Bµi tËp H×nh tỉng hỵp C©u IV(3,5®): HN Cho ®êng trßn (O;R) vµ ®iĨm A n»m bªn ngoµi ®êng trßn KỴ tiÕp tun AB, AC víi ®êng trßn (B, C lµ c¸c tiÕp ®iĨm) 1/ Chøng minh ABOC lµ tø gi¸c néi tiÕp 2/ Gäi E lµ giao ®iĨm cđa BC vµ OA Chøng minh BE vu«ng gãc víi OA vµ OE.OA = R2 3/ Trªn cung nhá BC cđa ®êng trßn (O;R) lÊy ®iĨm K bÊt kú (K kh¸c B vµ C) TiÕp tun t¹i K cđa ®êng trßn (O;R) c¾t AB, AC theo thø tù t¹i P, Q Chøng minh tam gi¸c APQ cã chu vi kh«ng ®ỉi K chun ®éng trªn cung nhá BC 4/ §êng th¼ng qua O vµ vu«ng gãc víi OA c¾t c¸c ®êng th¼ng AB, AC theo thø tù t¹i c¸c ®iĨm M, N Chøng minh PM + QN ≥ MN C©u V: (4,0®) C tho Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, cã AB = 14, BC = 50 §êng ph©n gi¸c cđa gãc ABC vµ ®êng trung trùc cđa c¹nh AC c¾t t¹i E Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn X¸c ®Þnh t©m O cđa ®êng trßn nµy TÝnh BE VÏ ®êng kÝnh EF cđa ®êng trßn t©m (O) AE vµ BF c¾t t¹i P Chøng minh c¸c ®êng th¼ng BE, PO, AF ®ång quy TÝnh diƯn tÝch phÇn h×nh trßn t©m (O) n»m ngoµi ngò gi¸c ABFCE Bµi 4: (2,75®) hue Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R VÏ tiÕp tun d víi ®êng trßn (O) t¹i B Gäi C vµ D lµ hai ®iĨm t ý trªn tiÕp tun d cho B n»m gi÷a C vµ D C¸c tia AC vµ AD c¾t (O) lÇn lỵt t¹i E vµ F (E, F kh¸c A) Chøng minh: CB2 = CA.CE Chøng minh: tø gi¸c CEFD néi tiÕp ®êng trßn t©m (O’) Chøng minh: c¸c tÝch AC.AE vµ AD.AF cïng b»ng mét sè kh«ng ®ỉi TiÕp tun cđa (O’) kỴ tõ A tiÕp xóc víi (O’) t¹i T Khi C hc D di ®éng trªn d th× ®iĨm T ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh nµo? C©u V: HCM Cho tam gi¸c ABC (AB CD C©u IV: (3,0®) NghƯ An Cho ®êng trßn (O;R), ®êng kÝnh AB cè ®Þnh vµ CD lµ mét ®êng kÝnh thay ®ỉi kh«ng trïng víi AB TiÕp tun cđa ®êng trßn (O;R) t¹i B c¾t c¸c ®êng th¼ng AC vµ AD lÇn lỵt t¹i E vµ F Chøng minh r»ng BE.BF = 4R2 Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp ®êng trßn Gäi I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CEFD Chøng minh r»ng t©m I lu«n n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh Bµi (3,0 ®iĨm) QUẢNG NINH Cho ®iĨm M n»m ngoµi ®êng trßn (O;R) Tõ M kỴ hai tiÕp tun MA , MB ®Õn ®êng trßn (O;R) ( A; B lµ hai tiÕp ®iĨm) a) Chøng minh MAOB lµ tø gi¸c néi tiÕp b) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c AMB nÕu cho OM = 5cm vµ R = cm c) KỴ tia Mx n»m gãc AMO c¾t ®êng trßn (O;R) t¹i hai ®iĨm C vµ D ( C n»m gi÷a M vµ D ) Gäi E lµ giao ®iĨm cđa AB vµ OM Chøng minh r»ng EA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc CED Bài : (3 điểm) HẢI PHỊNG Cho tam giác ABC vng A Một đường tròn (O) qua B C cắt cạnh AB , AC tam giác ABC D E ( BC khơng đường kính đường tròn tâm O).Đường cao AH tam giác ABC cắt DE K · · 1.Chứng minh ADE = ACB 2.Chứng minh K trung điểm DE 3.Trường hợp K trung điểm AH Chứng minh đường thẳng DE tiếp tuyến chung ngồi đường tròn đường kính BH đường tròn đường kính CH Bài 4: (3,5 điểm) KIÊN GIANG Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R Trên tia đối AB lấy điểm C cho BC = R, đường tròn lấy điểm D cho BD = R, đường thẳng vng góc với BC C cắt tia AD M a) Chứng minh tứ giác BCMD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh tam giác ABM tam giác cân c) Tính tích AM.AD theo R d) Cung BD (O) chia tam giác ABM thành hai hần Tính diện tích phần tam giác ABM nằm ngồi (O) Bài : (3,5 điểm) AN GIANG Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB dây CD vng góc với (CA < CB) Hai tia BC DA cắt E Từ E kẻ EH vng góc với AB H ; EH cắt CA F Chứng minh : 1/ Tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn 2/ Ba điểm B , D , F thẳng hàng 3/ HC tiếp tuyến đường tròn (O) Bài (3,5 điểm) THÁI BÌNH Cho đường tròn (O; R) A điểm nằm bên ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) 1)Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp 2)Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vng góc với OA OE.OA=R2 3)Trên cung nhỏ BC đường tròn (O; R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K đường tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự điểm P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC 4)Đường thẳng qua O, vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự điểm M, N Chứng minh PM + QN ≥ MN Bài (3,5 điểm) THÁI BÌNH Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DM, đường thẳng cắt đường thẳng DM DC theo thứ tự H K Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn; · Tính CHK ; Chứng minh KH.KB = KC.KD; Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC N Chứng minh 1 = + 2 AD AM AN Câu 8:( 3,0 điểm) VĨNH PHÚC Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB kẻ hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vng góc với CI C cắt tia By K Đường tròn đường kính IC cắt IK P ( P khác I) a, Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn, rõ đường tròn · · b, Chứng minh CIP = PBK c, Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích tứ giác ABKI lớn Bài (3,5 điểm) THANH HĨA Cho nửa đương tròn tâm O đường kính AB = 2R Trên tia đối tia BA lấy điểm G (khác với điểm B) Từ điểm G; A; B kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) Tiếp tuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A avf B C D Gọi N tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O) Chứng minh tứ giác BDNO nội tiếp Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từ suy CN DN = CG DG · Đặt BOD = α Tính độ dài đoạn thẳng AC BD theo R α Chứng tỏ tích AC.BD phụ thuộc R, khơng phụ thuộc α Bài ( 3,5 điểm ) ĐÀ NẲNG Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C khơng trùng với M, N B Nối AC cắt MN E a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆AME ∆ACM AM2 = AE.AC c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2 d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Câu : PHÚ N ( 2,5 điểm ) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường tròn đường kính AB = 2R Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp b) Chứng minh : DB.DC = DN.AC c) Xác định vị trí điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn tính diện tích trường hợp Bµi 4: (3,0 ®iĨm) hƯng yªn Cho A lµ mét ®iĨm trªn ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R Gäi B lµ ®iĨm ®èi xøng víi O qua A KỴ ®êng th¼ng d ®i qua B c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D (d kh«ng ®i qua O, BC < BD) C¸c tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) t¹i C vµ D c¾t t¹i E Gäi M lµ giao ®iĨm cđa OE vµ CD KỴ EH vu«ng gãc víi OB (H thc OB) Chøng minh r»ng: a) Bèn ®iĨm B, H,M, E cïng thc mét ®êng trßn b) OM.OE = R2 c) H lµ trung ®iĨm cđa OA Bài ( Cho tam giác ABC có góc A 60 0, góc B, C nhọn vẽ đường cao BD CE tam giác ABC Gọi H giao điểm BD CE a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB c/ Tính tỉ số DE BC d/ Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA vng góc với DE Câu (3,5 điểm) QUẢNG TRỊ Cho điểm A nằm ngồi đường tròn tâm O bán kính R Từ A kẻ đường thẳng (d) khơng qua tâm O, cắt đường tròn (O) B C ( B nằm A C) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) B C cắt D Từ D kẻ DH vng góc với AO (H nằm AO), DH cắt cung nhỏ BC M Gọi I giao điểm DO BC Chứng minh OHDC tứ giác nội tiếp Chứng minh OH.OA = OI.OD Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn (O) Cho OA = 2R Tính theo R diện tích phần tam giác OAM nằm ngồi đường tròn (O) C©u IV : (3,0 ®iĨm) H¶i d Ư¬ng Cho ®êng trßn (O), d©y AB kh«ng ®i qua t©m Trªn cung nhá AB lÊy ®iĨm M (M kh«ng trïng víi A, B) KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i H KỴ MK vu«ng gãc víi AN ( K ∈ AN ) 1) Chøng minh: Bèn ®iĨm A, M, H, K thc mét ®êng trßn 2) Chøng minh: MN lµ ph©n gi¸c cđa gãc BMK 3) Khi M di chun trªn cung nhá AB Gäi E lµ giao ®iĨm cđa HK vµ BN X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm M ®Ĩ (MK.AN + ME.NB) cã gi¸ trÞ lín nhÊt Câu 4:(3 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc Cho tam giác MNP cân M có cậnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đường tròn ( O;R) Tiếp tuyến N P đường tròn cắt tia MP tia MN E D a) Chứng minh: NE2 = EP.EM a) Chứng minh tứ giác DEPN kà tứ giác nội tiếp b) Qua P kẻ đường thẳng vng góc với MN cắt đường tròn (O) K ( K khơng trùng với P) Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2 Bµi 4: Hµ Giang (3,0 ®iĨm ) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O, ba ®êng cao AD, BE, CF cđa tam gi¸c ABC c¾t ë H KÐo dµi AO c¾t ®êng trßn t¹i M, AD c¾t ®êng trßn O ë K ( K kh¸c A, M kh¸c A) Chøng minh r»ng : a, MK song song BC b, DH = DK c, HM ®i qua trung ®iĨm I cđa BC Bài 4: (3 điểm) BÌNH THUẬN Cho tam giác ABC vng A có cạnh AB = 4,5 cm; AC = cm 1/ Tính độ dài đường cao AH diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2/ Trên cạnh AC lấy điểm M vẽ đường tròn (O) đường kính MC, BM cắt (O) D; DA cắt (O) S; (O) cắt BC N Chứng minh: a/ Các tứ giác ABCD, ABNM nội tiếp b/ CA phân giác góc SCB Câu 4: (3đ) Long An Cho đường tròn (O) đường kính AB, C điểm nằm O A Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt (O) P,Q.Tiếp tuyến D cung nhỏ BP, cắt PQ E; AD cắt PQ F Chứng minh: a/ Tứ giác BCFD tứ giác nội tiếp b/ED=EF c/ED2=EP.EQ C©u 6: (3,0 ®iĨm) B¾c Ninh Cho nưa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB Tõ ®iĨm M trªn tiÕp tun Ax cđa nưa ®êng trßn vÏ tup tun thø hai MC(C lµ tiÕp ®iĨm) H¹ CH vu«ng gãc víi AB, ®êng th¼ng MB c¾t ®êng trßn (O) t¹i Q vµ c¾t CH t¹i N Gäi giao ®iĨm cđa MO vµ AC lµ I Chøng minh r»ng: a/ Tø gi¸c AMQI néi tiÕp b/ ·AQI = ·ACO c/ CN = NH C©u V:(3,0 ®iĨm) B¾c giang 1/ Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O C¸c ®êng cao BH vµ CK tam gi¸c ABC c¾t t¹i ®iĨm I KỴ ®êng kÝnh AD cđa ®êng trßn t©m O, c¸c ®o¹n th¼ng DI vµ BC c¾t t¹i M.Chøng minh r»ng a/Tø gi¸c AHIK néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn b/OM ⊥ BC 2/Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A,c¸c ®êng ph©n gi¸c cđa go¸c B vµ gãc C c¾t c¸c c¹nh AC vµ AB lÇn lỵt t¹i D vµ E Gäi H lµ giao ®iĨm cđa BD vµ CE, biÕt AD=2cm, DC= cm tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng HB C©u V:(3,0 ®iĨm) B¾c giang Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB cè ®Þnh H thc ®o¹n th¼ng OA( H kh¸c A;O vµ trung ®iĨm cđa OA) KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i H MN c¾t AK t¹i E Chøng minh tø gi¸c HEKB néi tiÕp Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c AKM Cho ®iĨm H cè ®Þnh, x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa K ®Ĩ kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MKE nhá nhÊt Bài 4: (3,5 điểm) ĐĂK LĂK Cho tam giác vng cân ADB ( DA = DB) nội tiếp đường tròn tâm O Dựng hình bình hành ABCD ; Gọi H chân đường vng góc kẻ từ D đến AC ; K giao điểm AC với đường tròn (O) Chứng minh rằng: 1/ HBCD tứ giác nội tiếp · · 2/ DOK = 2.BDH 3/ CK CA = 2.BD Bµi (3,5®iĨm) B×NH D¦¥NG Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB cã b¸n kÝnh R, tiÕp tun Ax Trªn tiÕp tun Ax lÊy ®iĨm F cho BF c¾t ®êng trßn t¹i C, tia ph©n gi¸c cđa gãc ABF c¾t Ax t¹i E vµ c¾t ®êng trßn t¹i D a) Chøng minh OD // BC b) Chøng minh hƯ thøc : BD.BE = BC.BF c) Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp d) X¸c ®Þnh sè ®o cđa gãc ABC ®Ĩ tø gi¸c AOCD lµ h×nh thoi TÝnh diƯn tÝch h×nh thoi AOCD theo R Bµi (3,0 ®iĨm): qu¶ng b×nh Cho tam gi¸c PQR vu«ng c©n t¹i P Trong gãc PQR kỴ tia Qx bÊt kú c¾t PR t¹i D (D kh«ng trïng víi P vµ D kh«ng trïng víi R) Qua R kỴ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi Qx t¹i E Gäi F lµ giao ®iĨm cđa PQ vµ RE d) Chøng minh tø gi¸c QPER néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn e) Chøng minh tia EP lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc DEF f) TÝnh sè ®o gãc QFD g) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n th¼ng QE Chøng minh r»ng ®iĨm M lu«n n»m trªn cung trßn cè ®Þnh tia Qx thay ®ỉi vÞ trÝ n»m gi÷a hai tia QP vµ QR Bài 4: (4,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUN Cho tam giác ABC ( AB < AC) có góc nhọn Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh AB, AC theo thứ tự E D 1/ Chứng minh AD.AC = AE.AB 2/ Gọi H giao điểm DB CE Gọi K giao điểm AH BC Chứng minh AH ⊥ BC 3/ Từ A kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (O) (M,N tiếp điểm).Chứng · · minh ANM = AKN 4/ Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng Bµi Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O) C¸c ®êng cao AD, BE, CF c¾t t¹i H vµ c¾t ®êng trßn (O) lÇn lỵt t¹i M,N,P Chøng minh r»ng: Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp Bèn ®iĨm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H vµ M ®èi xøng qua BC X¸c ®Þnh t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: ∠ CEH = 900 ( V× BE lµ ®êng cao) ∠ CDH = 900 ( V× AD lµ ®êng cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 Mµ ∠ CEH vµ ∠ CDH lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 900 CF lµ ®êng cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 900 Nh vËy E vµ F cïng nh×n BC díi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC VËy ®iĨm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã: ∠ AEH = ∠ ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung => ∆ AEH ∼ ∆ADC => AE AH = => AE.AC = AH.AD AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã: ∠ BEC = ∠ ADC = 900 ; ∠C lµ gãc chung => ∆ BEC ∼ ∆ADC => BE BC = => AD.BC = BE.AC AD AC Ta cã ∠C1 = ∠A1 ( v× cïng phơ víi gãc ABC) ∠C2 = ∠A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => ∠C1 = ∠ C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc HCM; l¹i cã CB ⊥ HM => ∆ CHM c©n t¹i C => CB còng lµ ®¬ng trung trùc cđa HM vËy H vµ M ®èi xøng qua BC Theo chøng minh trªn ®iĨm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn => ∠C1 = ∠E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp ∠C1 = ∠E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) ∠E1 = ∠E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc FED Chøng minh t¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t t¹i H ®ã H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF Bµi Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®êng cao AD, BE, c¾t t¹i H Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE ∠ CEH = 900 ( V× BE lµ ®êng cao) Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bèn ®iĨm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh ED = BC Chøng minh DE lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = Cm, AH = Cm Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: ∠ CDH = 900 ( V× AD lµ ®êng cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 Mµ ∠ CEH vµ ∠ CDH lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900 AD lµ ®êng cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 900 Nh vËy E vµ D cïng nh×n AB díi mét gãc 900 => E vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB VËy ®iĨm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng trung tun => D lµ trung ®iĨm cđa BC Theo trªn ta cã ∠BEC = 900 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tun => DE = BC V× O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iĨm cđa AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => ∠E1 = ∠A1 (1) Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => ∠E3 = ∠B1 (2) Mµ ∠B1 = ∠A1 ( v× cïng phơ víi gãc ACB) => ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3 Mµ ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED => DE ⊥ OE t¹i E VËy DE lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) t¹i E Theo gi¶ thiÕt AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm ¸p dơng ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bµi Cho nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R Tõ A vµ B kỴ hai tiÕp tun Ax, By Qua ®iĨm M thc nưa ®êng trßn kỴ tiÕp tun thø ba c¾t c¸c tiÕp tun Ax , By lÇn lỵt ë C vµ D C¸c ®êng th¼ng AD vµ BC c¾t t¹i N Chøng minh AC + BD = CD Lêi gi¶i: Chøng minh ∠COD = 90 Chøng minh AC BD = AB 4 Chøng minh OC // BM Chøng minh AB lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh CD Chøng minh MN ⊥ AB X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc BOM, mµ ∠AOM vµ ∠BOM lµ hai gãc kỊ bï => ∠COD = 900 Theo trªn ∠COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM ⊥ CD ( OM lµ tiÕp tun ) ¸p dơng hƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM DM, Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = AB Theo trªn ∠COD = 90 nªn OC ⊥ OD (1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cđa BM => BM ⊥ OD (2) Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD) 10 => ∠OPM = ∠OCM XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã ∠MOC = ∠OMP = 900; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => ∆OMC = ∆MOP => OC = MP (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2) Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã ∠MOC = 900 ( gt CD ⊥ AB); ∠DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠MOC =∠DNC = 900 l¹i cã ∠C lµ gãc chung => ∆OMC ∼∆NDC => CM CO => CM CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®ỉi => = CD CN CM.CN =2R2 kh«ng ®ỉi hay tÝch CM CN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®iĨm M ( HD) DƠ thÊy ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 900 => P ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®êng cao AH Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨn A , VÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nưa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp AE AB = AF AC Chøng minh EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn Lêi gi¶i: Ta cã : ∠BEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠AEH = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) (1) ∠CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠AFH = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï).(2) ∠EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng) Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn =>∠F1=∠H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) Theo gi¶ thiÕt AH ⊥BC nªn AH lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn (O1) vµ (O2) => ∠B1 = ∠H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => ∠B1= ∠F1 => ∠EBC+∠EFC = ∠AFE + ∠EFC mµ ∠AFE + ∠EFC = 1800 (v× lµ hai gãc kỊ bï) => 17 ∠EBC+∠EFC = 1800 mỈt kh¸c ∠EBC vµ ∠EFC lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c BEFC ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã ∠A = 900 lµ gãc chung; ∠AFE = ∠ABC ( theo Chøng minh trªn) => ∆AEF ∼∆ACB => AE AF = => AE AB = AF AC AC AB * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE ⊥ AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF ⊥ AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE AB = AF AC Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => ∆IEH c©n t¹i I => ∠E1 = ∠H1 ∆O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => ∠E2 = ∠H2 => ∠E1 + ∠E2 = ∠H1 + ∠H2 mµ ∠H1 + ∠H2 = ∠AHB = 900 => ∠E1 + ∠E2 = ∠O1EF = 900 => O1E ⊥EF Chøng minh t¬ng tù ta còng cã O2F ⊥ EF VËy EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn Bµi 14 Cho ®iĨm C thc ®o¹n th¼ng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm VÏ vỊ mét phÝa cđa AB c¸c nưa ®êng trßn cã ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nưa ®êng trßn (O) t¹i E Gäi M N theo thø tù lµ giao ®iĨm cđa EA, EB víi c¸c nưa ®êng trßn (I), (K) Chøng minh EC = MN Chøng minh MN lµ tiÕp tun chung cđa c¸c nưa ®êng trßn (I), (K) TÝnh MN TÝnh diƯn tÝch h×nh ®ỵc giíi h¹n bëi ba nưa ®êng trßn Lêi gi¶i: Ta cã: ∠BNC= 900( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn t©m K) => ∠ENC = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) (1) ∠AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn t©m I) => ∠EMC = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï).(2) ∠AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn t©m O) hay ∠MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) Theo gi¶ thiÕt EC ⊥AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn (I) vµ (K) => ∠B1 = ∠C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN) Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => ∠C1= ∠N3 => ∠B1 = ∠N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => ∠B1 = ∠N1 (5) Tõ (4) vµ (5) => ∠N1 = ∠N3 mµ ∠N1 + ∠N2 = ∠CNB = 900 => ∠N3 + ∠N2 = ∠MNK = 900 hay MN ⊥ KN t¹i N => MN lµ tiÕp tun cđa (K) t¹i N Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tun cđa (I) t¹i M, VËy MN lµ tiÕp tun chung cđa c¸c nưa ®êng trßn (I), (K) 18 Ta cã ∠AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn t©m O) => ∆AEB vu«ng t¹i A cã EC ⊥ AB (gt) => EC2 = AC BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) = π OA2 = π 252 = 625 π ; S(I) = π IA2 = π 52 = 25 π ; S(k) = π KB2 = π 202 = 400 π Ta cã diƯn tÝch phÇn h×nh ®ỵc giíi h¹n bëi ba nưa ®êng trßn lµ S = S= ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 ( 625 π - 25 π - 400 π ) = 200 π = 100 π ≈ 314 (cm2) 2 Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Trªn c¹nh AC lÊy ®iĨm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC ®êng th¼ng BM c¾t ®êng trßn (O) t¹i D ®êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i S Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB Gäi E lµ giao ®iĨm cđa BC víi ®êng trßn (O) Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc ADE Chøng minh ®iĨm M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE Lêi gi¶i: Ta cã ∠CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠CDB = 900 nh vËy D vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠D1= ∠C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB) ¼ = EM ¼ => ∠C2 = ∠C3 (hai gãc néi tiÕp ®êng trßn (O) ch¾n hai cung ∠D1= ∠C3 => SM b»ng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB XÐt ∆CMB Ta cã BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC nh vËy BA, EM, CD lµ ba ®êng cao cđa tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy ¼ = EM ¼ => ∠D1= ∠D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc ADE.(1) Theo trªn Ta cã SM Ta cã ∠MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn (O)) => ∠MEB = 900 19 Tø gi¸c AMEB cã ∠MAB = 900 ; ∠MEB = 900 => ∠MAB + ∠MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®êng trßn => ∠A2 = ∠B2 Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠A1= ∠B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => ∠A1= ∠A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc DAE (2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u : ∠ABC = ∠CME (cïng phơ ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cïng bï ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS » = CS » => SM ¼ = EM ¼ => ∠SCM = ∠ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB => CE Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iĨm D n»m gi÷a A vµ B §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E C¸c ®êng thẳng CD, AE lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i F, G Chøng minh : Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp AC // FG C¸c ®êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy Lêi gi¶i: XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã ∠BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠DEB = ∠BAC = 900 ; l¹i cã ∠ABC lµ gãc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB Theo trªn ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (v× hai gãc kỊ bï); ∠BAC = 900 ( v× ∆ABC vu«ng t¹i A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp * ∠BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) hay ∠BFC = 900 nh vËy F vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠E1 = ∠C1 l¹i cã ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le nªn suy AC // FG (HD) DƠ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®êng cao cđa tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S Bµi 17 Cho tam gi¸c ®Ịu ABC cã ®êng cao lµ AH Trªn c¹nh BC lÊy ®iĨm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B C, H ) ; tõ M kỴ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB AC Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã Chøng minh r»ng MP + MQ = AH Chøng minh OH ⊥ PQ Lêi gi¶i: => ∠AQM = 900 nh vËy P vµ Q cïng Ta cã MP ⊥ AB (gt) => ∠APM = 900; MQ ⊥ AC nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn P (gt) 20 vµ Q cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp * V× AM lµ ®êng kÝnh cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ trung ®iĨm cđa AM 2 Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao => SABC = BC.AH Tam gi¸c ABM cã MP lµ ®êng cao => SABM = AB.MP Tam gi¸c ACM cã MQ lµ ®êng cao => SACM = AC.MQ Ta cã SABM + SACM = SABC => 1 AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = 2 BC.AH Mµ AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Ịu) => MP + MQ = AH Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng ph©n gi¸c => ∠HAP = ∠HAQ => » = HQ ¼ ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => ∠HOP = ∠HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n HP gi¸c gãc POQ Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy OH còng lµ ®êng cao => OH ⊥ PQ Bµi 18 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iĨm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iĨm M ë ngoµi ®êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh c¸c ®êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I Gäi K lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp Lêi gi¶i: Ta cã : ∠ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠MCI = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) ∠ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => ∠MDI = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) => ∠MCI + ∠MDI = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MCID nªn MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trªn Ta cã BC ⊥ MA; AD ⊥ MB nªn BC vµ AD lµ hai ®êng cao cđa tam gi¸c MAB mµ BC vµ AD c¾t t¹i I nªn I lµ trùc t©m cđa tam gi¸c MAB Theo gi¶ thiÕt th× MH ⊥ AB nªn MH còng lµ ®êng cao cđa tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I ∆OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => ∠A1 = ∠C4 ∆KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => ∠M1 = ∠C1 21 Mµ ∠A1 + ∠M1 = 900 ( tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => ∠C1 + ∠C4 = 900 => ∠C3 + ∠C2 = 900 ( v× gãc ACM lµ gãc bĐt) hay ∠OCK = 900 XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã ∠OHK = 900; ∠OCK = 900 => ∠OHK + ∠OCK = 1800 mµ ∠OHK vµ ∠OCK lµ hai gãc ®èi nªn KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi 19 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AC Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iĨm B t ý (B kh¸c O, C ) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n AB Qua M kỴ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB Nèi CD, KỴ BI vu«ng gãc víi CD Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi Chøng minh BI // AD Chøng minh I, B, E th¼ng hµng Chøng minh MI lµ tiÕp tun cđa (O’) Lêi gi¶i: ∠BIC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠BID = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï); DE ⊥ AB t¹i M => ∠BMD = 900 => ∠BID + ∠BMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iĨm cđa DE (quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => AD ⊥ DC; theo trªn BI ⊥ DC => BI // AD (1) Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2) Tõ (1) vµ (2) => I, B, E th¼ng hµng (v× qua B chØ cã mét ®êng th¼ng song song víi AD mµ th«i.) I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tun ( v× M lµ trung ®iĨm cđa DE) =>MI = ME => ∆MIE c©n t¹i M => ∠I1 = ∠E1 ; ∆O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => ∠I3 = ∠C1 mµ ∠C1 = ∠E1 ( Cïng phơ víi gãc EDC ) => ∠I1 = ∠I3 => ∠I1 + ∠I2 = ∠I3 + ∠I2 Mµ ∠I3 + ∠I2 = ∠BIC = 900 => ∠I1 + ∠I2 = 900 = ∠MIO’ hay MI ⊥ O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tun cđa (O’) Bµi 20 Cho ®êng trßn (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi t¹i C Gäi AC vµ BC lµ hai ®êng kÝnh ®i qua ®iĨm C cđa (O) vµ (O’) DE lµ d©y cung cđa (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iĨm M cđa AB Gäi giao ®iĨm thø hai cđa DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G Chøng minh r»ng: Tø gi¸c MDGC néi tiÕp ∠BGC = 900 ( néi tiÕp ch¾n Bèn ®iĨm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®êng nưa ®êng trßn ) trßn => ∠CGD = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi B, E, F th¼ng hµng DF, EG, AB ®ång quy MF = 1/2 DE MF lµ tiÕp tun cđa (O’) Lêi gi¶i: 22 Theo gi¶ thiÕt DE ⊥ AB t¹i M => ∠CMD = 900 => ∠CGD + ∠CMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MCGD nªn MCGD lµ tø gi¸c néi tiÕp ∠BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠BFD = 900; ∠BMD = 900 (v× DE ⊥ AB t¹i M) nh vËy F vµ M cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn F vµ M cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BD => M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iĨm cđa DE (quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => AD ⊥ DF ; theo trªn tø gi¸c ADBE lµ h×nh tho => BE // AD mµ AD ⊥ DF nªn suy BE ⊥ DF Theo trªn ∠BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => BF ⊥ DF mµ qua B chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DF ®o B, E, F th¼ng hµng Theo trªn DF ⊥ BE; BM ⊥ DE mµ DF vµ BM c¾t t¹i C nªn C lµ trùc t©m cđa tam gi¸c BDE => EC còng lµ ®êng cao => EC⊥BD; theo trªn CG⊥BD => E,C,G th¼ng hµng VËy DF, EG, AB ®ång quy Theo trªn DF ⊥ BE => ∆DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tun (v× M lµ trung ®iĨm cđa DE) suy MF = 1/2 DE ( v× tam gi¸c vu«ng trung tun thc c¹nh hun b»ng nưa c¹nh hun) (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => ∆MDF c©n t¹i M => ∠D1 = ∠F1 ∆O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vµ O’F cïng lµ b¸n kÝnh ) => ∠F3 = ∠B1 mµ ∠B1 = ∠D1 (Cïng phơ víi ∠DEB ) => ∠F1 = ∠F3 => ∠F1 + ∠F2 = ∠F3 + ∠F2 Mµ ∠F3 + ∠F2 = ∠BFC = 900 => ∠F1 + ∠F2 = 900 = ∠MFO’ hay MF ⊥ O’F t¹i F => MF lµ tiÕp tun cđa (O’) Bµi 21 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Gäi I lµ trung ®iĨm cđa OA VÏ ®êng tron t©m I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q Chøng minh r»ng c¸c ®êng trßn (I) vµ (O) tiÕp xóc ∆OAQ c©n t¹i O ( v× t¹i A OA vµ OQ cïng lµ b¸n Chøng minh IP // OQ kÝnh ) => ∠A1 = ∠Q1 Chøng minh r»ng AP = PQ X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa P ®Ĩ tam gi¸c AQB cã diƯn tÝch lín ∆IAP c©n t¹i I ( v× IA vµ nhÊt IP cïng lµ b¸n kÝnh ) => Lêi gi¶i: ∠A1 = ∠P1 Ta cã OI = OA – IA mµ OA vµ IA lÇn lỵt lµ c¸c b¸n kÝnh cđa ®êng trßn (O) vµ ®êng trßn (I) VËy ®êng trßn (O) vµ ®- => ∠P1 = ∠Q1 mµ ®©y lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy êng trßn (I) tiÕp xóc t¹i A IP // OQ 23 ∠APO = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => OP ⊥ AQ => OP lµ ®êng cao cđa ∆OAQ mµ ∆OAQ c©n t¹i O nªn OP lµ ®êng trung tun => AP = PQ (HD) KỴ QH ⊥ AB ta cã SAQB = AB.QH mµ AB lµ ®êng kÝnh kh«ng ®ỉi nªn SAQB lín nhÊt QH lín nhÊt QH lín nhÊt Q trïng víi trung ®iĨm cđa cung AB §Ĩ Q trïng víi trung ®iĨm cđa cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iĨm cđa cung AO ThËt vËy P lµ trung ®iĨm cđa cung AO => PI ⊥ AO mµ theo trªn PI // QO => QO ⊥ AB t¹i O => Q lµ trung ®iĨm cđa cung AB vµ ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lín nhÊt Bµi 22 Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iĨm E thc c¹nh BC Qua B kỴ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp TÝnh gãc CHK Chøng minh KC KD = KH.KB Khi E di chun trªn c¹nh BC th× H di chun trªn ®êng nµo? Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ABCD lµ h×nh vu«ng nªn ∠BCD = 900; BH ⊥ DE t¹i H nªn ∠BHD = 900 => nh vËy H vµ C cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn H vµ C cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BD => BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => ∠BDC + ∠BHC = 1800 (1) ∠BHK lµ gãc bĐt nªn ∠KHC + ∠BHC = 1800 (2) Tõ (1) vµ (2) => ∠CHK = ∠BDC mµ ∠BDC = 450 (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) => ∠CHK = 450 XÐt ∆KHC vµ ∆KDB ta cã ∠CHK = ∠BDC = 450 ; ∠K lµ gãc chung => ∆KHC ∼ ∆KDB => KC KH = => KC KD = KH.KB KB KD (HD) Ta lu«n cã ∠BHD = 900 vµ BD cè ®Þnh nªn E chun ®éng trªn c¹nh BC cè ®Þnh th× H chun ®éng trªn cung BC (E ≡ B th× H ≡ B; E ≡ C th× H ≡ C) Bµi 23 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Dùng ë miỊn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE Chøng minh ba ®iĨm H, A, D th¼ng hµng §êng th¼ng HD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c 24 ABC t¹i F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n Cho biÕt ∠ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iĨm cđa BF vµ ED, Chøng minh ®iĨm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh MC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ABHK lµ h×nh vu«ng => ∠BAH = 450 Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => ∠CAD = 450; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => ∠BAC = 900 => ∠BAH + ∠BAC + ∠CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iĨm H, A, D th¼ng hµng Ta cã ∠BFC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) nªn tam gi¸c BFC vu«ng t¹i F (1) ∠FBC = ∠FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn ∠CAD = 450 hay ∠FAC = 450 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ∆FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F Theo trªn ∠BFC = 900 => ∠CFM = 900 ( v× lµ hai gãc kỊ bï); ∠CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng) => ∠CFM + ∠CDM = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®êng trßn suy ∠CDF = ∠CMF , mµ ∠CDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => ∠CMF = 450 hay ∠CMB = 450 Ta còng cã ∠CEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); ∠BKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng) Nh vËy K, E, M cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => ®iĨm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn ∆CBM cã ∠B = 450 ; ∠M = 450 => ∠BCM =450 hay MC ⊥ BC t¹i C => MC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Bµi 24 Cho tam gi¸c nhän ABC cã ∠B = 450 VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh AC cã t©m O, ®êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E Chøng minh AE = EB => ∆AEB lµ tam gi¸c vu«ng Gäi H lµ giao ®iĨm cđa CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®- c©n t¹i E => EA = EB êng trung trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa A BH D Chøng minh OD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp F tam gi¸c BDE O H Lêi gi¶i: / _ ∠AEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) _K / I => ∠AEB = 900 ( v× lµ hai gãc kỊ bï); Theo gi¶ thiÕt ∠ABE B E C = 450 1 Gäi K lµ trung ®iĨm cđa HE (1) ; I lµ trung ®iĨm cđa HB => IK lµ ®êng trung b×nh cđa tam gi¸c HBE => IK // BE mµ ∠AEC = 900 nªn BE ⊥ HE t¹i E => IK ⊥ HE t¹i K (2) Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cđa HE VËy trung trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH theo trªn I thc trung trùc cđa HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iĨm cđa BH => IE = IB 25 ∠ ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠BDH = 900 (kỊ bï ∠ADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tun (do I lµ trung ®iĨm cđa BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID Ta cã ∆ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => ∠D1 = ∠C1 (3) ∆IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => ∠D2 = ∠B1 (4) Theo trªn ta cã CD vµ AE lµ hai ®êng cao cđa tam gi¸c ABC => H lµ trùc t©m cđa tam gi¸c ABC => BH còng lµ ®êng cao cđa tam gi¸c ABC => BH ⊥ AC t¹i F => ∆AEB cã ∠AFB = 900 Theo trªn ∆ADC cã ∠ADC = 900 => ∠B1 = ∠C1 ( cïng phơ ∠BAC) (5) Tõ (3), (4), (5) =>∠D1 = ∠D2 mµ ∠D2 +∠IDH =∠BDC = 900=> ∠D1 +∠IDH = 900 = ∠IDO => OD ⊥ ID t¹i D => OD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE Bµi 25 Cho ®êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC< 2R) KỴ c¸c tiÕp tun víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C chóng c¾t t¹i A Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iĨm M råi kỴ c¸c ®êng vu«ng gãc MI, MH, MK xng c¸c c¹nh t¬ng øng BC, AC, AB Gäi giao ®iĨm cđa BM, IK lµ P; giao ®iĨm cđa CM, IH lµ Q Chøng minh tam gi¸c ABC c©n C¸c tø gi¸c BIMK, Tõ (1) vµ (2) => ∆MKI CIMH néi tiÕp MI MK Chøng minh MI2 = MH.MK Chøng minh PQ ⊥ MI ∆MIH => MH = MI => Lêi gi¶i: MI2 = MH.MK Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t ta cã AB = AC => ∆ABC c©n t¹i A Theo gi¶ thiÕt MI ⊥ BC => ∠MIB = 900; MK ⊥ AB => ∠MKB = 900 => ∠MIB + ∠MKB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t¬ng tù tø gi¸c BIMK ) Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ∠KMI + ∠KBI = 1800; tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ∠HMI + ∠HCI = 1800 mµ ∠KBI = ∠HCI ( v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A) => ∠KMI = ∠HMI (1) Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ∠B1 = ∠I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ∠H1 = ∠C1 ( néi tiÕp ¼ ) => ∠I1 = cïng ch¾n cung IM) Mµ ∠B1 = ∠C1 ( = 1/2 s® BM ∠H1 (2) Theo trªn ta cã ∠I1 = ∠C1; còng chøng minh t¬ng tù ta cã ∠I2 = ∠B2 mµ ∠C1 + ∠B2 + ∠BMC = 1800 => ∠I1 + ∠I2 + ∠BMC = 1800 hay ∠PIQ + ∠PMQ = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => ∠Q1 = ∠I1 mµ ∠I1 = ∠C1 => ∠Q1 = ∠C1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) Theo gi¶ thiÕt MI ⊥BC nªn suy IM ⊥ PQ Bµi 26 Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R VÏ d©y cung CD ⊥ AB ë H Gäi M lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung CB, I lµ giao ®iĨm cđa CB vµ OM K lµ giao ®iĨm cđa AM vµ CB Chøng minh : 26 KC AC = KB AB AM lµ tia ph©n gi¸c cđa ∠CMD Tø gi¸c OHCI néi tiÕp Chøng minh ®êng vu«ng gãc kỴ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i M » = MC ¼ » Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa BC => MB => ∠CAM = ∠BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc CAB => KC AC ( t/c tia ph©n gi¸c cđa = KB AB tam gi¸c ) » => ∠CMA = ∠DMA => MA (HD) Theo gi¶ thiÕt CD ⊥ AB => A lµ trung ®iĨm cđa CD lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc CMD » (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa BC => OM ⊥ BC t¹i I => ∠OIC = 900 ; CD ⊥ AB t¹i H => ∠OHC = 900 => ∠OIC + ∠OHC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp KỴ MJ ⊥ AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC) Theo trªn OM ⊥ BC => OM ⊥ MJ t¹i J suy MJ lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i M Bµi 27 Cho ®êng trßn (O) vµ mét ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn C¸c tiÕp tun víi ®êng trßn (O) kỴ tõ A tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C Gäi M lµ ®iĨm t ý trªn ®êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kỴ MH ⊥ BC, MK ⊥ CA, MI ⊥ AB Chøng minh : Tø gi¸c ABOC néi tiÕp ∠BAO = ∠ BCO ∆MIH ∼ ∆MHK MI.MK = MH Lêi gi¶i: (HS tù gi¶i) Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => ∠BAO = ∠ BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO) Theo gi¶ thiÕt MH ⊥ BC => ∠MHC = 900; MK ⊥ CA => ∠MKC = 900 => ∠MHC + ∠MKC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => ∠HCM = ∠HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM) Chøng minh t¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => ∠MHI = ∠MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM) ¼ ) => ∠HKM = ∠MHI (1) Chøng minh t¬ng tù ta còng Mµ ∠HCM = ∠MBI ( = 1/2 s® BM cã ∠KHM = ∠HIM (2) Tõ (1) vµ (2) => ∆ HIM ∼ ∆ KHM 27 MI MH = Theo trªn ∆ HIM ∼ ∆ KHM => => MI.MK = MH2 MH MK Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O) Gäi H lµ trùc t©m cđa tam gi¸c ABC; E lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua BC; F lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua trung ®iĨm I cđa BC Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh E, F n»m trªn ®êng trßn (O) Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n Gäi G lµ giao ®iĨm cđa AI vµ OH Chøng minh G lµ träng t©m cđa tam gi¸c ABC Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt F lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua trung ®iĨm I cđa BC => I lµ trung ®iĨm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã hai ®êng chÐo c¾t t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => ∠BAC + ∠B’HC’ = 1800 mµ ∠BHC = ∠B’HC’ (®èi ®Ønh) => ∠BAC + ∠BHC = 1800 Theo trªn BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => ∠BHC = ∠BFC => ∠BFC + ∠BAC = 1800 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thc (O) * H vµ E ®èi xøng qua BC => ∆BHC = ∆BEC (c.c.c) => ∠BHC = ∠BEC => ∠ BEC + ∠BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thc (O) Ta cã H vµ E ®èi xøng qua BC => BC ⊥ HE (1) vµ IH = IE mµ I lµ trung ®iĨm cđa cđa HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE ⊥ HE (2) Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang (3) Theo trªn E ∈(O) => ∠CBE = ∠CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4) Theo trªn F ∈(O) vµ ∠FEA =900 => AF lµ ®êng kÝnh cđa (O) => ∠ACF = 900 => ∠BCF = ∠CAE ( v× cïng phơ ∠ACB) (5) Tõ (4) vµ (5) => ∠BCF = ∠CBE (6) Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n Theo trªn AF lµ ®êng kÝnh cđa (O) => O lµ trung ®iĨm cđa AF; BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => I lµ trung ®iĨm cđa HF => OI lµ ®êng trung b×nh cđa tam gi¸c AHF => OI = 1/ AH Theo gi¶ thiÕt I lµ trung ®iĨm cđa BC => OI ⊥ BC ( Quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => ∠OIG = ∠HAG (v× so le trong); l¹i cã ∠OGI = ∠ HGA (®èi ®Ønh) => ∆OGI ∼ ∆HGA => GI OI mµ OI = AH = GA HA => GI = mµ AI lµ trung tun cđa tam gi¸c ABC (do I lµ GA trung ®iĨm cđa BC) => G lµ träng t©m cđa tam gi¸c ABC Bµi 29 BC lµ mét d©y cung cđa ®êng trßn (O; R) (BC ≠ 2R) §iĨm A di ®éng trªn cung lín BC cho O lu«n n»m tam gi¸c ABC C¸c ®êng cao AD, BE, CF cđa tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c Lêi gi¶i: (HD) ABC Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => Gäi A’ lµ trung ®iĨm cđa BC, Chøng minh AH = 2OA’ ∠AEF = ∠ACB (cïng bï Gäi A1 lµ trung ®iĨm cđa EF, Chøng minh R.AA1 = ∠BFE) AA’ OA’ Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vÞ trÝ cđa A ®Ĩ tỉng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt 28 ∠AEF = ∠ABC (cïng bï ∠CEF) => ∆ AEF ∼ ∆ ABC VÏ ®êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ trung ®iĨm cđa HK => OK lµ ®êng trung b×nh cđa ∆AHK => AH = 2OA’ ¸p dơng tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tun, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng ta cã : R AA ' ∆ AEF ∼ ∆ ABC => R ' = AA (1) ®ã R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC; R’ lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ AEF; AA’ lµ trung tun cđa ∆ABC; AA1 lµ trung tun cđa ∆AEF Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AH nªn ®©y còng lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆AEF Tõ (1) => R.AA1 = AA’ R’ = AA’ AH A 'O = AA’ 2 VËy R AA1 = AA’ A’O (2) Gäi B’, C’lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AC, AB, ta cã OB’⊥AC ; OC’⊥AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iĨm cđa mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn lỵt lµ c¸c ®êng cao cđa c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ BC’ + OB’ AC + OC’ AB ) 2SABC = OA’ BC + OB’ AC’ + OC’ AB (3) AA1 AA mµ lµ tØ sè gi÷a trung tun cđa hai tam gi¸c ®ång d¹ng AA ' AA ' AA EF FD ED AEF vµ ABC nªn = T¬ng tù ta cã : OB’ = R ; OC’ = R Thay vµo (3) AA ' BC AC AB Theo (2) => OA’ = R ta ®ỵc 2SABC = R ( EF FD ED BC + AC + AB )  2SABC = R(EF + FD + DE) BC AC AB * R(EF + FD + DE) = 2SABC mµ R kh«ng ®ỉi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt SABC Ta cã SABC = AD.BC BC kh«ng ®ỉi nªn SABC lín nhÊt AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt A lµ ®iĨm chÝnh giìa cđa cung lín BC Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cđa gãc BAC c¾t (O) t¹i M VÏ ®êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cđa gãc OAH a) ∠B vµ ∠C cđa tam Gi¶ sư ∠B > ∠C Chøng minh ∠OAH = ∠B - ∠C gi¸c ABC Cho ∠BAC = 600 vµ ∠OAH = 200 TÝnh: 29 b) DiƯn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R Lêi gi¶i: (HD) AM lµ ph©n gi¸c cđa ∠BAC => ∠BAM = ∠CAM => ¼ = CM ¼ => M lµ trung ®iĨm cđa cung BC => OM ⊥ BC; Theo BM gi¶ thiÕt AH ⊥ BC => OM // AH => ∠HAM = ∠OMA ( so le) Mµ ∠OMA = ∠OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O cã OM = OA = R) => ∠HAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc OAH 30 VÏ d©y BD ⊥ OA => »AB = »AD => ∠ABD = ∠ACB Ta cã ∠OAH = ∠ DBC ( gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => ∠OAH = ∠ABC - ∠ABD => ∠OAH = ∠ABC - ∠ACB hay ∠OAH = ∠B - ∠C a) Theo gi¶ thiÕt ∠BAC = 600 => ∠B + ∠C = 1200 ; theo trªn ∠B ∠C = ∠OAH => ∠B - ∠C = 200 ∠B + ∠C = 1200 ∠B = 700 ⇔ =>  0 ∠C = 50 ∠B − ∠C = 20 2 R π R R R (4π − 3) b) Svp = SqBOC - S V BOC = π R 120 = − R − = 3600 2 12 [...]... hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau) Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ Ta cũng có PM OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ (6) Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có PAO = AON = ONP = 900 => K là trung điểm của PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật) (6) AONP là hình chữ nhật => APO = NOP (... tại M cắt tiếp tuyến tại N của đờng tròn ở P Chứng minh : Tam giác ONC cân tại O 1 Tứ giác OMNP nội tiếp vì có ON = OC = R => 2 Tứ giác CMPO là hình bình hành ONC = OCN 3 CM CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M 4 Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào Lời giải: 1 Ta có OMP = 900 ( vì PM AB ); ONP = 900 (vì NP là tiếp tuyến ) Nh vậy M và N cùng nhìn OP dới một... AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10. 40 = 400 => EC = 20 cm Theo trên EC = MN => MN = 20 cm 4 Theo giả thi t AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta có S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn là S = S= 1 ( S(o) - S(I) - S(k)) 2 1 1 ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) 2 2 Bài 15 Cho... thuộc vào vị trí của điểm M 4 ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy trên đờng thẳng cố định vuông góc với CD tại D Vì M chỉ chạy trên đoạn thẳng AB nên P chỉ chạy trên doạn thẳng A B song song và bằng AB Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F 1 Chứng... bằng 900 => M và N cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp 2 Tứ giác OMNP nội tiếp => OPM = ONM (nội tiếp chắn cung OM) 16 => OPM = OCM Xét hai tam giác OMC và MOP ta có MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM lại có MO là cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo giả thi t Ta có CD AB; PM AB => CO//PM (2) Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành 3 Xét hai tam giác OMC... giác MBID nên MBID là tứ giác nội tiếp 2 Theo giả thi t M là trung điểm của AB; DE AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan hệ đờng kính và dây cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng 3 ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DC; theo trên BI DC => BI // AD (1) 4 Theo giả thi t ADBE là hình thoi => EB // AD (2) Từ (1) và... 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DC; theo trên BI DC => BI // AD (1) 4 Theo giả thi t ADBE là hình thoi => EB // AD (2) Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đờng thẳng song song với AD mà thôi.) 5 I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông tại I => IM là trung tuyến ( vì M là trung điểm của DE) =>MI = ME => MIE cân tại M => I1 = E1 ; OIC cân tại O ( vì OC và OI cùng là bán... Lời giải: 22 Theo giả thi t DE AB tại M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MCGD nên MCGD là tứ giác nội tiếp 2 BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BFD = 900; BMD = 900 (vì DE AB tại M) nh vậy F và M cùng nhìn BD dới một góc bằng 900 nên F và M cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BD => M, D, B, F cùng nằm trên một đờng tròn 3 Theo giả thi t M là trung điểm của... Theo giả thi t MI BC nên suy ra IM PQ Bài 26 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R Vẽ dây cung CD AB ở H Gọi M là điểm chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM K là giao điểm của AM và CB Chứng minh : 26 1 KC AC = KB AB 2 AM là tia phân giác của CMD 3 Tứ giác OHCI nội tiếp 4 Chứng minh đờng vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đờng tròn tại M ằ = MC ẳ ằ Lời giải: 1 Theo giả thi t... nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => AK là tia phân giác của góc CAB => KC AC ( t/c tia phân giác của = KB AB tam giác ) ằ => CMA = DMA => MA 2 (HD) Theo giả thi t CD AB => A là trung điểm của CD là tia phân giác của góc CMD ằ 3 (HD) Theo giả thi t M là trung điểm của BC => OM BC tại I => OIC = 900 ; CD AB tại H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác OHCI nội tiếp 4 Kẻ ... hµnh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau) Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON ⊥ AB => ON ⊥ PJ Ta còng cã PM ⊥ OJ ( PM lµ tiÕp tun ), mµ ON vµ PM c¾t t¹i I nªn I... t©m tam gi¸c POJ (6) DƠ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 900 => K lµ trung ®iĨm cđa PO ( t/c ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt) (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => ∠APO = ∠ NOP (... tiÕp tun t¹i N cđa ®êng trßn ë P Chøng minh : Tam gi¸c ONC c©n t¹i O Tø gi¸c OMNP néi tiÕp v× cã ON = OC = R => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh ∠ONC = ∠OCN CM CN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®iĨm