ÐỀ THI thö ĐẠI HỌC SỐ 21 Môn thi : TOÁN D - lµm bµi:180 I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) x+2 Cho hàm số y = 2x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2 , 0) B(0 , 2) Câu (2,0 điểm) π π    1.Giải phương trình : cos 3 x +  + cos 5 x −  = 6 10    2.Giải bất phương trình : x − 3x − ≥ x2 − 5x Câu III (1,0 điểm) Cho hình phẳng (H) giới hạn đường : x = y ; x = ; y = − x + Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành cho hình (H) quay quanh trục Oy Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 cạnh đáy a, cạnh bên a Tính thể tích khối lăng trụ góc AC đường cao AH mp(ABC) Câu V (1,0 điểm) Cho : a + b + c = 65 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : y = a + b sin x + c sin x π    x ∈(0 , )    II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x + y − x − y − = đường thẳng d : x + y + = Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho từ điểm M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến hợp với góc 900 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt cầu (S) : ( x − 1) + y + ( z + 2) = x y −1 z = Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a : = cắt mặt cầu (S) theo −2 đường tròn có bán kính CâuVII.a (1,0 điểm) Có số tự nhiên gồm bốn chữ số khác mà số lớn 2010 2.Theo chương trình nâng cao CâuVI.b (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho elip (E) : x + y − = Tìm điểm N elip (E) cho : F Nˆ F = 600 ( F1 , F2 hai tiêu điểm elip (E) ) x = t  2.Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng ∆ :  y = 2t z =  điểm A(1, , − 1) Tìm tọa độ điểm E F thuộc đường thẳng ∆ để tam giác AEF tam giác Câu VII.b (1,0 điểm) 2 z − i = z − z + 2i  Tìm số phức z thỏa mãn :  2  z − ( z ) = ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM ĐỀ 21 Câu I ( 2,0 điểm) Đáp án Điểm 1.(1,25) 1  a/ Tập xác định : D = R \   2 −5 / < ∀x ∈ D b/ Sự biến thiên: y = ( x − 1) 1 + H/s nghịch biến (−∞ , ) ; ( , + ∞) ; H/s cực trị 2 +Giới hạn –tiệm cận : Lim y = Lim y = ; Lim+ y = + ∞ ; Lim− y = − ∞ x → +∞ x → −∞ 1 x→ x→ 0,25 0,25 0,25 1 Tiệm cận ngang y = ; Tiệm cận đứng x = 2 x Y - / - Y / // / // 2 - −∞ +∞ +∞ y 0,25 o o x 0,25 c/ Đồ thị : Đđb x = , y = -2 y = , x = -2 Đồ thị nhận giao điểm tiệm cận làm tâm đối xứng 2.(1,0 điểm) Pt đường trung trực đọan AB : y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hoàng độ nghiệm pt : x+2 = x 2x −1 ↔ x2 − x −1 =  1− x = ↔  1+ x =  1− 1−   1+ 1+  ;  , , Hai điểm đồ thị thỏa ycbt :    2   0,25 0,25 0,25 II ( 2,0 điểm) 1.(1,0 điểm) π π   ↔ cos 3x +  + cos x −  = 2    Pt ↔ sin 3x = sin x ↔ sin 3x = 3(sin x − sin x) 0,25 0,25 ↔ sin x( cos x + sin x − 3) = sin x = ↔ 3 cos x − cos x − =  x = kπ ↔  x = ± arccos(− ) + kπ  2.(1,0 điểm)  2 x − x − =   x ≠ ; x ≠  ↔   2 x − 3x − >  2 x − x > 0,25 ( k ∈Z ) 0,25 0,25   x = − ∨ x =   x ≠ ∧ x ≠  ↔  x < − ∨ x >    x < ∨ x >   x ≤ −  ↔ x =  x >  Phương trình định tung độ giao điểm : 2 − y ≥ y =2− y↔ y − 5y + = y ≤  ↔  y = ↔ y =1  y = ( l )  Bpt III (1,0 điểm) 0,50 0,25 0,25 Đường thẳng y = – x cắt trục tung y = Thể tích khối tròn xoay cần tìm : V = V1 + V2 y2 π Trong V1 = π ( y ) dy = π = (đvtt) 2 ∫ V2 = π V = ∫ 5π (2 − y ) dy = π ( đvtt ) ∫ ( y − 2) d ( y − 2) = π 0,25 ( y − 2)3 = π (đvtt) 0,25 0,25 IV (1,0 Điểm) +Thể tích lăng trụ : V = dt ( ABC ) AA1 = a A1 C1 → →  →  AH  AA1 + A1C1  + cos(AH , AC1) =   = AH AC1 AH AC1 → → AH AC1 → = B1 V (1,0 điểm) A C 0,25 H AH AC cos 30 AH AC1 3 B a 2 = → ( AH , AC ) = 60 Vậy (AH , AC ) = 600 = 1 a a a Vậy (AH , AC1) = 600 y ≤ a + b + c + sin x + sin 2 x = 65 + sin x + sin 2 x ( 0,25 → AH A1C1 AH AC1 = 0,25 )( ) ( 0,25 ) Đặt f(x) = + sin x + sin 2 x = + sin x + sin x.(1 − sin x) f(x) = − sin x + sin x + , Đặt sin x = t , t ∈ ( , 1) BBT g(t) = − 4t + 6t + → g / (t ) = −8t + ; g / (t ) = ↔ t = 4 t 0f 1M + f/ 1f - 0,25 0,25 13 13 3 π t = ↔ sin x = → x = 4 π 13 5 sin x sin x dấu “=” xảy x = = y ≤ 65 → − 13 ≤ y ≤ 13 = 2 a b c hay = = a 2b 2c a = a = −2   2 Thay vào : a + b + c = 65 → b = 30 ∨ b = − 30   c = 15 c = − 15 VI.a (2,0 điểm) 1.( 1,0 điểm) + (C) có tâm I(2 , 1) bán kính R = + AMˆ B = 900 ( A , B tiếp điểm ) suy : MI = MA = R = 12 Max g(t) = Vậy M thuộc đường tròn tâm I bán kính R/ = 12 M thuộc d nên M( x , y) có tọa độ thỏa hệ:  x =  x = − ( x − ) + ( y − 1) = 12 ↔ ∨   x + y + =  y = − −  y = − + Vậy có điểm thỏa yêu cầu toán có tọa độ nêu 2.( 1,0 điểm) a (S) có tâm J (1,0 ,−2) bán kính R = → → + đt a có vtcp u (1, , − ) , (P)13 vuông góc với đt a nên (P) nhận u làm vtpt 440 1ft / 10f + 0,25 0,25 0,25 0,25 Pt mp (P) có dạng : x + y − z + D = R2 − r2 = + (P) cắt (S) theo đường tròn có bk r = nên d( J , (P) ) = + 2.0 − 2.(−2) + D =  D = −5 + ↔  D = −5 − KL : Có mặt phẳng : (P1) : x + y − z − + = nên ta có : VII.a(1,0 điểm) VI.a ( 2,0 điểm) 0,25 (P2) : x + y − z − − = 0,25 Gọi số cần tìm có dạng : abcd + Nếu a > : có cách chọn a A93 cách chọn b, c , d + Nếu a = : + b > : có cách chọn b có A82 cách chọn c , d + b = c > 1: có cách chọn c và cách chọn d + b = c = : có cách chọn d Vậy số số thỏa yêu cầu toán : A93 + A82 + 7.7 + = 4032 1.(1,0 điểm) x2 (E) : + y = ; a = → a = ; b2 = → b = ; c2 = a − b2 = → c = + Áp dụng định lí côsin tam giác F1NF2: ( F1 F2 ) = NF12 + NF22 − NF1 NF2 cos 60 ↔ ( F1 F2 ) = ( NF1 + NF2 ) − NF1 NF2 − NF1 NF2 4 ( a − c2 ) = 3 32 ↔ x2 = ; y2 = 18 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ↔ NF1 NF2 =  1  1  1  1 ,  ; N  , −  ; N  − ,  ; N  − , −  Vậy có điểm thỏa yêu cầu toán : N1  3 3 3  3    0,25 0,25 2.(1,0 điểm) → →  → → + Đường thẳng ∆ qua M (0 , ,1) có vtcp u (1, , 0) ; M A = (1,0 ,−2) ;  M A , u  = ( , − , 2)   → →   M A , u    + Khoảng cách từ A đến ∆ AH = d ( A , ∆ ) = = → u 4 = Vậy E , F thuộc mặt cầu tâm A , BK R = 5 x = t  y = 2t  đường thẳng ∆ , nên tọa độ E , F nghiệm hệ :  z =  ( x − 1) + y + ( z + 1) = 32  + Tam giác AEF → AE = AF = AH 0,25 0,25 0,25  1− 2 x =   2−4  2 t = suy tọa độ E F :  y = 5  z =   VII.b (1,0 điểm) f/( f(t) + Gọi số phức z = x + yi ( x , y ∈ R ) 2 x + ( y − 1)i = ( y + 2)i Hệ ↔   xyi =  x2 x =  y =  ↔ ↔ y = ∨ y = − y =   x x Vậy số phức cần tìm : z = + i ∨  1+ 2 x =   2+4 y =  z =   0,25 0,25 0,50 0,25 ...ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM ĐỀ 21 Câu I ( 2,0 điểm) Đáp án Điểm 1.(1,25) 1  a/ Tập xác định : D = R   2 −5 / < ∀x ∈ D b/ Sự biến thi n: y = ( x − 1) 1 + H/s nghịch... chọn c , d + b = c > 1: có cách chọn c và cách chọn d + b = c = : có cách chọn d Vậy số số thỏa yêu cầu toán : A93 + A82 + 7.7 + = 4032 1.(1,0 điểm) x2 (E) : + y = ; a = → a = ; b2 = → b = ;... tròn tâm I bán kính R/ = 12 M thuộc d nên M( x , y) có tọa độ thỏa hệ:  x =  x = − ( x − ) + ( y − 1) = 12 ↔ ∨   x + y + =  y = − −  y = − + Vậy có điểm thỏa yêu cầu toán có tọa