F TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ……….……… PHẠM THỊ NGÂN ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Để có thành hôm trước tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến ban giám hiệu trường, thầy cô khoa toán tận tình dạy trang bị cho em nguồn tri thức quý giá suốt thời gian bốn năm học tập mái trường Đại học sư phạm Hà Nội Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo TS Nguyễn Thị Kiều Nga Cô người gợi ý đề tài khóa luận người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình cho em suốt trình thực khóa luận Cuối em xin gửi lời cám ơn đến Ban giám đốc, cán Thủ thư Thư viện Sư phạm Hà Nội nhiệt tình giúp đỡ em có tài liệu thông tin thiết thực để em hoàn thành khóa luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến gia đình anh chị, bạn bè ủng hộ, động viên giúp đỡ em trình thực khóa luận Sinh viên Phạm Thị Ngân LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận thực cố gắng, nỗ lực thân với hướng dẫn tận tình cô giáo Ts Nguyễn Thị Kiều Nga Đây đề tài không trùng lặp với đề tài tác giả khác Trong trình làm khóa luận “Đa thức bất khả quy” em có sử dụng tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận Danh sách tài liệu tham khảo em đưa vào mục tài liệu tham khảo khóa luận Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Sinh viên Phạm Thị Ngân MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn 1.2 Định lý phép chia có dư 1.3 Nghiệm đa thức 1.4 Đa thức bất khả quy 1.5 Số nguyên tố 1.6 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY 2.1 Đa thức bất khả quy trường 2.2 Đa thức bất khả quy trường số 12 2.2.1 Đa thức bất khả quy trường số phức 12 2.2.2 Đa thức bất khả quy trường số thực 12 2.2.3 Đa thức bất khả quy trường số hữu tỉ 15 2.2.3.1 Đa thức nguyên 15 2.2.3.2 Một số tiêu chuẩn bất khả quy đa thức 16 a Điều kiện để đa thức bậc 2, bậc bất khả quy 16 b Tiêu chuẩn Eisenstien 17 c Tiêu chuẩn Eisenstien mở rộng 20 d Tiêu chuẩn Polya 25 e Tiêu chuẩn Perron 26 f Tiêu chuẩn Osada 28 2.2.4 Đa thức có giá trị -1 29 CHƢƠNG ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY VÀ SỐ NGUYÊN TỐ 39 3.1 So sánh tương tự đa thức bất khả quy số nguyên tố 39 3.1.1 Định nghĩa 39 3.1.2 So sánh ước 39 3.1.3 Tính chất 39 3.2 Mối liên hệ đa thức bất khả quy số nguyên tố 40 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Môn toán tảng cho môn khoa học tự nhiên, chiếm vai trò quan trọng môn khoa học Không vậy, môn toán có tiềm to lớn việc khai thác phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện thao tác phẩm chất tư Đại số phận lớn toán học, đa thức khái niệm quan trọng sử dụng nhiều đại số mà sử dụng toán cao cấp toán ứng dụng Tuy nhiên vấn đề đa thức trình bày sơ lược, chưa phân loại hệ thống chi tiết Tài liệu đa thức bất khả quy mối liên hệ đa thức bất khả quy số nguyên tố ít, chưa hệ thống theo dạng toán phương pháp giải, việc nghiên cứu gặp nhiều khó khăn Với tất lý nêu em chọn đề tài “Đa thức bất khả quy” để làm khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại hệ thống hóa số toán đa thức bất khả quy Bên cạnh thấy rõ mối liên hệ đa thức số nguyên tố Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính bất khả quy đa thức trường số mối liên hệ đa thức bất khả quy số nguyên tố Khóa luận gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Một số toán đa thức bất khả quy Chương Đa thức bất khả quy với số nguyên tố Đối tƣợng nghiên cứu Đa thức bất khả quy Phƣơng pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Cho A vành giao hoán có đơn vị Đặt P   a0 , , an ,  /  A,  haàu heát Trên P xác định phép toán hai phép cộng phép nhân sau: i )  a0 , , an ,    b0 , , bn ,    a0  b0 , , an  bn ,  ii )  a0 , a1 , . b0 , b ,    c0 , c1,  với ci   a b , i  0,1,2, , k  l i k l Khi P vành giao hoán có đơn vị (1,0,0 ) Ta có ánh xạ A P a (a,0, ) đồng cấu vành Do ta đồng phần tử a  A với (a,0, )  P Khi vành A vành vành P Đặt x   0,1,0,   P x   0,0,1,0,  x3   0,0,0,1,0,  x n  (0, ,0,1,0, ) n Qui ước x0   (1,0,0, ) Khi với  a0 , a1 ,   P , tồn n  để an1  an2   Ta có  a , a , , a ,0,    a ,0, ,0,   0, a ,0, ,0,     0, ,0, a ,0,  n 0 n = a0 (1,0, )  a1 (0,1,0, )   an (0, ,0,1,0, ) n = a0  a1 x   an x n Vậy P  a0  a1 x   an x n /  A, n   P gọi vành đa thức ẩn x lấy hệ tử A Kí hiệu A x  Mỗi phần tử A x  gọi đa thức, kí hiệu f ( x), g ( x), Chú ý Giả sử f ( x)  A x  , f ( x)  a0  a1 x   an x n - x i hạng tử thứ i - hệ tử thứ i - Nếu an  n gọi bậc đa thức, kí hiệu deg f ( x)  n Qui ƣớc Bậc đa thức không  1.2 Định lý phép chia với dƣ Giả sử A trường, f ( x) g ( x) khác không hai đa thức vành A x  Khi tồn q( x), r ( x)  A x  cho f ( x)  g ( x) q ( x )  r ( x ) với deg r ( x)  deg g ( x) 1.3 Nghiệm đa thức a Định nghĩa Giả sử c phần tử tùy ý trường A, f ( x)  a0  a1x   an x n  A x f (c)  a0  a1c   anc n gọi giá trị f ( x) c Nếu f (c)  c gọi nghiệm f ( x) Tìm nghiệm f ( x) A gọi giải phương trình đại số bậc n an x n   a1 x  a0  (an  0) A b Định lý Cho A trường, c  A , f ( x)  A x  Khi dư phép chia f ( x) cho x  c f (c) Hệ c nghiệm f ( x) f ( x) chia hết cho x  c c Nghiệm bội đa thức Cho A trường , c  A, f ( x)  A x  m * , c nghiệm bội cấp m đa thức f ( x) đa thức f ( x) chia hết cho ( x  c)m f ( x) không chia hết cho ( x  c)m1 Đặc biệt Nếu m  ta nói c nghiệm đơn Nếu m  ta nói c nghiệm kép 1.4 Đa thức bất khả quy a Định nghĩa Cho A miền nguyên, P( x)  A x  , P( x) gọi đa thức bất khả quy P( x)  0, P( x) không khả nghịch P( x) ước thực Khi ta nói P( x) đa thức không phân tích A b Nhận xét Đa thức P( x) đa thức bất khả quy A x  P  x  không biểu diễn dạng P x  G  x H  x với G( x), H ( x)  A x  ,1  deg G( x), deg H ( x)  deg P( x) 1.5 Số nguyên tố a Định nghĩa Số nguyên tố số tự nhiên lớn một, ước khác Số tự nhiên lớn 1, số nguyên tố gọi hợp số Kí hiệu tập số nguyên tố  G( x)   q( x  a1 )( x  a2 ) ( x  am ) G( x)   q( x  a1 )( x  a2 ) ( x  am )   q1 ( x) 1 ( x)  ( x  a1 )( x  a2 ) ( x  am ) Ta đặt 2 ( x)  ( x  am1 )( x  am2 ) ( x  an ) Ta có  ( x)  1 ( x)2 ( x) Ta trở lại P( x)  G ( x) đa thức P( x) Cụ thể ta viết lại sau: p ( x)  (q1 ( x)  1)2 p ( x)   q 212 ( x)  2q1 ( x)  nghĩa p  x   q 212 ( x)  2q1 ( x)  Ta biết p  q  ( x)  1 ( x)2 ( x) , chia hai vế đẳng thức cho q1 ( x) Ta nhận q2 ( x)  q1 ( x)  q(2 ( x)  1 ( x))  (1) Hệ số tự vế trái đẳng thức (1)m q(am1am2 an  a1a2 a ) m Bằng cách so sánh hệ số vế trái đẳng thức ta nhận (1)m q(am1am2 an  a1a2 am )  Chú ý Ở ta làm việc với số nguyên, từ đẳng thức sau ta nhận q  1 q  2 ta giả thiết q  nên q lại trường hợp q  q  , tương ứng p  , p  Như ta chứng minh đa thức P( x) bất khả quy p  p  Ta xét cụ thể hai trường hợp Trường hợp p  (nghĩa q  ) Trong trường hợp phương trình (1) có dạng 2 ( x)  1 ( x)  (2) Cụ thể ( x  am1 )( x  am2 ) ( x  an )  ( x  a1 )( x  a2 ) ( x  an )  32 Ta chứng minh đẳng thức với m  Thật vậy, thay x  a1 Ta nhận (a1  am1 )(a1  am2 ) (a1  an )  Vì tất thừa số vế trái số nguyên nên số hạng 1 1 Từ m  hai thừa số trùng nhau, điều trái với giả thiết cho chúng phải khác Nếu m  ta có hai thừa số tích chúng dương nên chúng dấu, suy trùng điều lại dẫn đến vô lý Như trường hợp p  khả m  Đẳng thức (2) có dạng ( x  a2 )  ( x  a1 )  với a1  a2  Như ta coi vào trường hợp 1) phát biểu định lý Trường hợp p  1(q  1) Đẳng thức (1) có dạng 2 ( x)  1 ( x)  (3) Từ dễ dàng suy m  Thật vậy, ta lại thay x  a1 vào (3) ta nhận (a1  am1 )(a1  am2 ) (a1  an )  Nếu số lượng thừa số m lớn cách chứng minh phần trước ta nhận hai chúng Suy m  Bây ta chứng minh m  Thật vậy, cho m  , (3) ta lại đặt x  a1 Ta nhận a  a4  a1  a5  a1  a6   Từ đẳng thức suy hai thừa số vế trái 1 , chúng phải có dấu trái nhau, ngược lại chúng trùng Ta cho a1  a5  1, a1  a6  1 Khi a1  a4  2 a1  a4  Ta lặp lại lí luận a2 thay vào chỗ a1 Ta nhận a2   , i số 4; 5; Đẳng thức 33 a2  a4  nhận được, từ suy a1  a2 (do ta biết đẳng thức a1  a4  2) Suy a2  a5  a2  a6  Cuối cách thay x  a3 vào (3) với lí luận tương tự dễ thấy a3  a6  Bây ta tính hệ số trước x vế phải (3) Mặt khác (vì x công thức khai triển) Mặt khác cách tính toán trực tiếp ta nhận a4  a5  a6  a1  a2  a3  6  (vô lí) Như m  m lại hai khả m  m  i) m  Ta thay (3) x  a1 x  a2 Ta nhận (a1  a3 )(a1  a4 )  2; (a2  a3 )(a2  a4 )  Từ đẳng thức thứ suy bốn khả sau đây: a1  a3  1, a1  a4  ; a1  a3  1, a1  a4  2 a1  a3  2, a1  a4  ; a1  a3  2, a1  a4  1 Bởi vai trò a3 a4 đối xứng nên ta xét hai trường hợp đủ Sau ta xét trường hợp thứ hai (trường hợp thứ làm tương tự) Ta lấy a3  a1  a4  a1  Bằng cách thay vào đẳng thức (a2  a3 )(a2  a4 )  ta nhận  a2  a1  1 a2  a1  2  Từ với ý a2  a1   a2  a1  , ta nhận a2  a1   2, a2  a1   1 Hoặc a2  a1   1, a2  a1   Trong trường hợp thứ ta nhận a1  a2 , trái với điều kiện cho Suy trường hợp thứ hai suy a2  a1  Như a1 , a2  a1  3, a3  a1  1, a4  a1  bốn số nguyên liên tiếp, điều loại trừ 2) phát biểu định lý 34 ii) Chỉ m  Bây (3) có dạng ( x  a2 )  ( x  a2 )  Từ suy a1  a2  , điều kiện 3) loại trừ b Ví dụ Ví dụ Cho a1 , , an số nguyên khác Khi đa thức P( x)  ( x  a1 ) ( x  an )  đa thức bất khả quy  x Chứng minh  x  , suy P( x) Giả sử P( x) không bất khả quy khả quy G( x), H ( x)   x Giả đa sử  x Khi với i thức không bất P( x )  G ( x ) H ( x ) với ta có G(ai ) H (ai )  1 G(ai ) , H (ai ) số nguyên nên G(ai )  1 H (ai )  1 Do G(ai ) H (ai )  1 suy G(ai ) H (ai ) có dấu ngược Suy G(ai )  H (ai )  (1) Xét đa thức G( x)  H ( x) , ta có deg(G( x)  H ( x))  n , theo (1) ta có a1 , , an n nghiệm khác đa thức G( x)  H ( x) Suy G( x)  H ( x)  , ta có G( x)   H ( x) , suy P( x)  G ( x) Điều vô lý hệ số cao vế phải số dương, vế trái số âm Vậy P( x) bất khả quy  x Ví dụ Cho P( x) đa thức hệ số nguyên giá trị nguyên a1 , a2 , a3 , a4 khác Những khẳng định sau đúng: i ) Nếu P( x)  với x a1 , a2 , a3 , a4  P(b)  1 với b ii ) Nếu P( x)  với x a1 , a2 , a3  P(b)  1 có khả nhiều với số nguyên b 35 iii) Nếu P( x)  với x a1 , a2  P(b)  1 có khả nhiều với hai số nguyên b Chứng minh i ) Giả sử P(a1 )  P(a2 )  P(a3 )  P(a4 ) Ta xét đa thức P( x)  1, số a1 , a2 , a3 , a4 nghiệm đa thức theo giả thiết chúng khác nên P( x)  biểu diễn dạng P( x)   ( x  a1 )( x  a2 )( x  a3 )( x  a4 )G( x) G( x)   x (điều suy từ hệ số P( x) nguyên, nghiệm nguyên phép chia đa thức) Giả sử tồn số nguyên b cho P(b)  1 Bằng cách thay x  b vào hệ thức ta nhận 2  (b  a1 )(b  a2 )(b  a3 )(b  a4 )G(b) Vì số nguyên tố, tất thừa số vế phải đẳng thức số nguyên, ta nhận giá trị tuyệt đối số chúng 2, tất thừa số khác Suy thừa số b  , i  1,2,3,4 ba số 1 Nhưng có hai số Ta cho b  a1  b  a2 Từ suy a1 = a2, trái với giả thiết a1 ≠ a2 Từ điều suy điều giả sử P(b)  1 với b số ii ) Theo i) ta có P( x)   ( x  a1 )( x  a2 )( x  a3 )G( x) G ( x)   x Giả sử tồn số nguyên khác b1 , b2 cho P(b1 )  P(b2 )  1 Ta nhận đẳng thức (1) sau: 2  (b1  a1 )(b1  a2 )(b1  a3 )G(b1 ) 2  (b1  a1 )(b1  a2 )(b1  a3 )G(b2 ) 36 Từ đẳng thức thứ suy số b1  a1 , b1  a2 , b1  a3 , G(b1 ) có giá trị tuyệt đối 2, ba số lại có giá trị tuyệt đối Suy hai số số b1  a1 , b1  a2 , b1  a3 có giá trị tuyệt đối 1, ta cho b1  a1 , b1  a2 Nếu hai số dấu chúng suy a1  a2 , điều trái với giả thiết, suy b1  a1  , b1  a2  1 Ta xét hiệu b1  a3 , có hai khả xảy b1  a3  b1  a3  Trường hợp b1  a3  , b1  a3 trùng với b1  a1 b1  a2 , từ suy a3 trùng với a1 a2 , điều trái với giả thiết Trường hợp b1  a3  , ta xét hai trường hợp b1  a3  b1  a3  2 Ta xét trường hợp b1  a3  trường hợp b1  a3  2 chứng minh tương tự Thật vậy, ta có b1  a1  , b1  a2  1, b1  a3  a1  b1  , a2  b1  1, a3  b1  Ta thay a1 , a2 , a3 vào đẳng thức thứ hai (1) ta có 2  (b2  b1  1)(b2  b1  1)(b2  b1  2)G(b2 ) Đẳng thức có Thật b2  b1  1, giá trị 2; 2;1 Nếu b2  b1   2 , ta nhận b2  b1   4 , điều thay hay không chia hết cho Tương tự b2  b1   suy b2  b1   , từ b2  b1   1 suy b2  b1   3 Cuối b2  b1   ta nhận b1  b2 , điều trái với giả thiết b1  b2 iii) Khẳng định suy trực tiếp từ ii ) cách áp dụng cho đa thức  P( x) Thật P(b1 )  P(b2 )  P(b3)  1 với ba số nguyên khác 37 b1 , b2 , b3 Khi  P( x) nhận ba lần giá trị theo ii ) nhận hai lần giá trị 1 ,  P(a1 )   P(a2 )  1 c Bài tập Bài Cho n số nguyên Chứng minh đa thức  x  a   x  a   x  a  2 n 1 bất khả quy Bài Tìm tất giá trị n cho tồn n số nguyên phân biệt để đa thức ( x  a1 )( x  a2 ) ( x  an )  bất khả quy Bài Cho P( x)   x, deg P( x)  n với n  Giả sử tồn k số nguyên khác a1 , a2 , , an , k  minh đa thức không phân tích 38 n , cho P(ak )  1 Chứng CHƢƠNG ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY VÀ SỐ NGUYÊN TỐ 3.1 Sự tƣơng tự đa thức bất khả quy số nguyên tố 3.1.1 Định nghĩa Số nguyên tố số tự nhiên lớn , ước khác Đa thức bất khả quy miền nguyên A đa thức khác không, khác khả nghịch ước thực ( ta nói đa thức đa thức không phân tích miền nguyên A ) 3.1.2 So sánh ƣớc - Số nguyên tố p có ước không thực ±1  p - Đa thức bất khả quy ước thực Nếu P( x) đa thức bất khả quy A x  , A trường P( x) có ước   A*  P( x) 3.1.3 Tính chất Đa thức bất khả quy số nguyên tố có vài tính chất tương tự Tính chất Cho P( x) đa thức bất khả quy miền nguyên A Q( x)  A x  , Q( x) chia hết cho P( x) P( x) Q( x) nguyên tố Đối với số nguyên tố ta có tính chất sau: Cho p số nguyên tố, q số nguyên Khi q chia hết cho p p q nguyên tố Tính chất Cho A miền nguyên, P( x)  A x  đa thức bất khả quy Q1 ( x), , Qn ( x)  A x  đa thức có hệ tử miền nguyên A 39 Nếu tích Q1 ( x) Qn ( x) chia hết cho P( x) tồn i 1, , n để Qi ( x) P( x) Phát biểu tương tự đa thức bất khả quy Đối với số nguyên tố ta có tính chất sau Cho p số nguyên tố a1 , , an số nguyên Khi số a1 , , an chia hết cho p tồn i để p với i 1, , n Tính chất Cho A miền nguyên Nếu đa thức bất khả quy P( x)  A x  chia hết tích nhiều đa thức bất khả quy miền nguyên A phải trùng với đa thức bất khả quy Tương tự số nguyên tố Nếu p số nguyên tố chia hết tích nhiều số nguyên tố phải trùng với số nguyên tố Tính chất Một đa thức số có hệ tử miền nguyên A biểu diễn tích thừa số không phân tích A Sự biểu diễn theo thừa số mà chúng khác theo hệ tử khác không A không kể đến thứ tự đa thức bất khả quy Định lý số học phát biểu sau Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích thừa số nguyên tố phân tích không kể đến thứ tự thừa số 3.2 Mối quan hệ đa thức bất khả quy số nguyên tố Euclid chứng minh tập số nguyên tố vô hạn Xét đa thức P( x)  x với x số nguyên, theo định lý Euclid có vô hạn số nguyên tố tập giá trị đa thức P( x) Nếu xét đa thức liệu đa thức có chứa vô số số nguyên tố không Trong trình nghiên cứu, người ta đưa kết sau: 40 i ) Nếu tất hệ số P( x) chia hết cho số d  tất giá trị P( x) chia hết cho d , tập giá trị P( x) số nguyên tố ii ) Nếu P( x)  G( x)H ( x) giá trị P( x) không chứa số nguyên tố Từ số nguyên tố ta xây dựng đa thức bất khả quy Cụ thể cho số nguyên b  , số tự nhiên a biểu diễn dạng a  a0bn  a1bn1   an , n  0, a0  0,   b, i  1,2, , n Cho a  p với p số nguyên tố, cách biểu diễn số b trên, ta thay b x tạo đa thức bất khả quy Ta ý thêm b  p , b  p , P( x) số an trường hợp an số nguyên tố Ví dụ 1999  1.103  9.102  9.10  Thay 10 x phân tích ta đa thức p( x)  x3  x  x  đa thức bất khả quy Tương tự ta phân tích 1999  64  3.63  62  3.6  Ta thay x ta đa thức bất khả quy sau P( x)  x  3x3  x  3x  Do trường hợp b  phức tạp nên trường hợp lại ta xét b  Tiêu chuẩn Peron thể rõ mối liên hệ đa thức bất khả quy số nguyên tố Định lý Cho b  số nguyên p số nguyên tố Ta viết hệ số số b , nghĩa có dạng p  a0bn  a1bn1   an n số tự nhiên, a0  0,   b, i  0, n 41 ta xét đa thức P( x)  a0 x n  a1 x n1   an Khi đa thức P( x) không phân tích với p  b (vì với p  b đa thức số) Chứng minh Ta sử dụng tiêu chuẩn Peron định lý trước để chứng minh Hiển nhiên P(b)  p P(b  1)  b   nên tất hệ số lớn không số chúng số dương Ta cần chứng minh nghiệm  P( x) thỏa mãn bất đẳng thức   b  ( số  kí hiệu phần thực số phức  ,   r với r số thực đó, nghĩa  nằm bên trái đường thẳng qua điểm có hoành độ r song song với trục tung) Ta cho   , với   bất đẳng thức   b  hiển nhiên Ta kí hiệu r modun  , tức   r Ta giả thiết r  , trường hợp ngược lại r  từ bất đẳng thức, hiển nhiên     r   b    b  suy b ≥ hiển nhiên Rõ ràng với điều   suy từ đẳng thức P( )  , ta chia hai vế cho  n nhận a0  Từ ta có a1   a0  a2 2 a1     a2 2 an n 0   an n Theo bất đẳng thức cho modun cho vế phải ta có: 42 a2 2   a1 Ta ý (a0   an n  a2   2 an n  a2 an   r2 rn )  a0  a1 Ta nhận (a0  a1 a2 a   nn r r   ) Ta biết a i  b  , ta đánh giá vế phải bất đẳng thức 1  n a2 a  b 1 1   nn   b  1    n   r  r r r  r r 1 r Bởi ta giả thiết r > 1, từ bất đẳng thức cuối ta nhận a2 a 1   nn   b  1  (b  1) r r r 1 r (r  1) r Từ suy (a0  a1  )  (b  1) r (r  1) a  Nhưng giả thiết   suy       Suy (a0  a1  )  (a0  a1   a0   a  (a0  )  ) 1 cuối ta nhận đẳng thức  (b  1) r (r  1) Ta biến đổi bất đẳng thức cuối cùng, r  nên r (r  1)  Suy r (r  1)  b  43 Giả sử   b  1 từ bất đẳng thức ta suy r  b  2 3 r   b  Bằng cách nhân hai bất đẳng thức r  b  r   b  , 2 3 ta nhận r (r  1)  b2  2b  Từ ta có b  2b   b  4 b  3b  7 Bởi b số nguyên lớn nên bất đẳng thức sau xảy Điều vô lý Vậy định lý chứng minh 44 KẾT LUẬN Do thời gian có hạn lực hạn chế nên khóa luận nghiên cứu kiến thức số nguyên tố phân loại số lớp đa thức bất khả quy mối liên hệ số nguyên tố đa thức bất khả quy Mặc dù cố gắng bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học khóa luận nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình đại số đại, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức ứng dụng, Nhà xuất giáo dục Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học tập 3, Nhà xuất giáo dục Hoàng Xuân Sính (2003), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục Dương Quốc Việt (2006), Một số cấu trúc Đại số đại, Nhà xuất Đại học sư phạm 46 [...]... không bất khả quy trên  x  Vậy đa thức bất khả quy trên  x  là đa thức bậc nhất 2.2.2 Đa thức bất khả quy trên trƣờng số thực a Định lý Các đa thức không phân tích được trên tập hợp số thực là các đa thức bậc nhất và các đa thức bậc hai có định thức âm Chú ý Đa thức bậc hai P( x)  ax 2  bx  c có định thức là   b2  4ac Chứng minh Hiển nhiên đa thức bậc nhất P  x    x bất khả quy trên Giả... diễn đa thức sau thành tích của các đa thức bất khả quy trên a) x 2  1 b) x 4  1 Lời giải a) x 2  1  ( x  1)( x  1) Theo định lý trên ta có đa thức x  1 và đa thức x  1 bất khả quy trên Vậy đa thức x 2  1 biểu diễn thành tích của hai đa thức bất khả quy là x  1 và x  1 trên b) x 4  1  ( x 2  2 x  1)( x 2  2 x  1) Đa thức x 2  2 x  1 và x 2  2 x  1 là đa thức bậc hai có định thức. .. 12 18 Ví dụ 2 Đa thức x n  px n1   p với p là số nguyên tố tùy ý là đa thức bất khả quy trên Thật vậy áp dụng tiêu chuẩn Eisentien với p ta suy ra đa thức trên là đa thức bất khả quy trong  x Ví dụ 3 Xét tính bất khả quy của đa thức f ( x)  x3  3nx 2  n3 (n  ) Lời giải Với n  0 thì f ( x)  x3 Đa thức này có các ước thực sự ax, bx 2 với a, b Vậy f  x  không bất khả quy trên 3  x... là những đa thức bậc khác 0 của Suy ra f ( x) có ước thực sự Vậy f ( x) không bất khả quy trên 2.2.3.2 Một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức a Điều kiện để đa thức bậc hai, bậc ba bất khả quy 16 Điều kiện để đa thức bậc hai, bậc ba bất khả quy trên khi và chỉ khi chúng không có nghiệm hữu tỉ Chứng minh  x , Điều kiện cần Giả sử P  x   khả quy trên deg P  x   2 hoặc 3, P  x  bất Giả... TOÁN VỀ ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY 2.1 Đa thức bất khả quy trên trƣờng a Tính chất của đa thức trên trƣờng Định lý 1 Cho A là trường, f ( x)  A x  Khi đó f ( x) bất khả quy trên A khi và chỉ khi ước của nó trong A x  có dạng  và  f ( x) , với   A,   0 Chứng minh Điều kiện cần Giả sử A là một trường, f ( x)  A x  là đa thức bất khả quy Vì A là một trường nên   A,   0 là các phần tử khả nghịch... một đa thức bất khả quy trên Ví dụ áp dụng Ví dụ 1 Với số tự nhiên n  2 , chứng minh q( x)  x n  18x n1  3x 2  2011 bất khả quy 28 Lời giải Vì 2011 là số nguyên tố và 2011  1  18  3 nên q( x) là bất khả quy theo tiêu chuẩn Osada Ví dụ 2 Chứng minh rằng đa thức p( x)  x9  x8   x 2  x  11 bất khả quy Lời giải Vì 11 là số nguyên tố và 11  1  1   1  10 nên p( x) là đa thức bất khả quy. .. 2 x  1 và x 2  2 x  1 là đa thức bậc hai có định thức âm trên trên  x Theo định lý ta suy ra hai đa thức này là bất khả quy Do đó đa thức x 4  1 biểu diễn thành tích của hai đa thức bất khả quy là x 2  2 x  1 và x 2  2 x  1 Ví dụ 2 Biểu diễn đa thức sau thành tích các đa thức bất khả quy trên  x xn  1 víi n  2 13 Bài làm Đặt P  x   x n  1 với n  2 Giả sử P( x) có n nghiệm phức... 2.2 Đa thức bất khả quy trên trƣờng số 2.2.1 Đa thức bất khả quy trên trƣờng số phức Định lý Mọi đa thức bất khả quy trên trường số phức đều là đa thức bậc nhất Chứng minh Giả sử P  x    x , giả sử có a , , a 1 n và deg P  x   n  2 Ta có hay P( x)  a( x  1 ) ( x   n ) với P( x) có n nghiệm trên ai  , i  1, n Suy ra P( x) có ước thực sự ( x  i ), i  1, n Suy ra P( x) không bất khả. .. Eisentein thì g ( y) bất khả quy trên  y  , suy ra Thật vậy, ngược lại giả sử f ( x) khả quy trên f  x   p  x  q  x  với p( x), q( x)   y  Ta có  x f  y  1  p  y  1 q  y  1  g  y  Suy ra Suy ra g ( y) khả quy trên trên  x  f ( x) bất khả quy trên  y (mâu thuẫn) Vậy f  x  bất khả quy  x b2 Một số bài tập Bài 1 Chứng minh các đa thức sau đây bất khả quy trong a) x4 ... tích thành tích của một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc hai f ( x)  ( x  a)( x 2  bx  c) Khi đó a sẽ là ước của 9, như vậy a  1;  3;  9 Thay các giá trị của a vào f ( x) đẳng thức không xảy ra Vậy đa thức f ( x) không thể phân tích thành hai thừa số khác hằng số Vậy đa thức đã cho bất khả quy Ví dụ 2 Dùng tiêu chuẩn Eisentein mở rộng chứng minh đa thức sau là bất khả quy f ( x)  x n  29 ... vành đa thức nhiều ẩn CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY 2.1 Đa thức bất khả quy trường 2.2 Đa thức bất khả quy trường số 12 2.2.1 Đa thức bất khả quy. .. P( x) không bất khả quy  x  Vậy đa thức bất khả quy  x  đa thức bậc 2.2.2 Đa thức bất khả quy trƣờng số thực a Định lý Các đa thức không phân tích tập hợp số thực đa thức bậc đa thức bậc hai... có đa thức x  đa thức x  bất khả quy Vậy đa thức x  biểu diễn thành tích hai đa thức bất khả quy x  x  b) x   ( x  x  1)( x  x  1) Đa thức x  x  x  x  đa thức bậc hai có định thức