KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN THỨ I NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài (2,0 điểm) Thực phép tính : A = - 9.2 a+ a  a - a  a ≥ 0; a ≠ +1÷ -1÷ ÷ ÷ với  a +1   a -1  Cho biểu thức P =  a) Chứng minh P = a -1 b) Tính giá trị P a = + Bài (2,5 điểm) Giải phương trình x2- 5x + = Tìm m để phương trình x2- 5x - m + = có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 13 Cho hàm số y = x có đồ thị (P) đường thẳng (d) : y = - x + a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ b) Bằng phép tính tìm tọa độ giao điểm (P) (d) Bài (1,5 điểm) Hai vòi nước chảy vào bể nước đầy bể Nếu vòi thứ chảy vòi thứ hai chảy bể nước Hỏi vòi chảy đầy bể ? Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) điểm S nằm bên đường tròn Kẻ đường thẳng qua S (không qua tâm O) cắt đường tròn (O; R) hai điểm M N với M nằm S N Gọi H giao điểm SO AB; I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt E a) Chứng minh tứ giác IHSE nội tiếp đường tròn b) Chứng minh OI.OE = R2 Bài (1,0 điểm) Giải phương trình : 2010 − x + x − 2008 = x − 4018x + 4036083 - KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN THỨ NĂM HỌC 2011 - 2012 Đáp án chấm Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Tóm tắt cách giải Bài : (2,0 điểm) Bài 1.1 (0,5 điểm) - = -12 = -9 Biểu điểm 0,25điểm 0,25điểm Bài 1.2 (1,5 điểm) a) Chứng minh P = a - 1: a+ a  a - a   a ( a +1)  a ( a -1)  +1÷ -1÷ +1÷ -1÷ P =  ÷ ÷ =  ÷ ÷ a +1 a -1  a +1  a -1     = ( a +1)( a -1) = a -1 Vậy P = a - 0,25 điểm 0,5 điểm b) Tính giá trị P a = + a = + = + +1 = 0, điểm ( ) +1 = +1 0,25 điểm P = a -1 = +1-1 = Bài : (2,5 điểm) (0,5 điểm) Giải phương trình x2 − 5x + = Ta có ∆ = 25 − 24 = Tính : x1= 2; x2 = (1,0 điểm) Ta có ∆ = 25 − 4( − m + 7) = 25 + 4m − 28 = 4m − 3 Phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 ⇔ ∆ = 4m − ≥ ⇔ m ≥ Với điều kiện m ≥ , ta có: x12 + x22 = ( x1 + x2 ) - x1x2 =13 ⇔ 25 - 2(- m + 7) = 13 ⇔ 2m = ⇔ m = ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy m = giá trị cần tìm 3.(1,0 điểm) a) Vẽ Parabol (P) đường thẳng (d) : 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bảng giá trị tương ứng: x y = -x + y = x2 0,25 điểm -2 4 -1 1 y 0,25 điểm -5 -2 -1 O x b) Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình : x2 + x -2 = ; Giải phương trình ta x1 = x2 = -2 Vậy tọa độ giao điểm (1 ; 1) (-2 ; 4) Bài (1,5 điểm) Gọi thời gian vòi thứ chảy đầy bể nước x (h) thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể nước y (h) Điều kiện : x , y > Trong giờ, vòi thứ chảy bể x Trong vòi thứ hai chảy bể y Trong hai vòi chảy : bể Theo đề ta có hệ phương trình : 1 1 x + y =   3 + =  x y Giải hệ phương trình ta x = 7,5 ; y = 15 ( thích hợp ) Trả lời : Thời gian vòi thứ chảy đầy bể nước 7,5 (h) (hay 30 phút ) Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể nước 15 (h) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bài (3,0 điểm) Vẽ hình 0,25 điểm E A N I M S H O B a) Chứng minh tứ giác IHSE nội tiếp đường tròn : Ta có SA = SB ( tính chất tiếp tuyến) Nên ∆ SAB cân S Do tia phân giác SO đường cao ⇒ SO ⊥ AB I trung điểm MN nên OI ⊥ MN · · Do SHE = SIE = 1V ⇒ Hai điểm H I nhìn đoạn SE góc vuông nên tứ giác IHSE nội tiếp đường tròn đường kính SE b) ∆ SOI đồng dạng ∆ EOH ( g.g) ⇒ OI OS = ⇒ OI.OE = OH.OS OH OE mà OH.OS = OB2 = R2 ( hệ thức lượng tam giác vuông SOB) nên OI.OE = R 3R R R2 ⇒ OE = = 2R ⇒ EI = OE − OI = 2 OI R 15 Mặt khác SI = SO − OI = R 3( − 1) ⇒ SM = SI − MI = 2 SM.EI R 3( − 1) Vậy SESM = = c) Tính OI= 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bài (1,0 điểm) Phương trình : 2010 − x + x − 2008 = x − 4018x + 4036083 (*)  2010 − x ≥ ⇔ 2008 ≤ x ≤ 2010 Điều kiện   x − 2008 ≥ ( 2 Áp dụng tính chất ( a + b ) ≤ a + b Ta có : ( 2010 − x + x − 2008 ⇒ 2010 − x + x − 2008 ≤ ) ) 0,25 điểm với a, b ≤ ( 2010 − x + x − 2008 ) = ( 1) Mặt khác x − 4018x + 4036083 = ( x − 2009 ) + ≥ ( 2) 0,25 điểm Từ (1) (2) ta suy : (*) ⇔ 2010 − x + x − 2008 = ( x − 2009 ) + = 2 0,25 điểm ⇔ ( x − 2009 ) = ⇔ x = 2009 ( thích hợp) Vậy phương trình có nghiệm x = 2009 0,25 điểm Ghi chú: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải, cách giải khác cho điểm tối đa theo biểu điểm qui định - Đáp án có chỗ trình bày tóm tắt, biểu điểm có chỗ chưa chi tiết cho bước biến đổi, lập luận; tổ giám khảo cần thảo luận thống trước chấm - Điểm toàn không làm tròn số KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN THỨ II NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài (3 điểm): 2x - 3y = -13 A) Giải hệ phương trình sau:  3x + 5y = B) TÝnh 1) − 80 + 125 1 − 2) ; −1 +1 C) Cho phương trình: x2 + mx - = (1) (với m tham số) Giải phương trình (1) m= Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình (1), tìm m để: x1(x22 + 1) + x2(x21 + 1) > Bài (1.5 điểm): Cho biểu thức: B = ( - )( - ) với b > 0; b≠ Rút gọn B Tìm b để biểu thức B nhận giá trị nguyên Bài 3(1.5 điểm): Một công ty vận tải điều số xe tải để chở 90 hàng Khi đến kho hàng có xe bị hỏng nên để chở hết lượng hàng xe lại phải chở thêm 0,5 so với dự định ban đầu Hỏi số xe điều đến chở hàng ? Biết khối lượng hàng chở xe Bài (3.0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BM, CN tam giác cắt H Chứng minh tứ giác BCMN tứ giác nội tiếp đường tròn Kéo dài AO cắt đường tròn (O) K Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành Cho cạnh BC cố định, A thay đổi cung lớn BC tam giác ABC nhọn Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác BCH lớn Bài (1.0 điểm): Cho a, b c ác số dương thảo mãn a + b = 33 Tìm giá trị nhỏ P = a2 + b2 + ab Hết KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN THỨ NĂM HỌC 2011 - 2012 Đáp án chấm Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút -Bài Nội dung Cho phương trình: x + mx - = (1) (với m tham số) Giải phương trình (1) m= 3: - Phương trình trở thành: x2 + 3x - = - Vì tổng hệ số: + + (-4) = nên phương trình có nghiệm x1=1 v x2=- Vậy m = th ì phương trình có nghiệm x1=1 v x2=- Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình (1), tìm m để: x1(x22 + 1) + x2(x21 + 1) > - Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thì: ∆ ≥ mà ∆ = m2 + 16≥16 với m  x1 + x = −m(*) Khi theo Vi-ét ta có:   x1 x = −4(**) - Ta lại có x1(x 2+1)+x2(x21+1)> 6 x1x22+x1 +x2x21+x2 > 6 x1x2(x1+ x2) + x1+ x2> (x1+ x2)(x1x2+1)>6 (***) - Thay (*), (**) vào (***) ta có: -m(-4+1) > 3m>6 m >2 - Vậy m >2 th ì phương trình (1) có nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1(x22+1)+x2(x21+1)> Bài (2.0 điểm): Cho biểu thức: B = = ( + )( - ) với b > 0; b ≠ Rút gọn B  ( b + 3)( b + 3) - ( b − 3)( b − 3)  b −    Với b > 0; b ≠ B =   b  ( b − 3)( b + 3)      b −    12 b     ( b − 3)( b + 3)  b  =  b +       Tìm b để biểu thức B nhận giá trị nguyên    nguyên b +3 ước b +3≥3 nên B =   b +3 b +3 = hay b =1 b=1 - Vậy với b = B đạt giá trị nguyên Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 điểm A, B thuộc parabol (P) vơi xA = 2, xB = - 1 Tìm toạ độ điểm A, B viết phương trình đường thẳng AB - Tọa độ điểm A: xA = 2=> y = 22= Vậy A(2;4) - Tọa độ điểm B: xB = -1=> y = (-1)2= Vậy B(-1;1) - Gọi đường thẳng qua A(2;4), B(-1; 1) có dạng y = ax + b (AB) - Vì (AB) qua A(2; 4) nên 2a + b = 4(i) - Vì (AB) qua B(-1; 1) nên -a +b = 1(ii) - Lấy phương trình (i) trừ (ii) ta 3a = => a = =>b= Vậy đường thảng AB có dạng: y = x +2 Tim n để đường thẳng (d): y = (2n - n)x + n + (với n tham số) song Điểm 0,25 0,5 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0.5 0,5 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 song với đường thẳng AB - Đường thẳng AB: y = x+2 song song với (d) y = (2n 2-n)x+n+1 thì: 2n 2-n =1(u) n+1 ≠2(v) Giải (u) ta n = 1; n = - kết hợp với (v) n≠1 Nên với n= AB song với (d) 0,5 0,25 0,25 0.25 0.5 Chứng minh BCMN tứ giác nội tiếp đường tròn 0,25 - Lấy I trung điểm BC Suy ra:BI= CI = MI = NI nên B ,C, M, N cách điểm I nên tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn Kéo dài AO cắt đường tròn (O) K Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành Ta có: ABK = 900 = (góc nội tiếp) => BK⊥AB nên BK∥CH(*) Tương tự: ACK = 900 = (góc nội tiếp) => CK⊥AC nên CK∥BH(**) Từ (*) (**) suy BHCK hình bình hành 0,5 0.25 0,25 Cho cạnh BC cố định, A thay đổi cung lớn BC tam giác ABC nhọn Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác BCH lớn Gọi I giao điểm AH BC, F trung điểm BC Vì A thay đổi BC cố định lam giác ABC nhọn nên H nằm tam giác ABC Nên S ∆BCH = BC.HI lớn HI lớn (BC cố định), HI lớn => AI lớn => I≡ 0,25 F mà F trung điểm BC nên ∆ABC cân A => AB = AC=> A bằm 0,25 lớn cung BC 0,25 0,25 Cho a, b c ác số dương thảo mãn a + b = Tìm giá trị nhỏ P = a + b2 + Ta có (a-b)2≥ => a2+b2≥ 2ab (a+b)2≥ 4ab hay ab≤ => ≥ Nên P = a2 + b2 + ≥ 2ab + + ≥ 0,25 ≥ + =16 + = Dấu "=" xảy 2ab= a=b hay ab = a = b =>a = b= 0,25 Vậy Min P = a = b = 0,25 0,25 ... (- 1)2= Vậy B(-1;1) - Gọi đường thẳng qua A(2;4), B(-1; 1) có dạng y = ax + b (AB) - Vì (AB) qua A(2; 4) nên 2a + b = 4(i) - Vì (AB) qua B(-1; 1) nên -a +b = 1(ii) - Lấy phương trình (i) trừ (ii)... x = −m(*) Khi theo Vi-ét ta có:   x1 x = − 4(* *) - Ta lại có x1(x 2+1)+x2(x21+1)> 6 x1x22+x1 +x2x21+x2 > 6 x1x2(x1+ x2) + x1+ x2> (x1+ x2)(x1x2+1)>6 (* **) - Thay (* ), (* *) vào (* **)...KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN THỨ NĂM HỌC 2 011 - 2012 Đáp án chấm Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Tóm tắt cách giải Bài : (2 ,0 điểm) Bài 1.1 (0 ,5 điểm) - = -12 =