TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ QUỲNH BÀI TOÁN PHỦ VÀ BAO HÌNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học: ThS PHẠM THANH TÂM Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn ThS.Phạm Thanh Tâm Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em suốt trình hoàn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô giáo khoa Toán giảng dạy tận tình giúp đỡ chúng em suốt trình học tập Khoa Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên cổ vũ động viên giúp đỡ em suốt trình học tập vừa qua Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Quỳnh LỜI CAM ĐOAN Sau thời gian nghiên cứu, tìm hiểu tài liệu với hướng dẫn thầy giáo ThS Phạm Thanh Tâm em hoàn thành khoá luận Em xin cam đoan khoá luận kết trình làm việc nghiêm túc với cố gắng nỗ lực thân hướng dẫn bảo tận tình ThS Phạm Thanh Tâm Trong nghiên cứu khóa luận này, em tham khảo số tài liệu ghi tài liệu tham khảo Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Quỳnh Mục lục Chương Kiến thức 1.1 Một số khái niệm mở đầu 1.2 Các tính chất 1.3 Một số ví dụ 1.4 Bài tập đề nghị Chương Bài toán phủ hình 10 2.1 Lát mặt phẳng đa giác 10 2.2 Bài toán phủ hình 13 2.2.1 Bài toán phủ đa giác lồi 13 2.2.2 Bài toán phủ đoạn thẳng 17 2.2.3 Bài toán phủ hình vuông 19 2.3 Định lí Bloosphelt 20 2.4 Phủ bàn với khăn hình chữ nhật 22 2.5 Một số ví dụ 23 2.6 Bài tập đề nghị 25 Chương Bài toán bao hình 27 3.1 Khái niệm 27 3.2 Bài toán bao hình 27 3.2.1 Bài toán bao hình vuông 27 3.2.2 Bao hình tam giác đường tròn 31 3.3 Bài toán Malfatti 34 3.4 Bài tập đề nghị 38 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học tổ hợp nhánh thiếu toán tổ hợp nói chung, thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi cấp Khác với toán lĩnh vực Giải tích, Đại số, Lượng giác, toán hình học tổ hợp thường liên quan nhiều đến đối tượng tập hợp hữu hạn Vì lẽ toán mang đặc trưng rõ nét toán học rời rạc Bài toán phủ bao hình phần hình học tổ hợp Những toán đa dạng nội dung phương pháp giải Nhiều toán phát biểu đơn giản, với kiến thức phổ thông ta hiểu để giải chúng cần đến hiểu biết sâu sắc kiến thức hình học tổ hợp Vì vậy, em chọn đề tài "Bài toán phủ bao hình" nhằm mục đích tìm hiểu sâu vấn đề hình học tổ hợp tìm lời giải tối ưu cho toán Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu toán phủ bao hình vấn đề liên quan đến hình học tổ hợp Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số chuyên đề hình học tổ hợp, toán phủ hình bao hình Tìm lời giải xây dựng hệ thống tập liên quan Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu dạng toán phủ bao hình hình học tổ hợp, tính chất, định lí ứng dụng có liên quan Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức mở đầu Chương 2: Bài toán phủ hình Chương 3: Bài toán bao hình Chương Kiến thức Trong phần này, ta giới hạn nghiên cứu đối tượng đa giác lồi, trường hợp đa giác khác tìm hiểu sau 1.1 Một số khái niệm mở đầu Định nghĩa 1.1.1 (Tập lồi) Tập X ⊂ Rn , X = 0/ gọi tập lồi với x, y ∈ X λ ∈ [0, 1] λ x + (1 − λ )y ∈ X (1.1) Ví dụ 1.1.1 Rn , {x} tập lồi Định nghĩa 1.1.2 (Bao lồi) Bao lồi tập X giao tập lồi chứa X KH: Conv X Định nghĩa 1.1.3 (Đa giác) Là đường gấp khúc n cạnh mặt phẳng (n ≥ 3) A1 A2 An cho đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Cạnh đầu A1 A2 cạnh cuối An−1 An (cũng coi hai cạnh liên tiếp) không nằm đường thẳng.Đa giác kí hiệu A1 A2 An Đa giác n cạnh gọi n - giác Các điểm Ai gọi đỉnh đa giác Các đoạn thẳng Ai Ai+1 gọi cạnh đa giác Góc Ai−1 Ai Ai+1 gọi góc đa giác đỉnh Ai Định nghĩa 1.1.4 (Đa giác đơn) Là đa giác mà hai cạnh không liên tiếp điểm chung Định nghĩa 1.1.5 (Đa giác lồi) Là đa giác mà toàn đa giác nằm phía đường thẳng chứa cạnh đa giác Định nghĩa 1.1.6 (Đa giác đều) Đa giác gọi đa giác tất cạnh chúng tất góc chúng Khác với đa diện đều, đa giác có số cạnh (góc) lớn vô Khi hình dáng đa giác tiến gần tới hình tròn Định nghĩa 1.1.7 (Đường chéo đa giác) Một đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề đa giác gọi đường chéo đa giác 1.2 Các tính chất Tính chất 1.2.1 Tổng góc đa giác lồi n cạnh (n − 2)180o (1.2) Tính chất 1.2.2 Tổng số đo góc góc đỉnh hình n - giác 180o Tính chất 1.2.3 Mọi góc đa giác lồi không vượt 180o Tính chất 1.2.4 Trong đa giác lồi, đoạn thẳng nối hai điểm nằm hoàn toàn đa giác Tính chất 1.2.5 Số đo góc đa giác n cạnh (n − 2)180o n (1.3) Định lý 1.1 Số đường chéo đa giác n cạnh n(n − 3) 1.3 (1.4) Một số ví dụ Ví dụ 1.3.1 Tính số cạnh đa giác lồi, biết đa giác thỏa mãn điều kiện sau: a) Tổng góc tổng góc (tại đỉnh đa giác kề góc ngoài); b) Số đường chéo gấp đôi số cạnh; c) Tổng góc trừ góc đa giác 2570o Giải Gọi số cạnh đa giác n (n ≥ 3, n ∈ N) a) Khi đó, tổng số đo góc đa giác (n − 2)180o ; Mà tổng số đo góc đa giác 360o nên theo giả thiết, ta (n − 2)180o = 360o Suy n = Vậy số cạnh đa giác b) Theo giả thiết số đường chéo gấp hai lần số cạnh nên ta có n(n − 3) = 2n ⇔ n2 − 7n = Suy n = Vậy số cạnh đa giác c) Tổng góc đa giác (n − 2)180o nên theo giả thiết ta có: (n − 2)180o − A = 2570o Suy A = (n − 2)180o − 2570o (1.5) Vì góc đa giác lồi không vượt 180o nên 0o < (n − 2)180o − 2570o < 180o (1.6) ⇔ 16, < n < 17, Do n ∈ N, n > nên suy n = 17 Vậy đa giác có 17 cạnh Ví dụ 1.3.2 Chứng minh đa giác lồi có góc nhọn Giải Giả sử đa giác lồi có K góc nhọn (K ≥ 4) Khi đó, góc đỉnh đa giác lồi góc nhọn góc tương ứng đỉnh góc tù Do vậy, đa giác có K ≥ góc nhọn có K ≥ góc tù tương ứng tổng góc chúng lớn 360o Điều không xảy đa giác tổng góc 360o Vậy: Trong đa giác lồi có góc nhọn Ví dụ 1.3.3 Có tồn hay không đa giác có số cạnh số đường chéo? Giải Gọi n số cạnh đa giác (n ≥ 3, n ∈ Z + ) Đa giác có số cạnh số đường chéo n(n − 3) = n ⇔ n2 − 5n = Suy n = Vậy đa giác có số cạnh số đường chéo ngũ giác Ví dụ 1.3.4 Tìm tất hình chữ nhật cho cắt hình chữ nhật thành 13 hình vuông Giải Giả sử cạnh hình chữ nhật chia thành m hình nhau, cạnh chia thành n hình (m, n ∈ N) Ta có m.n = 13 Vì 13 số nguyên tố nên hai số m, n 1, số lại 13 Do đó, hình chữ nhật có cạnh 13 thoả mãn đề 1.4 Bài tập đề nghị Bài tập 1.1 Chứng minh đường chéo thích hợp, n - giác đơn phân hoạch thành hai đa giác có số cạnh nhỏ n Bài tập 1.2 Chứng minh ngũ giác có cạnh góc liên tiếp ngũ giác Bài tập 1.3 Tổng tất góc góc đa giác 2225o Hỏi đa giác có cạnh? Bài tập 1.4 Tìm số cạnh đa giác biết đường chéo có độ dài Bài tập 1.5 Cho ngũ giác lồi ABCDE có cạnh góc nhỏ 120o Chứng minh góc ngũ giác lồi góc tù Bài tập 1.6 Cho hình vuông ABCD, độ dài cạnh đơn vị Gọi P, Q nằm cạnh AB, AD CMR chu vi tam giác APQ góc CPQ 45o Bài tập 1.7 Chứng minh tứ giác lồi có góc không có góc góc tù Bài tập 1.8 a) Tìm số n cho mặt phẳng phủ kín đa giác có n cạnh b) Có tồn ngũ giác để phủ kín mặt phẳng hay không Bài tập 1.9 Người ta đánh dấu đỉnh đa giác 1995 cạnh màu xanh đỏ Chứng minh tìm đỉnh đa giác đỉnh tam giác cân đánh dấu màu Bài tập 1.10 Chứng minh có vô số hình bình hành MNPQ nội tiếp hình bình hành ABCD cho trước (mỗi đỉnh hình bình hành MNPQ nằm cạnh hình bình hành ABCD) hình bình hành có chung tâm đối xứng Bài tập 1.11 Cho lục giác có tất góc Chứng minh hiệu cạnh đối diện Bài tập 1.12 Một đa giác có hiệu đường chéo lớn nhỏ cạnh Hỏi đa giác đa giác ? Chương Bài toán bao hình 3.1 Khái niệm Định nghĩa 3.1.1 (Bao hình) Cho M F hai đa giác mặt phẳng Nếu điểm thuộc M nằm F nằm cạnh F ta nói đa giác F bao đa giác M 3.2 Bài toán bao hình 3.2.1 Bài toán bao hình vuông a) Bao hình vuông hình tam giác vuông Xét toán cụ thể sau: Cho tam giác vuông ABC có độ dài cạnh a, b cạnh huyền c Hãy tìm hình vuông có diện tích lớn bao hình tam giác vuông cho Giải Chú ý hình vuông K nằm tam giác hình cần tìm Thật vậy, xét phép vị tự tâm O tỉ số k sau : +) Với tỉ số vị tự k = K có đỉnh hình vuông +) Với k > đủ lớn tồn đỉnh nằm tam giác Vì tồn hình vuông có đỉnh nằm cạnh tam giác có diện tích lớn K Do ta xét trường hợp toán theo số đỉnh hình vuông nằm cạnh tam giác Trường hợp : Bốn đỉnh hình vuông nằm cạnh a, b, c tam giác 27 •) Nếu hai đỉnh hình vuông nằm cạnh huyền, tam giác đồng dạng với ta suy cạnh x hình vuông ch x c−x = ⇔x= h c c+h (3.1) Trong đó, h chiều cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền •) Nếu đỉnh hình vuông thuộc cạnh huyền đỉnh khác hình vuông trùng với đỉnh góc vuông tam giác Khi đường chéo hình vuông đường phân giác góc vuông ta tính √ 2abcos45o ab = = a+b a+b Từ suy cạnh x hình vuông (3.2) ab (3.3) a+b Từ (3.1) (3.3) ta so sánh hai cạnh hình vuông vừa tính Giả sử ch ab < c+h a+b Do ab = ch (hệ thức lượng tam giác vuông) nên ta cần chứng minh a + b < c + h Bình phương vế áp dụng định lí Pytago ta 2ab < 2ch + h2 (luôn đúng) ch ab < ta thấy tất hình vuông có bốn đỉnh nằm c+h a+b cạnh tam giác vuông, hình vuông có cạnh lớn hình vuông có đường chéo trùng với đường phân giác góc vuông Trường hợp 2) : Ba đỉnh hình vuông nằm cạnh tam giác Giả sử a ≥ b, β ≤ 45o (với α, β góc nhọn tam giác ABC đỉnh A B) •) Nếu hai đỉnh hình vuông nằm cạnh huyền cạnh bên so sánh ab với trường hợp phần trước, ta tính cạnh x hình vuông x < a+b Do đó, 28 C f (ϕ) Q ϕ P M α N A β ϕ B O H.3.1 θ β H.3.2 •) Nếu cạnh tam giác có đỉnh hình vuông Kí hiệu MNPQ hình vuông nằm tam giác ABC (xem hình H.3.1) Đặt QPC = ϕ ≤ β Áp dụng định lí Cosin cho NBP, ta NB = xsin(90o − ϕ) xcosϕ = sinβ sinβ Kéo dài cạnh MN cắt cạnh AC điểm R Áp dụng định lí Cosin cho AN = RM + MN x(1 + tanϕ) sin(90o + ϕ) = cosϕ sinα sinα (3.4) ANR ta (3.5) Từ 3.4 3.5 ta suy c = AB = AN + NB = x( 1 xsinϕ + )+ sinα cosα cosα (3.6) Rút ta x= ab (a + b)cosϕ + bsinϕ (3.7) Ta chứng minh bất đẳng thức sau ab ab < (a + b)cosϕ + bsinϕ a+b (3.8) (a + b)cosϕ + bsinϕ > a + b (3.9) Điều tương đương với Xét hàm số f (ϕ) = (a + b)(cosϕ − 1) + bsinϕ với ≤ ϕ ≤ β 29 C C K1 A A H.3.3 B B Đạo hàm bậc hàm số ta f (ϕ) = bcosϕ − (a + b)sinϕ b b (hoặc f (ϕ) ≤ tanϕ ≥ ) nên suy a+b a+b f (β ) > f (0) = Đồ thị hàm số f (ϕ) có dạng hình H.3.2 Từ suy bất đẳng thức 3.8 Với ϕ ≥ β ta có Ta thấy f (ϕ) ≥ tanϕ ≤ (a + b)sinϕ + acosϕ > a + b (3.10) Lập luận tương tự ta suy điều phải chứng minh Vậy cạnh x hình vuông thoả mãn 3.8 Trường hợp : Hình có hai đỉnh nằm cạnh tam giác Thực phép tịnh tiến ta đưa trường hợp hình vuông có đỉnh nằm cạnh tam giác (xem hình H.3.3) Vậy hình vuông có diện tích lớn bao tam giác vuông cho trước hình vuông có đường chéo đường phân giác góc vuông tam giác b) Bao hai hình vuông hình vuông Định nghĩa 3.2.1 Cho hai hình vuông K1 K2 có cạnh tương ứng a, b Ta nói hình vuông K bao hai hình vuông K1 K2 , K1 K2 điểm chung K chứa hai hình vuông K1 K2 Bài toán tìm hình vuông K có diện tích nhỏ bao K1 K2 Ta có kết bất đẳng thức a + b ≤ xảy ta bao K1 K2 hình vuông K có cạnh đơn vị (xem hình H.3.4) Điều ngược lại, khẳng định kết luận theo kết định lí sau: 30 D N C K2 K1 a2 b2 a A B b H.3.5 H.3.4 M Định lý 3.1 Cho hai hình vuông K1 K2 có cạnh tương ứng a, b bao hình vuông K có cạnh đơn vị Khi đó, bất đẳng thức a + b ≤ xảy Chứng minh Cho hình vuông K có cạnh Khi đó, ta tìm đường thẳng chia hình vuông làm hai đa giác mà đa giác chứa hình vuông K1 K2 (xem hình H.3.5) • Nếu song song với cạnh K hiển nhiên hai hình vuông nằm hai hình chữ nhật Suy điều phải chứng minh (xem hình H.3.4) • Nếu không song song với cạnh K, tồn hai tam giác vuông mà chúng tương ứng bao hình vuông K1 K2 (không phụ thuộc vào loại đa giác mà chia hình vuông K) (xem hình H.3.5) Thật vậy, xét tam giác tạo với hình vuông K đường kéo dài cạnh K Khi đó, cạnh huyền tam giác vừa tạo nằm đường , đường phân giác góc vuông chúng nằm đường chéo K √ Tổng độ dài đường phân giác áp dụng kết toán phần trước ta bất đẳng thức a + b ≤ 3.2.2 Bao hình tam giác đường tròn Xét toán cụ thể sau: Trong hình vuông K có cạnh 33 đơn vị, ta đặt vào 100 tam giác Mỗi tam giác có chu vi không đơn vị Chứng minh tồn đường tròn bán kính 1, nằm hình vuông bao hình vuông cho đơn vị điểm chung với tam giác tam giác cho Giải 31 α4 α3 α5 M α6 α1 α2 H.3.6 Trước tiên ta tìm diện tích tam giác Kí hiệu 2p chu vi tam giác a, b, c độ dài cạnh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ta có √ √ √ 1 p − a p − b p − c ≤ (p − a + p − b + p − c) = p 3 Suy p (p − a)(p − b)(p − c) ≤ ( )3 ≤ Mặt khác, S = p(p − a)(p − b)(p − c) (theo công thức Herron) nên ta suy S2 ≤ ⇔ S ≤ √ (3.11) (3.12) Đến để giải toán trên, ta xét bổ đề sau: Bổ đề 3.1 Cho M đa giác lồi có chu vi p diện tích S Xét tập hợp Φ(r)M điểm B cho tồn điểm A thuộc M mà AB < r Khi đó, diện tích hình Φ(r)M S + pr + πr2 Giả sử M n - giác Khi đó, Φ(r)M bao gồm điểm thuộc M, n hình chữ nhật cạnh r, n hình quạt có bán kính r (xem hình H.3.6) Kí hiệu α1 , α2 , , αn góc hình dẻ quạt, β1 , β2 , , βn góc n- giác M Do M đa giác lồi nên α1 + + αn = (π − β1 ) + + (π − βn ) = nπ − (n − 2)π = 2π (3.13) Suy ghép hình quạt lại thành hình tròn bán kính r tổng diện tích hình quạt πr2 ( diện tích hình tròn bán kính r) Tổng diện tích n hình chữ nhật pr Do đó, diện tích hình Φ(r)M Φ(r)M = S + pr + πr2 32 (3.14) X O K 33 K1 35 H.3.7 Trở lại với toán ban đầu, từ hình vuông cho lấy cạnh phía K độ dài đơn vị ta hình vuông K1 có cạnh 35 (xem hình H.3.7) Khi đó, diện tích hình K 332 = 1089 Với hình tam giác X nằm hình vuông cho, ta xây dựng ΦX (1) hình tương ứng theo bổ đề (3.1) Do diện tích tam hình bao giác không vượt √ ( + + π) Do đó, tổng diện tích 100 hình bao tam giác cho thoả mãn : √ S ≤ 100( + + π) < 1088 Do 1088 < 1089 nên hình tạo 100 tam giác không phủ hết hình vuông K1 Vì vậy, tồn điểm O thuộc hình vuông K mà không thuộc vào ΦX (1) nói Điều chứng tỏ hình tròn tâm O bán kính đơn vị nằm K1 điểm chung với tam giác nằm tam giác cho Định nghĩa 3.2.2 Cho tập hợp điểm M mặt phẳng, ta nói M tập hợp bị chặn tồn hình tròn chứa toàn tập hợp M Định nghĩa 3.2.3 Đường kính tập hợp bị chặn M cận tập hợp khoảng cách AB với A, B ∈ M Tức d(M) = supd(A, B)|A, B ∈ M Ta có định lí sau Định lý 3.2 Nếu M đa giác, đường kính độ dài đường chéo lớn cạnh lớn 33 B B B A A A H.3.8 Chứng minh Xét hai điểm A, B ∈ M Đường thẳng AB cắt cạnh M hai điểm A , B ( trùng với A B) Khi đó, độ dài AB ≤ A B (xem hình H.3.8) +) Nếu A ∈ CD M hai bất đẳng thức CB > A B , DB > A B đúng, góc CA B, DA B góc nhọn Giả sử điểm C D trùng A ta có A B > A B Tương tự ta chọn B nằm cạnh có chứa B Ta có A B > A B Suy AB < A B Do đó, A B đường chéo cạnh lớn M Ví dụ 3.2.1 Cho đa giác M có đường kính Hãy tìm lục giác có diện tích nhỏ bao M Ví dụ 3.2.2 (Định lí Yong) Mọi hình có đường kính đơn vị phủ hình tròn có bán kính √ Liên quan đến toán bao hình có định lí tương tự cho toán chia hình: Ví dụ 3.2.3 (Định lí Borsuk) Mọi đa giác M mặt phẳng chia làm ba phần, phần có đường kính nhỏ đường kính M 3.3 Bài toán Malfatti Malfatti (1731 − 1087) nhà toán học người Italy Ông có công trình nghiên cứu toán bao hình mà nhiều toán chưa có lời 34 giải trọn vẹn Xét toán sau: Trong tam giác tìm ba hình tròn không giao cho tổng diện tích chúng lớn đồng thời thoả mãn chúng đôi tiếp xúc với tiếp xúc với hai cạnh tam giác cho Malfatti người nghiên cứu toán nên đường tròn có tính chất mang tên đường tròn Malfatti toán gọi toán Malfatti Cho đến chưa có lời giải hoàn chỉnh cho toán này, ta xét toán dạng đơn giản Ví dụ 3.3.1 Trong hình vuông, đặt hai hình tròn không giao cho tổng diện tích chúng lớn Giải Xét hai hình tròn nằm hình vuông cạnh 1, chúng không cắt nằm hai góc đối diện hình vuông Ta tăng bán kính chúng đến hai đường tròn tiếp xúc với (H.3.9) Kí hiệu r1 , r2 bán kính hình tròn Khi đó, ta có √ √ √ 2r1 + r1 + r2 + 2r2 = (3.15) √ ⇔ r1 + r2 = − Do hai hình tròn nằm hình vuông nên ≤ r1 , r2 ≤ Tổng diện tích hai hình tròn π(r12 + r22 ) Do đó, tổng diện tích chúng lớn biểu thức (r12 + r22 ) lớn Giả sử r1 ≤ r2 đặt √ √ 2− 2− r1 = − x , r2 = + x với x ≥ 2 35 (3.16) r2 r1 H.3.9 √ 2−1 Từ 3.16 suy x ≤ Và r12 + r22 √ = − 2 + 2x2 lớn x = √ 2−1 √ 3−2 r2 = Vậy ta tìm r1 = 2 Ví dụ 3.3.2 a) Hãy tìm bán kính đường tròn Malfatti cho tam giác cạnh b) CMR đường tròn không nghiệm toán Malfatti Giải a) Áp dụng toán Malfatti cho tam giác cạnh ta đường tròn Malfatti cho tam giác ba hình tròn có bán kính √ 3−1 r1 = r2 = r3 = (3.17) √ 3π Tổng diện tích ba đường tròn (2 − 3) (xem hình H.3.10) b) Xét hình tròn nội tiếp tam giác bán kính r hai hình tròn nhỏ bán kính r1 , r2 tiếp xúc với hai cạnh tương ứng tính 1 r = √ , r1 = r2 = √ Tổng diện tích hình tròn 36 C A H.3.10 B 1 11π S = π.( √ )2 + 2.π.( √ )2 = 108 Ta thấy √ 11π 3π > (2 − 3) 108 Suy đường tròn không nghiệm toán Malfatti Ví dụ 3.3.3 Tìm hai hình tròn không giao có bán kính r1 , r2 nằm hình vuông cho : a) r1 r2 lớn nhất; b) r13 + r23 lớn Giải Vận dụng kết toán 3.3.1, ta cần xét trường hợp bán kính đường tròn thoả mãn √ r1 + r2 = − 2, ≤ r1 , r2 ≤ a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương r1 , r2 ta có (3.18) r1 + r2 ) = (1 − √ )2 2 √ 2− Do đó, r1 r2 lớn r1 = r2 = b) Ta có r1 r2 ≤ ( r13 + r23 = ( r1 + r2 )[3(r12 + r22 ) − (r1 + r2 )2 ] 37 (3.19) √ Vì r1 + r2 = − nên r13 + r23 lớn r12 + r22 lớn ta tính √ 3−2 r1 = r2 = 2 Ví dụ 3.3.4 Chứng minh hình có đường kính bao hình vuông có cạnh Giải Mọi hình F có đường kính bao hình vuông đủ lớn.Sau ta làm co lại bốn cạnh hình vuông khoảng nhau, ta hình vuông mà bao hình F hai cạnh có hai điểm tương ứng A B thuộc biên hình F Vì AB ≤ nên cạnh hình vuông cho không lớn Tức là, khả bao đường tròn đường kính hình vuông có cạnh nhỏ Ví dụ 3.3.5 Cho hình vuông có cạnh cm Lấy 100 điểm hình vuông chứng minh có bốn điểm nằm đường tròn có bán kính cm Giải Ta chia hình vuông cho thành 32 hình vuông nhỏ có diện tích Ta thấy 100 : 32 = dư nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hình vuông chứa điểm 100 điểm cho Diện tích hình vuông nhỏ 2cm2 Suy √ +) Độ dài cạnh hình vuông nhỏ cm; +) Độ dài đường chéo cm Do đó, bán kính hình tròn ngoại tiếp hình vuông nhỏ cm Vậy: tồn điểm nằm đường tròn bán kính cm 3.4 Bài tập đề nghị Bài tập 3.1 Trong hình vuông ABCD có cạnh 1, đặt đa giác có diện tích CMR tồn đường thẳng l song song với cạnh AB mà giao với đa giác thành đoạn thẳng với độ dài lớn 38 Bài tập 3.2 Trong hình chữ nhật có cạnh 20 25, ta đặt 120 hình vuông có cạnh Chứng minh hình chữ nhật đặt hình tròn đường kính 1, mà không giao với hình vuông Bài tập 3.3 Hãy tìm cạnh hình vuông nhỏ nhất, mà đặt hai hình √ tròn không giao có bán kính Bài tập 3.4 Hãy tìm cạnh hình vuông nhỏ nhất, mà đặt ba hình tròn √ không giao có bán kính 1, Bài tập 3.5 Trong tam giác đều, đặt hai hình tròn cho tích diện tích chúng lớn Bài tập 3.6 Trong hình chữ nhật với cạnh a b, tìm hai hình tròn không giao cho: a) Tổng diện tích lớn nhất; b) Tích diện tích lớn Bài tập 3.7 Chứng minh hình có đường kính bao lục giác, mà nhận từ hình vuông ABCD có cạnh 1, sau từ cắt hai tam giác tạo cạnh hình vuông ABCD đường tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD, đồng thời vuông góc với đường phân giác góc vuông đỉnh A B Bài tập 3.8 Một hình bình hành bao hình tam giác CMR diện tích hình bình hành không lớn nửa diện tích tam giác Bài tập 3.9 Trong hình lập phương, đặt hai hình cầu không giao với tổng lớn : a) Những diện tích; b) Diện tích bề mặt 39 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Điển, Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo dục,2005 [2] Văn Như Cương, Hình học sơ cấp thực hành giải toán ,NXB Đại học Sư phạm, 2009 [3] Nguồn Internet 40 KẾT LUẬN Trong khóa luận này, em trình bày số kết liên quan đến số vấn đề hình học tổ hợp Những toán phủ hình bao hình với tính chất,định lí số ứng dụng có liên quan đến toán thực tế Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có thiếu sót Em mong nhận lời góp ý thầy cô bạn để khoá luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2014 Sinh viên NGUYỄN THỊ QUỲNH 41 [...]... thì ta nói rằng đa giác F bao đa giác M 3.2 Bài toán bao hình 3.2.1 Bài toán bao hình vuông a) Bao hình vuông bởi hình tam giác vuông Xét bài toán cụ thể sau: Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh là a, b và cạnh huyền c Hãy tìm hình vuông có diện tích lớn nhất được bao bởi hình tam giác vuông đã cho Giải Chú ý rằng các hình vuông K nằm trong tam giác đều không phải là hình cần tìm Thật vậy, xét... B1 và A2 B2 giao nhau và phủ AB 1 1 Nếu chúng có độ dài bằng nhau A1 B1 = A2 B2 = + δ > < ε thì chúng sẽ tạo ra tập 2 2 M cần tìm 18 A A1 C E B1 D F B A1 H.2.14 2.2.3 A C E B1 F D B H.2.15 Bài toán phủ một hình vuông Rado (1906 − 1989) là nhà toán học người Hungari Ông là người đầu tiên nghiên cứu về bài toán liên quan đến phủ một hình vuông Bài toán này cũng được lấy tên ông là bài toán Rado Bài toán. .. giác (xem hình H.3.3) Vậy hình vuông có diện tích lớn nhất được bao bởi một tam giác vuông cho trước là hình vuông có đường chéo là đường phân giác của góc vuông tam giác b) Bao hai hình vuông bởi một hình vuông Định nghĩa 3.2.1 Cho hai hình vuông K1 và K2 có các cạnh tương ứng là a, b Ta nói rằng hình vuông K bao hai hình vuông K1 và K2 , nếu K1 và K2 không có điểm trong chung và K chứa cả hai hình vuông... tại một phủ mặt phẳng bằng n - giác lồi không bằng nhau Bài tập 2.7 Chứng minh rằng mọi hình chữ nhật không phải là hình vuông có thể phủ bằng hai hình chữ nhật đồng dạng với nó có hệ số đồng dạng nhỏ hơn 1 25 Bài tập 2.8 Hãy tìm số lượng nhỏ nhất những đa diện vị tự cần thiết để phủ a) Một tứ diện; b) Một lăng trụ 26 Chương 3 Bài toán bao hình 3.1 Khái niệm Định nghĩa 3.1.1 (Bao hình) Cho M và F là... Malfatti và bài toán trên cũng được gọi là bài toán Malfatti Cho đến nay vẫn chưa có lời giải hoàn chỉnh cho bài toán này, vì thế ta đi xét những bài toán ở dạng đơn giản hơn Ví dụ 3.3.1 Trong một hình vuông, hãy đặt hai hình tròn không giao nhau sao cho tổng diện tích của chúng lớn nhất Giải Xét hai hình tròn nằm trong hình vuông cạnh bằng 1, chúng không cắt nhau và nằm ở hai góc đối diện của hình vuông... nhất bao M Ví dụ 3.2.2 (Định lí Yong) Mọi hình có đường kính là một đơn vị có thể phủ bởi 1 hình tròn có bán kính bằng √ 3 Liên quan đến bài toán bao hình có một định lí tương tự cho bài toán chia hình: Ví dụ 3.2.3 (Định lí Borsuk) Mọi đa giác M trong mặt phẳng có thể chia ra làm ba phần, mỗi phần của nó có đường kính nhỏ hơn đường kính của M 3.3 Bài toán Malfatti Malfatti (1731 − 1087) là một nhà toán. .. phân giác này là 2 và áp dụng kết quả bài toán ở phần trước ta được bất đẳng thức a + b ≤ 1 3.2.2 Bao hình tam giác và đường tròn Xét bài toán cụ thể sau: Trong một hình vuông K có cạnh là 33 đơn vị, ta đặt vào đó 100 tam giác Mỗi tam giác có chu vi không quá 6 đơn vị Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn bán kính bằng 1, nằm trong hình vuông bao hình vuông đã cho ra ngoài 1 đơn vị và không có điểm... + 3(n − 2)( )2 R R R R Khi cho R tăng vô hạn, ta có thể thay d bằng 0, và suy ra được R 2n ≥ 3(n − 2) Bất đẳng thức này chỉ đúng với n ≤ 6 Vậy không thể có phủ mặt phẳng với n - giác giống nhau mà n ≥ 7 2.2 Bài toán phủ hình 2.2.1 Bài toán phủ đa giác lồi a) Phủ đa giác lồi bằng những đa giác vị tự với chính nó Ta xét bài toán phủ một đa giác lồi bằng một số những đa giác khác mà chúng nhận được từ... kỳ không giao nhau và tổng diện tích của chúng không nhỏ hơn 4 Trên thực tế tồn tại rất nhiều phương án cho bài toán Rado có liên quan đến việc phủ bàn bằng những khăn hình tam giác, khăn tròn, Nhiều bài toán loại này cho đến nay vẫn không có lời giải và đang thách thức những người làm toán 2.4 Phủ bàn với những khăn hình chữ nhật Khác với phần trước khi ta xét khăn phủ bàn là hình vuông Ở phần này,... hình vuông K1 và K2 Bài toán của chúng ta là đi tìm hình vuông K có diện tích nhỏ nhất bao cả K1 và K2 Ta có một kết quả nếu bất đẳng thức a + b ≤ 1 xảy ra thì ta có thể bao K1 và K2 bằng một hình vuông K có cạnh là 1 đơn vị (xem hình H.3.4) Điều ngược lại, khẳng định được kết luận theo kết quả của định lí sau: 30 D N C K2 K1 a2 b2 a A B b H.3.5 H.3.4 M Định lý 3.1 Cho hai hình vuông K1 và K2 có các ... giác M 3.2 Bài toán bao hình 3.2.1 Bài toán bao hình vuông a) Bao hình vuông hình tam giác vuông Xét toán cụ thể sau: Cho tam giác vuông ABC có độ dài cạnh a, b cạnh huyền c Hãy tìm hình vuông... đẳng thức với n ≤ Vậy có phủ mặt phẳng với n - giác giống mà n ≥ 2.2 Bài toán phủ hình 2.2.1 Bài toán phủ đa giác lồi a) Phủ đa giác lồi đa giác vị tự với Ta xét toán phủ đa giác lồi số đa giác... nghiên cứu toán liên quan đến phủ hình vuông Bài toán lấy tên ông toán Rado Bài toán Rado liên quan đến việc tìm số εo thoả mãn tính chất sau: a) Cho hình vuông có cạnh phủ tập hợp hình vuông