TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - VŨ THỊ MỪNG SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG HÌNH HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TH.S NGUYỄN VĂN VẠN HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu với cố gắng thân, đặc biệt hƣớng dẫn bảo tận tình ThS Nguyễn Văn Vạn giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo khoa Toán nói chung, thầy cô giáo tổ Hình Học nói riêng, đặc biệt ThS Nguyễn Văn Vạn tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do điều kiện thời gian & khả thân nhiều hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy, cô bạn nhận xét góp ý kiến để em rút kinh nghiệm & có hƣớng hoàn thiện, phát triển khóa luận sau Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Vũ Thị Mừng LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan toàn kết khóa luận em tìm tòi, nghiên cứu dƣới hƣớng dẫn thầy cô tổ Hình Học, đặc biệt ThS Nguyễn Văn Vạn trùng lặp với kết khác Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Vũ Thị Mừng MỤC LỤC M NỘI DUNG Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa phép biến hình 1.1.2 Phép biến hình đẳng cự 1.1.3 Phép dời hình 1.1.4 Phép dời hình 1.1.5 Phép đối xứng trục 1.1.6 Phép đối xứng trục 1.1.7 Phép tịnh tiến phép quay quanh điểm mặt phẳng 1.2 Các tính chất 1.2.1 Tính chất phép đối xứng trục 1.2.2 Tính chất phép đối xứng trục 1.2.3 Tính chất phép biến hình đẳng cự 1.2.4 Tính chất phép tịnh tiến phép quay quanh điểm mặt phẳng 1.3 Dạng tắc phép dời hình 1.3.1 Trong 1.3.2 Trong CHƢƠNG PHÉP ỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VỚI BÀI TOÁN VỀ GTLN VÀ GTNN TRONG HÌNH HỌC 2.1 Các yếu tố cần biết liên quan GTLN GTNN 2.1.1 Giá trị lớn – nhỏ hình học 2.1.2 Bất đẳng thức tam giác 2.1.3 Đường vuông góc đường xiên 10 2.1.4 Trong đường tròn 11 2.1.5 Các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki 11 2.2 Lớp toán phẳng GTLN GTNN 11 2.3 Lớp toán không gian GTLN GTNN 17 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 MỞ ĐẦU L chọn ề tài H nh học đƣ c coi môn học c t nh chất hệ thống chặt ch , c t nh ogic t nh trừu tƣ ng h a cao Do đ , nhiều học sinh th h nh học đƣ c coi môn học kh tất môn khác toán học nhà trƣờng phổ thông, đặc biệt việc học h nh học không gian c ng nhƣ việc học ph p biến h nh Trong chƣơng tr nh h nh học bậc trung học ta đƣ c biết đến ph p biến h nh Với bậc trung học s số ph p biến h nh đƣ c đƣa vào nhƣ công c để giải số toán h nh học cách h p nhanh gọn Với bậc trung học phổ thông, em đƣ c học ph p biến h nh mặt phẳng ớp 11 ph p biến h nh không gian ớp 12 ứng trƣớc toán h nh học ta c thể đƣa nhiều phƣơng pháp giải khác đ ta c thể s d ng công c đ ph p biến h nh Trong nhiều trƣờng h p ph p biến h nh tỏ công c hữu hiệu để giải toán Vấn đề Việc ựa chọn ph p biến h nh để c ời giải ch nh xác ngắn gọn câu hỏi mà không t học sinh đặt Với tất đ ng thời với g i thầy giáo Nguyễn Văn Vạn em định chọn đề tài “ S d ng ph p ối ng qua siêu phẳng ể tìm Gi Trị Lớn Nhất và Gi Trị Nhỏ Nhất hình học M c ch nghiên c u Nghiên cứu vấn đề nh m: + Củng cố kiến thức ph p đối xứng tr c mặt phẳng không gian nh m hiểu r c thể áp d ng tốt ph p vào giải toán + p d ng ph p đối xứng tr c để t m GTLN GTNN h nh học Đối tƣ ng và phạm vi nghiên c u + ối tƣ ng nghiên cứu: Ph p đối xứng qua siêu phẳng mặt phẳng không gian + Phạm vi nghiên cứu: Ph p đối xứng qua siêu phẳng h nh học với toán cực trị Nhiệm v nghiên c u Nghiên cứu s uận ph p đối xứng qua siêu phẳng h nh học Nghiên cứu s d ng ph p đối xứng để t m GTLN GTNN h nh học Phƣơng ph p nghiên c u Phân t ch tài iệu iên quan Cấu trúc khóa luận Ngoài phần M đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Nội dung khóa luận g m chƣơng: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Ph p đối xứng qua siêu phẳng với toán GTLN GTNN hình học NỘI DUNG Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 C c ịnh nghĩa 1.1.1 Định nghĩa phép biến hình Định nghĩa Giả s cho tập h p T Một song ánh từ T vào đƣ c gọi phép biến hình tập T Định nghĩa Giả s f g hai phép biến hình tập T cho, dễ thấy ánh xạ tích f g c ng song ánh T vào T nên t ch đ c ng phép biến hình T Ta gọi phép biến h nh đ t ch f g Định nghĩa Phép biến hình f tập T đƣ c gọi phép biến h nh đối h p f2 = Id, dễ thấy úc đ ta c f ph p biến hình nghịch đảo f f-1 trùng Định nghĩa Cho phép biến hình f tập T iểm M tập T đƣ c gọi điểm bất động phép biến hình f f(M) = M Định nghĩa Cho phép biến hình f tập T Hình H phận T đƣ c gọi h nh k p phép biến hình f ta có f(H) = H 1.1.2 Phép biến hình đẳng cự Định nghĩa Phép biến hình không gian điểm gọi ph p đẳng cự n (n =2, 3) bảo t n khoảng cách 1.1.3 Phép dời hình Một phép biến hình f: P  P đƣ c gọi phép dời hình mặt phẳng P với hai điểm M, N hai ảnh chúng lần ƣ t M’ = f(M), N’ = f(N) ta uôn c M’N’ = MN 1.1.4 Phép dời hình Định nghĩa Ph p đẳng cự đƣ c gọi phép dời hình tứ diện xác định chiều 1.1.5 Phép đối xứng trục Cho đƣờng thẳng d, phép biến hình M  M' cho MM'  d MM' d  O, đ O trung điểm MM’ đƣ c gọi ph p đối xứng qua đƣờng thẳng d Ký hiệu: d 1.1.6 Phép đối xứng trục Trong không gian cho đƣờng thẳng d Phép biến h nh f đƣ c xác định nhƣ sau: với điểm M + Nếu Md f(M) = M + Nếu M  d gọi (P) mặt phẳng qua M vuông góc với d, cắt d I f(M) = M’ đƣ c xác định cho IM  IM' đƣ c gọi ph p đối xứng không gian, d gọi tr c đối xứng Ký hiệu: d Tập h p ảnh điểm thuộc hình H qua phép biến đổi d lập thành h nh H’ đƣ c gọi h nh đối xứng với hình H qua d, ảnh hình H qua phép biến đổi đ Nếu H trùng với H’ th ta n i h nh H c tr c đối xứng 1.1.7 Phép tịnh tiến phép quay quanh điểm mặt phẳng - Phép tịnh tiến: Trong không gian n (n =2, 3) cho véctơ a Phép biến hình không gian cho ứng điểm M với điểm M’ cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a gọi phép tịnh tiến theo véctơ a Kí hiệu Ta - Phép quay quanh điểm mặt phẳng: Trong hình 2 cho điểm O g c định hƣớng φ Phép biến cho M với điểm M’ cho: + OM = OM’ + (OM,OM')  φ Gọi phép quay mặt phẳng quanh tâm O, góc quay φ Kí hiệu Q (O,φ) 1.2 Các tính chất 1.2.1 Tính chất phép đối xứng trục + + + d d phép phản chiếu d = Id có đƣờng thẳng bất động d 1.2.2 Tính chất phép đối xứng trục + Ph p đối xứng tr c phép dời hình + Ph p đối xứng tr c ph p đối h p, tức f2 = id + Tập điểm bất động ph p đối xứng d qua đƣờng thẳng d đƣờng thẳng d 1.2.3 Tính chất phép biến hình đẳng cự a Phép biến h nh đẳng cự biến điểm A, B, C thẳng hàng với B n m A C thành điểm A’, B’, C’ thẳng hàng với B’ n m A’ C’ a) MA  MB  MC nhỏ b) 2MA +3MB  4MC +MA nhỏ Giải a) Ta s đƣa toán dạng quen thuộc: Gọi K trung điểm AB.Theo tính chất trung điểm, ta có: MA+MB  2MK Khi đ toán đƣ c đƣa t m điểm M d cho MK+KC nhỏ Khi đ MK+KC  KC  MK+MC nhỏ b ng KC Khi đ M  d  KC A K MM d C B b) Trên đƣờng thẳng AB, ta lấy điểm H cho: 2HA  3HB  Trên đƣờng thẳng AC, ta lấy điểm K cho: 4HC  HA  Khi đ toán đƣ c đƣa t m điểm M d cho MK+MH nhỏ Khi đ MK+MH  KH Khi đ MK + MH nhỏ b ng KH Khi đ M  d  KH 16 A d M H K B C 2.3 Lớp toán không gian GTLN GTNN Ví d Trong không gian, cho đƣờng thẳng  hai điểm A, B cho đƣờng thẳng AB  chéo nhau, điểm M di động  Xác định vị trí M để: MA + MB đạt giá trị nhỏ MA  MB đạt giá trị lớn Giải A B C H M K I P J D 17 1) *Phân tích Giả s dựng đƣ c điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Gọi H & K lần ƣ t hình chiếu vuông góc A & B lên  Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với  K Trong (P) dựng đƣờng tròn (K) tâm K, bán kính KB Suy  tr c đối xứng (K) Do đ , với điểm M &  điểm N  (K) ta có MN = MB Gọi (Q) mặt phẳng xác định b i A &  Mặt phẳng (Q) cắt đƣờng tròn (K) theo đƣờng kính CD Trong (Q), giả s hai điểm A & C n m ph a  Khi đ , với điểm M , ta có MB = MC = MD MA + MB = MA + MD  AD Dấu = xảy  M  I với I giao điểm  &AD * Cách dựng - Dựng H & K lần ƣ t hình chiếu vuông góc A & B lên  - Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với  K - Trong mặt phẳng (P), dựng đƣờng tròn (K) tâm K, bán kính KB Gọi (Q) mặt phẳng xác định b i A &  Mặt phẳng (Q) cắt đƣờng tròn (K) theo đƣờng kính CD - Dựng M: M  AD  M ch nh điểm cần dựng *Ch ng minh Theo cách dựng, hiển nhiên ta có Min(MA+MB)  AD với D điểm cố định dựng *Biện luận Bài toán cho uôn c nghiệm hình 18 2) *Phân tích Giả s dựng đƣ c điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Theo phân tích phần ta có, M  : MA  MB  MA  MC  AC Dấu = xảy  M trùng với điểm J, với J giao điểm  & đƣờng thẳng AC *Cách dựng - Dựng điểm H, K; mặt phẳng (P), (Q); đƣờng tròn (K) đƣờng kính CD n nhƣ phần - Dựng M: M  AC  M ch nh điểm cần dựng *Ch ng minh Theo cách dựng, hiển nhiên ta có Max( MA  MB)  ACvới C điểm cố định dựng đƣ c *Biện luận - Nếu AH = BK tức AC  toán vô nghiệm hình - Nếu AH & BK không b ng toán có nghiệm hình Ví d Cho hai n a đƣờng thẳng OA, OB ph a mặt phẳng (P) O thuộc mặt phẳng (P) Hãy t m (P) đƣờng thẳng tạo với OA, OB góc có tổng số đo nhỏ Giải 19 B A D d O P B’ ’ *Phân tích Giả s dựng đƣ c đƣờng thẳng d thỏa mãn đầu bài, không giảm tổng quát ta giả s Od (Vì O  d thỏa mãn yêu cầu toán th đƣờng thẳng d’//d, Od' c ng thỏa mãn toán) X t ph p đối xứng qua mặt phẳng (P): p: B B' Gọi D  d, D  O Vì d  (P)  d = p(d)  DOB  DOB' Ta có AOD + DOB  AOD + DOB'  AOB' (Theo tính chất góc tam diện) Dấu = xảy d  mp(AOB') 20 d  (P)  d  (P)  (AOB') Ta có cách dựng: Dựng B’ = p(B) D  AB' (P) ƣờng thẳng d qua O, D đƣờng thẳng cần dựng *Ch ng minh: Vì OD  (AOB')  (P) nên AOD+DOB  AOD+DOB'  AOB' Ta chứng minh AOB' góc nhỏ Thật vậy: Với d’ đƣờng thẳng (P); d'  d , d’ qua O  BOd  B'Od'  AOd'+d'OB  AOd'+d'OB'  AOB' Vậy góc AOB' góc nhỏ * Biện luận Bài toán có nghiệm hình Ví d Cho mặt phẳng (P) hai điểm A, B không n m mặt phẳng (P) iểm M thay đổi mặt phẳng (P) Xác định vị trí M để MA + MB đạt giá trị nhỏ Giải Chia àm trƣờng h p: *Trƣờng h p 1: Hai điểm A, B n m khác ph a mặt phẳng (P) Gọi giao điểm đoạn thẳng AB với mặt phẳng (P) I Ta có: MA+MB  AB , M  (P) M  AB N  (P) ẳng thức xảy  M I 21 Vậy : Khi M trùng với I MA+MB đạt giá trị nhỏ & b ng AB A I M P B * Trƣờng h p 2: Hai điểm A, B n m ph a mặt phẳng (P) Gọi A’ điểm đối xứng A qua mặt phẳng (P) Ta có: MA = MA’ Gọi J giao điểm BA’ với mặt phẳng (P) M  (P) ta có: MA+MB  MA'+MB  BA' ẳng thức xảy khi: M  BA' M J  M  (P)  Vậy: Khi M trùng với điểm J MA + MB đạt GTNN b ng BA’ với A’ ảnh A qua p 22 B A J M P A’ Ví d Cho mặt phẳng (P) điểm phân biệt A, B không n m mặt phẳng (P) iểm M thay đổi mặt phẳng (P) Xác định vị trí M để MA  MB đạt GTLN Giải Chia àm trƣờng h p: * Trƣờng h p 1: Hai điểm A, B n m ph a mặt phẳng (P) Giả s đƣờng thẳng AB cắt mặt phẳng (P) I Ta có: MA  MB  AB , M  (P) ẳng thức xảy ba điểm M, A, B thẳng hàng M n m đoạn thẳng AB, nhƣng M n m mặt phẳng (P) nên đ M giao điểm đoạn thẳng AB mặt phẳng (P) tức M  I Vậy: Khi M trùng với I MA  MB đạt GTLN b ng AB Nếu d(A, (P)) = d(B, (P)) AB  P 23 Bài toán nghiệm hình A B M I P * Trƣờng h p 2: Hai điểm A, B n m khác ph a mặt phẳng (P) Gọi A’= (P) (A) MA = MA’ Gọi J giao điểm A’B với (P) (nếu có) Ta có MA  MB  MA'  MB  A'B , M  (P) Theo trƣờng h p suy M trùng với J MA  MB đạt GTLN b ng A’B Nếu d(A, (P)) = d(B, (P)) A'B  P Bài toán nghiệm hình A’ B J H M P A 24 Ví d 10 Cho mặt phẳng (P), đƣờng thẳng d (P) , điểm A không n m (P) d Với vị trí M MA + MB nhỏ nhất? Giải Chia àm trƣờng h p: a) Trƣờng h p 1: A d khác phía với mặt phẳng (P) Kẻ AH  d Khi đ Bd ta có AB  AH ẳng thức xảy B  H Khi đ MA  MB  AB , M  (P) ẳng thức xảy M giao điểm AH với (P) B  H M  AB  (P) Vậy: MA + MB nhỏ  B H d M P A b) Trƣờng h p 2: A d n m phía với (P) + Gọi A’ ảnh A qua ph p đối xứng (P) Thế th MA=MA’ + Kẻ A'H  d Khi đ Bd ta có A'B  A'H 25 ẳng thức xảy B  H Khi đ M  (P) ta có: MA+MB  MA'+MB  A'B ẳng thức xảy M giao điểm A’H với (P) B  H M  A' B  (P) Vậy MA+MB nhỏ  A H B d M P A’ Ví d 11 Cho mặt phẳng (P) hai đƣờng thẳng x, y n m phía với (P) Hãy tìm M (P) cho tổng khoảng cách từ M đến đƣờng thẳng đ đạt GTNN Giải Do x, y n m phía với mặt phẳng (P) song song với đƣờng thẳng thuộc (P) nên x y Gọi x’ ảnh x qua ph p đối xứng (P), đ x' y Gọi z giao tuyến mặt phẳng qua x’, y với mặt phẳng (P) Với M0  z , kẻ M0A  x', M0B  y A, M0, B thẳng hàng M0A  x Với M  (P) ta có: 26 d(M,x)+d(M, y)  AB ẳng thức xảy M  M0 Vậy: Với M  z tổng khoảng cách từ M đến x, y đạt GTNN Ví d 12 Cho mặt phẳng (P) đƣờng thẳng a, b song song với (P) Tìm tất điểm M (P) cho t n điểm A a điểm B b có tổng khoảng cách MA + MB nhỏ Giải Chia àm trƣờng h p: a) Trƣờng h p 1: a, b n m khác phía với (P) Từ điểm M thuộc (P) kẻ MA  a, MB  b Ta có: MA +MB  AB ẳng thức xảy M giao điểm (P) với AB Khi đ M s thuộc vào mặt phẳng chứa a, b Vậy: MA + MB nhỏ M thuộc giao tuyến mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa a, b A P M a P b B 27 Trƣờng h p 2: a, b n m phía với (P) - Gọi a’ ảnh a qua (P), đ a' b - Từ M thuộc (P) kẻ MA'  a, MB  b với A’ ảnh A ta c ng c Ta c : MA' +MB  A'B ẳng thức xảy M giao tuyến A’B với (P) Khi đ M thuộc mặt phẳng chứa a’, b Lấy A đối xứng với A’ qua mặt phẳng (P) ta có Aa điểm cần tìm Vậy: MA + MB nhỏ M thuộc giao tuyến mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa a’, b B b A a M P P a’ A’ 28 KẾT LUẬN Việc đƣa ph p biến h nh vào chƣơng tr nh toán phổ thông giúp cho học sinh có thêm công c hữu hiệu để giải lớp toán C thể hơn, kh a uận đƣa hệ thống lí thuyết toán iên quan đến s d ng ph p đối xứng qua siêu phẳng để tìm GTLN GTNN hình học nh m giúp ngƣời đọc thấy đƣ c t nh ƣu việt giải toán GTLN GTNN nhờ s d ng phép biến hình, c thể ph p đối xứng qua siêu phẳng Tuy nhiên, phép biến hình vấn đề & kh học sinh Việc s d ng phép biến h nh để tìm GTLN & GTNN hình học lại kh khăn Do đ , vấn đề cần đƣ c tiếp t c có nghiên cứu, tìm hiểu sâu Do điều kiện thời gian & ực thân hạn chế bƣớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên chắn khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Rất mong thầy cô & bạn đ ng góp ý kiến để khóa luận đƣ c hoàn thiện hơn, thực s tài liệu tham khảo bổ ích 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Văn B nh – Nguyễn Văn Vạn, iáo trình ình ọc [2] Bùi Văn B nh, ài t p hình học [3] cấp, tập cấp, tập ỗ Thanh ơn, (2005) Phép biến hình không gian, Nxb Giáo d c 30 [...]... VỀ GTLN VÀ GTNN TRONG HÌNH HỌC 2.1 Các yếu tố cần biết liên quan về GTLN và GTNN 2.1.1 Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất trong hình học + Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 1 đại ƣ ng hình học biến thiên f (độ dài đoạn thẳng, diện t ch, đa giác, thể tích khối đa diện, g c……) yêu cầu phải t m đƣ c các giá trị f1, f2 cố định luôn thỏa mãn bất đẳng thức: f1  f  f2 ng thời chỉ rõ các vị trí hình học của... các bài toán iên quan đến s d ng ph p đối xứng qua siêu phẳng để tìm GTLN và GTNN trong hình học nh m giúp ngƣời đọc thấy đƣ c t nh ƣu việt khi giải bài toán về GTLN và GTNN nhờ s d ng phép biến hình, c thể là ph p đối xứng qua siêu phẳng Tuy nhiên, phép biến hình là một vấn đề mới & kh đối với học sinh Việc s d ng phép biến h nh để tìm GTLN & GTNN trong hình học lại càng kh khăn hơn Do đ , vấn đề... quay quanh một điểm trong mặt phẳng: Gọi là phép quay trong mặt phẳng quanh tâm O, góc quay φ Kí hiệu Q(O, φ ) Tính chất: Phép quay Q(O, φ ) là phép dời hình Phép quay Q(O, φ ) à ph p đối h p khi và chỉ khi φ  k180 Phép quay Q(O, φ ) uôn c điểm bất động chính là tâm O 1.3 Dạng chính tắc của một phép dời hình 1.3.1 Trong 2 Phép dời hình trong 2 không à ph p đ ng nhất thì có thể biểu diễn duy nhất. .. dƣới dạng một phép quay hoặc 1 phép tịnh tiến 1.3.2 Trong 3 Định lý Phép dời hình trong 3 không là phép tịnh tiến có thể biểu diễn duy nhất dƣới dạng tích của một phép quay quanh một tr c d và một phép 6 tịnh tiến theo véctơ v có giá trị song song với đƣờng thẳng d Tích này giao hoán đƣ c và đƣ c gọi là phép dời hình xoắn ốc Ch ng minh Ta đã biết, nếu f là một phép dời hình khác tịnh tiến trong 3 thì...b Phép biến hình đẳng cự biến: + ƣờng thẳng thành đƣờng thẳng + Tia thành tia + oạn thẳng thành đoạn thẳng + Góc thành góc b ng nó + ƣờng tròn thành đƣờng tròn có bán kính b ng đƣờng tròn đã cho 1.2.4 Tính chất của phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng - Phép tịnh tiến: + Phép tịnh tiến là phép dời hình + Phép tịnh tiến không c điểm bất động nếu v ctơ tịnh tiến khác 0 - Phép quay... x t để tại đ f đạt giá trị nhỏ nhất f1 hay lớn nhất f2 Thông thƣờng bài toán chỉ yêu cầu tìm 1 trong 2 giá trị này ể giải loại bài toán này ta thƣờng thực hiện nhƣ sau: a) Biểu diễn đại ƣơng cần tìm GTLN, GTNN theo các đại ƣ ng biến thiên của đề tài b) Nếu đại ƣ ng đ chỉ ph thuộc vào 1 đại ƣ ng biến thiên ta có thể: Áp d ng các bất đẳng thức iên quan đến đoạn thẳng Áp d ng các bất đẳng thức iên quan... A đối xứng với A’ qua mặt phẳng (P) thì ta có Aa chính là điểm cần tìm Vậy: MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng chứa a’, b B b A a M P P a’ A’ 28 KẾT LUẬN Việc đƣa ph p biến h nh vào chƣơng tr nh toán phổ thông giúp cho học sinh có thêm một công c hữu hiệu để giải quyết một lớp các bài toán C thể hơn, kh a uận đã đƣa ra 1 hệ thống lí thuyết và các bài toán iên quan... số cách thành tích của một phép quay và một phép tịnh tiến hoặc ngƣ c lại là tích của một phép tịnh tiến và phép quay Giả s f = Ta Q(d ,) +) Nếu v c tơ a có giá vuông góc với d thì Ta Q(d ,) là một phép quay Q '(d ', ') ta có Q '  QT 0 +) Nếu v c tơ a có giá không vuông góc với d thì ta có thể : Phân tích: a  u  v trong đ u có giá vuông góc với đƣờng thẳng d v có giá song song với đƣờng thẳng... cho đƣờng thẳng  và hai điểm A, B sao cho đƣờng thẳng AB và  chéo nhau, một điểm M di động trên  Xác định vị trí của M để: 1 MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất 2 MA  MB đạt giá trị lớn nhất Giải A B C H M K I P J D 17 1) *Phân tích Giả s đã dựng đƣ c điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán Gọi H & K lần ƣ t là hình chiếu vuông góc của A & B lên  Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với  tại K Trong (P) dựng đƣờng... (P) iểm M thay đổi trên mặt phẳng (P) Xác định vị trí của M để MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Giải Chia àm 2 trƣờng h p: *Trƣờng h p 1: Hai điểm A, B n m khác ph a đối với mặt phẳng (P) Gọi giao điểm của đoạn thẳng AB với mặt phẳng (P) là I Ta có: MA+MB  AB , M  (P) M  AB N  (P) ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  M I 21 Vậy : Khi M trùng với I thì MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất & b ng AB A I M P B * ... PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VỚI BÀI TOÁN VỀ GTLN VÀ GTNN TRONG HÌNH HỌC 2.1 Các yếu tố cần biết liên quan GTLN GTNN 2.1.1 Giá trị lớn – nhỏ hình học + Tìm giá trị lớn nhỏ đại ƣ ng hình học. .. cứu: Ph p đối xứng qua siêu phẳng h nh học với toán cực trị Nhiệm v nghiên c u Nghiên cứu s uận ph p đối xứng qua siêu phẳng h nh học Nghiên cứu s d ng ph p đối xứng để t m GTLN GTNN h nh học Phƣơng... h nh đối xứng với hình H qua d, ảnh hình H qua phép biến đổi đ Nếu H trùng với H’ th ta n i h nh H c tr c đối xứng 1.1.7 Phép tịnh tiến phép quay quanh điểm mặt phẳng - Phép tịnh tiến: Trong