Thị Thu Hường Mục lục Mở đầu Chương Đồ thị n-e.c 1.1 Khái niệm đồ thị n-e.c 1.2 Một số tính chất đồ thị n-e.c 1.3 Các đồ thị Paley biến thể 13 Chương Xây dựng phân loại số đồ thị n-e.c 18 2.1 Đồ thị n-e.c 18 2.2 Đồ thị 2-e.c 23 2.3 Đồ thị 3-e.c 25 2.4 Các đồ thị n-e.c với n ≥ 28 Chương Xây dựng đồ thị ngẫu nhiên quy mạnh 31 3.1 Xây dựng 32 3.2 Xây dựng 34 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Lý thuyết đồ thị ngành khoa học nghiên cứu tính chất đồ thị, chiếm vị trí quan trọng lý thuyết lẫn ứng dụng Một cách không thức, đồ thị tập đối tượng gọi đỉnh nối với cạnh Cạnh có hướng vô hướng Đồ thị thường vẽ dạng tập điểm điểm nối với đoạn thẳng(các cạnh) Luận văn đề cập tới việc xây dựng phân loại số lớp đồ thị có cấu trúc đặc biệt Cụ thể đồ thị có tính chất n-e.c Tính chất phát nghiên cứu hai nhà khoa học Erd˝os Re’nyi [16] ngày nhận quan tâm ý nhà nghiên cứu lĩnh vực khác Nội dung luận văn tập trung làm rõ tính chất đồ thị n-e.c, sau xây dựng phân loại đồ thị n-e.c, cuối nêu số cách xây dựng cụ thể cho đồ thị n-e.c Luận văn bao gồm ba chương Chương : Giới thiệu đồ thị n-e.c, tính chất đồ thị n-e.c vài dạng đồ thị n-e.c biết Chương : Xây dựng đồ thị n-e.c tổng quát với điều kiện định sau cụ thể cho lớp đồ thị 2-e.c, 3-e.c đồ thị n-e.c với n ≥ Chương : Nêu hai cách xây dựng đồ thị ngẫu nhiên quy mạnh, sau chứng minh đồ thị sinh thỏa mãn tính chất kề n-e.c Mặc dù cố gắng thời gian thực luận văn không nhiều nên luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót trình bày Em mong nhận góp ý ý kiến xây dựng thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Chương Đồ thị n-e.c 1.1 Khái niệm đồ thị n-e.c Trước vào khái niệm đồ thị n − e.c, nhắc lại vài kiến thức đồ thị Với ký hiệu đồ thị G = (V, E), V (hay V (G)) tập đỉnh đồ thị G E (hay E(G)) tập cạnh đồ thị Tập đỉnh phải khác rỗng, tập cạnh tập rỗng Số đỉnh đồ thị gọi cấp đồ thị ký hiệu |V | Số cạnh đồ thị gọi cỡ đồ thị ký hiệu |E| Với x, y ∈ V , ta có {x, y} ∈ E hay xy cạnh x nối với y ta nói x kề với y Đồ thị G đồ thị đồ thị G nếu: V (G ) ⊆ V (G) {x, y} ∈ E(G ) {x, y} ∈ E(G) Một đồ thị ngẫu nhiên tạo tập n đỉnh cho trước thêm dần cạnh cách ngẫu nhiên Trong nghiên cứu đồ thị ngẫu nhiên, Erd˝os Re’nyi [16] phát tính chất kề nghiên cứu Tính chất kề tính chất tổng quát đồ thị phát biểu cho tập S đỉnh loại đồ thị cố định đó, có đỉnh nối vào tập đỉnh S theo cách định Tính chất kề mà gọi n-e.c nhận nhiều quan tâm ý nhiều nhà nghiên cứu lĩnh vực khác lý thuyết đồ thị, logic học, xác suất hình học Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị n-e.c với cặp tập U, W tập đỉnh V cho U ∩ W = ∅ |U | + |W | = n (một hai tập U W tập rỗng), có đỉnh v ∈ V − (U ∪ W ) cho v kề với tất đỉnh U không kề với đỉnh W Ví dụ 1: Đồ thị 1-e.c đồ thị đỉnh cô lập (tức đỉnh không kề với đỉnh nào) đỉnh phổ quát (tức đỉnh nối với tất đỉnh lại) (xem Hình 1.1) Ví dụ 2: Một đồ thị 2-e.c với cặp đỉnh riêng biệt u w, có đỉnh khác với u w nối với chúng theo tất cách (xem Hình 1.2) Định nghĩa tính chất kề n-e.c rõ ràng từ định nghĩa lại không dễ để đồ thị tồn tính chất Tuy nhiên, theo chứng minh [16], hầu hết tất đồ thị hữu hạn n-e.c Với số nguyên m, không gian xác suất G(m, 21 ) bao gồm đồ thị với tập đỉnh{0, , m − 1} cho hai đỉnh riêng biệt nối với cách độc lập với xác suất 12 Định lý 1.1.1 ([3]) Cố định số nguyên n > Với xác suất m → ∞, G(m, 12 ) thỏa mãn tính chất n-e.c Chứng minh Cố định tập S chứa n phần tử tập đỉnh V , cố định hai tập A B rời S với A ∪ B = S Cho z ∈ / S , xác suất để z kề với hai tập A B ( 12 )n Như xác suất để z không thỏa mãn tính chất kề với hai tập A B 1 − ( )n Do đó, xác suất để đỉnh thuộc G − (A ∪ B) không thỏa mãn tính chất kề với hai tập A B (1 − ( )n )m−n n Do có m n cách chọn S cách chọn A B S nên xác suất để G(m, 12 ) không n-e.c m 2n (1 − ( )n )m−n −−−→ m→∞ n Định lý 1.1.1 cho thấy có nhiều ví dụ đồ thị n-e.c Ta dễ dàng tổng quát hóa cách thay số thực p ∈ (0, 1) cố định Điều cho thấy đồ thị n-e.c phổ biến Nhưng thực tế năm gần có họ đồ thị n-e.c biết đến, đồ thị Paley Nếu đồ thị n-e.c với ∀n đồ thị gọi e.c (chú ý đồ thị e.c vô hạn) Bất hai đồ thị e.c đếm đẳng cấu với nhau, dạng đẳng cấu có tên đồ thị ngẫu nhiên vô hạn đồ thị Rado viết R Đồ thị R trở thành tiêu điểm nhiều hoạt động nghiên cứu gần Một ví dụ đáng ý R, đồ thị hữu hạn G n-e.c xem phiên hữu hạn R Do đó, tính chất n-e.c độ đo tất định tính ngẫu nhiên đồ thị Hai khái niệm khác tính ngẫu nhiên đồ thị đưa nghiên cứu cách toàn diện tính ngẫu nhiên chuẩn [12] tính tựa ngẫu nhiên [6] (nhưng không thảo luận đây) Nhiều đồ thị số đồ thị luận văn thỏa mãn tính chất này, ví dụ đồ thị Paley Tuy nhiên, tính chất ngẫu nhiên không thiết biểu thị tính n-e.c Ví dụ cho [14] ngẫu nhiên chuẩn 4-e.c 1.2 Một số tính chất đồ thị n-e.c Đầu tiên ta nhắc lại số khái niệm đồ thị sau ¯ Đó đồ thị Định nghĩa 1.2.1 Phần bù đồ thị G ký hiệu G với tập đỉnh tập đỉnh đồ thị G đồng thời đỉnh kề G ¯ ngược lại không kề G Định nghĩa 1.2.2 Sắc số đồ thị G số màu tối thiểu cần dùng để tô màu đỉnh đồ thị cho hai đỉnh kề phải có màu khác Sắc số đồ thị G kí hiệu χ(G) Với x ∈ V (G) ta ký hiệu G − x đồ thị G thu cách xóa điểm x Đặt N (x) = {y ∈ V (G), y = x : {x, y} ∈ E(G)} N c (x) = {y ∈ V (G), y = x : {x, y} ∈ / E(G)} Với S ⊆ V (G) ta ký hiệu G S đồ thị cảm sinh G S, tức với x, y ∈ S {x, y} ∈ E(S) {x, y} ∈ E(G) Với N (S) = {y ∈ V (G), y = x : {x, y} ∈ E(G), x ∈ S}, N (S) = ∪x∈S N (x) Định nghĩa 1.2.3 Chỉ số clique đồ thị G số đỉnh lớn tập U ( U tập tập đỉnh V ) thỏa mãn tính chất: Với cặp đỉnh thuộc U tồn cạnh G nối chúng Chỉ số clique đồ thị G ký hiệu ω(G) Nếu đồ thị G có tính chất n-e.c, G chứa tính chất cấu trúc khác tổng hợp hai định lý Định lý 1.2.1 Cố định số nguyên dương n, cho G đồ thị n-e.c (1) (2) (3) (4) (5) Đồ thị G m-e.c, với ∀m, ≤ m ≤ n − Đồ thị G có cấp n + 2n , có n.2n−1 cạnh ¯ n-e.c Đồ thị G χ(G) ≥ n + 1, ω(G) ≥ n + Nếu S ⊆ V (G) |N (S)| ≥ |S| Chứng minh (1) Với ∀m, ≤ m ≤ n − 1, xét cặp tập U, W tập đỉnh V đồ thị G cho U ∩ W = ∅ |U | + |W | = m Lấy tập A ⊃ U B ⊃ W cho A ∩ B = ∅ |A| + |B| = n Do G n-e.c nên có đỉnh v ∈ V − (A ∪ B) cho v kề với tất đỉnh A không kề với đỉnh B Khi hiển nhiên v ∈ V − (U ∪ W ) v kề với tất đỉnh U không kề với đỉnh W Theo định nghĩa G m-e.c với ∀m, ≤ m ≤ n − (2) Giả sử G có m cạnh (m ≥ n) Theo chứng minh Định lý 1.1.1, ta có xác suất để G không n-e.c Pb tập chứa điểm b không nằm khối D Đặt P =( b) ∪ ( Pb ) b∈B b∈D Khi đó, ta có |P | ≤ k(n − 1) + (k − n + 1)k Giả sử v > ( (v−1)(k−2) + 1) + (k(n − 1) + (k − n + 1)k ) Theo Bổ đề k−1 2.4.1 có v > |P | + Ik (v) hay v − |P | > Ik (v) Như tồn khối (gọi bn ) không chứa điểm P Đặt S = D ∪ {bn } Do GD n-e.c, nên phải tồn khối x giao với n khối S Do x giao với b1 b2 nên x phải khối B Hơn x giao với khối D, mà khối D đôi rời nên x chứa điểm khối n − khối D Do x chứa xác k − (n − 1) điểm không thuộc khối D Chú ý x kề với bn , mà bn không chứa điểm D Do x bn phải giao k − (n − 1) điểm không thuộc khối D Điều có nghĩa x bn phải giao điểm Px (Px tập chứa điểm x mà không nằm khối D) Điều mâu thuẫn với việc bn không chứa điểm Px + 1) + (k(n − 1) + (k − n + 1)k ) Vậy v ≤ ( (v−1)(k−2) k−1 30 Chương Xây dựng đồ thị ngẫu nhiên quy mạnh Như biết hầu hết đồ thị n-e.c đồ thị ngẫu nhiên quy mạnh Vì chương thay xây dựng đồ thị n-e.c xây dựng đồ thị ngẫu nhiên quy mạnh Sau chứng minh đồ thị có tính chất kề n-e.c Hai xây dựng đề cập luận văn xây dựng cấu trúc affine Cho v λ hai số nguyên dương cố định, cố định k cho ≤ k < v Đặt S = {1, 2, , v} Một − (v, k, λ) cấu trúc (gọi tắt 2- cấu trúc) tập hợp D tập S gọi khối cho: (i) Mỗi khối có xác k phần tử; (ii) Mỗi tập chứa phần tử S chứa xác λ khối Một cấu trúc affine - cấu trúc với hai tính chất sau: (i) Hai khối rời giao số r điểm (ii) Mỗi khối với khối rời tạo thành lớp song song: tập gồm n khối rời phân chia tất điểm cấu trúc Định nghĩa s = r−1 n−1 Số lớp song song p = n2 s + n + khối lớp song song chứa k = nr = n2 s − ns + n điểm 31 3.1 Xây dựng Xây dựng xuất lần [22] mô tả [11] Fon-Der-Flaass Cho S1 , , Sp+1 cấu trúc affine tùy ý với thông số (n, r, s); p = n2 s + n + số lớp song song Si Đặt Si = (Vi , Li ) Với i, ký hiệu lớp song song tùy ý Si Lij , j ∈ I − {i} Với v ∈ Vi , ký hiệu lij (v) đường lớp Lij chứa v Với cặp i, j, i = j , chọn song ánh tùy ý σi,j : Lij → Lji cho −1 = σi,j σj,i Xây dựng đồ thị G1 = G1 ((Si ), (σi,j )) tập đỉnh X = i∈I Vi Các tập Vi hoàn toàn độc lập Hai đỉnh v ∈ Vi ω ∈ Vj , i = j kề G1 ω ∈ σi,j (lij (v)) (hoặc tương đương với σi,j (lij (υ)) = lij (ω)) Wallis Fon-Der-Flaass kết sau: Định lý 3.1.1 Đồ thị thu từ Xây dựng đồ thị quy mạnh với thông số (υ, k, λ, µ), υ = n2 r(n2 s + n + 2), k = nr(n2 s + n + 1), λ = µ = r(n2 s + n) Để Xây dựng cho đồ thị quy mạnh với tính chất n-e.c, điều cần thiết phải với cặp tập U, W rời Vi thỏa mãn |U | + |W | = n, phải có đỉnh v kề với tất đỉnh U không kề với đỉnh W Do cần có lớp song song Lij cho U W chứa hai khối rời Lij Để đảm bảo điều kiện thỏa mãn cấu trúc cấu trúc Hadamard xây dựng từ giải đấu Paley Một giải đấu đồ thị có hướng vòng lặp đồ thị đồ thị đầy đủ Giả sử q số nguyên tố thỏa mãn q ≡ 3( mod 4) Các đỉnh giải đấu Paley Pq phần tử trường hữu hạn Fq tồn cạnh có hướng từ x đến y y − x bình phương Fq Cho Aq = (ai,j ) ma trận kề Pq nên ta có ai,j = +1 (i, j) cạnh Pq ai,j = −1 (i, j) không cạnh Pq Với q = ký hiệu + thay cho +1, ký hiệu ta có 32 A3 = + − − + + − Cho U W hai tập rời tập đỉnh giải đấu Paley Pq Ký hiệu υ(U, W ) số đỉnh v ∈ Pq (U ∪ W ) thỏa mãn (v, u), (w, v) cạnh có hướng Pq với ∀u ∈ U ∀w ∈ W Định lý 3.1.2 ([17]) Giả sử q số nguyên tố thỏa mãn q ≡ (mod 4) Cho U, W hai tập rời tập đỉnh giải đấu Paley Pq ký hiệu n = |U | + |W | Khi đó, n |υ(U, W ) − 2−n q| ≤ (n − + 2−n+1 )q 1/2 + 2 Hơn nữa, υ(U, W ) > với q > n2 22n−2 Cho Iq ma trận đơn vị q × q Đặt Bq = Aq − Iq Gọi Cq ma trận (q + 1) × (q + 1) thu cách thêm vào ma trận Bq hàng cột có phần tử +1 Khi Cq ma trận Hadamard Với q = có   + + + + − + − + − + − B3 = − − + ; C3 = + − − + + − − + + − − Với q q hàng cuối Cq ma trận liên thuộc cấu trúc affine Mỗi lớp song song chứa hai khối, tương ứng với + − Các cột tương ứng với điểm cấu trúc Do giải đấu Paley Pq có ma trận liên thuộc Dq cấu trúc q + điểm với đỉnh tương ứng với cột lớp song song tương ứng với hàng, với thông số p = q, n = 2, r = q+1 ,s = q+1 D3 = Trong ví dụ với q = có + − + − + − − + + + − − Nhận xét: Xuất phát từ việc đánh dấu lớp song song bước hai, tương đương với việc hoán vị ngẫu nhiên hàng ma trận Dq với ma 33 trận liên thuộc Si , i = 1, , q + Chính xác hơn, ma trận liên thuộc cấu trúc Si ký hiệu Mi , hàng thứ j Mi hàng thứ πi (j) Dq với hoán vị πi Tổng số cách chọn πi hàm chọn khả (q!)q+1 Đối với việc chọn hàm σi,j , có q+1 q+1 cho hàm (vì n = 2) Do có tất 2( ) khả σi,j Như q+1 từ Xây dựng sinh ngẫu nhiên (q!)q+1 2( ) đồ thị 3.2 Xây dựng Giả sử q số nguyên tố thỏa mãn q ≡ (mod 4) Chọn hoán vị πi , ≤ i ≤ q + độc lập xuất phát từ tập tất hoán vị tác động {1, 2, , q} Cho S1 , , Sq+1 cấu trúc affine cho tập điểm V1 , , Vq+1 {1, 2, , q + 1} hàng thứ i Mi hàng thứ πi (j) Dq Đặt Si = (Vi , Li ) I = {1, , p + 1} Với i, ký hiệu lớp song song Si tương ứng với hàng thứ j Mi Lij , j ∈ I − {i} Với v ∈ Vi , kí hiệu lij (v) đường lớp song song Lij chứa v Mỗi đường lớp song song gồm song song gồm đường q+1 điểm lớp Với cặp i, j, i = j , chọn song ánh tùy ý σi,j : Lij → Lji tùy ý từ −1 khả cho σj,i = σi,j Xây dựng đồ thị G1 = G1 ((Si ), (σi,j )) tập đỉnh X = Vi Các tập Vi hoàn toàn độc lập Hai đỉnh υ ∈ Vi ω ∈ Vj , i = j kề G1 ω ∈ σi,j (lij (v)) (hoặc, tương đương với σi,j (lij (v)) = lij (ω)) q −1 q −1 Xây dựng cho đồ thị SRG((q + 1)2 , q(q+1) , , ) i∈I q+1 Bổ đề 3.2.1 ([17]) Xây dựng cho 2( )(1− (q)) đồ thị không đẳng cấu Chứng minh Lập luận Nhận xét Xây dựng ta có số đồ thị q+1 sinh từ Xây dựng 2( ) (q!)q+1 Để chặn số đồ thị G đẳng cấu với ˜ , xét cách chọn đỉnh sau: đồ thị cụ thể G 34 ˜ Điều (i) Chọn q + đỉnh G tương ứng với V1 G thực nhiều (q +1)2(q+1) cách Các đỉnh G tương ˜ xác định ứng với đường lớp song song thứ πi (1) Vi G Đặc biệt tập đỉnh tương ứng với Vi xác định (ii) Chọn cách tương ứng đỉnh G với đỉnh Vi , ≤ i ≤ q + Điều thực ((q + 1)!)q cách (xác định tất πi tất σi,j ) Số lớp đẳng cấu q+1 2( ) (q!)q+1 (q+1 )(1− (q)) = 2(q+1) q (q + 1) ((q + 1)!) Trong đó, (q) = O(q −1 log q) q+1 Vậy có 2( )(1− (q)) đồ thị không đẳng cấu xây dựng từ Xây dựng Cố định cặp tập đỉnh U, W rời đồ thị Xây dựng cho |U | + |W | = n Kí hiệu Ui = Vi ∩ U Wi = Vi ∩ W Định nghĩa Gi = Gi (U, W ) tất lớp song song cấu trúc Dq (không giao hoán) với tất Ui nằm khối tất Wi nằm khối khác Các lớp song song Gi tách riêng Ui Wi Định nghĩa Γ(U, W ) sau Γ(U, W ) = {i ∈ [1, q + 1] : Ui = Wi = ∅} Nếu i ∈ Γ(U, W ), Gi = {1, 2, , q} Định nghĩa ni = |Ui | + |Wi | với i ∈ [1, q + 1] Bổ đề 3.2.2 ([17]) Với i ∈ [1, q + 1], |Gi | ≥ 2−ni q − ni q − ni Chứng minh Kết bổ đề hoàn toàn với i ∈ Γ(U, W ) Chú ý với i ∈ / Γ(U, W ), ta có 35  / Ui ∪ Wi ; υ(Ui , Wi ) + υ(Wi , Ui ) ∈ |Gi | = υ(Ui − {1}, Wi ) ∈ Ui ;  υ(Wi − {1}, Ui ) ∈ Wi , υ(U, W ) định nghĩa Mục 3.1 Nếu ∈ / Ui ∪ Wi , theo Định lý 3.1.2 có: ni |υ(Ui , Wi ) − 2−ni q| ≤ (ni − + 2−ni +1 )q 1/2 + 2 Từ ta có ni υ(Ui , Wi ) ≥ 2−ni q − (ni − − 2−ni +1 )q 1/2 − 2 Do ni − − 2−ni +1 ≤ ni nên ta có 1 ni υ(Ui , Wi ) ≥ 2−ni q − ni q − 2 Tương tự 1 ni υ(Wi , Ui ) ≥ 2−ni q − ni q − 2 Do |Gi | ≥ 2−ni q − ni q − ni Nếu ∈ Ui từ Định lý 3.1.2 ta có ni − 1 Gi = υ(Ui − {1}, Wi ) ≥ 2−(ni −1) q − ((ni − 1) − 2−(ni −1)+1 )q − 2 Hiển nhiên 2−(ni −1) ≥ 2−ni , ni2−1 ≤ ni (ni − 1) − 2−(ni −1)+1 ≤ 2.ni , nên Gi = υ(Ui − {1}, Wi ) ≥ 2−ni q − ni q − ni Trường hợp ∈ Wi hoàn toàn tương tự Xét I = {1, , p + 1} từ Xây dựng Một cấu trúc Vi với i ∈ Γ(U, W ) gọi tốt cho U, W πk (i) ∈ Gk với k ∈ I − Γ(U, W ) gọi xấu U, W trường hợp lại Số đỉnh cấu trúc Vi tốt U, W số đỉnh kề với tất đỉnh U không 36 kề với đỉnh W Nếu q > n2 22n−2 theo Định lý 3.1.2 với cấu trúc Vi tốt tồn điểm Vi thỏa mãn tính chất n-e.c cho U, W Do đó, q > n2 22n−2 đồ thị xây dựng sinh từ Xây dựng thỏa mãn tính chất n-e.c Từ để chứng minh đồ thị mô tả Xây dựng đồ thị n-e.c ta cần tồn cấu trúc tốt cặp U, W Với i ∈ Γ(U, W ) gọi Ii hàm tiêu ngẫu nhiên xác định sau: Ii = I[Vi tốt vớiU, W ] Định nghĩa X = X(U, W ) X= Ii i∈Γ(U,W ) Chúng ta nói cặp U, W xấu không tồn đỉnh v ∈ V −(U ∪W ) cho v kề với tất đỉnh U không kề với đỉnh W Kí hiệu Nq (U, W ) biến cố cặp U, W xấu đồ thị ngẫu nhiên Xây dựng Do đó, P(Nq (U, W )) ≤ P(X = 0) Bổ đề 3.2.3 ([17]) Giả sử q ≥ 16.n2 22n Khi với U, W thỏa mãn |U | + |W | = n ta có −1 EX ≥ (q − n)2−n exp(−4n2n q ) Chứng minh Cố định đỉnh i ∈ Γ(U, W ) Khi đó, kết hợp với Bổ đề 3.2.2 ta có 37 EX ≥ (q − n)EIi q = (q − n) |Gj | q j=1 q 2−nj q − nj q − nj ≥ (q − n) ( ) q j=1 q = (q − n)2 −n nj 2nj nj 2nj (1 − √ − ) q q j=1 q 2nj 2nj (1 − √ ), q j=1 −n ≥ (q − n)2 Với < x < 12 , log(1 − x) ≥ −2x − x ≥ e−2x , nên q −n EX ≥ (q − n)2 4nj 2nj exp(− √ ) q j=1 q −n ≥ (q − n)2 = (q − n)2 −n 4nj 2n exp(− √ ) q j=1 4n2n exp(− √ ) q Bây tìm hiểu kết riêng Lý thuyết xấp xỉ Poison Giả sử (Ii , i ∈ Γ) biến ngẫu nhiên số i Γ, Γ tập số tùy ý Luật xác suất Ii với điều kiện {Ii = 1} ký hiệu L(Ij ; j ∈ Γ|Ii = 1) Chúng ta nói Ii liên hệ âm với i ∈ Γ biến ngẫu nhiên (Jj,i , j ∈ Γ) định nghĩa không gian xác suất giống (Ii , i ∈ Γ) theo cách sau: (Jj,i , j ∈ Γ) = L(Ij ; j ∈ Γ|Ii = 1) Jj,i ≤ Ij với ∀j ∈ Γ Chúng ta có kết mở rộng Xấp xỉ Poison [8] sau 38 Định lý 3.2.1 Với tổng Y = i∈Γ Ii biến tiêu liên hệ âm P(Y = 0) ≤ 2.e−EX Bổ đề cận xác suất để cặp U, W xấu Bổ đề 3.2.4 ([20]) Xác xuất biến cố Nq bị chặn P(Nq (U, W )) ≤ exp(−(q − n)2 −n −4n2n exp( √ )) q Định lý kết Fon-der-Flaass đồ thị quy mạnh sinh từ cấu trúc affine Định lý 3.2.2 ([20]) Giả sử q số nguyên tố thỏa mãn q ≡ (mod 4) q+1 Có hàm (q) = O(q −1 log q) cho tồn 2( ).(1− (q)) đồ thị 2 q −1 q −1 SRG((q + 1)4 , q(q+1) , , ) không đẳng cấu n − e.c, với q ≥ 16.n2 22n Chứng minh Cho Z số cặp U, W xấu giả sử q ≥ 16n2 22n Ta có 2−n (q+1)2 n 2n cách chọn cặp U, W Sử dụng Bổ đề 3.2.4 n ≤ log2 q với 1 ≥ 4nq − ≥ 4q − , có EZ = (q + 1)2 n P(Nq (U, W )) n (q + 1)2 n 4n2n −n ≤ 2 exp(−(q − n)2 exp(− √ )) n q 4n2n 2n n −n ≤ (q + 1) 2 exp(−(q − n)2 exp(− √ )) q 4e−1 log2 q+1 ≤ (q + 1) exp(−(q − log2 q) √ ) q ≤ c1 exp(−c2 q ), với số c1 , c2 > Do Z biến ngẫu nhiên giá trị nguyên không âm nên P(Z > 0) ≤ EZ Từ ta có P(Z > 0) ≤ c1 exp(−c2 q ) xác suất để tồn cặp U, W xấu đồ thị 39 Xây dựng Như xác suất để không tồn cặp U, W xấu q+1 − c exp(−c q ) Do có 2( ) (q!)q+1 đồ thị sinh từ Xây dựng nên số đồ thị Xây dựng không tồn cặp xấu U, W q+1 2( ) (q!)q+1 {1 − c1 exp(−c2 q )} Sử dụng chứng minh bổ đề 3.2.1 ta có điều phải chứng minh 40 Kết luận Trong luận văn em trình bày đồ thị n-e.c Khóa luận từ khái niệm với tính chất tới việc xậy dựng phân loại đồ thị n-e.c vọng, cuối nêu hai cách xây dựng cụ thể đồ thị ngẫu nhiên quy mạnh Song song với ví dụ, kết kèm theo chứng minh Nội dung luận văn bao gồm: • Giới thiệu đồ thị n-e.c, tính chất số đồ thị n − e.c biết • Trình bày cách xây dựng phân loại đồ thị n-e.c • Đưa hai cách xây dựng đồ thị ngẫu nhiên quy mạnh chứng minh đồ thị sinh có tính chất n-e.c Tuy nhiên, thời gian thực luận văn không nhiều khả hạn chế nên luận văn đề cập tới xây dựng đồ thị n-e.c Về đồ thị n-e.c nhiều vấn đề phức tạp hơn, việc tìm đồ thị n-e.c với n lớn Trong thời gian tới, em tiếp tục tìm hiểu sâu nội dung Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! 41 Tài liệu tham khảo [1] A Blass and B Rossman, "Explicit graphs with extension properties", Bul Eur Assoc Theor Comput Sci 86 (2005), 166-175 [2] A Bonato, and K Cameron (2001), "On an adjecency property of almost all graphs", Contributions to Discrete Mathematics, (231), pp.103-119 [3] A.Bonato (2009), "The search for n-e.c graphs", Contributions to Discrete Mathematics, (4) [4] A Bonato, W H Holzmann, and H Kharaghani (2001), " Hadamard matrices ang strongly regular graphs with the 3-e.c adjacency property", Journal of Combin, (8), pp.1-9 [5] A.D Forbes, M.J Grannell and T.S Griggs (2005), "Steiner triple systems and existentially closed graphs", The electronic journal of combinatorics, (12) [6] A G Thomason (1987), "Pseudo-random graphs", North- Holland Mathematics Studies, (144), pp.307-331 [7] A Kisielewicz, Andrzej and W Peisert (2004), "Pseudo-random properties of self-complementary symmetric graphs", Journal of Graph Theory , (47), pp.310-316 [8] Barbour, A D, Holst, L and Janson (1992), Poisson Approximation, Oxford University Press, Oxford 42 [9] C A Baker, A Bonato, J M N Brown, and T Szonyi (2008), "Graphs with the n-e.c adjacency property constructed from affine planes", Discrete Mathematics, (208), 901-912 [10] F Hausdorff (1936), "Uber zwei Satze von G Fichtenholz und L Kantorovitch", Studia Math, (6), pp.18-19 [11] Fon-Der-Flaass (2002), " New prolific constructions of strongly regular grapgs", Advances in Geometry, (2), pp 301-306 [12] F R K Chung, R L Graham and R W Wilson (1989), "Quasirandom graphs", Combinatorica, (9), pp.345-362 [13] L A Vinh (2009), "A construction of 3-e.c graphs using quadrances", arXiv preprint arXiv:0903.2509 [14] L Caccetta, P Erd˝os, and K Vijayan (1985), "A property of random graphs", Ars Combin, (19), pp.287-294 [15] Neil A McKay and David A Pike (2007), " Existentially Closed BIBD Block-Intersection Graphs", The electronic journal of combinatorics, (14) [16] P Erd˝os and A Re’nyi (1963), "Asymetric graphs", Acta Mathematica Hungarica, (14), pp.295-315 [17] P J Cameron and D Stark(2002), "A prolific construction of strongly regular graphs with the n-e.c property", The electronic journal of combinatorics, (9) [18] P Gordinowicz and P.Pralat(2010), "The search for smallest 3-e.c graphs", Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing, (74) [19] R Lidl and H Niederreiter (1983), Finite Fields, Addison-Wesley, London 43 [20] W Ananchuen (2001), "On the adjacency properties of generalized paley graphs", Australasian Journal of Combinatoricsn, (24), pp.129148 [21] Wolfgang.M Schmidt (1976), Equations over Finite Fields: An Elementary Approach, Springer-Verlag, Berlin [22] Wallis, Walter D (1971), "Construction of strongly regular graphs using affine designs", Bulletin of the Australian Mathematical Society, (4), pp.41–49 44 [...]... 17 Chương 2 Xây dựng và phân loại một số đồ thị n-e.c Như đã mô tả ở phần đầu của Chương 1, ta đã biết đồ thị 1-e.c là đồ thị không có đỉnh cô lập cũng không có đỉnh phổ quát Trong chương này chúng ta sẽ tập trung xây dựng các đồ thị n -e.c sau đó sẽ phân loại và tìm hiểu cụ thể hơn các lớp đồ thị: 2-e.c, 3-e.c và các đồ thị n-e.c với n ≥ 4 2.1 Đồ thị n-e.c Đầu tiên, ta đi xây dựng đồ thị n-e.c bằng... 3 Xây dựng đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh Như đã biết thì hầu hết các đồ thị n-e.c đều là đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh Vì vậy trong chương này thay vì xây dựng các đồ thị n-e.c chúng ta đi xây dựng các đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh Sau đó chúng ta sẽ chứng minh các đồ thị này có tính chất kề n-e.c Hai xây dựng đề cập trong luận văn này đều xây dựng trên cấu trúc affine Cho v và λ là hai số. .. n, phải có một đỉnh v kề với tất cả các đỉnh của U và không kề với bất cứ đỉnh nào của W Do đó cần có một lớp song song Lij sao cho U và W được chứa trong hai khối rời nhau của Lij Để đảm bảo điều kiện đó thỏa mãn cấu trúc của chúng ta sẽ là cấu trúc Hadamard được xây dựng từ giải đấu Paley Một giải đấu là một đồ thị có hướng không có vòng lặp và đồ thị của nó là đồ thị đầy đủ Giả sử q là số nguyên... ta có khái niệm về đồ thị chính quy như sau Định nghĩa 1.3.1 Đồ thị chính quy là một đồ thị trong đó mỗi đỉnh có số đỉnh kề bằng nhau, nghĩa là các đỉnh có bậc bằng nhau Một đồ thị chính quy với các đỉnh có bậc bằng k được gọi là đồ thị chính quy bậc k hay đồ thị k -chính quy Định nghĩa 1.3.2 Một đồ thị G là k - chính quy với v đỉnh, sao cho mỗi cặp đỉnh nối với nhau có chính xác λ đỉnh kề chung, và. .. (v)) = lij (ω)) q 2 −1 q 2 −1 Xây dựng 2 cho chúng ta đồ thị SRG((q + 1)2 , q(q+1) , 2 4 , 4 ) i∈I q+1 Bổ đề 3.2.1 ([17]) Xây dựng 2 cho ra ít nhất 2( 2 )(1− (q)) đồ thị không đẳng cấu Chứng minh Lập luận như trong Nhận xét ở Xây dựng 1 ta có số đồ thị q+1 sinh ra từ Xây dựng 2 là 2( 2 ) (q!)q+1 Để chặn số đồ thị G đẳng cấu với ˜ , chúng ta xét cách chọn đỉnh như sau: đồ thị cụ thể G 34 ... hơn ta có: Định lý 2.2.2 ( [15] ) Một đồ thị giao-khối của một BIBD(v, k, 1) với k ≥ 3 là 2-e.c nếu và chỉ nếu v ≥ k 2 + k − 1 2.3 Đồ thị 3-e.c Đầu tiên, chúng ta sẽ đưa ra một xây dựng đồ thị 3-e.c bằng cách sử dụng khái niệm góc một phần tư của không gian Euclid hữu hạn Zdp Giả sử rằng p là số nguyên tố lẻ và Zp = {0, 1, , p − 1} là trường nguyên tố với p phần tử Chúng ta sẽ xây dựng một đồ thị 3-e.c... nối với nhau có chính xác µ đỉnh kề chung thì được gọi là đồ thị chính quy mạnh, và ký hiệu G là SRG(v, k, λ, µ) Hầu hết các đồ thị n-e.c mà chúng ta biết là đồ thị chính quy mạnh Họ đồ thị đầu tiên được phát hiện ra chứa các đồ thị n-e.c với ∀n là các đồ thị Paley Các đồ thị Paley được định nghĩa trên trường hữu hạn, và chúng thỏa mãn nhiều tính chất của đồ thị ngẫu nhiên (G, 21 ) Đồ thị Paley cấp... điểm này Từ k−2 ≤ k−2 ta có điều cần chứng minh Với một BIBD(v, k, λ) bất kỳ thì bổ đề sau cho ta cận dưới của k Bổ đề 2.4.2 ( [15] ) Nếu đồ thị giao-khối của một BIBD(v, k, λ) là n-e.c, thì n ≤ k Sử dụng hai bổ đề trên chúng ta có một cận dưới của cấp của một cấu trúc có đồ thị giao-khối có tính chất n-e.c Định lý 2.4.1 ( [15] ) Với n ≥ 3 Nếu D = (V, B) là một BIBD(v, k, 1) với đồ thị giao-khối là n-e.c,... b = d hoặc a = c và {b, d} ∈ E(G) 11 Trong [5] ta có chú ý đầu tiên là mec (2) = 9 và K3 K3 là 2-e.c Theo [2] ta cũng thu được K3 K3 là dạng đẳng cấu duy nhất của đồ thị 2-e.c có cấp 9 Đồ thị K3 K3 được cho trong Hình 1.2 Hình 1.2: Đồ thị 2-e.c có cấp nhỏ nhất duy nhất Cũng theo Hệ quả 1.2.1, mec (3) ≥ 2.mec (2) + 1 = 19 Tuy nhiên, một đồ thị 3-e.c với 19 đỉnh là đồ thị 9- chính quy và vì thế mec (3)... tạo thành một lớp song song: một tập gồm n khối rời nhau phân chia tất cả các điểm của cấu trúc Định nghĩa s = r−1 n−1 Số các lớp song song là p = n2 s + n + 1 và mỗi khối trong lớp song song chứa k = nr = n2 s − ns + n điểm 31 3.1 Xây dựng 1 Xây dựng này xuất hiện lần đầu tiên trong [22] và được mô tả trong [11] bởi Fon-Der-Flaass Cho S1 , , Sp+1 là các cấu trúc affine tùy ý với thông số (n, r, s); ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ THỊ THU HƯỜNG XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học. .. đoạn thẳng(các cạnh) Luận văn đề cập tới việc xây dựng phân loại số lớp đồ thị có cấu trúc đặc biệt Cụ thể đồ thị có tính chất n-e.c Tính chất phát nghiên cứu hai nhà khoa học Erd˝os Re’nyi [16]... dung luận văn tập trung làm rõ tính chất đồ thị n-e.c, sau xây dựng phân loại đồ thị n-e.c, cuối nêu số cách xây dựng cụ thể cho đồ thị n-e.c Luận văn bao gồm ba chương Chương : Giới thiệu đồ thị