1 LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc s phm H Ni di s hng dn ca PGS.TS.GVCC Nguyn Ph Hy Tụi xin by t lũng bit n chõn thnh, sõu sc ti PGS-TS-GVCC Nguyn Ph Hy, ngi ó luụn quan tõm, ng viờn v tn tỡnh hng dn tụi quỏ trỡnh thc hin lun ny Tụi cng xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu, Phũng Sau i hc, cỏc thy giỏo, cụ giỏo ca trng i hc S phm H Ni ó giỳp v to iu kin thun li cho tụi sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun ny Nhõn õy tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti gia ỡnh, Ban giỏm hiu trng THCS i ỡnh ni tụi cụng tỏc cựng bn bố, ng nghip ó to iu kin, ng viờn v giỳp tụi rt nhiu sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu H Ni, thỏng 12 nm 2013 Hc viờn Trn Th N LI CAM OAN Tụi xin cam oan, di s hng dn ca PGS.TS.GVCC.Nguyn Ph Hy, Lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti Tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch c hon thnh bi chớnh s nhn thc ca bn thõn tỏc gi, khụng trựng vi bt c Lun no khỏc Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin Lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng12 nm 2013 Hc viờn Trn Th N MC LC Li cm n Li cam oan M u Chng Khụng gian Hilbert tỏch 1.1 Khỏi nim khụng gian Hilbert 1.1.1 Cỏc nh ngha 1.1.2 Mt s tớnh cht c bn 1.2 Mt s nh lý quan trng 1.2.1 nh lý v hỡnh chiu lờn khụng gian 1.2.2 Bt ng thc Bessel 1.2.3 nh lý v ng thc Paseval v phng trỡnh úng 10 1.2.4 iu kin cn v mt khụng gian Hilbart l khụng gian tỏch 13 1.3 Toỏn t tuyn tớnh liờn tc tỏc dng trờn khụng gian Hilbert 14 1.3.1 nh lý Riesz v phim hm tuyn tớnh liờn tc 14 1.3.2 nh lý v toỏn t liờn hp 16 1.4 Mt s khụng gian Hilbert tỏch 16 1.4.1 Khụng gian Ăn 16 1.4.2 Khụng gian l2 20 Chng Tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch 27 2.1 Khỏi nim tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch 27 2.1.1 S thnh lp tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert 27 2.1.2 Tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch 28 2.2 Toỏn t tuyn tớnh liờn tc 35 Kt lun 42 Ti liu tham kho 43 M U Lý chn ti Vect suy rng ln u tiờn c nh toỏn hc ni ting Ucraina Iu.M.Beredanxki a v nghiờn cu xột bi toỏn biờn i vi phng trỡnh o hm riờng [7,8,9] Tuy nhiờn cỏc lõn cn vi hng ú ó c cỏc nh toỏn hc M.G.Krein [10 ] , J.Leray [ ] , P.D.Lax [ ] a v nghiờn cu sm hn Vi mong mun tỡm hiu sõu hn, trờn c s s tớch tenx v nhng nhn xột v tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert ca Giỏo s-Vin s Yu.M.Berezanxki, v nhm trỡnh by li cỏc kt qu mt cỏch tng quan , nghiờn cu thờm v cỏc bao hm thc khụng gian Hilbert tỏch v ỏp dng cỏc kt qu, cựng vi s hng dn, giỳp tn tỡnh ca PGS_TS_GVCC Nguyn Ph Hy, tụi mnh dn chn ti: Tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch Mc ớch nghiờn cu Trỡnh by mt cỏch h thng khỏi nim v tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch, tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert ca cỏc vect suy rng, cỏc bao hm thc gia cỏc khụng gian ú v cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn tỏc dng trờn chỳng Nhim v nghiờn cu ti ny nhm nghiờn cu v trỡnh by mt cỏch cú h thng ,chi tit v khụng gian Hilbert tỏch, khỏi nim tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch, v toỏn t v phim hm tuyn tớnh liờn tc tỏc dng trờn tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Cỏc kin thc c s cn thit, cỏc kt qu v khụng gian Hilbert tỏch v tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch Phm vi nghiờn cu: Cỏc ti liu, cỏc bi bỏo v ngoi nc liờn quan n tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch Phng phỏp nghiờn cu - Thu thp ti liu v cỏc bi bỏo v tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch - Tng hp, phõn tớch, h thng cỏc khỏi nim, tớnh cht - Tham kho ý kin ca giỏo viờn hng dn D kin úng gúp ca ti Trỡnh by mt cỏch h thng nhng kin thc v Tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch v toỏn t tuyn tớnh b chn tỏc dng cỏc tớch tenx ú.Vn dng vo khụng gian Ă n , l2 Chng KHễNG GIAN HILBERT 1.1 Khỏi nim khụng gian Hilbert 1.1.1 Cỏc nh ngha nh ngha 1.1.1 Cho khụng gian tuyn tớnh s thc X Ă hoc trng s phc mi ỏnh x t tớch Descartes Ê X trờn trng P ( P l trng ) Ta gi l tớch vụ hng trờn khụng gian C X vo trng P , kớ hiu (.,.) , tha tiờn : 1) ( "x, y ẻ X )( y, x ) = ( x, y ); 2) ( "x, y, z ẻ X )( x + y, z ) = ( x, z ) + ( y, z ) ; 3) ( "x, y ẻ X )( "a ẻ P )(a x, y ) = a ( x, y ) ; 4) ( "x ẻ X )( x, x ) > nu x q , ( x, x ) = nu Cỏc phn t x , y , z gi x =q ,( q l ký hiu phn t khụng ca khụng gian X ) l cỏc nhõn t ca tớch vụ hng S ( x, y ) gi l tớch vụ hng ca hai nhõn t x v y Cỏc tiờn 1), 2), 3), 4) gi l h tiờn tớch vụ hng nh ngha 1.1.2 Khụng gian tuyn tớnh X trờn trng P cựng vi mt tớch vụ hng trờn X gi l khụng gian tin Hilbert nh ngha 1.1.3 Ta gi mt l khụng gian Hilbert, nu H H ạF gm nhng phn t x , y , z no y tha cỏc iu kin: 1) H l khụng gian tuyn tớnh trờn trng 2) H c trang b mt tớch vụ hng (.,.) ; 3) H l khụng gian Banach vi chun x = ( x, x) , x ẻ H P ; Ta gi mi khụng gian tuyn tớnh úng ca khụng gian Hilbert khụng gian Hilbert ca khụng gian H H l nh lý 1.1.1: (Bt dng thc schwartz): i vi mi x ẻ X ta dt : x = ( x, x ) (1.1.1) Khi ú, "x, y ẻ X ta cú bt ng thc Schwarz: ( x, y) Ê x y (1.1.2) Chng minh: Nu ( x, y ) = thỡ bt ng thc (1.1.2) hin nhiờn ỳng Nu ( x, y ) thỡ "l ẻ Ă ta cú: Ê ( x - l ( x, y) y, x - l ( x, y) y ) = x - l ( x, y)( y, x) - l ( x, y )( y, x) + ll ( x, y)( x, y )( y, y ) = x - 2l ( x, y ) + l ( x, y) 2 2 y T bt ng thc trờn ta nhn c mt tam thc bc hai khụng õm vi " l ẻ Ă Do ú , ( x, y) - ( x, y ) x y Ê ( x, y) Ê x 2 y ( x, y) Ê x y Vy, ( x, y) Ê x y ("x, y ẻ X ) nh lý c chng minh H qu1.1.1 Khụng gian tin Hilbert l khụng gian nh chun vi chun xỏc nh bi cụng thc(1.1.1) Chng minh: Tht vy, ta kim tra cỏc tiờn sau: 1) ( "x ẻ X ) x = ( x, x ) 0, x = ( x, x ) = x = q (q l ký hiu phn t khụng ca khụng gian tin Hilbert X ) (Do cỏch xõy dng ( x, x ) ); 2) ( "x ẻ X )( "a ẻ P ) a x = (a x, a x) = a ( x, a x) = a (a x, x ) = aa ( x, x ) = aa ( x, x ) = aa ( x, x ) = aa ( x, x ) = a x; 3) ( "x, y ẻ X ) x + y = ( x + y, x + y ) = ( x + y, x) + ( x + y, y ) = ( x, x + y ) + ( y, x + y ) = ( x, x ) + ( x, y ) + ( y, x ) + ( y, y ) = ( x, x ) + ( x, y ) + ( y, x ) + ( y, y ) = ( x, x ) + ( y , x ) + ( x, y ) + ( y , y ) Ê Ê (x + y ) x +2 x y + y 2 = x + y Vy, khụng gian tin Hilbert X l khụng gian nh chun H qu 1.1.2 Tớch vụ hng ( x, y ) l mụt hm liờn tc ca hai bin x v y theo chun (1.1.1) Chng minh: Gi s dóy im ( xn ) ẻ X bt k hi t ti x , dóy im bt k ( yn ) ẻ Y hi t ti y Khi ú, ( $C > ) ( "n ẻ N * ) ( xn , y n ) - ( x , y ) yn Ê C , Ê ( xn , y n ) - ( x , y n ) + ( x , y n ) - ( x , y ) Ê xn - x yn + x yn - y Ê C xn - x + x yn - y ( "n ẻ N * ) Suy ra, lim ( xn , yn ) = ( x, y ) n đƠ W Chun sinh bi cụng thc (1.1.1) gi l chun sinh bi tớch vụ hng nh ngha 1.1.4 Cho khụng gian Hilbert H Hai phn t x, y ẻ H gi l trc giao, ký hiu x ^ y, nu ( x, y ) = nh ngha 1.1.5 Cho khụng gian Hilbert t x ẻ H gi l trc giao vi A H v Aè H , A ặ Phn , nu x ^ y("y ẻ A), v ký hiu x ^ A nh ngha 1.1.6 Cho khụng gian Hilbert F è H gm cỏc phn ca khụng gian bự trc giao ca E trờn khụng gian v khụng gian H H trc giao vi E Eè H Tp gi l phn v ký hiu : H F = H QE nh ngha 1.1.7 Cho khụng gian Hilbert H Mt ( cũn gi l h thng) gm hu hn hay m c cỏc phn t ( en )n1 è H gi l mt h trc chun, nu (e , e ) = d i j ij dij l ký hiu Kroneckes, d ij = vi i j , d ij = vi i = j , ( i, j = 1, 2, ) nh ngha 1.1.7 H trc chun ( en )n1 khụng gian Hilbert s trc chun ca khụng gian H , nu khụng gian H H gi l c khụng tn ti vect khỏc khụng no trc giao vi h ú nh ngha 1.1.8 Cho A l toỏn t tuyn tớnh b chn ỏnh x khụng gian Hilbert X gian gi l toỏn t liờn hp vi toỏn t X v khụng gian Hilbert Y Toỏn t A B ỏnh x khụng gian Y vo khụng , nu ( Ax, y ) = ( x, By ) , "x ẻ X , "y ẻY Toỏn t liờn hp B c ký hiu l A* nh ngha 1.1.9 Toỏn t tuyn tớnh b chn ỏnh x khụng gian Hilbert vo chớnh nú gi l t liờn hp, nu ( Ax, y ) = ( x, Ay ) , "x, y ẻ H Toỏn t t liờn hp cũn gi l toỏn t i xng 1.1.2 Mt s tớnh cht c bn 1) ( "x ẻ X )(q , x ) = Tht vy, ( "x ẻ X )(q , x ) = ( 0.x, x ) = ( x, x ) = 2) ( "x, y ẻ X )( "a ẻ P )( x, a y ) = a ( x, y ) H Tht vy, vi ( "x, y ẻ X )( "a ẻ P ) ta cú ( x, a y ) = (a y, x ) = a ( y, x ) = a ( x, y) 3) ( "x, y, z ẻ X )( x, y + z ) = ( x, z) + ( y, z) Tht vy, vi ( "x, y, z ẻ X ) ta cú: ( x, y + z ) = ( y + z, x ) = ( y, x) + ( x, z ) = ( x, y) + ( x, z ) 4) q ^ x ( "x ẻ H ) ( q l ký hiu phn t khụng ca khụng gian) Vỡ ( "x ẻ H ) ta cú (q , x) = nờn q ^ x 5) x ẻ H m x ^ x thỡ x = q Vỡ x ^ x nờn theo tiờn 4) v tớch vụ hng, ta cú x = q 6) Nu cỏc phn t x, y j ẻ H ( j = 1, 2,3, , n) tha iu kin x ^ y j n ( j = 1,2, , n ), thỡ "a j ẻ P ( j = 1, 2,3, , n) ta cú x ^ ồa j y j j =1 Tht vy, nh cỏc tớnh cht ca tớch vụ hng, n ổ n n ỗ x, a j y j ữ = ( x, a j y j ) = a j ( x, y j ) = j =1 ố j =1 ứ j =1 7) Cho phn t x ẻ H v dóy cỏc phn t ( yn ) ẻ H hi t ti y ẻ H theo chun x = ( x, x) Nu x ^ yn ("n ẻ N * ) thỡ x ^ y Tht vy, theo tớnh liờn tc ca tớch vụ hng, ta cú : yn ) = lim ( x, yn ) = ( x, y ) = ( x, nlim đ+Ơ n đ+Ơ Chỳ ý Theo tớnh cht 7) v nh ngha (1.1.6) thỡ ca khụng gian H F l khụng gian Khi ú, khụng gian H biu din c di dng tng trc tip: H = F E = { x = x1 + x2 : x1 ẻ F , x2 ẻ E} Trong trng hp hai trờn khụng gian H E , F m ny l phn bự trc giao ca , thỡ tng trc tip F E gi l tng trc giao 29 ộ ự ộ ự j ỷ k ỷ T1 ( f ' + g ' ) f " = ( f j' + g 'j ) e'j ỳ ờồ f k"ek" ỳ ồ(f = j , k = j , k ' j + g 'j ) f k"e'j ek" = f j' f k"e'j ek" + ồg j , k ' j ồ(f j , k f + g 'j f k" ) e'j ek" ' " j k f k"e'j ek" = f ' f " + g ' f " ; ộ ự ộ ự T f ' ( f " + g " ) = f j'e 'j ỳ ( f k" + g k" ) ek" ỳ ỷ j ỷ k f (f = ' j j , k ồf = j , k ( ) T l f ' f " = + g k" ) e'j ek" = f e ek" + ' " ' j k j (l f ) f ' j j , k f ' (l f " ) = " k j , k " k j , k ồfge j , k ' j " ' k j f + f j' g k" ) e'j ek" ' " j k ek" = f ' f " + f ' g " ; e ek" = l f j' f k"e 'j ek" = l ( f ' f ) , " ' k j f (l f ) e ' j ồ(f ' j j , k ek" = l f j' f k"e 'j ek" =l ( f ' f ) , j , k nờn ( l f ' ) f " = f ' ( l f " ) = l ( f ' f ) Vy, tớch hỡnh thc (2.1.3) tha cỏc iu kin (2.1.1) W nh lý c chng minh Kớ hiu L = L { f ' f "} l bao tuyn tớnh cỏc tớch hỡnh thc f ' f " vi f ' ẻ H ' , f " ẻ H " Khi ú, L = L { f ' f "} tr thnh khụng gian vect trờn trng K nh lý 2.1.2 Vi f ' f " ẻ L , g ' g " ẻ L t (f ' f ", g ' g" ) = ( f ' , g ' ) ' ( f ", g " ) " , H H (2.1.2) xỏc nh mt tớch vụ hng trờn khụng gian L Chng minh Xột ỏnh x (.,.) : L { f ' f "} L { g ' g "} đ K (f ' f ", g ' g" ) a ( f ', g' ) H' (f " , g" ) " H Ta nhn thy, cụng thc (2.1.2) hon ton xỏc nh mt ỏnh x t khụng gian L L vo trng K , vỡ v phi ca cụng thc (2.1.2) l hon ton xỏc nh 30 Mt khỏc, (f f ", g ' g" ) = ( f ' , g ' ) ' ( f ", g " ) ' ổ ửổ = ỗ f j' g 'j ữ ỗ f k" g k" ữ = ứ ố j ứ ố k H H" f j' f k" g 'j g k" j , k (2.1.4) Chui v phi ca cụng thc (2.1.4) hi t tuyt i, vỡ ộổ ộ ' " ' " ự ' ' ửổ " " f j f k g j g k ỳ = ờỗ f j g j ữ ỗ f k g k j ,k ỷ ờởố j ứ ố k ửự ữỳ ứ ỳỷ Ê f j' g 'j f k" g k" < +Ơ 2 j Suy ra, cụng thc j (f ' k k f ", g ' g" ) = ( f ' , g ' ) ' ( f ", g " ) H H" xỏc nh mt ỏnh x t khụng gian L L vo trng K Bõy gi ta kim tra cụng thc (2.1.2) tha tiờn v tớch vụ hng Gi s gi s l ẻ K , cỏc phn t f ' f " , g ' g " , h ' h" thuc L , ú f ' = f j'e'j , g ' = g 'j e'j , h' = h'j e'j j j j f " = f k"ek" , g " = g k" ek" , h" = hk" ek" k k k Khi ú, ( "g g , f ' 1) " ' f " ẻ L )( g ' g " , f ' f " ) = g 'j g k" f j' f k" j ,k = f j' f k" g 'j g k" = ( f ' f " , g ' g " ); j ,k ( "f 2) ' f " , g ' g " , h' h" ẻ L ) , ta cú f ' f " + g ' g" = ồf j , k = ồ(f j , k (f ' f e ek" + ' " ' j k j ồg ge j , k ' j " ' k j ek" f + g 'j g k" ) e'j ek" , ' " j k f " + g ' g " , h ' h" ) = ồ(f j , k f + g 'j g k" )h'j hk" ' " j k 31 = j , k f j' f k" h'j hk" + ồg g j , k ' j " k h'j hk" = ( f ' f " , h' h" ) + ( g ' g " , h' h" ) ; ( "f 3) (l f ' ' f " , g ' g " ẻ L ) ( "l ẻ K ) , ta cú: ( f " , h' h" ) = ( l f ' ) f " , h' h" = ồlf j , k ) f h'j hk" = l f j' f k" h 'j hk" ' " j k j , k = l ( f ' f " , h' h" ) ; ("f 4) (f ' (f ' ' f " ẻ L) f ", f ' f " ) = j , k f j' f k" f j' f k" = f j' f k" 0, j k f " , f ' f " ) = f j' f k" = j k ộ f j' = j ộ f j' = 0, "j ộ f ' =q ờ " f ' f " = q " " ờồ f k = ờở f k = 0, "k f = q ờở k ( q l phn t khụng ca khụng gian L ) Cỏc tiờn v tớch vụ hng u c tha Vy, h thc (f ' f " , g ' g" ) = ( f ' , g ' ) ' ( f " , g" ) H H" l mt tớch vụ hng trờn khụng gian L nh lý c chng minh W Khụng gian L cựng vi tớch vụ hng (2.1.2) tr thnh khụng gian tin Hilbert Lm y khụng gian tin Hilbert L theo chun sinh bi tớch vụ hng (2.1.2) v thỏc trin tớch vụ hng (2.1.2) t L lờn ton b khụng gian ó c lm y theo tớnh liờn tc ca tớch vụ hng ú, ta nhn c khụng gian Hilbert mi Khụng gian Hilbert mi nhn c gi l tớch tenx ca hai khụng gian Hilbert H ' v H " , ký hiu l H ' H " 32 nh lý 2.1.3 H ( e'j ek" ) j ,k =1 lp thnh h trc chun khụng gian Ơ H' H" Chng minh Trc ht ta chng minh, h {e'j ek" } j ,k l mt h trc chun khụng gian H ' H " Tht vy, " ( j, k ) , " ( s, t ) ta cú: (e ' j ek" , es' et" ) = ( e 'j , es' ) H' (e , e ) " k " t H" , vi (e , e ) ' j ' s H' ỡ0, j s " " ỡ0, k t , =ớ , ( ek , et ) " = H ợ1, j = s ợ1, k = t suy (e ' j ỡù0, ( j , k ) ( s, t ) , ek" , es' et" ) = ùợ1, ( j , k ) = ( s, t ) Gi s $F ẻ H ' H " , F ^ {e'j ek" } j , k Khi ú, F= ồF j , k e'j ek" , Fjk < +Ơ, jk j , k = ( F , en' em" ) = = F (e j , k F (e , e ) (e , e ) jk j , k ' j ' n H' " k " m H" jk ' j ek" , en' em" ) = F jk , "j , k 1, "n, m F = q Vy, h {e'j ek" } j ,k =1 lp thnh h trc chun khụng gian H ' H " Ơ W nh lý c chng minh nh lý 2.1.4 Vi "F = f ' f " , G = g ' g " ẻ H ' H " ta cú cỏc h thc sau: F= ồF j , k e ek" ; ' jk j (2.1.5) 33 G= ồG j , k jk e'j ek" ; (2.1.6) ( F , G ) = Fjk G jk (2.1.7) j , k Chng minh.Theo nh lý 2.1.3, h {e'j ek" } j ,k =1 lp thnh mt c s trc Ơ chun ca khụng gian tớch tenx H ' H " , nờn vi F , G ẻ H ' H " u cú th biu din di dng: F= ồF j , k e ek" , G = ' jk j ồG j , k e ek" ' jk j Mt khỏc, hp L cựng vi tớch vụ hng (2.1.2) l khụng gian tin Hilbert v trự mt khp ni khụng gian Hilbert tớch tenx H ' H " (do nguyờn lớ lm y khụng gian) Nh ú v nh nh lý (2.1.3), ta ch cn kim tra cụng thc (2.1.7) i vi cỏc phn t dng: F = f ' f " ẻ H ' H " , G = g ' g " ẻ H ' H " p dng cụng thc (2.1.3) ta cú: F = f' f" = ồf j , k f e ek" , G = g ' g " = ' " ' j k j ồg ge j , k ' j " ' k j ek" t Fjk = f j' f k" , G jk = g 'j gk" , "j, k 1, ta c: F= ồF j , k Suy ra, ( F , G ) = ( f ' f " , g ' g " ) = e ek" , G = ' jk j j , k f j' f k" g 'j g k" = ồG ' jk j ồF jk j , k j , k e ek" G jk nh lý c chng minh W nh lý 2.1.5 Nu fn' đ f ' ( n đ Ơ) khụng gian H ' , fm" đ f " ( m đ Ơ) khụng gian H " thỡ f n' f m" đ f ' f " khụng gian H ' H " Chng minh Theo phng phỏp lm y, bao tuyn tớnh L( f ' f " ) trự mt khp ni H ' H " ' " ' ' " " Gi s f n đ f khụng gian H , f m đ f khụng gian H Khi ú, 34 ( "e > ) ( $m0 ẻ Ơ* ) ( "m m0 , "n n0 ) f n' - f ' < e , f m" đ f " < e ị ( $a > ) f n' Ê a , f m" Ê a , f ' Ê a , f " Ê a , "n ẻ Ơ * , m ẻ Ơ * t f ' = f j'e'j , f " = f k"ek" , f n' = fnj' e'j , f m" = f mk" ek" , ú, dóy ( e'j ) l c s trc chun khụng gian H ' , dóy ( ek" ) l c s trc chun khụng gian H " , ta cú: f n' fm" - f ' f " = f nj' f mk" e'j ek" - f j' f k"e'j ek" = ( f nj' f mk" - f j' f k" ) e'j ek" (m, n = 1, 2, ) ị f n' f m" - f ' f " = ( f n' f m" - f ' f " , f n' f m" - f ' f " ) = ( f nj' f mk" - f j' f k" ) = f nj' ( f mk" - f k" ) + f k" ( f nj' - f j' ) Ê 2ồ f nj' f mk" - f k" + 2ồ f k" 2 f nj' - f j' Ê 4a 2e ("m m0 , "n n0 ) ị ("m m0 , "n n0 ) f n' f m" - f ' f " Ê 2ae Do s e > tựy ý, nờn f n' f m" đ f ' f " n, m đ Ơ W nh lý c chng minh nh lý 2.1.6 Khụng gian tớch tenx H ' H " c thnh lp khụng ph thuc vic chn cỏc c s ( e'j ) j è H ' , ( ek" )k è H " Chng minh Gi s ( d n' )n1 v ( d m" )m l cỏc c s trc chun cỏc khụng gian tng ng H ' v H " Ta xột h {dn' dm" }n,m1 Theo nh lý (2.1.3) h {dn' dm" }n,m1 l h trc chun Nu $e'j ek" ẻ {e'j ek" } j ,k ,sao cho e'j ek" ^ {d n' d m" } ,thỡ ( 0 ) ( = e'j0 ek"0 , dn' dm" = e'j0 , d n' ) H' (ek"0 , dm" ) H " , "n, m 35 ( ) ộ e'j , d n' = 0, "n ộe'j0 ^ d n' , "n ộe'j0 = q ờ ờ(ek" , d m" ) = 0, "m ờởek"0 ^ d m" , "m ờởek"0 = q , mõu thun vi tớnh cht ca cỏc h ( e'j ) j , ( ek" )k T ú suy ra, cỏc khụng gian lm y theo cỏc bao tuyn tớnh L {e'j ek" } v L {dn' d m" } cựng vi tớch vụ hng dng(2.1.3) ng cu v ng c vi W nh lý c chng minh 2.2 Toỏn t tuyn tớnh liờn tc 2.2.1 Khỏi nim tớch tenx cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc Ga s H ' , H " , G' , G" l cỏc khụng gian Hilbert tỏch trờn cựng trng K , A' : H ' đ G ' , A" : H " đ G" , l cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc Tớch hỡnh thc A' A" xỏc nh nh sau: A' A" : H ' H " đ G ' G" ồf j ' j ổ f j" a A' A" ỗ f j' f j" ữ = ( A' f j' ) ( A" f j" ) (2.2.1) ố j ứ j 2.2.2 Mt s nh lớ Gi s H ' , H " , G' , G" l cỏc khụng gian Hilbert tỏch trờn cựng trng K , cỏc h (e ) ' j j , ( ek" )k l cỏc c s tc chun tng ng cỏc khụng gian H ' , H " A' : H ' đ G ' , B ' : H ' đ G ' , A" : H " đ G " , B " : H " đ G " l cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc nh lý 2.2.1 Toỏn t (2.2.1) l tuyn tớnh liờn tc v cú th thỏc trin liờn tc t ton b khụng gian H ' H " lờn ton b khụng gian G' G" Hn na, A' A" = A' A" Chng min.Trc ht ta xột toỏn t A ' A" trờn L ( f ' f " ) Vi fi ' ẻ H ' , fi" ẻ H " ta cú 36 fi ' = fip' e'p v ồf ' ip < +Ơ , fi" = fiq" eq" v ồf " iq < +Ơ (i = 1, 2, , k ) Khi ú,vi (i = 1, 2, , k ) ( A' A" )( fi ' fi " ) = A' fi ' A" fi" k ổ k k ị ( A' A" ) ỗ f i ' f i " ữ = ( A' fi ' ) ( A" f i" ) = ( A' A" )( f i ' fi " ) j =1 ố i =1 ứ i =1 Vi ( l ẻ K ) ( A A ) ộởl ( f ' " ' i f i" ) ựỷ = ( A' A" ) ộở( l f i ' ) f i " ựỷ = A' ( l fi ' ) A" fi " = ( l A' fi ' ) A" fi" = l ( A' fi ' A" fi" ) Suy ra, A ' A" l toỏn t tuyn tớnh trờn L ( f ' f " ) Vi ( "f ' ẻ H ' , f " ẻ H " ) ( A A )( f ' " ' f " ) = ( A' f ' ) ( A" f " ) 2 = ( A' f ' A" f " , A' f ' A" f " ) = ( A' f ' , A' f ' )( A" f " , A" f " ) = A' f ' 2 A" f " Ê A' A" f' f" ị ( A' A" )( f ' f " ) ÊÊ A' A" f ' f " Do ú, A ' A" l toỏn t b chn v (A A ) ' " Ê A' A" Bõy gi, ta xột toỏn t A ' A" trờn H ' H " (c lm y t L { f ' f "} ) Gi s, F ẻ H ' H " , F = ồF j , k ( A' A" ) F = e'j ek" , Fjk < +Ơ, jk j , k Ơ F ( A e ) ( A e ) j , k =1 jk ' ' i " " k Ta chng minh A' A" : H ' H " đ G ' G " l tuyn tớnh liờn tc Hin nhiờn, A ' A" tuyn tớnh (2.2.2) 37 Gi s ( l p' ) ẻ G ' , ( lq" ) ẻ G" l c s trc chun Khi ú {l ' p lq" } p , q l c s trc chun khụng gian G ' G " Vi U ẻ G ' G " : Ơ U (l U= pq p , q =1 Ơ Ơ j =1 q =1 ' p lq" ) t Fk = F jk e 'j ,U p = U pq lq" , ta cú: $A"* : G " đ H " , ( A" f " , g " ) " = ( f " , A"* g " ) G H" ( "f " ẻ H " , g " ẻ G" ) Khi ú ổ ' ' " " ỗ Fjk ( A e j ) ( A ek ) ,U ữ ố j ,k ứ ổ = ỗ ồồ Fjk U pq ( A'e'j , l p' ) ' ( A"ek" , lq" ) " ữ G G ố j ,k p ,q ứ ổ = ỗ ồồ Fjk ( A'e'j , l p' ) ' ( A"*lq" , ek" ) " U pq ữ G H ố j ,k p , q ứ ổ = ỗ ồồ ( A' Fk , l p' ) ' ( A"*U p , ek" ) " ữ G H ố k p ứ Ê ồ ( A' Fk , l p' ) k p = A' Fk k Ê A' A"* G' G ' A"*U p Fk p 2 A" U p , ek" ) H' p H " G" U p G" jk p F U j ,k "* k k = A' ồồ (A 2 pq p ,q T tớnh cht tựy ý ca phn t U ẻ G ' G " suy chui (2.2.2) hi t yu khụng gian G ' G " v bt ng thc (A A )F ' " Do ú, A = A ' A" : H ' H " đ G ' G " liờn tc v G ' G " Ê A' A" F H ' H " 38 A = ( A' A" ) Ê A' A" (2.2.3) Bõy gi, gi s F = f n' fn" ,"f n' ẻ H ' , fn" ẻ H " t f n' = f nt' et' v t f nt' < +Ơ , f n" = f ns" es" v t f ns" < +Ơ s s Thỡ nh (2.2.1) ta cú: ổ AF = ( A' A" ) F = ( A' A" ) ỗ f n' f n" ữ ố n ứ ổ = ( A' A" ) ỗ ồồ f nt' fts"et' es" ữ ố n t ,s ứ ổổ ổ ửử = ( A' A" ) ỗ ỗ ỗ f nt' f ns" ữ ữ et' es" ữ ỗ t ,s ố n ữ ứứ ốố ứ ổ = ỗ f nt' f ns" ữ ( A'et' A"es" ) t ,s ố n ứ = ồồ f nt' f ns" ( A'et' A"es" ) n t ,s = ( A' f n' A" f n" ) = ( A' A" ) F n H thc trờn chng t nh ngha (2.2.2) ca toỏn t ( A' A" ) trựng vi nh ngha (2.2.1) ca toỏn t ú ( A A )( f Mt khỏc, ' " ị A' A" = ' f ") G ' G " = A' f ' sup ( A A )( f ' " ' G' A" f " G" f ") f ' f " =1 sup A' f ' f ' = f " =1 = sup A' f ' f =1 ' G' A" f " sup G" A" f " = A' A" (2.2.4) f =1 " Nh (2.2.3) v (2.2.4) ta c: A' A" = A' A" nh lý c chng minh W 39 nh lý 2.2.2 Ta cú 1) ( A' + B' ) A" = A' A" + B' A" ; 2) A' ( A" + B" ) = A' A" + A' B" ; 3) l ( A' A" ) = ( l A' ) A" = A' ( l A" ) Chng minh.Ly phn t bt kỡ F ẻH' H" ị F = ồF j , k 1) ộở( A' + B ' ) A" ựỷ F = = F ộở( A + B ) e ' j , k = j , k A"ek" ) + ( B 'e'j A"ek" ) ựỷ jk jk ' ' j ' ' j F ộở( A A )( e ' F ộở( A A )( e ' j , k " j , k ek" ) + ( B ' A" )( e'j ek" ) ựỷ ' j ek" ) ựỷ + F ộở( B A )( e ' j , k " jk ' j = ( A' A" ) F jk e 'j ek" + ( B ' A" ) F jk e 'j ek" j , k j , k = ( A' A" + B ' A" ) F Suy ( A' + B' ) A" = A' A" + B' A" 2) ộở A' ( A" + B" )ựỷ F = = ồF j , k = jk ' ' j ' j , k ' j , k jk e'j ộở( A" + B" ) ek" ựỷ A"ek" ) + ( A'e'j B"ek" ) ựỷ F ộở( A A )( e jk AF A'e'j ( A"ek" + B"ek" ) F ộở( A e j , k = jk " jk e'j ựỷ A"ek" ' j " jk jk jk (F e )e e 'j ek" = A"ek" ựỷ F ộở( A e j , k = ' + B 'e'j ) A"ek" ựỷ j , k = ' j ' F ộở( A e j , k = ' jk ộở( A + B ) F jk ' j ek" ) + ( A' B" )( e'j ek" ) ựỷ ek" ) ựỷ ' j " k 40 = F ộở( A A )( e ' j , k " jk ek" ) ựỷ + ' j F ộở( A B )( e ' " jk j , k ' j ek" ) ựỷ = ( A' A" ) F jk e 'j ek" + ( A' B " ) F jk e 'j ek" j , k j , k = ( A A + A B ) F ' " ' " Suy ra, A' ( A" + B" ) = A' A" + A' B" 3) (l A A ) F = A A (lF ) ' " ' " = A' A" ( l F jk e 'j ) ek" j , k = A (l F e ) A e ' j , k = ' j jk " " k ( l A )( F e ) A e ' j , k ' j jk = ộở( l A' ) A" ựỷ " " k (F e ) e jk j , k ' j " k = ộở( l A' ) A" ựỷ F Suy ra, l ( A' A" ) = ( l A' ) A" Chng minh tng t ta cú: l ( A' A" ) = A' ( l A" ) Vy, l ( A' A" ) = ( l A' ) A" = A' ( l A" ) W nh lý c chng minh nh lý 2.2.3 Tn ti toỏn t ( A' A" ) : G ' G" đ H ' H " v * (A A ) " * ' = A '* A"* Chng minh Theo nh lý (2.2.1), A ' A" l toỏn t tuyn tớnh b chn trờn khụng gian H ' H " , nờn theo nh lý Riesz, tn ti toỏn t liờn hp (A A ) " * ' tuyn tớnh b chn v (A A ) ' " * : G ' G" đ H ' H " , = A ' A" 41 Vi "F , U ẻ H ' H " ta cú: ã F= ồF j , k ' A'e'j A"ek" , U ip ei' e"p ữ i , p ứ jk U ip ( A'e'j A"ek" , ei' e"p ) ồF jk U ip ( A'e 'j , ei' ) ồF jk U ip ( e 'j , A'*ei' ) ồF jk U ip ( e 'j ek" , A'*ei' A"*e"p ) j , k i , p = jk e e"p , ' ip i ồF j , k i , p = i , p ố j ,k j , k i , p = ồU ổ " j , k i , p = e'j ek" ,U = ( ( A A ) F ,U ) = ỗ F ã = jk ồ (e j , k i , p ' j H' ( A e ,e ) H' " " k " p H" (e , A e ) " k "* " p H" ) ek" ,( A'* A"* ) ( ei' e"p ) Fjk U ip ổ = ỗ Fjk (e'j ek" ), ( A'* A"* ) U ip ei' e"p ữ i , p ố j ,k ứ ( ) = F , ( A'* A"* ) U Mt khỏc, ta cú ( ( A A ) F ,U ) = ( F , ( A A ) U ) ' " ' " * Suy ra, ( A ' A" ) = A '* A"* * nh lý c chng minh W 42 KT LUN Bc u tỡm hiu ti Tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch , vi mc ớch , lun ó trỡnh by chi tit cỏc nghiờn cu tng chng : - Chng 1: H thng cỏc kin thc c bn v khụng gian Hilbert Gii thiu v chng minh chi tit mt s nh lớ quan trng khụng gian Hilbert, gii thiu cỏc khụng gian Hilbert tỏch Ă n , l2 - Chng : a c khỏi nim tớch tenx hai khụng gian Hilbert tỏch,khỏi nim tớch tenx cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc ca tớch tenx hai khụng gian Hilbert tỏch T ú, a mt s nh lý quan trng liờn quan n tớch tenx hai khụng gian Hilbert tỏch v tớch tenx cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc khụng gian ú Rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca thy cụ v cỏc bn ng nghip lun ca tụi c hon thin hn 43 TI LIU THAM KHO A Ti liu ting Vit [1] Nguyn Ph Hy (2006), Gii tớch hm, NXB Khoa hc k thut H Ni [2] Nguyn Ph Hy (2007), Bi Gii tớch hm, NXB Khoa hc k thut H Ni [3] Nguyn Ph Hy (1989), V mt lp phng trỡnh phi tuyn, Thụng tin khoa hc trng HSP H Ni 2, (s 2), (23-30) [4] Hong Ty (2003), Hm thc v gii tớch hm, NXB i hc quc gia H Ni B Ti liu ting nc ngoi [5] Lax P.D.( 1954), Symmetrizable linear transformations i xng tuyn Comm Pure Appl Math, T.7, s 4, tr 633-647 [6] Leray J(1952), Lectures on hyperbolic equations with variable coefficients, Princeton, Inst For Adv Study [7] Berezanxki Yu..(1958), V cỏc bi toỏn biờn i vi toỏn t vi phõn tng quỏt o hm riờng, DNA Liờn Xụ,.122, s 6, tr.959-962 [8] Berezanxki Yu. (1963),Cỏc khụng gian vi chun õm, UN, .18, s1, tr.63-96 [9] Berezanxki Yu. (1965), Khai trin theo hm riờng ca cỏc toỏn t t liờn hp, Nxb Khoa hc, Kiev [10] Krein .G.(1947), V cỏc toỏn tuyn tớnh liờn tc cỏc khụng gian hm ,Tuyn cỏc cụng trỡnh ca vin toỏn hc Ukraina,.9, tr 104 129 [...]... c s trc chun trong khụng gian l2 Ơ Theo nh lý (1.2.4) , l2 l khụng gian Hilbert tỏch W 27 Chng 2 TCH TENX CC KHễNG GIAN HILBERT TCH 2.1.Khỏi nim tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch 2.1.1 S thnh lp tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch Trong cun sỏch [9] Giỏo s_Vin s Yu.M.Berezanxki ó a ra s thnh lp tớch tenx hai khụng gian Hilbert nh sau: Gi s H ' v H " l hai khụng gian Hilbert trờn trng K ( K... (2.1.2) H H Ta nhn c khụng gian tin Hilbert L Lm y khụng gian tin Hilbert L theo chun sinh bi tớch vụ hng (2.1.2) v thỏc trin tớch vụ hng (2.1.2) t L lờn ton b khụng gian ó c lm y theo tớnh liờn tc ca tớch vụ hng ú, ta nhn c khụng gian Hilbert mi Khụng gian Hilbert mi nhn c gi l tớch tenx ca hai khụng gian Hilbert H ' v H " , ký hiu l H ' H" 28 Tuy nhiờn, i vi khụng gian Hilbert núi chung vic chng... chun ca khụng gian H nh lý c chng minh W 13 1.2.4 iu kin cn v mt khụng gian Hilbert l khụng gian tỏch nh lý 1.2.4 Khụng gian Hilbert cú c s trc chun khi v ch khi khụng gian ú l khụng gian tỏch c Chng minh iu kiờn cn Gi s khụng gian Hilbert H cú c s trc chun ( en )n1 Ký hiu tuyn tớnh ca h ( en )n1 Theo nh lý 1.2.3 tp khụng gian H Y Y l bao trự mt khp ni trong Ký hiu A l tp tt c t hp tuyn tớnh ca... mđƠ Suy ra, dóy c bn ( x( m) ) Ơ m=1 hi t ti x trong khụng gian Ă n Nờn khụng gian Ă n l mt khụng gian Banach vi chun 20 n ồx x = ( x, x ) = k =1 k 2 Vy, khụng gian Ă n l mt khụng gian Hilbert Mt khỏc, Ă n l khụng gian l khụng gian tỏch Tht vy,gi s dóy ek = (d k1 , d k 2 , , d kn ) ẻ Ă n , k = 1, n, j = 1, 2, , l c s trc chun trong khụng gian Ă n , trong ú: d kj = 1 nu j = k , d kj = 0 nu j ạ k ... x n k k =1 2 k < e , "n n0 Nờn dóy c bn ó cho hi t ti x trong khụng gian l2 Suy ra, khụng gian l2 l mt khụng gian Banach vi chun x = ( x, x ) = Ơ ồx k =1 k 2 Vy, khụng gian l2 l mt khụng gian Hilbert Mt khỏc, l2 l khụng gian l khụng gian tỏch Tht vy, xột dóy ek = (d kn )n=1 ẻ l2 , ( k = 1, 2, ) , l c s trc chun trong khụng Ơ gian l2 , trong ú: d kn = 1 nu n = k , d kn = 0 nu n ạ k Tht vy, dóy... trc chun trong khụng gian Ă n Theo nh lý 1.2.4 , Ă n l khụng gian Hilbert tỏch Vy, khụng gian Ă n l khụng gian Hilbert tỏch c 1.4.2 Khụng gian l2 ỡ Ơ ỹ Ký hiu l2 = ớ x = ( xk )k =1 \ xk ẻ Ê, ồ xk < +Ơ ý ợ Ơ k =1 2 ỵ 21 Tp hp l2 cựng vi hai phộp toỏn: l2 l2 đ l2 Phộp cng: +: ( x, y ) đ x + y = ( xk + yk )k =1 , Ơ Phộp nhõn: : Ê l2 đ l2 ( l , x ) đ l x = ( l xk )k =1 Ơ l khụng gian tuyn tớnh phc... phn t khụng ca khụng gian L ) Cỏc tiờn v tớch vụ hng u c tha món Vy, h thc (f ' f " , g ' g" ) = ( f ' , g ' ) ' ( f " , g" ) H H" l mt tớch vụ hng trờn khụng gian L nh lý c chng minh W Khụng gian L cựng vi tớch vụ hng (2.1.2) tr thnh khụng gian tin Hilbert Lm y khụng gian tin Hilbert L theo chun sinh bi tớch vụ hng (2.1.2) v thỏc trin tớch vụ hng (2.1.2) t L lờn ton b khụng gian ó c lm y theo tớnh... ó c lm y theo tớnh liờn tc ca tớch vụ hng ú, ta nhn c khụng gian Hilbert mi Khụng gian Hilbert mi nhn c gi l tớch tenx ca hai khụng gian Hilbert H ' v H " , ký hiu l H ' H " 32 nh lý 2.1.3 H ( e'j ek" ) j ,k =1 lp thnh h trc chun trong khụng gian Ơ H' H" Chng minh Trc ht ta chng minh, h {e'j ek" } j ,k 1 l mt h trc chun trong khụng gian H ' H " Tht vy, " ( j, k ) , " ( s, t ) ta cú: (e ' j... chng minh h thc (2.1.2) l mt tớch vụ hng khụng phi d Trong lun vn ny, tụi ch xột cỏc khụng gian Hilbert tỏch 2.1.2 Tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch Gi s H ' v H " l hai khụng gian Hilbert tỏch trờn trng K ( K l trng s thc Ă hay trng s phc Ê ), (e'j ) j 1 v (ek" ) k 1 l cỏc c s trc chun tng ng trong cỏc khụng gian H ' v H " , cỏc phn t ca H ' v H " c ký hiu ln lt l f ' , g ' v f " , g " Gi s tp... 0 vi x ạ q , k =1 Ơ ( x, x ) = 0 ồ xk k =1 2 = 0 xk = 0 ( "k = 1, 2, ) x = q ; Vy, khụng gian l2 l khụng gian tin Hilbert vi tớch vụ hng Ơ ( x, y ) = ồ xk yk x =1 Khụng gian l2 l khụng gian Hilbert Tht vy, chun trờn l2 c xỏc nh bi h thc x = ( x, x), x ẻ l2 ; (H qu 1.1.1) nờn ta ch cn chng minh l2 l khụng gian Banach 24 Ta xột dóy c bn bt k ( x( n) ) Ơ n =1 ( )) è l2 vi x( ) = xk( n n Ơ k =1 ( n ... khụng gian Hilbert tỏch 16 1.4.1 Khụng gian Ăn 16 1.4.2 Khụng gian l2 20 Chng Tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert tỏch 27 2.1 Khỏi nim tớch tenx cỏc khụng gian Hilbert. .. ti x khụng gian Ă n Nờn khụng gian Ă n l mt khụng gian Banach vi chun 20 n ồx x = ( x, x ) = k =1 k Vy, khụng gian Ă n l mt khụng gian Hilbert Mt khỏc, Ă n l khụng gian l khụng gian tỏch Tht... t ti x khụng gian l2 Suy ra, khụng gian l2 l mt khụng gian Banach vi chun x = ( x, x ) = Ơ ồx k =1 k Vy, khụng gian l2 l mt khụng gian Hilbert Mt khỏc, l2 l khụng gian l khụng gian tỏch Tht