ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC HOÀNG VIỆT HƢNG SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA TRONG DẠY HỌC PHẦN “ DAO ĐỘNG VÀ SÓNG ĐIỆN TỪ” CHƢƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA VẬT LÝ LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM VẬT LÝ HÀ NỘI - 2009 MỤC LỤC Phần mở đầu Lý chọn đề tài……………………………………………………….1 Mục đích nghiên cứu……………………………………………………2 Đối tƣợng nghiên cứu………………………………………………… Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………………………………3 Phạm vi nghiên cứu…………………………………………………… Giả thuyết khoa học…………………………………………………… Phƣơng pháp nghiên cứu……………………………………………….4 Đóng góp đề tài…………………………………………………… Cấu trúc Luận văn………………………………………………………5 Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC 1.1 Khái quát chung nhiệm vụ q trình dạy học………………….7 1.2 Mục đích đổi phƣơng pháp dạy học… …………………………….8 1.3 Định hƣớng đổi mới……………… ……………………………………10 1.4 Dạy học tích cực………………………………………………………… 11 1.5 Con đƣờng hình thành kiến thức vật lý học……………….16 1.6 Sử dụng Công nghệ thông tin giảng dạy vật lý………….………26 1.7 Mục đích giảng dạy phần Dao động sóng điện từ cho học sinh phổ thơng với hỗ trợ phần mềm tốn học Mathematica ………….……34 Chƣơng 2: GIỚI THIỆU NHỨNG NÉT CƠ BẢN VỀ PHẦN MỀM TOÁN HỌC MATHEMATICA VÀ CÁC ỨNG DỤNG 2.1 Quá trình hình thành phát triển Mathematica……………… 36 2.2 Mathematica hệ thống thực phép tính……………………36 2.3 Mathematica ngơ ngữ lập trình………………………………… …39 2.4 Mathematica hệ thống biểu diễn kiến thức toán học………………40 2.5 Mathematica mơi trƣờng tính tốn…………………………………40 2.6 Các lệnh Mathematica 41 2.7 Các lệnh Mathematica tính tốn số 42 2.8 Đồ họa Mathematica .45 Chƣơng 3: ỨNG DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC MATHEMATICA THIẾT KẾ BÀI GIẢNG PHẦN DAO ĐỘNG VÀ SÓNG ĐIỆN TỪ 3.1 Ứng dụng phần mềm Mathematica thiết kế giảng ….…………… 59 3.2 Dao động sóng điện từ……………………………………………… 71 3.3 Mạch chọn sóng LC………………………………………………………76 3.4 Sự lan truyền sóng điện từ khơng gian…………………… 78 3.5 Truyền thơng sóng điện từ……………………………………… 80 3.6 Thực nghiệm sƣ pạm…………………………………………………… 84 Phụ lục…………………………………………………………………………95 Kết luận khuyến nghị DANH MỤC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT CNTT : Công nghệ thông tin DH : Dạy học GV : Giáo viên HS : Học sinh PPDH : Phƣơng pháp dạy học PPDHTC : Phƣơng pháp dạy học tích cực PTDH : Phƣơng tiện dạy học THPT : Trung học phổ thông PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, phát triển nhanh công nghệ thông tin tạo nên cách mạng lĩnh vực hoạt động kinnh tế, trị, văn hóa, khoa học, xã hội,… Trước tình hình Đảng nhà nước ta xác định tầm quan trọng mang tính chiến lược việc ứng dụng công nghệ thông tin vào giáo dục Nghị số 26-NQ/TW, Bộ Chính trị khoa học cơng nghệ nghiệp đổi nêu : "Tập trung sức phát triển số ngành khoa học công nghệ mũi nhọn điện tử, tin học, " Nghị Hội nghị lần thứ bảy Ban Chấp hành Trung ương (khoá VII) ngày 30-7-1994 xác định : "Ưu tiên ứng dụng phát triển công nghệ tiên tiến, công nghệ thông tin phục vụ yêu cầu điện tử hoá tin học hoá kinh tế quốc dân" Nghị Đại hội đại biểu Đảng toàn quốc lần thứ VIII nhấn mạnh : "Ứng dụng công nghệ thông tin tất lĩnh vực kinh tế quốc dân, tạo chuyển biến rõ rệt suất, chất lượng hiệu kinh tế Hình thành mạng thơng tin quốc gia liên kết với số mạng thông tin quốc tế"[8] , việc đẩy mạnh phát triển công nghệ thông tin nhằm phục vụ nghiệp cơng nghiệp hóa đại hóa đất nước Trong cơng tác đào tạo, tin học có ảnh hưởng lớn Tin học hóa công tác giảng dạy phát triển theo hướng làm tăng hiệu đạt công tác giáo dục Bên cạnh cịn gắn liền với q trình cải tiến cơng tác tổ chức, quản lý Tin học hóa công tác giáo dục không dừng lại việc xây dựng sở hạ tầng thông tin, mà gắn liền với việc thay đổi phương pháp, hình thức dạy học, từ giúp cho việc dạy học có hiệu cao Mặc dù mặt lý luận thực tiễn khách quan cho thấy hiệu quả, lợi ích to lớn việc dạy học điện tử Nhưng tới cơng trình nghiên cứu, tài liệu phương pháp xây dựng giảng điện tử sử dụng chúng trình dạy học để nâng cao chất lượng, đảm bảo cho học sinh nắm vững kiến thức phát huy óc sáng tạo chưa nhà lý luận dạy học quan tâm mức, việc triển khai cịn gặp nhiều khó khăn Đổi phương pháp dạy học bên cạnh cung cấp kiến thức cho học sinh, cần phải rèn cho học sinh lực tư duy, lực giải vấn đề, lực làm việc độc lập lực tự nghiên cứu khoa học Tại trường học phổ thông nước nói chung địa bàn thành phố Hà Nội nói riêng, học sinh tạo điều kiện rèn luyện tư duy, nhận thức cách logic, khoa học, lực tự giải vấn đề Trong đổi phương pháp dạy học, cần phải có thời gian để dần chuyển từ phương pháp dạy học truyền thống – giáo viên trung tâm, người truyền đạt kiến thức, người học tiếp thu kiến thức cách thụ động… sang phương pháp dạy học đại, lấy người học làm trung tâm Ở đây, giáo viên người đóng vai trị hướng dẫn người học chủ động tiếp cận kiến thức cách khoa học Có thể thấy rõ điều vô lý mong muốn đưa người học vị trí trung tâm giáo dục, ý kiến người học định hướng cho cách học cho phát triển giáo dục lại không quan tâm tới ý kiến, suy nghĩ người học Điều hiểu việc muốn học sinh, sinh viên, học viên chủ động học tập, chủ động nghiên cứu trung tâm giáo dục Nhưng lại tiến hành theo phương thức gị bó, ép buộc, áp đặt mà khơng xem xét cơng việc có phù hợp với ý kiến người học, với thời đại không Việc ứng dụng cơng nghệ thơng tin vào q trình dạy học thời điểm hoàn toàn phù hợp với xu thời đại, trường học thành phố, thị xã – nơi có điều kiện nhanh chóng tiếp thu công nghệ, đặc biệt Hà Nội – trung tâm văn hóa, kinh tế, trị… nước việc ứng dụng cơng nghệ vào dạy học hoàn toàn cần thiết khả thi Để đáp ứng nhu cầu đó, việc sử dụng phần mềm tốn học Mathematica giải pháp tối ưu, phần mềm đáp ứng nhu cầu đa số giáo viên công tác giảng dạy; phần mềm dễ sử dụng, tính đồ họa, tính tốn đặc biệt công cụ mạnh việc giúp giáo viên xây dựng mơ hình vật lý cách dễ dàng, thuận tiện…Đó lý giúp chọn tên đề tài “ Sử dụng phần mềm Mathematica dạy học phần “Dao động sóng điện từ” chương trình sách giáo khoa vật lý lớp 12 – Trung học phổ thông làm đề tài Luận văn thạc sỹ Mục đích nghiên cứu Dựa sở lý luận thực tiễn trình dạy học tập thể giáo viên thân, điều kiện sở vật chất trường chưa đáp ứng nhu cầu dạy học, đặc biệt với mơn vật lý việc tiến hành thí nghiệm quan trọng vô cần thiết Nhưng nhiên, để tiến hành thí nghiệm vật lý cần phải có thiết bị chuẩn, khơng thể tiến hành thí nghiệm Nhiều số trường học điều kiện không cho phép trang bị phịng thí nghiệm, đơi thiết bị thí nghiệm có, kết thí nghiệm khơng mong muốn, nhiều lý mặt chủ quan lẫn khách quan mang lại Vì vậy, thực tế việc học dạy chay khó tránh khỏi, phần nguyên nhân làm hạn chế khả tư duy, lực làm việc, lực tự giải vấn đề…của học sinh Để giải vấn đề nan giải đó, vật lý việc mơ tượng vật lý máy tính vơ cần thiết q trình dạy học, góp phần làm tăng khả tư duy, nhận thực, lực sáng tạo, rèn luyện khả làm việc nhóm, khả tự giải vấn đề học sinh Đối tƣợng nghiên cứu Hoạt động dạy, học giáo viên học sinh có hỗ trợ phần mềm toán học Mathematica Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận q trình tin học hóa việc tổ chức dạy học vật lý nói chung dạy học phần dao động sóng điện từ nói riêng theo hướng làm tăng lực tư duy, nhận thức, sáng tạo, khả làm việc nhóm khả tự giải vấn đề học sinh phổ thông - Nghiên cứu vấn đề ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học vật lý trường THPT nói chung, trường THPT n Hịa nói riêng việc sử dụng phần mềm Mathematica nhằm hỗ trợ mô tượng vật lý - Đưa giải pháp xây dựng mơ hình mơ số tượng phần dao động sóng điện từ Phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu q trình dạy học nói chung, dạy vật lý nói riêng trường THPT có hỗ trợ phầm mềm tốn học Mathematica mơ tượng vật lý, cụ thể mô tượng phần dao động sóng điện từ Với mục đích nâng cao khả ứng dụng cơng nghệ thơng tin, khả giải vấn đề, khả làm việc nhóm, lực nhận thức Giúp người học chủ động giải vần đề gặp phải trình dạy học Giả thuyết khoa học Tin học hóa q trình dạy học chiếm ưu Đặc biệt việc ứng dụng phần mềm vào trình dạy học, phần mềm Mathematica cách hợp lý, mang lại hiệu cao day học Xây dựng mơ hình mơ tượng vật lý, hỗ trợ giảng dạy, từ dễ ràng giúp học sinh đưa phương án giải vấn đề phần dao động sóng điện từ, qua giúp cho học sinh thể lực thân, rèn luyện, phát triển khả tư duy, sáng tạo cách toàn diện Phƣơng pháp nghiên cứu a Phương pháp nghiên cứu lý luận Dựa vào tài liệu lý luận dạy học làm sáng tỏ quan điểm, tổ chức, điều khiển diễn biến q trình dạy học Từ học sinh gải vấn đề gặp phải trình nhận thức Sử dụng phần mềm toán học Mathematica tài liệu liên quan việc thiết kế, mô tượng vật lý phục vụ trình dạy học Nghiên cứu chương trình, nội dung sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo, từ xác định xác nội dung, khái niệm vật lý mà học sinh cần phải nắm học phần dao động sóng điện từ b Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Nghiên cứu trình dạy học trường THPT nói chung trường THPT n Hịa nói riêng thông qua hoạt động: giảng dạy, dự giờ, thảo luận với đồng nghiệp đánh giá học sinh Từ đánh giá tình hình dạy, học phần dao động sóng điện từ học sinh phổ thơng Nghiên cứu q trình sử dụng máy tính việc ứng dụng phần mềm Mathematica mô tượng vật lý mơ hình, phục vụ cơng tác giảng dạy trường THPT Đóng góp đề tài Luận văn cho thấy lợi ích, tầm quan trọng việc ứng dụng Công nghệ thông tin dạy học theo phương pháp đại Mở thêm hướng việc kết hợp phương pháp dạy học truyền thống với phương pháp dạy học đại cách hiệu Đưa phần mềm toán học Mathematica vào trình dạy học cách hiệu quả, cụ thể phần dao động sóng điện từ Cấu trúc Luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục Luận văn thành chương : Chương 1: Cơ sở lý luận phương pháp dạy học tích cực Chương 2: Giới thiệu nét phần mềm toán học Mathematica ứng dụng Chương 3: Ứng dụng phần mềm toán học Mathematica thiết kế giảng phần Dao động sóng điện từ Kết môn vật lý năm học trước lớp ban tương đương Ban A đạt kết tốt số lượng học sinh giỏi học sinh trung bình - Kết môn vật lý lớp 12D1, 12D2 12A1, 12A3 sau tiến hành giảng dạy với hỗ trợ phần mềm toán học Mathematica, cho bảng 3.2 Bảng 3.2: Kết học tập học kỳ I môn vật lý năm học 2009 Lớp Xếp loại Sĩ số Lớp thực nghiệm: 12D1 Lớp đối chứng: 12D2 Lớp thực nghiệm: 12A3 Lớp đối chứng: 12A1 48 44 42 45 Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém (%) (%) (%) (%) (%) 29 10 0 (18,75%) (60,42%) (20,83%) 20 21 (6,82%) (45,45%) (47,73%) 15 25 (36,71%) (59,52%) (3,77%) 10 26 (22,22%) (57,78%) (20%) (0%) (0%) 0 (0%) (0%) 0 (0%) (0%) 0 (0%) (0%) 3.6.5 Nhận xét trình tiến hành thực nghiệm sư phạm kết thu qua q trình đó: * Kết học tập: - Qua thời gian tiến hành (Từ đầu học kỳ I đến cuối học kỳ I năm học 2009-2010) tiến hành thực nghiệm với hai lớp 12D1 12A3 Chúng chọn ban lớp Kết thu lớp 12D1 là: học lực giỏi học sinh, chiếm (18,75%); học lực 29 học sinh, chiếm(60,42%); học lực trung bình 10 học sinh, chiếm (20,83%), khơng có em học lực yếu 90 - Kết thu lớp 12A3 là: học lực giỏi 15 học sinh, chiếm (36,71%); học lực 25học sinh, chiếm(59,52%); học lực trung bình học sinh, chiếm (3,77%), khơng có em học lực yếu Đây điểm tính trung bình điểm hệ số hệ số (chưa có điểm thi học kỳ I) - Đối với hai lớp 12A3, 12D1 tiến hành thực nghiệm Chúng nhận thấy lớp tiến hành giảng dạy với hỗ trợ phần mềm tồn học Mathematica kết học tập nhìn chung cao hai lớp 12D2 12A1 Đặc biệt số học sinh giỏi môn vật lý lớp 12D1, 12A3 tăng lên rõ dệt so với hai lớp 12D2, 12A1 so với lớp khối 12 trường * Về thái độ học sinh: Đối với hai lớp 12D2 12A1( lớp không tiến hành thực nghiệm) học sinh có cố gắng so với năm lớp 11, năm cuối cấp em Nhưng q trình giảng dạy chúng tơi nhận thấy khơng có nhiều tiến so với năm lớp 11, chưa u thích mơn vật lý Học sinh học với mục đích thi tốt nghiệp đại học chưa phải học với niềm yêu thích mơn vật lý Đối với hai lớp 12A3, 12D1 ngồi việc em tiến rõ rệt học lực môn vật lý Hơn nữa, mà nhận thấy đạt lớn tạo hầu hết cho em học sinh hai lớp có tình u, có niềm u thích mơn vật lý, học thực hành dừ thí nghiệm ảo, tượng mơ phần mềm Mathematica Học sinh trở nên chủ động tích cực q trình học tập, học sinh chủ động đưa hướng giải vấn đề thân hay nhóm qua chúng tơi rèn luyện cho học sinh khả làm việc theo nhóm, khả giải vấn đề khả đặt vấn đề Qua giai đoạn tiến hành thực nghiệm đó, chúng tơi bước đầu khẳng định phần mềm Mathematica phương tiện hữu ích 91 q trình giảng dạy khơng trường phổ thơng, mà cịn hữu ích cho trường đại học (hiện môn học Mathematica giảng dạy trường Đại học khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội) Ứng dụng phần mềm Mathematica khơng tốn, vật lý mà giới, phần mềm rộng dãi lĩnh vực khoa học, mà lĩnh vực kinh doanh sử dụng KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận văn Bản luận văn đạt mục tiêu nhiệm vụ đề Kết luận văn tóm tắt sau: - Đưa hệ thống sở lý luận trình tin học hóa việc tổ chức dạy học vật lý nói chung dạy học phần “Dao động sóng điện từ nói riêng” theo hướng làm tăng lực tư duy, nhận thức, sáng tạo, khả làm việc nhóm khả tự giải vấn đề học sinh phổ thông - Đưa vấn đề mấu chốt việc ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học vật lý trường THPT nói chung trường THPT n Hịa nói riêng việc sử dụng phần mềm Mathematica nhằm hỗ trợ 92 việc mô tượng vật lý Đề tài lựa chọn nội dung, thời điểm đối tượng học sinh cho việc áp dụng cơng nghệ thơng tin - Q trình ứng dụng phần mềm cho thấy tính khả thi hiệu rõ rệt, việc mô thí nghiệm mà khơng thể tiến hành thực tế với điều kiện sở vật chất quỹ thời gian có hạn lớp cách phù hợp Với việc sử dụng phần mềm toán học Mathematica, đề tài Luận văn mô rõ số tượng dao động sóng điện từ, tượng khơng thể có điều kiện tiến hành thí nghiệm thực trường học Thơng qua việc sử dụng mơ hình mơ để dạy học phần dao động sóng điện từ, tạo cho học sinh có nhiều hội tiếp cận nhiều với cơng nghệ thơng tin, có nhiều thời gian học, có hội trao đổi qua lại giáo viên nhiều Tạo điều kiện cho học sinh đơn giản hóa, cụ thể hóa số vấn đề trừu tượng vật lý, phần “ Dao động sóng điện từ” Đóng góp đề tài Trong luận văn này, sử dụng phần mềm Mathematica xây dựng số mơ hình dao động học, dao dộng điện mơ hình dao động sóng điện từ, dao động tiến hành giảng dạy lớp thường khó học sinh, khơng thể tiến hành thí nghiệm thực cho học sinh quan sát, học sinh phải hình dung, việc hình dung học sinh với ý đồ giáo viên, lại sai lệch Khi sử dụng phần mềm Mathematic để mơ lan truyền khắc phục nhược điểm q trình dạy Việc mơ sử dụng nhiều phần mềm khác nhau, qua trình nghiên cứu thực nghiệm chúng tơi định dùng phần mềm Mathematica nhiều tính ưu việt 93 Khi tiến hành giảng dạy với phần mềm này, giúp cho giáo viên nâng cao trình độ tin học, ngoại ngữ, giúp cho học sinh phát huy tính chủ động, sáng tạo, khả làm việc nhóm, khả thuyết trình khơi dạy niềm say mê môn vật lý em Nghiên cứu đề tài mở thêm hướng cho việc ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học Việc ứng dụng phần mềm không dừng lại việc giảng dạy phần “Dao động sóng điện từ” mà cịn sử dụng giảng dạy phần khác môn vật lý phổ thông, đại học môn học khác Bài học rút đƣợc từ nghiên cứu luận văn - Ứng dụng công nghệ thông tin dạy học mang lại nhiều lợi ích to lớn giáo viên học sinh: Giáo viên ln học hỏi nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ luôn phải cập nhật phát triển khoa học cơng nghệ Học sinh có nhiều hội tiếp cận khoa học công nghệ - Để ứng dụng phần mềm Mathematica nói riêng phần mềm khác nói chung phải chọn lựa đơn vị kiến thức áp dụng cho mang lại hiệu tốt Người dạy phải lập kế hoạch cho trình chuẩn bị tốt mang lại hiệu - Phải có phối hợp chặt chẽ nhịp nhàng giáo viên học sinh trình thực giảng, trình xây dựng kiến thức nhằm đạt mục tiêu học - Sau giảng cần có củng cố, khắc sâu phần kiến thức trọng tâm học tiến hành rút kinh nghiệm sau giảng Hạn chế đề tài 94 - Khi thự giảng có hỗ trợ phần mềm Mathematica thời gian cần thiết cho chuẩn bị nhiều đòi hỏi giáo viên phải có trình độ hiểu biết định tin học ngoại ngữ - Tính ứng dụng đề tài chưa phổ biến với lý do: để giảng dạy với hỗ trợ phần mềm Mathemtica cần phải có phịng học trang bị máy chiếu, tối thiểu phải có máy chiếu Projecter máy vi tính cài đặt phần mềm Mathematica Do đó, việc ứng dụng hạn chế nơi có đầy đủ điều kiện tối thiểu - Các thí nghiệm hay mơ hình thực phần mềm mang tính mơ Ở đó, người viết chương trình lý tưởng hóa điều kiện xảy tượng, yếu tố khách quan tác động tới q trình thí nghiệm bỏ qua - Do điều kiện thời gian, không gian khuôn khổ thực luận văn nên phần thực nghiệm đề tài chưa tiến hành rộng, thực nơi có điều kiện tốt mặt chủ thể khách thể Do đó, tính ứng dụng đề tài bị thu hẹp Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Ngọc Đạt, Tiếp cận đại hoạt động dạy học, NXB ĐH Quốc Gia, 1997 [2] Đặng Văn Đúc, Nguyễn Thu Hằng, Phương pháp dạy học theo hướng tích cực, NXB ĐH Sư Phạm Hà Nội, 2003 [3] Nguyễn Đức Thâm, Nguyễn Ngọc Hƣng, Phạm Xuân Quế, Phương pháp dạy học vât lý trường phổ thông, NXB ĐH Sư phạm Hà Nội, 2002 95 [4] Tơn Tích Ái, Phần mềm tốn cho kỹ sư, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội, 2005 [5] Nguyễn Thế Khôi (Tổng chủ biên), Vũ Thanh Khiết (Chủ biên), Nguyễn Đức Hiệp – Nguyễn Trọng Hƣng – Nguyễn Đức Thâm – Phạm Đình Khiết – Phạm Quý Tƣ, SGK Vật lý nâng cao lớp 12, NXB Giáo dục, 2008 [6] Lƣơng Duyên Bình (Tổng chủ biên), Vũ Quang (chủ biên), Nguyễn Thƣợng Chung – Tô Giang – Trần Trí Minh – Ngơ Quốc Qnh, SGK Vật lý lớp 12, NXB Giáo dục, 2008 [7] Trần Bá Hồnh, Đổi phương pháp dạy học, chương trình sách giáo khoa, NXB ĐH Sư Phạm, 2006 [8] http://vanban.moet.gov.vn PHỤ LỤC Chương trình mơ tượng vật lý Mathematica [1] Mô dao động tắt dần dao động học Với  = 0,2 Plot[{4*E^(-.2*t)*Cos[2 Pi*t+ 0.2]},{t,0,10}] Với  = 0,4 Plot[{4*E^(-.4*t)*Cos[2 Pi*t+ 0.2]},{t,0,10}] Với  = 0,8 Plot[{4*E^(-.8*t)*Cos[2 Pi*t+ 0.2]},{t,0,10}] [2] Mô mối liên hệ chuyển động tròn dao động điều hòa b=1/2; f[x_]:=.4 Sin[8 x]; Manipulate[Graphics[Switch[gr,"lo xo",{ParametricPlot[{f[a x],-x},{x,0,(2 96 )/a},PlotStyleDirective[Thick,GrayLevel[.2]],PlotRa nge{{-1,7},{-2.5 ,0.1}},AxesNone,AspectRatio1,ImageSize{400,400}] [[1]],Thickness[.01],Line[{{.7,0},{.7,0}}],Brown,Disk[{0,-(2 )/ab},b],PointSize[.006],Black,Point[{0,-(2 )/ab}],Blue,Thick,Circle[{4,-4 /3-b},2 /3],Red,Thickness[.001],Arrow[{{4,-7},{4,1.5}}],Arrow[{{1.5,-4 /3-b},{7,-4 /3b}}],Dashed,Line[{{0,-(2 )/3-b},{4,-(2 )/3-     b}}],Line[{{0,-2 -b},{4,-2 - 2  b}}],PointSize[.023],Point[{4+Re@             2    a 4   ,-(2 )/a-b}],Green,Thick,Line[{{0,-(2 )/a- b},{4+Re@ 2  2    b},{4+Re@ 2    a ,-(2 )/a- 2  b}}],Line[{{4+Re@ 2  a 4   2    ,-4 /3- 4   a 4   ,-(2 )/a- b}}],Yellow,EdgeForm[Thickness[.002]],Disk[{4,--/3-         b},.8,Which[((4 )/3-(2 )/a0)&&Re@ (2 )/a)/Re@ 2  2  2    a 2    a 4   4   97 0,{0,ArcTan[((4 )/3- ]},((4 )/3-(2             )/a