BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV THỨ HAI TRONG KHẢO SÁT SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN Người hướng dẫn: ThS NGUYỄN TRUNG DŨNG Cơ quan công tác:Khoa Toán,Trường ĐHSPHN Họ tên sinh viên: PHẠM HỒNG DIỆU HUYỀN Khoa: Toán Ngành: Sư Phạm Toán Lớp: K36B Xuân Hòa - 2014 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo-Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng, người tận tình hướng dẫn em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa toán Đại Học Sư Phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận Xuân Hòa, ngày 15 tháng 05 năm 2014 Sinh Viên Phạm Hồng Diệu Huyền LỜI CAM ĐOAN Em Phạm Hồng Diệu Huyền, sinh viên lớp k36B-Sư Phạm Toán Đề tài nghiên cứu em "Tìm hiểu phương pháp Lyapunov thứ hai khảo sát ổn định hệ điều khiển" hoàn thành hướng dẫn giáo viên - Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng Em xin cam đoan nội dung khóa luận thực hoàn toàn trình tìm tòi nhận thức thân không trùng lặp đề tài nghiên cứu khoa học khác Các tài liệu tham khảo em đề cập chi tiết nội dung khóa luận giáo viên hướng dẫn thông qua Em xin chân thành cảm ơn! Xuân Hòa, ngày 15 tháng 05 năm 2014 Sinh Viên Phạm Hồng Diệu Huyền Mục lục Chương Một số khái niệm công cụ toán học 1.1 Một số kết hệ phương trình vi phân thường 1.2 Hàm Lyapunov 1.3 Lớp hàm K 1.4 Đạo hàm Dini 11 1.5 Một số bất đẳng thức vi tích phân 15 Chương Sự ổn định Lyapunov 18 2.1 Định nghĩa ổn định Lyapunov 18 2.2 Một số ví dụ 20 2.3 Phương pháp Lyapunov thứ 21 2.3.1 Minh hoạ hình học phương pháp Lyapunov thứ 2.3.2 Điều kiện cần đủ cho ổn định ổn định 2.3.3 Điều kiện cần đủ cho ổn định mũ 21 23 29 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 31 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Sự phát triển Lý thuyết ổn định diễn nhanh chóng phổ biến cách rộng rãi Các kết Lý thuyết ổn định công bố nhiều tạp chí khoa học, khó để phát đâu tiến thực sự, đặc biệt nhà nghiên cứu muốn sử dụng kết lý thuyết ổn định để áp dụng lĩnh vực khác Đây mối quan tâm nhà nghiên cứu học viên lĩnh vực khác Do đó, chọn đề tài "Tìm hiểu phương pháp Lyapunov thứ hai khảo sát ổn định hệ điều khiển" nhằm hệ thống lại khái niệm ý nghĩa phương pháp hệ điều khiển Khóa luận gồm hai chương • Chương Trình bày số kết hệ phương trình vi phân thường, hàm Lyapunov, đạo hàm Dini số bất đẳng thức vi phân • Chương Trình bày định nghĩa ổn định Lyapunov, số ví dụ mối quan hệ dạng ổn định, minh họa hình học phương pháp Lyapunov thứ 2, điều kiện cần đủ cho ổn định, ổn định ổn định mũ Dù cố gắng thời gian lực em hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi sai sót Em mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Mục đích, nhiệm vụ Hệ thống lại khái niệm kết ổn định Lyapunov Đặc biệt phương pháp Lyapunov thứ hai khảo sát ổn định hệ điều khiển Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu phương pháp Lyapunov thứ hai nghiên cứu ổn định hệ điều khiển Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Chương Một số khái niệm công cụ toán học 1.1 Một số kết hệ phương trình vi phân thường Xét hệ phương trình dxi = gi (t, x1 , x2 , , xn )i = 1, n, dt (1.1.1) , t ∈ I := (t1 ,t2 ), t1 −∞, t2 +∞, vector trạng thái x = (x1 , x2 , , xn )T ∈ Ω ⊂ Rn , gi ∈ C I × Ω, R1 , O ∈ Ω Hệ (1.1.1 ) viết dạng vector T dx = g(t, x), g = (g1 , g2 , , gn ) dt (1.1.2) Giả sử hàm gi thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức ∀x, y ∈ Ω;∀t ∈ I, ∃ số L > cho |gi (t, x) − gi (t1 y)| n L ∑ xj −yj j=1 ∂ gi (t,x1 , ,xn ) ∂xj Rõ ràng, Lipschitz thỏa mãn Ki j = const, j = 1, n, I × Ω điều kiện Định lý 1.1.1 (Định lí tồn nghiệm) Nếu g(t, x) = (g1 (t, x), , gn (t, x)) thỏa mãn điều kiện Lipschitz , ∀(t0 , x0 ) ∈ I × Ω, ∃t ∗ > 0, cho ∃ nghiệm x(t,t0 , x0 ) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1.2) với điều kiện ban đầu x(t,t0 , x0 ) = x0 , (1.1.3) dx(t,t0 , x0 ) = g(t, x(t,t0 , x0 )), dt khoảng [t0 − t ∗ ,t0 + t ∗ ] (1.1.4) Định lý 1.1.2 (Định lí liên tục khả vi với toán giá trị ban đầu) Giả sử điều kiện định lý (1.1.1) thỏa mãn (1) (2) x(1) (t) := x(t,t0 , x0 ), x(2) (t) := x(t,t0 , x0 ) nghiệm (1.1.2) xác định (1) (2) [t0 ,t1 ] × Ω Khi đó, ∀ε > 0, ∃δ > cho x0 − x0 < δ x(1) (t,t0 , x0 ) − x(2) (t,t0 , x0 ) < ε Tức tính liên tục tính liên tục ∂ xi (t,t0 ,x0 ) (i, ∂ x0 j ∂ gi ∂ x j (i, j = 1, n) kéo theo j = 1, n) Dưới đây, xét phương trình vi phân phụ thuộc tham số dx dt = g(t, x, µ), đó, x ∈ Ω, t ∈ I µ ∈ [µ1 , µ2 ] vector tham số Định lý 1.1.3 (Định lý liên tục khả vi nghiệm theo tham số) Giả sử g(t, x, µ) ∈ C [I × Ω × [µ1 , µ2 ] , Rn ] , g thỏa mãn điều kiện Lipschitz với giá trị µ ∈ [µ1 , µ2 ] Khi đó: (1) ∀t0 ∈ I, x0 ∈ Ω, µ0 ∈ [µ1 , µ2 ] ∃ số p > 0, a > cho |µ − µ0 | p, nghiệm phương trình (1.1.2) x(t) = x(t,t0 , x0 , µ) xác định [t0 − a;t0 + a] phụ thuộc liên tục vào µ (2), gi giải tích biến, kéo theo x(t) := x(t,t0 , x0 , µ) giải tích µ (3) Sự khả vi liên tục gi biến x1 , xn µ, kéo theo khả vi liên tục x(t) := x(t,t0 , x0 , µ) µ Ví dụ 1.1.1 : xét hệ tuyến tính bậc dx d2 x + λ + x = dx2 dt Khi λ = phương trình (1.1.5 ) có họ nghiệm tuần hoàn: (1.1.5)   x(t) = A sin(t + α)  x(t) = A cos(t + α), (1.1.6) đó, A α số, khử t (1.1.6 ) thu phương trình quỹ đạo x2 + x2 = A2 , mô tả họ đường tròn A thay đổi Khi < λ 1, theo Định lý (1.1.2), quỹ đạo nghiệm hệ (1.1.6 ) xấp xỉ nghiệm (1.1.5 ) mô tả hình 1.1 Hình 1.1: Minh họa phụ thuộc liên tục vào tham số 1.2 Hàm Lyapunov Giả sử hàm W (x) ∈ C Ω, R1 , tức W : Ω → R1 liên tục , W (0) = 0; V (t, x) ∈ C I × Ω, R1 , tức V (t, x) : I × Ω → R1 liên tục V (t, 0) ≡ Định nghĩa 1.2.1 Hàm W (x) gọi xác định dương W (x) = >0 =0 với x ∈ Ω, x = với x = • W (x) gọi nửa xác định dương W (x) với x ∈ Ω • W (x) gọi xác định âm −W (x) xác định dương • W (x) gọi nửa xác định âm W (x) • Hàm xác định âm xác định dương gọi hàm xác định dấu • Hàm nửa xác định âm nửa xác định dương gọi hàm có dấu không đổi Định nghĩa 1.2.2 Hàm V (t, x) ∈ C I × Ω, R1 ( W (x) ∈ C Ω, R1 ) gọi thay đổi dấu ∃ t1 ,t2 ∈ I x1 , x2 ∈ Ω cho V (t1 , x1 ) > 0, VC(t1 , x2 ) < 0.(W (x1 ) < 0,W (x2 ) < 0) Ví dụ 1.2.1 W (x1 , x2 ) = 3x12 + 2x22 + 2x1 x2 xác định dương Ví dụ 1.2.2 W (x1 , x2 ) = x12 + x22 + 2x1 x2 = (x1 + x2 )2 nửa xác định dương Ví dụ 1.2.3 W (x1 , x2 ) = x12 + x22 − 3x1 x2 hàm thay đổi dấu Ví dụ 1.2.4 V (t, x1 , x2 ) = x12 sint + x22 cost hàm thay đổi dấu Định nghĩa 1.2.3 Hàm V (t, x) gọi xác định dương ∃ hàm xác định dương W (x) cho V (t, x) W (x) V (t, 0) ≡ Hàm V (t, x) gọi xác định âm −V (t, x) xác định dương Hàm V (t, x) ∈ C I × Ω, R1 gọi nửa xác định dương V (t, x) V (t, x) nửa xác định âm V (t, x) Ý nghĩa Định nghĩa (1.2.3 )được mô tả hình (1.2) Ví dụ 1.2.5 V (t, x1 , x2 ) = (2 + e−t )(x1 + x2 + x1 x2 ) xác định dương V (t, x1 , x2 ) = (2 + e−t )(x1 + x2 + x1 x2 ) x1 + x2 + x1 x2 := W (x1 x2 ) Ở đây, W (x1 , x2 ) xác định dương, V (t, 0) = Ví dụ 1.2.6 V (t, x1 , x2 ) = (e−t )(x1 + 53 x1 x2 + x2 ) nửa xác định dương, không ∃ hàm xác định dương W (x) cho V (t, x1 , x2 ) W (x) Định nghĩa 1.2.4 Hàm W (x) ∈ C Rn , R1 gọi xác định dương R.u không bị chặn W (x) xác định dương W (x) → +∞ x → ∞ Chương Sự ổn định Lyapunov 2.1 Định nghĩa ổn định Lyapunov Ta xét hệ vật lí, mô tả phương trình vi phân thường dy = g(t, y) dt (2.1.1) đó,Ω ⊂ Rn , ∈ Ω, g ∈ C [I × Ω, Rn ] Giả sử nghiệm toán Cauchy (2.1.1) Đặt y := (y1 , y2 , , yn )T , g(t, y) := (g1 (t, y), , gn (t, y))T Giả sử y¯ = ϕ(t) nghiệm (2.1.1 ), phép biến đổi x = y − ϕ(t) hệ (2.1.1) đưa dạng dx = g(t, x + ϕ(t)) − g(t, ϕ(t)) := f (t, x) dt (2.1.2) Do đó, nghiệm y = ϕ(t) phương trình (2.1.1) tương ứng với nghiệm x = (2.1.2) Vì vậy, ta nghiên cứu tính ổn định nghiệm x = (2.1.1 ) Giả sử 18 f ∈ C [I × Ω, Rn ] nghiệm toán Cauchy xác định f (t, x) = x = 0, x(t,t0 , x0 ) nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 ; x(t,t0 , x0 ) hàm biến t,t0 , x0 Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm không x = (2.1.2) gọi ổn định ∀ε > 0, ∀t0 ∈ I, ∃δ > cho ∀(x0 ), x0 < δ (ε, ε0 ) x(t,t0 , x0 ) < ε với t t0 Nghiệm không x = (2.1.2) gọi không ổn định, ∃ε0 , ∃t0 , ∀δ > 0, ∃x0 (∀x0 ), x0 < δ ∃t1 t0 cho x(t1 ,t0 , x0 ) ε0 Hình 2.1: Hệ ổn định Định nghĩa 2.1.2 Nghiệm không x = (2.1.2) gọi hệ ổn định t0 , ∀ε > 0, ∃δ (ε) > (δ (ε) độc lập với t0 ) cho x0 < δ nghĩa x(t,t0 , x0 ) < ε,t t0 Định nghĩa 2.1.3 Nghiệm không x = gọi ổn định mũ ε.e−λ (t−t0 ) ,t ∀ε > 0, ∃λ > 0, ∃δ (ε), ∀t0 ∈ I, x0 < δ x(t,t0 , x0 ) t0 Định nghĩa 2.1.4 Nghiệm không x = gọi ổn định mũ toàn cục nếu: ∀δ > 0, ∃λ > 0, ∃K(δ ) > 0, x0 < δ , ta có x(t,t0 , x0 ) ≤ K(δ ).e−λ (t−t0 ) , ∀t t0 Từ định nghĩa trên, ta tìm mối quan hệ ổn định hấp dẫn, điều thảo luận phần tới 19 Hình 2.2: Hệ không ổn định Hình 2.3: Hệ ổn định 2.2 Một số ví dụ Ví dụ 2.2.1 (Ví dụ ổn định đều) Xét:   dx1 = −x dt dx  = x1 dt 20 (2.2.3) Nghiệm tổng quát (2.2.3) x1 (t) = x1 (t0 )cos(t − t0 )sin(t − t0 ), x2 (t) = x1 (t0 )sin(t − t0 ) + x2 (t0 )cos(t − t0 ) Suy x12 (t) + x22 (t) = x12 (t0 ) + x22 (t0 ).∀ε > đặt δ = δ (ε) = ε Khi < x12 (t0 ) + x22 (t0 ) < δ , ta có x12 (t) + x22 (t) < δ = ε Do đó, nghiệm không (2.2.3) hệ ổn định Ví dụ 2.2.2 (Ổn định mũ không ổn định mũ toàn cục) Xét phương trình dx = −x + x2 dt (2.2.4) Nghiệm tổng quát xo e−(t−to ) x(t,to , xo ) = xo e−(t−to ) − xo + Xét miền Ωo := {x x ro < 1} ∀ε > 0, đặt δ = min{ro , (1 − ro )ε} Khi đó, với to ∈ [to , +∞), | xo |< δ với t to ta có xo e−(t−to ) δ < e−(t−to ) − xo − ro | x(t,to , xo ) |= = εe−(t−to ) εe−(t−to ) với xo |xo |e−(t−to ) | x(t,to , xo ) |= − xo (1 − e−(t−to ) ) < εe−(t−to ) ε với −ro xo (2.2.5) ro |xo |e−(t−to ) (2.2.6) Từ biểu thức trên, ta thấy nghiệm không nghiệm ổn định mũ Nhưng ta lấy t = to , xo = 1, nghiệm x(t,to , xo ) ≡ với (t → +∞) Do đó, nghiệm không không ổn định mũ toàn cục 2.3 Phương pháp Lyapunov thứ 2.3.1 Minh hoạ hình học phương pháp Lyapunov thứ Xét hệ      dx1 = f1 (x1 , x2 ) dt dx2 = f2 (x1 , x2 ), dt 21 (2.3.7) f1 , f2 ∈ C[I, R2 ] thoả mãn f1 (0, 0) = f2 (0, 0) = 0, giả sử nghiệm (2.3.7) Cho V (x) = V (x1 , x2 ) ∈ K V (x) ∈ C1 [R2 , R1 ] Nghiệm x(t) = (x1 (t), x2 (t))T chưa biết tìm nghiệm khó, giả sử đạo hàm x(t) thoả mãn ˙ = ( f1 (x1 , x2 ), f2 (x1 , x2 )) (x1˙(t), x2 (t)) Nếu ta thay nghiệm x(t) vào hàm V (t), ta có V (t) := V (x(t)) Khi ổn định không ổn định mô tả sau: "Dao động xung quanh vị trí ban đầu", "Rời khỏi vị trí ban đầu", dV (x(t)) dV (x(t)) tương đương với V (x(t)) không giảm tăng tức 0, > 0, dt dt điều thể hình (2.4) Hình 2.4: Minh họa hình học phương pháp Lyapunov thứ dV dt = ∑ i=1 ∂V ∂V ∂ xi ∂t = ∑ i=1    0 ∂V ∂ xi f i (x1 , x2 ) = gradV f θ > với θ = với θ < 22 π π π Hình 2.5: Biểu diễn hình học phương pháp Lyapunov θ góc hướng gradV vector f (nhìn hình 2.5) Biểu thức cuối độc lập với nghiệm x(t), phụ thuộc vào hàm V (x) vector f (x) biết Đây mô tả hình học phương pháp Lyapunov thứ 2.3.2 Điều kiện cần đủ cho ổn định ổn định Xét hệ dx = f (t, x) (2.3.8) dt x = (x1 , , xn )T ∈ Rn , f = ( f1 , f2 , , fn )T ∈ C[I × Rn , Rn ] thỏa mãn điều kiện nghiệm (2.3.8) f (t, 0) ≡ Định lý 2.3.1 Điều kiện cần đủ để nghiệm không hệ (2.3.8) ổn định, tồn hàm xác định dương V (t, x) ∈ C[I × GH , R1 ] cho n dV ∂V ∂V (|4.2.1 ) = +∑ fi (t, x) ≤ dt ∂t i=1 ∂ xi (2.3.9) đúng, GH := {(t, x),t ≥ to , x < H = const} Chứng minh Điều kiện đủ Từ V (t, x) xác định dương, ∃ϕ( x ) ∈ K cho V (t, x) ≥ ϕ( x ) 23 (2.3.10) ∀ε > 0(0 < ε < H), ∃δ (to , ε) > cho V (to , 0) = V (to , x) ≥ liên tục xo < δ (to , ε), ta có V (to , xo ) < ϕ(ε) (2.3.11) Các phương trình (2.3.10) (2.3.11) kéo theo V (t, x(t,to , xo )) ≤ V (to , xo ) < ϕ(ε) (t ≥ to ) Hơn nữa, ϕ( x(t,to , xo ) ) ≤ V (t, x(to , xo )) ≤ V (to , xo ) ≤ ϕ(ε) (t ≥ to ) Từ ϕ ∈ K ta có x(t,to , xo ) < ε (t ≥ to ) tức nghiệm không (2.3.8) ổn định Điều kiện cần: cho x(t,to , a)là nghiệm (2.3.8) Từ nghiệm, ta có a(to ,t, x) ≡ x hình (2.6) Đặt V (t, x) = (1 + e−t ) a(to ,t, x) (2.3.12) Khi t x thay đổi đường cong tích phân a(to ,t, x) không thay đổi Nhưng t x thay đổi đường cong tích phân a(to ,t, x) nhận giá trị khác nhau.Theo định lí phụ thuộc vào giá trị ban đầu ta có V (t, x) (2.3.12) liên tục (1) Chứng minh V (t, x) xác định dương ∀ε > 0, ∃δ (to , ε) > x < δ x(t,to , a) < ε(t ≥ to ) Do đó, với ε ≤ x ≤ H, ta có a(to ,t, x) = a δ > (2.3.13) Do vậy,khi ε x H, V (t, x) a(to ,t, x) = a δ := η > H H H Đặt ε1 = , ε2 = , , εn = Khi đó, ta giá trị tương ứng η1 > n+1 H H η2 > > ηn cho V (t, x) > ηn , khoảng εn = x = εn − n+1 n Xây dựng hàm n(n + 1) H W (x) := ηn+1 + (ηn − ηn+1 )( x − ), H n+1 Xem hình (2.7) để thấy ý nghĩa hình học hàm Rõ ràng ta có W (x) ≥ η(n + 1) + n(n + 1) H H (ηn − ηn+1 )( − ) = η(n + 1) > (2.3.14) H n+1 n+1 24 Hình 2.6: Mối quan hệ a(t0 ,t, x) x(t,t0 , a) Hình 2.7: Ý nghĩa hình học hàm W (x) H H ≤ x ≤ , n+1 n n(n + 1) H H W (x) ≤ η(n + 1) + (ηn − ηn+1 )( − ) H n n+1 n(n + 1) H = η(n + 1) + (ηn − ηn+1 ) H n(n + 1) với 25 ηn+1 + ηn − ηn+1 = ηn (2.3.15) H H ≤ x ≤ Do đó, V (t, x) ≥ ηn ≥ w(x) ≥ w(x) Từ w(0+ ) ≤ V (t, 0) = 0, n+1 n ta định nghĩa(2) nghiệm (2.3.8) ta có V (t) := V (t, x(t,to , a)) := (1 + e−t ) a(to ,t, x(t,to , a)) với = (1 + e−t ) a(to ,to , a) = (1 + e−t ) a (2.3.16) Vậy, dV | (4.2.1) = e−t dt =⇒ Định lí (2.3.1) chứng minh a(to ,to , x(t,to , a)) ≤ (2.3.17) Ví dụ 2.3.1 Nếu xác định dương V (t, x) thay đổi điều kiện V (t, x) > 0(x = 0),V (t, 0) = 0, kết luận Định lí (2.3.1) không Xét:    dx1 dt dx2 dt = 21 x1 = 21 x2 (2.3.18) Nghiệm tổng quát   x = xcos e 21 (t−t0 ) 1  x2 = xcos e 12 (t−t0 ) (2.3.19) Rõ ràng nghiệm không không ổn định Nhưng ta xây dựng hàm V (t, x) = (x12 + x22 )e−2t Khi V (t, 0) = 0,V (t, x) > 0.Với x = ∂V ∂V dx1 ∂V dx2 dV = + + dt ∂t ∂t1 dt ∂t2 dt = −2e−2t (x12 + x22 ) + e−2t (x12 + x22 ) = −e−2t (x12 + x22 ) ≤ Đặt V (t, x) = (x12 + x22 )e−2t = C, tức x12 + x22 = C.e2t (2.3.20) Ta thấy đương cong nghiệm tương đương (2.3.20) rời khỏi gốc tọa độ với tốc dV ≤0 độ e2t , nghiệm (2.3.19) rời khỏi gốc tọa độ với tốc độ e t Do đó, dt Điều thể xác định dương V (t, x) thay cho V (t, x) > 0, x = 26 Định lý 2.3.2 Nghiệm không 2.3.1 ổn định ∃V (t, x) ∈ C[GH , R1 ] với I.U.b cho D+V (t, x)|(2.3.1) ≤ (2.3.21) Chứng minh Điều kiện đủ Từ điều kiện cho, ∃ϕ1 , ϕ2 ∈ K cho ϕ1 ( x ) ≤ V (t, x) ≤ ϕ2 ( x ) Khi đó, ∀ε > 0(ε < H) đặt δ = ϕ2−1 (ϕ1 (ε)), tức ε = ϕ1−1 (ϕ2 (δ )), ta có ϕ1 ( x(t, xo , xo ) ) ≤ V (t, x(t,to , xo )) ≤ V (to , xo ) ≤ ϕ2 ( xo ) < ϕ2 (δ ) Khi đó, xo < δ , ta có điều x(t,to , xo ) < ϕ1−1 (ϕ2 (δ )) = ε(t ≥ t0 ) Tuy nhiên, δ = ϕ2−1 (ϕ1 (ε)) = δ (ε) độc lập to Vậy nghiệm không ổn định Điều kiện cần Chọn V (t, x) := (1 + e−t ) inf t0 τ t p(τ,t, x) (2.3.22) (1) Rõ ràng, V (t, x) liên tục V (t, x) ≤ p(t,t, x) = x Vậy V (t, x) I.U.b (2) Chứng minh V (t, x) xác định dương Từ nghiệm không (2.3.8) ổn định ∀ε > 0, ∃δ (ε), a < σ , ∀τ ≥ to t ≥ τ, ta có x(t, τ, a) < ε (2.3.23) Do đó, ε ≤ x ≤ H, ∀t ≥ τ ≥ to , ta có p(τ,t, x) ≥ δ > (2.3.24) Trái lại, cho x∗ , τ ∗ ,t ∗ , ε ≤ x∗ ≤ H,to ≤ τ ∗ < t ∗ , ta có (nhìn hình 2.9) p(τ ∗ ,t ∗ , x∗ ) ≤ δ Đặt a = p(τ ∗ ,t ∗ , x∗ ).Khi đó, ta có x∗ = p(t ∗ , τ ∗ , a) Từ ổn định đều, a = p(τ ∗ ,t ∗ , x∗ ) < δ , p(t, τ ∗ , a) < ε với t ≥ τ ∗ Đặc biệt, t = t ∗ > τ ∗ , p(t, τ ∗ , a) = x∗ < ε, điều mâu thuẫn x∗ ≥ ε Vậy (2.3.23) Tương tự Định lí (2.3.2),ta xây dựng hàm xác định dương w(x) 27 Hình 2.8: Mối quan hệ a(τ ∗ ,t ∗ , x∗ ) x(t,t0 , a) cho V (t, x) ≥ w(x) Do đó, V (t, x) xác định dương (3) Ta chứng minh Dt V (t, x)|(2.3.8) ≤ Từ x = p(t,to , a) nghiệm (2.3.8) ta có V (t) := V (t, p(t,to , a)) = (1 + e−t ) inf p(t,t, p(t,to , a)) t0 τ t = (1 + e−t ) inf t0 τ t p(τ,to , a) biểu thị V (t) hàm tăng không đổi t kết quả, Dt V (t, x)|(2.3.8) ≤ Định lí (2.3.2) chứng minh Xét Ví dụ 2.3.2    dx1 dt dx2 dt = −(x1 − 2x2 )(1 − x2 − 3x22 ) = −(x2 + x1 )(1 − x12 − 3x22 ) Chọn hàm V (t, x1 , x2 ) = x12 + 2x22 Rõ ràng hàm xác định dương Đạo hàm hàm theo t nghĩa hệ dV ∂V dx1 ∂V dx2 dt = ∂ x dt + ∂ x dt 28 (2.3.25) = 2x1 (2x2 − x1 )(1 − x12 − 3x22 ) − 4x2 (x1 + x2 )(1 − x12 − 3x22 ) = −2(1 − x12 − 3x22 )(x12 + 2x22 ) với x1 , x2 đủ bé Ta thấy tất điều kiện định lí thỏa mãn, nghiệm x1 ≡ 0, x2 ≡ hệ cho ổn định 2.3.3 Điều kiện cần đủ cho ổn định mũ Định lý 2.3.3 Cho f (t, x) ∈ C[I × Rn , Rn ], f (t, 0) ≡ f thoả mãn điều kiện Lipschitz với x Khi nghiệm không (2.3.7) ổn định mũ toàn cục tồn V (t, x) ∈ C1 [I × Rn , R1 ] cho: (1) x ≤ V (t, x) ≤ K(α) x , x ∈ Sα := {x := x ≤ α} dV (2) | ≤ −q.cV (t, x), < q < 1, c > 0, p, c số dt (4.2.1) Nhận xét Điều kiện đủ:∀α > 0, xo ∈ Sα , đặt x(t) := x(t,to , xo ) Với điều kiện (2), ta có: d V (t, x(t)) ≤ −cqV (t, x(t)) dt (2.3.26) du = −c.q.u dt (2.3.27) Xét phương trình so sánh Đặt uo = V (to , xo ) Khi đó, µ(t,to , uo ) = uo e−cq(t−to ) Theo định lí so sánh, ta có V (t, x(t)) ≤ uo e−cq(t−to ) = V (to , xo ).e−cq(t−to ) ,t ≥ to Theo điều kiện (1) ta có x(t) ≤ V (t, x(t)) ≤ K(α) xo e−cq(t−to ) = K(α) xo e−λ (t−to ) (λ = cq > 0) , tức x(t,to , xo ) ≤ K(α) xo e−λ (t−to ) (t ≥ to ) Vậy nghiệm không (2.3.7) ổn định mũ toàn cục Điều kiện cần Cho nghiệm không (2.3.7)là ổn định mũ toàn cục, tồn số c > cho ∀α > 0, ∃K(α) > 0, xo ∈ Sα x(t,to , xo ) ≤ K(α) xo e−c(t−to ) (2.3.28) Với < q < 1, định nghĩa hàm V (t, x) := sup x(t + τ,t, x) ecqτ Khi đó, ∀x ∈ Sα , ta có: (1) x ≤ V (t, x) ≤ supK(α) x e−cτ ecqτ = K(α) x supe−(1−q)cτ ≤ K(α) x 29 , tức x ≤ V (t, x) ≤ K(α) x (2) Đặt x∗ = x(t + h,t, x) Khi ta có V (t + h,t, x∗ ) = sup x(t + h + τ,t + h, x∗ ) ecqτ = sup x(t + h + τ,t, x) ecqτ ≤ sup x(t + h,t, x) ecqτ e−cqh = V (t, x)e−cqh Hơn nữa, ta có V (t + h, x∗ ) −V (t, x) e−cqh − ≤ V (t, x) h h Do đó, ta có dV V (t + h, x∗ ) −V (t, x) e−cqh − |(4.2.1) = lim ≤ lim V (t, x) dt h h h→0+ h→0+ e−cqh = V (t, x) lim = −cqV (t, x) tức là, h→0+ h dV | ≤ −cqV (t, x) Định lí chứng minh dt (4.2.1) 30 (2.3.29) Kết luận Sau hoàn thành khóa luận nêu bật nội dung dung sau đây: Chương 1: Ở chương này, trình bày số định nghĩa, ví dụ, mối quan hệ tương đương biểu diễn hình học hàm Lyaponov lớp hàm K Sau đó, việc cung cấp đạo hàm Dini hàm Lyaponov số bất đẳng thức vi tích phân làm sáng tỏ mục đích, ý nghĩa ổn định Chương 2: Chương giới thiệu đặc điểm, ý nghĩa ổn định Lyaponov, đặc biệt phương pháp Lyaponov thứ Tôi trình bày rõ số định nghĩa ổn định Lyaponov, đồng thời đưa số ví dụ cụ thể để làm sáng tỏ mối liên hệ dạng ổn định Đối với phương pháp Lyaponov thứ đưa minh họa hình học nhằm thể rõ nội dung, ý nghĩa phương pháp Ngoài chuơng cung cấp điều kiện cần đủ cho ổn định, ổn định đều, ổn định mũ ổn định mũ toàn cục 31 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Thu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất giáo dục, 2003 [2] Nguyễn Thế Hoàn Trần Văn Nhung, Bài tập phương trình vi phân,, Nhà xuất giáo dục , 2005 [3] Xiaoxin Liao, Liuqiu Wang, Pei Yu, Stability of Dynamical Systems, ELSEVIER, 2007 32 [...]... thức vi tích phân cũng làm sáng tỏ hơn về mục đích, ý nghĩa của sự ổn định 2 Chương 2: Chương này giới thiệu về đặc điểm, ý nghĩa của sự ổn định Lyaponov, đặc biệt là phương pháp Lyaponov thứ 2 Tôi đã trình bày rõ 1 số định nghĩa về sự ổn định Lyaponov, đồng thời đưa ra 1 số ví dụ cụ thể để làm sáng tỏ mối liên hệ giữa các dạng ổn định Đối với phương pháp Lyaponov thứ 2 tôi đã đưa ra các minh họa hình... Đây là mô tả hình học của phương pháp Lyapunov thứ 2 2.3.2 Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định và ổn định đều Xét hệ dx = f (t, x) (2.3.8) dt trong đó x = (x1 , , xn )T ∈ Rn , f = ( f1 , f2 , , fn )T ∈ C[I × Rn , Rn ] thỏa mãn điều kiện duy nhất nghiệm của (2.3.8) và f (t, 0) ≡ 0 Định lý 2.3.1 Điều kiện cần và đủ để nghiệm không của hệ (2.3.8) ổn định, là tồn tại một hàm xác định dương V (t, x)... ta có x(t,t0 , x0 ) ≤ K(δ ).e−λ (t−t0 ) , ∀t t0 Từ những định nghĩa trên, ta có thể tìm mối quan hệ giữa sự ổn định và hấp dẫn, điều này sẽ được thảo luận ở phần tới 19 Hình 2.2: Hệ không ổn định Hình 2.3: Hệ ổn định đều 2.2 Một số ví dụ Ví dụ 2.2.1 (Ví dụ về sự ổn định đều) Xét:   dx1 = −x 2 dt dx 2  = x1 dt 20 (2.2.3) Nghiệm tổng quát của (2.2.3) là x1 (t) = x1 (t0 )cos(t − t0 )sin(t − t0 ),... họa hình học nhằm thể hiện rõ nội dung, ý nghĩa của phương pháp này Ngoài ra chuơng này còn cung cấp điều kiện cần và đủ cho sự ổn định, ổn định đều, ổn định mũ và ổn định mũ toàn cục 31 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Thu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, Nhà xuất bản giáo dục, 2003 [2] Nguyễn Thế Hoàn Trần Văn Nhung, Bài tập phương trình vi phân,, Nhà xuất bản giáo dục... |xo |e−(t−to ) (2.2.6) 0 Từ biểu thức trên, ta thấy nghiệm không là nghiệm ổn định mũ Nhưng nếu ta lấy t = to , xo = 1, thì nghiệm x(t,to , xo ) ≡ 1 với (t → +∞) Do đó, nghiệm không thì không ổn định mũ toàn cục 2.3 Phương pháp Lyapunov thứ 2 2.3.1 Minh hoạ hình học của phương pháp Lyapunov thứ 2 Xét hệ      dx1 = f1 (x1 , x2 ) dt dx2 = f2 (x1 , x2 ), dt 21 (2.3.7) trong đó f1 , f2 ∈ C[I, R2 ] thoả... xác định dương Đạo hàm của hàm này theo t trong nghĩa của hệ là dV ∂V dx1 ∂V dx2 dt = ∂ x dt + ∂ x dt 1 2 28 (2.3.25) = 2x1 (2x2 − x1 )(1 − x12 − 3x22 ) − 4x2 (x1 + x2 )(1 − x12 − 3x22 ) = −2(1 − x12 − 3x22 )(x12 + 2x22 ) 0 với x1 , x2 đủ bé Ta thấy rằng tất cả các điều kiện của định lí trên được thỏa mãn, vì vậy nghiệm x1 ≡ 0, x2 ≡ 0 của hệ đã cho ổn định 2.3.3 Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định. .. 17 (1.5.40) Chương 2 Sự ổn định Lyapunov 2.1 Định nghĩa sự ổn định Lyapunov Ta xét hệ vật lí, được mô tả bởi phương trình vi phân thường dưới đây dy = g(t, y) dt (2.1.1) trong đó,Ω ⊂ Rn , 0 ∈ Ω, g ∈ C [I × Ω, Rn ] Giả sử rằng nghiệm bài toán Cauchy trong (2.1.1) là duy nhất Đặt y := (y1 , y2 , , yn )T , g(t, y) := (g1 (t, y), , gn (t, y))T Giả sử rằng y¯ = ϕ(t) là 1 nghiệm của (2.1.1 ), bằng phép... là 1 hàm của các biến t,t0 , x0 Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm không x = 0 của (2.1.2) được gọi là ổn định nếu ∀ε > 0, ∀t0 ∈ I, ∃δ > 0 sao cho ∀(x0 ), x0 < δ (ε, ε0 ) thì x(t,t0 , x0 ) < ε với t t0 Nghiệm không x = 0 của (2.1.2) được gọi là không ổn định, nếu ∃ε0 , ∃t0 , ∀δ > 0, ∃x0 (∀x0 ), x0 < δ nhưng ∃t1 t0 sao cho x(t1 ,t0 , x0 ) ε0 Hình 2.1: Hệ ổn định Định nghĩa 2.1.2 Nghiệm không x = 0 của (2.1.2)... tăng tức là 0, > 0, dt dt điều này thể hiện ở hình (2.4) Hình 2.4: Minh họa hình học của phương pháp Lyapunov thứ 2 dV dt 2 = ∑ i=1 ∂V ∂V ∂ xi ∂t 2 = ∑ i=1    0 ∂V ∂ xi f i (x1 , x2 ) = gradV f khi θ > với θ = với θ < 22 π 2 π 2 π 2 Hình 2.5: Biểu diễn hình học của phương pháp Lyapunov trong đó θ là góc giữa hướng của gradV và vector f (nhìn hình 2.5) Biểu thức cuối độc lập với nghiệm... x = y − ϕ(t) hệ (2.1.1) được đưa về dạng dx = g(t, x + ϕ(t)) − g(t, ϕ(t)) := f (t, x) dt (2.1.2) Do đó, nghiệm y = ϕ(t) của phương trình (2.1.1) tương ứng với nghiệm x = 0 của (2.1.2) Vì vậy, ta chỉ nghiên cứu tính ổn định của nghiệm x = 0 của (2.1.1 ) Giả sử 18 f ∈ C [I × Ω, Rn ] và nghiệm của bài toán Cauchy là xác định duy nhất f (t, x) = 0 nếu x = 0, x(t,t0 , x0 ) là nghiệm thỏa mãn điều kiện ban ... nhiệm vụ Hệ thống lại khái niệm kết ổn định Lyapunov Đặc biệt phương pháp Lyapunov thứ hai khảo sát ổn định hệ điều khiển Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu phương pháp Lyapunov. .. Chương Trình bày định nghĩa ổn định Lyapunov, số ví dụ mối quan hệ dạng ổn định, minh họa hình học phương pháp Lyapunov thứ 2, điều kiện cần đủ cho ổn định, ổn định ổn định mũ Dù cố gắng thời gian... thuyết ổn định để áp dụng lĩnh vực khác Đây mối quan tâm nhà nghiên cứu học viên lĩnh vực khác Do đó, chọn đề tài "Tìm hiểu phương pháp Lyapunov thứ hai khảo sát ổn định hệ điều khiển" nhằm hệ thống