1 LI CM N u tiờn, em xin gi li cm n chõn thnh v lũng bit n sõu sc n PGS.TS Nguyn Th H Loan, ngi ó tn tỡnh giỳp , ch bo v cung cp cho em nhng kin thc nn tng em hon thnh bi lun ny Thy cng l ngi ó giỳp em ngy cng tip cn v cú nim say mờ khoa hc sut thi gian c lm vic cựng thy Em xin by t lũng bit n ti cỏc thy, cụ cụng tỏc ti phũng sau i Hc, Khoa Vt Lý Trng i hc s phm H Ni v cỏc Giỏo s, Tin s ó trc tip ging dy, truyn t cho em nhng kin thc quý bỏu v chuyờn mụn cng nh kinh nghim nghiờn cu khoa hc thi gian qua Cui cựng, em xin chõn thnh gi li cm n n nhng ngi thõn gia ỡnh, bn bố ó luụn giỳp , ng viờn v to mi iu kin cho em sut quỏ trỡnh hc v hon thin lun ny H Ni, ngy 25 thỏng 12 nm 2012 Hc viờn Nguyn Hng Võn LI CAM OAN Tờn tụi l: Nguyn Hng Võn, hc viờn cao hc khúa 2010 2012 chuyờn nghnh Vt lý lý thuyt v vt lý toỏn Trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan ti: Dao ng t bin dng g l kt qu nghiờn cu, thu thp ca riờng tụi Cỏc lun c, kt qu thu c ti l trung thc, khụng trựng vi cỏc tỏc gi khỏc Nu cú gỡ khụng trung thc lun tụi xin hon ton chu trỏch nhim trc hi ng khoa hc H Ni, ngy 25 thỏng 12 nm 2012 Hc viờn Nguyn Hng Võn MC LC Trang LI CM N LI CAM OAN M U NI DUNG CHNG DAO NG T BIN DNG TNG QUT 1.1 Dao ng t bin dng tng quỏt 1.1.1 Dao ng t bin dng tng quỏt 1.1.2 Hm cu trỳc F(x) 1.2 Biu din ca dao ng t bin dng tng quỏt 23 1.2.1 Biu din hu hn chiu ca i s dao ng t bin dng tng quỏt 24 1.2.2 Biu din vụ hn chiu ca i s dao ng t bin dng tng quỏt 28 CHNG NHểM LNG T 31 2.1 Biu din dao ng t ca i s SU (2) 31 2.2 i s bin dng mt thụng s SU(2)q 36 CHNG DAO NG T BIN DNG g 41 3.1 u th ca bin dng g so vi bin dng q .41 3.2 H dao ng t bin dng g 43 3.3 Cỏc tớnh cht ca g 44 KT LUN 48 TI LIU THAM KHO 49 M U Lý chn ti Vt lý c xem nh l ngnh khoa hc c bn bi vỡ cỏc nh lut vt lý chi phi tt c cỏc ngnh khoa hc t nhiờn khỏc Trong lch s vt lý, cỏc nh khoa hc ó nhiu ln bin dng cỏc lý thuyt ca mỡnh to nờn cỏc lý thuyt mi ỏp ng nhu cu thc tin Lý thuyt mi ó bin dng l tng quỏt hn v cha lý thuyt ban u, lý thuyt ban u ch l mt trng hp gii hn tham s bin dng tin n mt giỏ tr c bit i s bin dng c cỏc nh vt lý c bit quan tõm bi chỳng liờn quan n nhiu vt lý lý thuyt nh nghiờn cu nghim ca phng trỡnh Yang baxter lng t, lý thuyt trng conformal hu t, lý thuyt trng hai chiu vi nhng thng kờ phõn s Nhng nm gn õy, mt hng phỏt trin mi ca bin dng lng t vt lý lng t ht c bn ó thu hỳt s quan tõm nghiờn cu ca cỏc nh vt lý l lý thuyt bin dng lng t tham s tr thnh toỏn t Lý thuyt bin dng mi ny cú nhiu u th hn so vi lý thuyt bin dng tham s bin dng l c s Trong lun ny chỳng tụi nghiờn cu: Dao ng t bin dng g Dao ng t bin dng tham s bin dng l toỏn t Mc ớch nghiờn cu - Nghiờn cu cỏc dao ng t bin dng tng quỏt - Nghiờn cu cỏc dao ng t bin dng g Nhim v nghiờn cu - Nghiờn cu cỏc dao ng t bin dng, a biu din ca cỏc dao ng t bin dng v tớnh thng kờ ca cỏc dao ng t bin dng i tng v phm vi nghiờn cu - Nghiờn cu dao ng t bin dng thụng s bin dng l toỏn t 5 Phng phỏp nghiờn cu - Phng phỏp lý thuyt nhúm i xng - Phng phỏp gii tớch toỏn hc - Phng phỏp lý thuyt trng lng t Nhng úng gúp mi ca ti õy l ti liu tham kho v dao ng t bin dng cho sinh viờn, hc viờn cao hc v nhng ngi quan tõm v lý thuyt bin dng lng t Cu trỳc lun Lun ny gm ba chng Chng Dao ng t bin dng tng quỏt Chng Nhúm lng t Chng Dao ng t bin dng g NI DUNG CHNG DAO NG T BIN DNG TNG QUT 1.1 Dao ng t bin dng tng quỏt 1.1.1 Dao ng t bin dng tng quỏt Chỳng ta s bt u t mt bin dng bt k ca dao ng t v xõy dng i s ca dao ng t bin dng tng quỏt bng cỏch nghiờn cu cỏc tớnh cht ca chỳng Nhng kt qu ny l tng quỏt v cú th ỏp dng cho mi trng hp bin dng Bin dng tng quỏt ca dao ng t iu hũa cú th c cho bi h thc giao hoỏn c bn aa + = g(a + a), (1.1.1) Trong ú a, a+ l cỏc toỏn t hermitic liờn hp Trong i s ca dao ng t bỡnh thng hm g(x) c nh ngha g ( x ) = + x (1.1.2) Khi s dng (1.1.1) v (1.1.2), ta cú ộởa,a + ựỷ = (1.1.3) Toỏn t s N c nh ngha thụng qua cỏc h thc giao hoỏn [ N,a ] = ộởa +a,a ựỷ = a ộởa + ,a ựỷ + [ a,a ] a + = -a ộở N,a + ựỷ = ộởa + a,a + ựỷ (1.1.4) = a ộởa + ,a + ựỷ + ộởa,a + ựỷ a + = a+ Gi s rng toỏn t s N ny c biu din thụng qua cỏc toỏn t sinh hy theo h thc N = f ( a + a ) (1.1.5) Chỳng ta s tỡm s liờn h gia cỏc hm f(x) v g(x) S dng (1.1.1), ta cú ộa, ( a + a )n ự = a ( a + a )n - ( a + a )n a ờở ỳỷ = ( aa + ) a - ( a + a ) a n n (( ) ) = g ( a +a ) - ( a +a ) a n n (1.1.6) Tng t ta cng thu c (( ) ) ộ a + , ( a + a ) n ự = -a + g ( a + a ) n - ( a + a ) n ởờ ỷỳ (1.1.7) Cỏc phng trỡnh (1.1.6) v (1.1.7) dn n (( ) ) ộa,f ( a + a ) ự = f g ( a + a ) - f ( a + a ) a, ỷ (( ) (1.1.8) ) ộa + ,f ( a + a ) ự = -a + f g ( a + a ) - f ( a + a ) ỷ (1.1.9) Lu ý (1.1.4) v (1.1.8), ta thy nu chn f (g(x)) = + f (x) (1.1.10) thỡ h thc giao hoỏn (1.1.4) s c tha Nh vy t phng trỡnh (1.1.10), nu bit hm g(x) thỡ hm f(x) s hon ton c xỏc nh Nu ta gi F(x) l hm ngc ca hm f(x), tc l F = f -1 hay F ( f (x) ) = x (1.1.11) thỡ hm g(x) s c xỏc nh thụng qua hm f(x) nh sau g(x) = F (1 + f (x) ) (1.1.12) Trong phng trỡnh (1.1.10), nu ta thay x = a+a thỡ vi nh ngha (1.1.1), bin dng tng quỏt ca dao ng t iu hũa s c biu din thụng qua h thc giao hoỏn f (aa + ) - f (a + a) = (1.1.13) õy l h thc giao hoỏn bin dng ca h thc giao hoỏn (1.1.3) Trong h thc giao hoỏn bin dng (1.1.13) ny hm f(x) (hay hm F(x)) c gi l hm c s (hoc hm cu trỳc) ca lý thuyt bin dng, cũn hm g(x) l hm b tr Di õy l mt s dng hm cu trỳc F(x) thng gp 1.1.2 Hm cu trỳc F(x) 1.1.2.1 Hm cu trỳc F(x) = x H thc giao hoỏn ca dao ng t iu hũa tha ộở a, a + ựỷ = (1.1.14) Toỏn t s dao ng N cú dng: N =a+a (1.1.15) Trong ú: a: l toỏn t hy dao ng t a+: l toỏn t sinh dao ng t Kt hp (1.1.14) vi (1.1.15) ta cú: [ N,a ] = ộởa a,a ựỷ + = a ộởa + ,a ựỷ + [ a,a ] a + = -a (1.1.16a) ộở N,a + ựỷ = ộởa + a,a + ựỷ = a ộởa + ,a + ựỷ + ộởa,a + ựỷ a + = a+ (1.1.16b) Xột khụng gian Fock vi trng thỏi chõn khụng tha iu kin: a =0 Trng thỏi n l trng thỏi cú n dao ng t cú th thc hin khụng gian Fock vi c s l cỏc trng thỏi riờng ó chun húa cú dng: (a ) = + n n n! n = 0, 1, n l trng thỏi riờng ca toỏn t s dao ng N ng vi tr riờng n: N n =n n T (1.1.14) v (1.1.17) ta tớnh c: (a ) =a + an n n! aa + (a + ) n -1 = n! (a + )n -1 = ( a a + 1) n! + (a + ) n-2 (a + ) n -1 = a ( aa ) + n! n! + + (a + ) n-2 (a + ) n-1 = a ( a a + 1) + n! n! + + (a + ) n-2 (a + ) n -1 =a a +2 n! n! +2 = a + 3a ( a + ) n -3 (a + ) n -1 +3 n! n! = a+na (a + ) n -1 = +n n! n! (1.1.17) 10 (a + ) n -1 = n (n - 1)! a n = n n -1 (a ) + a+ n = a+ n n! (a ) = + (1.1.19) n +1 n! (a ) + = (n + 1) n +1 (n + 1)! = (n + 1) n + (1.1.20) Hamiltonian ca dao ng t iu hũa cú dng: h2 d 2 H=+ kx 2m dx 2 (1.1.21) thun tin vit cỏc cụng thc, thay cho cỏc toỏn t ta x v xung lng -ih d ta dựng cỏc toỏn t ta v xung lng chớnh tc mi dx x đ q = mx -ih d h d đ p = -i dx m dx H thc giao hoỏn gia q v p [ p,q ] = pq - qp pqy = - Xột ih d m dx ( dy ổ mx y = -ih ỗy + x ữ dx ứ ố ) dy ổ ih d qpy = mx ỗ y = -ihx ữ dx m dx ứ ố ị pqy - qpy = ( pq - qp )y = -ihy 39 Nờn J j,m = m j, m (2.1.15) nu t J + = J1 +iJ = a1+ a J - = J1 - iJ = a 2+ a1 thỡ J + j, m = a1+ a n1 , n [ n ] n1 ,n - [ n1 + 1] n n1 + 1, n - = a1+ = (2.1.16a) = ( j + m + 1)( j - m) j, m + J - j, m = a +2 a1 n1 , n = a +2 n1 n1 - 1,n = n1 n + n1 - 1, n + (2.1.16b) = ( j - m + 1)( j + m) j, m - Trờn õy chỳng tụi ó trỡnh by mt cỏch khỏi quỏt v hỡnh thc lun dao ng t iu hũa, s dng hỡnh thc lun dao ng t iu hũa biu din i s Lie SU(2) Phn 2.1 c coi nh l c s s dng phn 2.2 nghiờn cu v dao ng t iu hũa bin dng q 2.2 i s bin dng mt thụng s SU(2)q i s lng t SU(2)q l mt bin dng q ca i s Lie SU(2), c xõy dng bi ba toỏn t t liờn hp J1, J2, J3 biu din theo cỏc toỏn t hy v sinh nh sau: J1 = (a1+ a + a 2+ a1 ) 40 J2 = + (a1 a - a 2+ a1 ) 2i J = (N1 - N ) Hoc thun tin, thụng thng ngi ta s dng cỏc vi t l t hp ca cỏc vi t trờn: E J + J1 + i J = a1+ a2 , F J - J1 - i J = a2+ a1 , H J a1+ a1 - a2+ a2 = N1 - N i s lng t SU(2)q cú dng: i [ J1 ,J3 ] = - iJ , [ J1, J ] = [ 2J3 ]q , (2.2.1) [ J , J3 ] = iJ1 hay l [ J3 , J ] = iJ ; [ J + ,J - ] = [ 2J3 ]q , (2.2.2) Ta cng chng minh c i s SU(2)q úng kớn nh sau: [ E, F ] = H , [ H , F ] = 2E, [ H , F ] = -2F õy chỳng ta a vo ký hiu q x - q-x [ x ]q = q - q -1 (2.2.3) 41 i s ny l s bin dng ca i s SU(2) c c trng bi thụng s bin dng q Trong trng hp gii hn q đ thỡ [ x ]q đ x v i s (2.2.1) tr v i s SU(2) thụng thng a biu din bt kh quy ca i s ny ta hóy xõy dng dao ng iu hũa bin dng q a vo hai toỏn t a1, a2 v toỏn t liờn hp ca chỳng a1+ ,a +2 cú cỏc tớnh cht sau: ộởa i ,a j ựỷ = (i, j = 1, 2) ộởa i ,a +j ựỷ = (i j) a i a i+ - q -1a i+ a i = q Ni (2.2.4) Vi Ni c nh ngha nh sau [ Ni ]q = a i+a i (2.2.5) [ Ni + 1]q = a ia i+ (2.2.6) ú T nhng h thc ú chỳng ta thu c ộở N i ,a j ựỷ = -a i dij , ộở N i ,a +j ựỷ = a i+ dij (2.2.7) Gi n q l vộc t trng thỏi khụng gian Hilbert; hq l vộc t riờng ca toỏn t Ni Ni n q = ni n q õy n q = n1 , n q (2.2.8) 42 Cú th xõy dng n n q t cỏc toỏn t = n1 ,n q q = a1+ ,a +2 (a1+ ) n1 (a 2+ ) n [ n1 ]q ![ n ]q ! nh sau (2.2.9) Biu din bt kh quy ca i s lng t SU(2)q, cú th thu c t trng thỏi riờng (2.2.9) vi n1 = j + m v n = j - m j, m q = (a1+ ) j+ m (a +2 ) j-m [ j + m ]q ![ j - m ]q ! (2.2.10) Tỏc dng ca nhng vi t J + ,J - ,J lờn c s ú J + j, m q = [ j + m + 1]q [ j - m]q j,m + q [ j - m + 1]q [ j + m]q j,m - q J j,m q = m j, m q J - j, m q = (2.2.11) Nhng vi t ca i s SU(2)q cú th c biu din nhng s hng ca a1, a2 v liờn hp ca chỳng a1+, a2+ nh sau: + a1 a , + J- = a a1 , J = (N1 - N ) J+ = (2.2.12) Toỏn t Casimir l Cq = J12 + J 22 + [ 2]q [ J3 ]q = 2J + J - + [ J ]q [ J - 1]q = 2J - J + + [ J ]q [ J + 1]q (2.2.13) 43 Toỏn t Casimir giao hoỏn vi mi vi t J3, J+, J- ca i s SU(2)q Toỏn t Casimir cú giỏ tr riờng l Cq = [ j]q [ j + 1]q vi 2j thuc hp s t nhiờn Kt lun: Trong chng ny tụi nghiờn cu i s bin dng mt thụng s SU(2) bng cỏch xõy dng h dao ng t iu hũa bin dng q Trong trng hp c bit q đ thỡ i s lng t SU(2)q tr v i s SU(2) thụng thng 44 CHNG DAO NG T BIN DNG g Trong chng ny tụi s gii thiu khỏi nim v dao ng t bin dng g , nhu cu m rng bin dng q thnh bin dng g v cỏc h thc giao hoỏn ca lý thuyt bin dng g Vic so sỏnh dao ng t bin dng g v dao ng t bin dng q cho chỳng ta thy rừ hn u th ca lý thuyt bin dng g so vi lý thuyt bin dng q vt lý lng t 3.1 u th ca bin dng g so vi bin dng q T lý thuyt bin dng q cho cỏc dao ng t boson v fermion n mode (ta gi cỏc ht ny l cỏc ht quon) ta m rng cho h thng cỏc ht quon a mode c xỏc nh bi h thc giao hoỏn a ia +j - qa +j a i = d ij (3.1.1) H thc (3.1.1) c gi l i s quon H thc ny cú th xem nh l mt phộp ni suy gia thng kờ Bose-Eistein v Fermi-irac q chy t n -1 trờn trc thc Tht vy: - Khi q = thỡ phng trỡnh (3.1.1) tr thnh a ia +j - a +j a i = dij Khi ú thng kờ bin dng q tr v thng kờ Bose-Einstein - Khi q = -1 : phng trỡnh (3.1.1) tr thnh a ia +j + a +j a i = dij Khi ú thng kờ bin dng q tr v thng kờ Fermi-Dirac H cỏc ht quon n mode ó c phỏt trin lý thuyt nhúm lng t bin dng SU(2) v ln u tiờn c cp n bi Biedenharn v Macfarlane Khi nghiờn cu lý thuyt bin dng q chỳng ta thy rng cú s khỏc bit gia h cỏc ht quon n mode v a mode Tht vy, trng hp cỏc 45 ht quon n mode tc cỏc dao ng t boson (fermion) bin dng q thỡ cỏc mode khỏc ( i j ) s giao hoỏn (phn giao hoỏn) vi Trong ú h ht quon a mode s ch giao hoỏn vi theo kiu q tc l chỳng tha (3.1.1) Hn na trng hp ca i s quon thỡ khụng cú mt quy lut giao hoỏn no cú th ỏp t i vi a i ,a j v a i+ ,a +j ca cỏc mode khỏc Tc l thng kờ bin dng q khụng cú s liờn quan gia toỏn t a( a + ) ca cỏc mode khỏc h a mode,tc khụng th biu din chỳng bng mt h thc giao hoỏn kiu q no Tht vy, gi s ta cú h thc giao hoỏn a i+ a +j - b a +j a i+ = (3.1.2) ú b l mt hng s no ú Khi ú trng thỏi s c xỏc nh bi s = (a i+ a +j - b a +j a i+ ) = (3.1.3) Rừ rng rng a i = 0, a j = Nh vy nu em a i tỏc ng lờn trng thỏi s v lu ý ti cụng thc (3.1.1) thỡ ta cú = a i s = (a ia i+ a +j - b a i a +j a i+ ) = ộở(1 + qa i+ a i ) a +j - b ( qa +j a i ) a i+ ựỷ = ( a +j + qa i+ a i a +j - b qa +j a i a i+ ) = ộởa +j + qa i+ ( qa +j a i ) - b qa +j (1 + qa i+ a i ) ựỷ = a +j + q 2a i+ a +j a i - b qa +j - b q 2a +j a i+ a i = a +j + q b a +j a i+ a i - b qa +j - q b a +j a i+ a i = a +j - b qa +j = (1 - b q)a +j (3.1.4) 46 Suy 1- bq = (3.1.5) Tng t em a j tỏc ng lờn s = aj s = (a ja i+ a +j - b a j a +j a i+ ) = ( qa i+ a j ) a +j - b (1 + qa +j a j ) a i+ = qa i+ (1 + qa +j a j ) - b a i+ - b qa +j (qa i+ a j ) = qa i+ - b a i+ + q 2a i+ a +j a j - b q 2a +j a i+ a j (3.1.6) = qa i+ - b a i+ + q b a +j a i+ a j - b q 2a +j a i+ a j = ( q - b ) a i+ iu ny dn n (q - b ) = (3.1.7) Cỏc phng trỡnh (3.1.5) v (3.1.7) ch ng thi c tha q = , tc l q = Nh th h thc giao hoỏn gia a i v a j (hoc a i+ v a +j ) khụng l kiu q c m ch l giao hoỏn t bỡnh thng Ch cú mt ng vt qua khú khn trờn l thay c-s q bng toỏn t g Khi ú h thc (3.1.2) cho ta g = (3.1.8) nhng iu ny khụng yờu cu g = 3.2 H dao ng t bin dng g Bõy gi chỳng ta s nghiờn cu thng kờ bin dng g ca cỏc ht guon c nh ngha thụng qua cỏc h thc +j a i = d ij , a ia +j - ga 47 +j a i+ = a i+ a +j - ga (3.1.9) T phng trỡnh u ca (3.1.9) nu ta ly liờn hip hecmit thỡ ta c a ja i+ - a i+ a jg + = d ij (3.1.10) Do i, j l bt k nờn ta cú i+ a j a i+ a jg + = ga (3.1.11) Nu ta gi s g l toỏn t hermitic, tc l g = g + (3.1.12) thỡ phng trỡnh (3.1.11) tr thnh i+ a j a i+ a jg = ga ộởg ,a i+ a j ựỷ = hay (3.1.13) Do i v j l bt k nờn lm tng t nh quỏ trỡnh trờn chỳng ta s thu c hai kh nng i ] = ộởg,a i+ ựỷ = [g,a (3.1.14) i } = {g,a i+ } = {g,a (3.1.15) hoc H thc (3.1.14) ln u tiờn c a bi Wu v Sun 3.3 Cỏc tớnh cht ca g Ta nh ngha giao hoỏn t kiu g nh sau: [ A,B]g = AB - gBA (3.1.16) Khi ú chỳng ta cú th nh ngha thng kờ bin dng g thụng qua cỏc h thc giao hoỏn kiu g nh sau: ộởa i ,a +j ựỷ = d ij , g ộởa i+ ,a +j ựỷ = g ú toỏn t g l hermitic v unitary (3.1.17) 48 g = g + , g = (3.1.18) Tht vy, theo (3.1.9), (3.1.10) v gi s ta cú a i+ a +j - b a +j a i+ = ú b l mt hng s no ú Khi ú trng thỏi s sau s bng s = (a i+ a +j - b a +j a i+ ) = Rừ rng rng a i = 0, a j = Nh vy nu em a i tỏc ng lờn trng thỏi s v lu ý ti cụng thc (3.1.9) thỡ ta cú = s = (a ia i+ a +j - b a i a +j a i+ ) i+ a i ) a +j - b ( ga +j a i ) a i+ ự = ộở(1 + ga ỷ i+ a i a +j - b ga +j a i a i+ ) = ( a +j + ga (3.1.19) i+ ( ga +j a i ) - b ga +j (1 + ga i+ a i ) ự = ộởa +j + ga ỷ +j - b g 2a +j a i+ a i = a +j + g 2a i+ a +j a i - b ga +j - g b a +j a i+ a i = a +j + g b a +j a i+ a i - b ga +j = a +j - b ga +j = (1 - b g)a Suy - b g = (3.1.20) 49 Tng t em a j tỏc ng lờn s = aj s = (a ja i+ a +j - b a j a +j a i+ ) i+ a j ) a +j - b (1 + ga +j a j ) a i+ = ( ga i+ (1 + ga +j a j ) - b a i+ - b ga +j (ga i+ a j ) = ga i+ - b a i+ + g 2a i+ a +j a j - b g 2a +j a i+ a j = ga (3.1.21) i+ - b a i+ + g b a +j a i+ a j - b g 2a +j a i+ a j = ga = ( g - b ) a i+ Suy (g - b ) = (3.1.22) Cỏc phng trỡnh (3.1.20) v (3.1.22) ch ng thi c tha g = V g giao hoỏn vi a i , a i+ i ựỷ = ộởg,a i+ ựỷ = ộởg,a (3.1.23) t N i = a i+ a i , s dng (3.1.17), (3.1.19) ta tớnh c ộở N i ,a j ựỷ = ộởa i+ a i ,a j ựỷ = a i+ a ia j - a ja i+ a i j a i - (d ij + ga i+ a j ) a i = a i+ ga i+ a j a i - d ija i - ga i+ a j a i = ga = -d ija i (3.1.24) 50 Khi i = j thỡ [ Ni ,a i ] = -a i hay [ N,a ] = -a (3.1.25) Tng t ta tớnh c: ộở N i ,a +j ựỷ = dija +j (3.1.26) Khi i = j thỡ ộở N i ,a i+ ựỷ = a i+ hay ộở N,a + ựỷ = a + (3.1.27) T cỏc cụng thc (3.1.24) v (3.1.26) ta thy toỏn t N i vi nh ngha [ Ni ]g = a i+a i (3.1.28) tht s l toỏn t s ht ca dao ng t bin dng g mode i Tht vy, t cụng thc (3.1.25) v (3.1.27) ta thy i = j h thc giao hoỏn gia toỏn t s [ Ni ]g vi cỏc toỏn t sinh ht, hy ht li tr v ỳng dng cho dao ng t boson n mode thụng thng Kt lun: Trong chng ny chỳng tụi ó a c dao ng t lng t g , dao ng bin dng tham s tr thnh toỏn t, ó chng t c u th ca dao ng bin dng thụng s bin dng l toỏn t so vi dao ng bin dng thụng s bin dng l c s Trong lý thuyt bin dng c s thỡ tớnh nhõn qu ch cú c thụng s bin dng q = nhng lý thuyt bin dng g thỡ tớnh nhõn qu vi mụ luụn c tha ú cú s thng nht gia lý thuyt trng bin dng g v lý thuyt khụng bin dng S tng thớch ny a mt hng kh thi xõy dng lý thuyt trng lng t ca cỏc ht vi thng kờ trung gian 51 KT LUN Sau mt khong thi gian tin hnh nghiờn cu, tỡm hiu v dao ng t bin dng, tụi ó gii quyt c cỏc nhim v c bn sau õy: Nghiờn cu c dao ng t bin dng tng quỏt, a mt s dng hm cu trỳc thng gp, biu din hm Hamiltonian thụng qua toỏn t ta v xung lng, t ú a ph nng lng ca dao ng t bin dng tng quỏt Phõn tớch c biu din vụ hn chiu ca i s bin dng tng quỏt thnh biu din vụ hn chiu ca i s boson khụng bin dng v biu din hu hn chiu ca i s bin dng Nghiờn cu i s bin dng mt thụng s SU(2) bng cỏch xõy dng h dao ng t iu hũa bin dng q Trong trng hp c bit q đ thỡ i s lng t SU(2)q tr v i s SU(2) thụng thng Nghiờn cu dao ng t bin dng g , a cỏc h thc giao hoỏn ca lý thuyt bin dng g v thy rng lý thuyt bin dng g u th hn so vi lý thuyt bin dng q Trong khong thi gian nghiờn cu, tin hnh lm lun cũn hn ch Tụi ó c gng trỡnh by hon chnh lun vn, rt mong nhn c s gúp ý ca cỏc thy cụ giỏo v ca bn c lun c hon thin hn 52 TI LIU THAM KHO [1] C.T.V Ba and H.H.Bang (1999), Generalized deformation with q being a root of unity, Tuyn bỏo cỏo hi ngh VLLT ln th 24 (Ton quc) [2] C.T.V.Ba and H.H.Bang (2000), Quantum group and the standard model, Tuyn bỏo cỏo ti hi ngh VLLT ln th 25 ( Ton quc) [3] D.V.Duc (1998), Statistics of q-deformed para- oscillator, Preprint CPT- 94/P 3130, Marseille, France [4] Hong Dng (1999), Nhp mụn C hc lng t, Nh xut bn giỏo dc [5] Lờ Vit Dng, Nguyn Th H Loan (1994), The p, q- Deformed harmonic oscilltors repressentation of the quantum algebra SU(2)pq, Communications in physics, Vol 4, No 2, page 85- 89 [6] Nguyn Th H Loan, Nguyn Hng H (2005), Oscillator repressentation of R(q)- Deformed Virasoro algebra, Bỏo cỏo ti Hi ngh Vt lý lý thuyt ton quc ln th 30 [7] Nguyn Th H Loan, Nguyn Hng H (2003), (q, R)- Deformed Heisenberg algebra and statistics of quantum oscillators, Communications in physics, Vol 13, No 4, page 240- 244 [8] Nguyn Th H Loan (1996), Defomed oscillators and their Statistics, Communications in physics,Vol 6, No 2, page 18- 22 [9] Nguyen Thi Ha Loan (1998), Commutation relations for deformed quantum fielf, Tuyn bỏo cỏo hi ngh vt lý lý thuyt ton quc ln th 22 [10] Nguyn Vn Hiu, Nguyn Bỏ n (2003), C s lý thuyt ca vt lớ lng t, Nh xut bn i hc quc gia H Ni [11] Nguyn Xuõn Hón (1998), C hc lng t, Nh xut bn i hc quc gia H Ni [12] Phm Quý T, ỡnh Thanh (1999), C hc lng t, Nh xut bn i hc quc gia H Ni 53 [13] Trn Thỏi Hoa (2005), C hc lng t, Nh xut bn i hc s phm [14] Daskaloyannisc (1991), Genneralized deformed oscillator and nonlinear algebras, J Phys A24 (15), page 789- 794 [15] Daskaloyannisc (1992), Generalier deformed virasoro algebras, Mod Phys Let A7 (9), page 809- 816 [16] Finkelstein R.J (1993), The GLq(2) gauge theory, Lett Math Phys 29(2), pp 75-82 [17 ] Finkelstein R.J (1995), q field theory, Lett Math Phys 34(2), pp 169-176 [18] Mc Dermott R.J and Solomon A.I (1994), Double squeezing in generalized q- coherent sates, J Phys A27 (2), page 15- 20 [19] Polychronakos A.P (1990), A classical realization of quantum algebra, Mod Phys Lett A5 (4), page 2325- 2333 [20] Jean- Marie Brộbec, Philippe Denộve, Thierry Desmarais, Alain Favier, Marc Mộnộtreir, Bruno Noel, Claude Orsin (2007), Eslectromagnộtisme (Bn dch ting Vit), Nh xut bn giỏo dc [...]... trong dao ng t iu hũa, hng s w c trng cho s thay i theo mi qu o Cũn cụng thc (1.1.72) cho ta thy vi dao ng t iu hũa bin dng thỡ tn s W li l mt hm hng cho mi qu o (do bb * l tớch phõn chuyn ng) Da vo iu ny ta cú th gii thớch dao ng t bin dng tng quỏt nh l mt h thng vi mt s phi tuyn c thự Tn ti nhiu loi phi tuyn m trong ú s bin i ca phase trong chuyn ng ca cỏc mode ging nh dao ng t iu hũa nhng tn s ca dao. .. , N ựỷ = -a + (1.1.61) V iu ú chng t N c xỏc nh bi h thc N = f(a+a) Nh ó bit, cỏc toỏn t hy, sinh a, a+ ca dao ng t iu hũa bin dng cú th c biu din thụng qua cỏc toỏn t hy, sinh ca dao ng t boson bỡnh thng b, b+ nh sau a=b [N ] , N a+ = [ N ]b+ N (1.1.62) Trong c hc lng t, dao ng t bỡnh thng dao ng vi tn s w cú th c biu din thụng qua cỏc bin s mi b= 1 ổ ip ử + wx ữ , ỗ 2ố w ứ b* = 1 ổ ip ử + wx ữ ,... chng ny chỳng tụi ó trỡnh by mt s vn v bin dng lng t tng quỏt khi tham s l c-s a ra cỏc h thc giao hoỏn ca dao ng t bin dng tng quỏt, biu din dao ng t bin dng tng quỏt, khỏi nim hm cu trỳc dao ng t bin dng tng quỏt Biu din hm Hamiltonian thụng qua toỏn t ta v xung lng, t ú a ra ph nng lng ca dao ng t bin dng tng quỏt Chỳng tụi ó phõn tớch c biu din vụ hn chiu ca i s bin dng tng quỏt khi q bng cn bc... n 2ứ ố (1.1.27) T (1.1.26) v (1.1.27) ta cú ph nng lng ca dao ng t iu hũa 1ử ổ En = hw ỗ n + ữ 2ứ ố (1.1.28) 14 Vy cỏc trng thỏi dng ca dao ng t iu hũa cú nng lng giỏn on vi cỏc giỏ tr cỏch u nhau, hiu s nng lng gia hai trng thỏi k nhau luụn luụn bng cựng mt lng t nng lng hw x -x 1.1.2.2 Hm cu trỳc ca h boson bin dng q: F(x) = q - q-1 q-q Dao ng t boson bin dng q c nh ngha thụng qua cỏc h thc giao... , (1.1.29) Vi q l thụng s bin dng Trong phng trỡnh trờn, nu q=1 thỡ tr v h thc dng dao ng t iu hũa Toỏn t hy, toỏn t sinh v toỏn t s dao ng N tha món h thc giao hoỏn: [ N,a ] = -a, (1.1.30a) ộở N,a + ựỷ = a + (1.1.30b) a vo toỏn t mi N0 cú dng nh toỏn t s trong trng hp khụng bin dng, tc l N0 = a +a (1.1.31) Toỏn t s dao ng t bin dng N cú cỏc trng thỏi riờng m tha món phng trỡnh hm riờng, tr riờng... Biu din ca dao ng t bin dng tng quỏt Nh chỳng ta ó bit cỏc mụ hỡnh vi nhúm lng t rt lý thỳ v mt nhn thc, nhng cha cỏc kt qu thc nghim kho sỏt nhng kt qu bin dng q trong cỏc quỏ trỡnh vt lý thc t Trong mc ny chỳng tụi chng minh rng biu din vụ hn chiu ca i s bin dng tng quỏt cú th phõn tớch thnh biu din hu hn chiu ca i s bin dng tng quỏt v biu din vụ hn chiu ca i s dao ng t c in 27 Xột i s dao ng t bin... (1.2.24) iu ú cú ngha rng biu din vụ hn chiu ca i s dao ng t bin dng tng quỏt cú th phõn tớch thnh biu din ca i s boson c in v biu din hu hn chiu ca i s dao ng bin dng tng quỏt 33 Mt cỏch hỡnh tng ta cú th dựng hỡnh v sau õy: m-1 A m-1 A trong ú cỏc hỡnh vuụng nh gch chộo ng vi mt trng thỏi c in, cũn cỏc hỡnh vuụng ln trng ng vi biu din m - 1 chiu ca dao ng t bin dng Cỏc trng thỏi trong phm vi ca biu... c biu din qua toỏn t ta x v toỏn t xung lng p cú dng: p2 1 H= + mw 2 x 2 2m 2 (1.1.41) Toỏn t hy v sinh dao ng t a, a + ca dao ng bin dng q: a= a = -i mw ổ i ỗx+ 2h ố mw ử pữ ứ mw h ổ i ỗx2h ố mw ử pữ ứ (1.1.42a) (1.1.42b) Cỏc toỏn t ta v xung lng cú th biu din ngc li qua cỏc toỏn t hy v sinh dao ng t a, a + : 19 x= h a + a+ ) ( 2mw p = -i mw h a - a+ ) ( 2 (1.1.43a) (1.1.43b) Thay (1.1.42a), (1.1.42b)... bin s mi b , b * p2 1 2 2 H( b , b ) = + w x = wbb * 2 2 * (1.1.66) ng thi hm bb * l tớch phõn chuyn ng v trong lý thuyt lng t thỡ tng ng vi s mc kớch thớch hoc s ht Tng t nh (1.1.60), chỳng ta nh ngha dao ng t iu hũa bin dng c in thụng qua cỏc bin ( b , b * ) 24 F( bb * ) a= b, bb * F( bb * ) * a = b bb * * (1.1.67) Nhõn hai phng trỡnh ca (1.1.67), ta thu c a 2 = aa * = F( bb * ) (1.1.68) Chỳng ta s... a+ ) ( a + a+ ) ( 2mw 2 h ộ 2 a + aa + + a + a + ( a + ) ự ỷ 2mw ở H= 2 2 -hw ộ 2 hw ộ 2 a - aa + - a + a + ( a + ) ự + a + aa + + a + a + ( a + ) ự ỷ 4 ở ỷ 4 ở H= hw aa + + a + a ) ( 2 Ph nng lng ca dao ng bin dng q: H m = En m hw aa + + a + a ) m = En m ( 2 hw ([ m + 1] + [ m]) m = En m 2 Vy En = hw ([ m + 1] + [ m]) 2 20 1.1.2.3 Hm cu trỳc ca h boson bin dng Q: F(x) = qx -1 q -1 cho h thc giao ... cu: Dao ng t bin dng g Dao ng t bin dng tham s bin dng l toỏn t Mc ớch nghiờn cu - Nghiờn cu cỏc dao ng t bin dng tng quỏt - Nghiờn cu cỏc dao ng t bin dng g Nhim v nghiờn cu - Nghiờn cu cỏc dao. .. dng g NI DUNG CHNG DAO NG T BIN DNG TNG QUT 1.1 Dao ng t bin dng tng quỏt 1.1.1 Dao ng t bin dng tng quỏt Chỳng ta s bt u t mt bin dng bt k ca dao ng t v xõy dng i s ca dao ng t bin dng tng... DUNG CHNG DAO NG T BIN DNG TNG QUT 1.1 Dao ng t bin dng tng quỏt 1.1.1 Dao ng t bin dng tng quỏt 1.1.2 Hm cu trỳc F(x) 1.2 Biu din ca dao ng t bin dng tng quỏt