Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ GIẢI TOÁN Với nhiều dạng toán (như tìm GTLN, GTNN, timgf giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên..) nếu khéo léo sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai thì sẽ cho ta một lời giải ngắn gọn. Trong chuyên đề này trình bày một số bài toán được giải bằng phương pháp trên;
CCH S DNG IU KIN Cể NGHIM CA PHNG TRèNH BC HAI GII TON Cao Quốc Cờng ( GV THCS Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc) Các kiến phơng trình bậc hai nội dung kiến thức chơng trình toán lớp Trong viết muốn trình bày với bạn cách vận dụng điều kiện có nghiệm phơng trình bậc hai để giải số dạng toán Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức Bài 1: Cho x, y, z ba số thỏa mãn điều kiện: x + xy + x + y + z + y = yz (1) Chứng minh : y z Lời giải: Viết đẳng thức (1) dới dạng phơng trình bậc hai ẩn x ta có: x + ( y + 1) x + ( y yz + z + y ) = (2) Ta có / = y + 2 yz z + Vì x, y, z thỏa mãn đẳng thức (1) nên PT(2) có nghiệm phải có / y 2 yz + z ( y z ) y z y z ( ĐPCM) Dạng 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên Bài 2: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức: x + y + y xy = (1) Lời giải: Viết lại đẳng thức (1) dới dạng phơng trình bậc hai ẩn x x xy + ( y + y 3) = (2) Giả sử tồn cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn đẳng thức (1) PT(2) phải có nghiệm / ( y + 1) y Vì y Z nên ta có: y { 3; 2; 1;0;1} Lần lợt thay giá trị y vào PT(2) ta đợc: * Với y = - x =- (Thỏa mãn) * Với y = - x = (Loại x Z ) * Với y = - x = 0; x = - ( Thỏa mãn) * Với y = x = (Loại x Z ) * Với y = x = (Thỏa mãn) Vậy có bốn cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức (1) ( x; y ) = ( 6; 3) ; ( 4; 1) ; ( 0; 1) ; ( 2;1) Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bài 3: Cho biểu thức P= Lời giải: ĐKXĐ: x R x2 8x + Tìm GTLN, GTNN (nếu có) P x2 + Giả sử k giá trị biểu thức P ta có: k = x 28 x + (k 1) x + x + (k 7) = (1) x +1 ( Là phơng trình bậc hai ẩn x) TH1: k = k = x = (*) TH2: k k PT(1) có nghiệm / k 8k ( k + 1) ( k ) k (**) Kết hợp (*) (**) ta có: Min k = -1; Max k = Vậy GTNN P Min P = -1 đạt đợc ( x ) = x = GTLN P Max P = đạt đợc x + ữ = x = 2 Bài 4: Tìm cặp số (x; y) thỏa mãn đẳng thức: x + y + x = y + xy 2 (1) Sao cho y đạt giá trị lớn Lời giải: Viết biểu thức (1) dạng phơng trình ẩn x tham số y ta có: x + ( y ) x + ( y y + ) = (2) Giả sử tồn cặp số (x;y) thỏa mãn đẳng thức (1) PT(2) phải có nghiệm 2 Vậy GTLN y Max y = thay y = vào (1) ta 3 7 tìm đợc x = Vậy cặp số (x; y) cần tìm ; ữ 3 / y + y Dạng : Tìm giá trị nguyên biểu thức x +1 Tìm tất giá trị x để P nhận giá trị nguyên x x +1 Lời giải: ĐKXĐ : x ; Đặt a = x ; a Giả sử tồn giá trị x để P nhận giá trị a +1 nguyên phơng trình P = ( ẩn a tham số P) có nghiệm a a +1 Pa ( P + 1) a + ( P 1) = (*) Vì P > nên PT(*) phơng trình bậc hai ẩn a PT(*) Bài 5: Cho biểu thức P = có nghiệm 3P + P + P + 3 Vì P > 0; P Z P { 1; 2} Với P = ta tính đợc x = x = Với P = ta tính đợc x = x = Vậy x 0; ;1; biểu thức P nhận giá trị nguyên Dạng : Giải hệ phơng trình y + = ( x ) (1) z y ) ( y + ) = + y (2) Bài 6: Giải hệ phơng trình: ( x + z = x (3) z 0(4) Lời giải: Từ PT(2) ta có : y + y ( z ) + z = (*) phơng trình (*) phơng trình bậc z (I) z hai ẩn y có nghiệm ' = z z Mặt khác từ PT(3) ta có : x x + z = (**) PT (**) phơng trình bậc hai ẩn x có z = nghiệm / = z z (II) Kết hợp (I); (II) (4) ta có z = *Với z = thay vào HPT ban đầu ta có: y + = ( x) ( a ) y + y + = y + = ( x) x=0 y + y + = x ( x 4) = y + = ( x) ( b ) y + y + = x=4 Hệ phơng trình (a) vô nghiệm Hệ PT (b) có nghiệm (x; y) = (4; -3) kết hợp với z = ta có: (x; y; z) = (4; - 3; 0) *Với z = thay vào hệ phơng trình ban đầu ta có: y + = ( x) y + y +1 = x2 x + = Hệ phơng trình có nghiệm (x; y) = (2; - 1) kết hợp với z =2 ta có (x; y; z) = ( 2; - 1; 2) Vây hệ PT có nghiệm là: (x; y; z) = (4; - 3; 0) ; (2; - 1; 2) Bài tập áp dụng Bài1: Cho đẳng thức x x + y y = 3xy Chứng minh rằng: y ữ 28 x Tìm GTLN (nếu có) P x x + 2010 Bài 3: Chứng minh phơng trình : 2x + ( x + a ) + ( x + b ) = c Bài 2: Cho biểu thức: P = có nghiệm 4c ( a + b ) ab Bài 4: Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn đẳng thức: GTLN Bài 5: Cho biểu thức: A = x yx y + x + = Sao cho y đạt x2 + Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên x2 + 2x + ... phơng trình bậc z (I) z hai ẩn y có nghiệm ' = z z Mặt khác từ PT(3) ta có : x x + z = (**) PT (**) phơng trình bậc hai ẩn x có z = nghiệm / = z z (II) Kết hợp (I); (II) (4) ta có. .. Dạng : Giải hệ phơng trình y + = ( x ) (1) z y ) ( y + ) = + y (2) Bài 6: Giải hệ phơng trình: ( x + z = x (3) z 0(4) Lời giải: Từ PT(2) ta có : y + y ( z ) + z = (*) phơng trình (*)... Tìm tất giá trị x để P nhận giá trị nguyên x x +1 Lời giải: ĐKXĐ : x ; Đặt a = x ; a Giả sử tồn giá trị x để P nhận giá trị a +1 nguyên phơng trình P = ( ẩn a tham số P) có nghiệm a a +1