mục lục Trang Mở đầu Chương Đa tạp Riemann I Đa tạp Riemann II Đa tạp Symplectic III Các cấu trúc tương thích Chương Một số tính chất trường vectơ độ cong trung bình ứng dụng 19 I Trường vectơ độ cong trung bình đa tạp 19 II Biến phân thể tích 27 III Đa tạp cực tiểu 35 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 mở đầu Hiện nay, việc tìm kiếm đa tạp tích cực tiểu đa tạp Riemann nhiều nhà toán học giới quan tâm, chẳng hạn D.Grmoll, W.Klinggenberg, W.Meyer, Một hướng nghiên cứu toán cực tiểu thể tích đa tạp đa tạp Riemann sử dụng trường vectơ độ cong trung bình đa tạp Khái niệm trình bày nghiên cứu H.Blainle Lowson Trong luận văn này, khảo sát tính chất trường vectơ độ cong trung bình mối liên hệ với tính cực tiểu đa tạp đa tạp Riemann Luận văn trình bày chương: Chương Đa tạp Riemann Trong chương này, trình bày số khái niệm bản, tính chất đa tạp Riemann điều kiện để đa tạp Riemann đa tạp K¨ ahler Chương xem phần kiến thức chuẩn bị để thuận lợi cho việc trình bày chương hai Chương Một số tính chất trường vectơ độ cong trung bình ứng dụng I Trường vectơ độ cong trung bình đa tạp Trong phần này, trình bày trường vectơ độ cong trung bình tính chất trường vectơ độ cong trung bình đa tạp II Biến phân thể tích đây, việc sử dụng trường vectơ độ cong trung bình đa tạp con, chứng minh công thức biến phân thể tích số tính chất đa tạp K¨ ahler III Đa tạp cực tiểu Trong mục này, trình bày phép chứng minh tính cực tiểu đa tạp chẵn chiều đa tạp K¨ ahler trình bày số dạng đa tạp cực tiểu đa tạp K¨ ahler Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo, PGS-TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cảm ơn thầy giáo tổ hình học giảng dạy, bảo cho suốt thời gian học tập nghiên cứu Cũng gửi lời cảm ơn thầy giáo khoa Toán, khoa sau đại học, bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả chương đa tạp riemann Trong suốt luận văn này, giả thiết M đa tạp khả vi có sở đếm với hệ đồ {Uα , ϕα }α∈I Như biết, cấu trúc Riemann g M đặt tương ứng điểm p ∈ M với ánh xạ gp thoả mãn: ⊕ gp tích vô hướng Tp M ⊕ g ánh xạ khả vi theo p, nghĩa g(X, Y ) hàm số khả vi với X, Y ∈ B(M ) I Đa tạp Riemann 1.1 Định nghĩa Một đa tạp khả vi M gọi đa tạp Riemann trang bị cấu trúc Riemann g kí hiệu (M, g) 1.2 Ví dụ Giả sử ϕ hàm số khả vi dương E n Ta đặt g(X, Y ) = ϕ.XY ; ∀X, Y ∈ B(E n ) Khi (E n , g) đa tạp Riemann Thật vậy, ta cần kiểm tra điều kiện để g cấu trúc Riemann E n • Trước hết ta chứng minh gp tích vô hướng Tp E n ; ∀p ∈ E n Thật vậy, với Xp , Yp , Zp ∈ Tp E n ; ∀α, β ∈ F (E n ) ta có: + gp (Xp , Yp ) = ϕ(p)Xp Yp = ϕ(p)Yp Xp = gp (Yp , Xp ) + gp (αXp + βYp , Zp ) = ϕ(p)(αXp + βYp )Zp = αϕ(p)Xp Zp + βϕ(p)Yp Zp = αgp (Xp , Zp ) + βgp (Yp , Zp ) + gp (Xp , Xp ) = ϕ(p)Xp Xp = ϕ(p)(Xp )2 ≥ + gp (Xp , Xp ) = ⇔ Xp = • Tiếp theo ta chứng minh g khả vi theo p với p ∈ E n , tức ta cần chứng minh g(X, Y ) hàm số khả vi với X, Y ∈ B(E n ) Thật n n n vậy, với X, Y ∈ B(E ); X = Yi Ei với {Ei }ni=1 Xi Ei , Y = i=1 n i=1 trường mục tiêu trực chuẩn B(E ) Khi đó, ta có n g(X, Y ) = ϕ X i Yi i=1 Do X, Y khả vi nên Xi , Yi khả vi; ∀i = 1, n Do ϕ hàm số khả vi E n nên g(X, Y ) hàm số khả vi với X, Y ∈ B(E n ) Vậy (E n , g) đa tạp Riemann ✷ 1.3 Mệnh đề (Xem [1]) Mọi đa tạp khả vi M trang bị cấu trúc Riemann Chứng minh Giả sử {Ei }m i=1 sở tắc (Ei = ∂ ∂xi ) B(Uα ) Khi với X, Y ∈ B(M ) ta có biểu diễn: n X|Uα = Xi Ei i=1 n Y |Uα = Yi Ei i=1 n Ta xét gα |p (Xp , Yp ) = Xi (p)Yi (p); ∀p ∈ Uα i=1 Dễ thấy gα |p tích vô hướng Tp (M ) gα khả vi theo p ∈ Uα Đặt g(X, Y ) = ψα gα (X, Y ) với X, Y ∈ B(M ) (ở {ψα }α∈I α phân hoạch đơn vị tương ứng với cấu trúc khả vi {Uα , ϕα }α∈I ) Khi g cấu trúc Riemann M Thật vậy, ta kiểm tra điều kiện sau ⊕ Trước hết, ta chứng minh gp tích vô hướng Tp (M ); ∀p ∈ M Thật vậy, với Xp , Yp , Zp ∈ Tp M ; ∀β, γ ∈ F (M ) ta có: • gp (Xp , Yp ) = ψα gα |p (Xp , Yp ) α = ψα Xi (p)Yi (p) α,i = ψα Yi (p)Xi (p) α,i = ψα gα |p (Yp , Xp ) α = gp (Yp , Xp ); ∀Xp , Yp ∈ Tp M • gp (βXp + γYp , Zp ) = ψα gα |p (βXp + γYp , Zp ) α = ψα gα |p (βXi (p) + γYi (p), Zi (p)) α,i = ψα βgα |p (Xi (p), Zi (p)) + α,i + ψα γgα |p (Yi (p), Zi (p)) α,i = βgp (Xp , Zp ) + γgp (Yp , Zp ) • gp (Xp , Xp ) = ψα gα |p (Xp , Xp ) α = ψα Xi (p)Xi (p) α,i ψα [Xi (p)]2 ≥ = α,i • ψα [Xi (p)]2 = gp (Xp , Xp ) = ⇔ α,i ⇔ Xi (p) = 0; ∀p ∈ M ; ∀i = 1, n ⇔ Xp = ⊕ Tiếp theo ta chứng minh g hàm số khả vi theo p với p ∈ M , tức ta cần chứng minh g(X, Y ) hàm số khả vi với X, Y ∈ B(M ) Thật vậy, ta có g(X, Y ) = ψα gα (X, Y ); ∀X, Y ∈ B(M ) α Do gα ánh xạ khả vi theo p ∈ Uα với α ∈ I nên gα (X, Y ) ánh xạ khả vi với X, Y ∈ B(M ) Ta lại có ψα khả vi với α ∈ I Từ suy g(X, Y ) hàm số khả vi với X, Y ∈ B(M ) Vậy tồn cấu trúc Riemann g M ✷ II Đa tạp Symplectic 1.4 Định nghĩa a) 2-dạng ω đa tạp khả vi M gọi dạng Symplectic thoả mãn điều kiện sau: i) ω đóng ii) ωp song ánh với p ∈ M (ở ωp : Tp M → Tp∗ M ánh xạ tuyến tính xác định ωp (Xp )(Yp ) = ωp (Xp , Yp ); ∀Xp , Yp ∈ Tp M.) b) Đa tạp khả vi M gọi đa tạp Symplectic trang bị dạng Symplectic 1.5 Ví dụ Ta xét R2n với hệ tọa độ (x1 , , xn , y1 , , yn ) n ω= dxi ∧ dyi i=1 Khi (R2n , ω) đa tạp Symplectic Thật vậy, ta cần chứng minh ω dạng Symplectic, tức ta cần kiểm tra điều kiện sau: ⊕ Dễ dàng chứng minh ωp ánh xạ song tuyến tính, phản xứng với p ∈ R2n nên ω 2-dạng R2n ⊕ ω đóng vì: n dω = d( dxi ∧ dyi ) i=1 n = d(1) ∧ (dxi ∧ dyi ) i=1 = ⊕ Tiếp theo ta chứng minh ωp : Tp R2n → Tp∗ R2n xác định ωp (Xp )(Yp ) = ωp (Xp , Yp ); ∀Xp , Yp ∈ Tp R2n song ánh Thật • Giả sử ωp (Xp ) = θ ⇒ ωp (Xp )(Yp ) = 0; ∀Yp ∈ Tp R2n ⇒ ωp (Xp , Yp ) = 0; ∀Yp ∈ Tp R2n ⇒ ω(X, Y ) = 0; ∀Y ∈ B(R2n ) n dxi ∧ dyi (X, Y ) = 0; ∀Y ∈ B(R2n ) ⇒ i=1 n (Xi Yn+i − Yi Xn+i ) = 0; ∀Y (Y1 , , Y2n ) ∈ B(R2n ) ⇒ i=1 ⇒ Xi = 0; ∀i = 1, 2n ⇒ X(X1 , , X2n ) = ⇒ Xp = ⇒ ωp đơn ánh với p ∈ R2n • Với f ∈ Tp∗ R2n tồn Xp ∈ Tp R2n cho f (Yp ) = ωp (Xp , Yp ); ∀Yp ∈ Tp (R2n ) ⇒ f (Yp ) = ωp (Xp )(Yp ); ∀Yp ∈ Tp (R2n ) ⇒ f = ωp (Xp ) Từ với f ∈ Tp∗ (R2n ) tồn Xp ∈ Tp R2n cho ωp (Xp ) = f Ta suy ωp toàn ánh với p ∈ R2n Vậy (R2n , ω) đa tạp Symplectic ✷ Nhận xét Nếu (M, ω) đa tạp Symplectic dimM chẵn Thật vậy, giả sử dimM = m Khi dimTp M = m; ∀p ∈ M Do ω dạng Symplectic nên ωp ánh xạ song tuyến tính, phản xứng Tp M, ∀p ∈ M Khi (xem [9]) tồn sở {u1 , , uk , e1 , , en , f1 , , fn } Tp M thoả mãn: ωp (ui , v) = 0; ∀i = 1, k; ∀v ∈ Tp M ωp (ei , ej ) = ωp (fi , fj ) = 0; ∀i, j = 1, n ωp (ei , fj ) = δij ; ∀i, j = 1, n k + 2n = m Do ω dạng Symplectic nên ωp song ánh; ∀p ∈ M Từ đó, với w ∈ Tp M mà ωp (w, v) = 0; ∀v ∈ Tp M w = θ Ta suy ui = θ; ∀i = 1, k hay k = Vậy dimM = 2n ✷ 1.6 Định nghĩa Giả sử (M, ω) đa tạp Symplectic 2n-chiều i : Y → M phép nhúng đóng Khi Y gọi đa tạp Lagrang M i∗ ω = dimY = 21 dimM 1.7 Ví dụ Cho R4 với hệ tọa độ địa phương (x1 , x2 , x3 , x4 ) ω = dx1 ∧ dx3 + dx2 ∧ dx4 dạng R4 G = {(x1 , x2 , x2 , x1 )|(x1 , x2 ) ∈ R2 } Khi G đa tạp Lagrang R4 Thật vậy, ta cần kiểm tra điều kiện để G đa tạp Lagrang R4 • Theo ví dụ 1.5 trường hợp n=2 ta chứng minh (R4 , ω) đa tạp Symplectic • dimG = = 12 dimR4 i : G → R4 • (x1 , x2 , x2 , x1 ) → (x1 , x2 , x2 , x1 ) phép nhúng i khả vi, i∗ đơn ánh i đồng phôi lên ảnh Do i(G) tập đóng R4 nên i đóng • Cuối ta cần phải chứng minh i∗ ω = Thật vậy, với X(X1 , X2 , X3 , X4 ), Y (Y1 , Y2 , Y3 , Y4 ) ∈ B(R4 ) ta có: i∗ X = (X1 , X2 , X2 , X1 ) i∗ Y = (Y1 , Y2 , Y2 , Y1 ) Khi i∗ ω(X, Y ) = ω(i∗ X, i∗ Y ) = (dx1 ∧ dx3 + dx2 ∧ dx4 )(i∗ X, i∗ Y ) = (X1 Y2 − Y1 X2 ) + (X2 Y1 − Y2 X1 ) = Vậy G đa tạp Lagrang (R4 , ω) ✷ III Các cấu trúc tương thích 1.8 Định nghĩa Cho đa tạp khả vi M , ánh xạ Jp : Tp M −→ Tp M ; p ∈ M gọi cấu trúc hầu phức M thoả mãn điều kiện: i) Jp : Tp M → Tp M ánh xạ tuyến tính ii) Jp2 = −id; ∀p ∈ M 1.9 Mệnh đề (Xem [9]) Mọi đa tạp khả vi chẵn chiều M có cấu trúc hầu phức tắc → − Suy H ip = T rBip không phụ thuộc vào cách chọn sở trực chuẩn Tp (M ); ∀i = 1, k Theo nhận xét mệnh đề 2.4, với p ∈ M ta có k − → − → Hp = H ip i=1 → − Từ suy H p không phụ thuộc vào cách chọn sở trực chuẩn B(M ).✷ Từ mệnh đề ta nhận thấy M siêu mặt đa tạp M với trường véc tơ pháp tuyến N ta có: B(X, Y ) = h(X).Y.N ; ∀X, Y ∈ B(M ) II Biến phân thể tích Giả sử M đa tạp Riemann m-chiều, định hướng, có biên M Trong đồ địa phương (Uα , ϕα ) với trường mục tiêu {Ei }m i , ta √ ký hiệu gij = g(Ei , Ej ) đặt g = det(gij ) Biểu thức gdx1 ∧ dx2 ∧ ∧ dxm xác định m-dạng vi phân M gọi dạng thể tích tắc M Bây ta xét f : M → M phép nhúng đóng phép đồng luân F : I × M → M , I = [−1, 1] thỏa mãn: ⊕ Mỗi ánh xạ ft = F (t, ) : M → M phép nhúng đóng ⊕ f0 = f ⊕ ft |∂M = f |∂M ; ∀t ∈ I Ta ký hiệu trường véc tơ tắc dọc I ∂ ∂t , ∂ E = F∗ ( ∂t ) |t=0 A(t) thể tích M thời điểm t, dVt dạng thể tích ft (M ) Như ta biết A(t) = V ol(ft (M )) = dVt Khi ta có mệnh đề sau M 2.6 Mệnh đề (Xem [7]) dA |t=0 = − dt − → g( H , E)dV0 M 27 Chứng minh Để chứng minh định lý này, ta cần chứng minh bổ đề sau: Bổ đề Giả sử (A(t)) = (aij (t)); t ∈ I họ nhẵn ma trận vuông cấp m cho A(0) = Im (ma trận đơn vị) Khi đó: d det(A(t))|t=0 = T rA (0) dt Thật vậy, với A(t) ta xem ma trận phép biến đổi tuyến tính thực A(t) : Rm → Rn với sở tắc e1 = (1, 0, , 0) e2 = (0, 1, , 0) e1 = (0, 0, , 1) Giả sử W m−dạng thay dấu Rm cho W (e1 , e2 , , em ) = Khi ta có det(A(t)) = W (A(t)e1 , , A(t)em ) d det(A(t))|t=0 = dt m W (A(t)e1 , , A (t)ek , , A(t)em )|t=0 k=1 m = W (e1 , , A (0)ek , , em ) k=1 m = bkk (0) k=1 = T rA (0) 28 Bây ta trở lại với việc chứng minh mệnh đề Ta có A(t) = M dVt nên suy dA d = dt dt = M dVt M d dVt dt Gọi ∇ liên thông Lêvi-Civita M , Uα đồ p M Ta chọn {E1 , , Em }∈ B(Uα ) cho a) {E1 , , Em } hệ trực chuẩn theo điểm với mêtric cảm sinh f0 b) (∇Ei Ej )|p = (∇f0∗ Ei f0∗ Ej )T |f (p) = 0; ∀i, j Gọi ω1 , , ωm 1−dạng đối ngẫu E1 , , Em Cho ω dạng M xác định ω(X) = g(E, X); ∀X ∈ B(M ) Khi đó, lân cận Uα p ta có: m ω= g(g(Ei , Ej ), ωi ) i=1 Gọi Ω (m − 1)−dạng M xác định m (−1)k+1 E.Ek ω1 ∧ ∧ ωk ∧ ∧ ωm Ω= k=1 Do E|∂M = nên suy Ω|∂M = Để chứng minh mệnh đề ta cần chứng minh → − d dVt |t=0 = −g( H , E)dV0 + dΩ dt Với g = (gij ), xác định gij (t) = g(ft∗ Ei , ft∗ Ej ) dVt = g(t)ω1 ∧ ω2 ∧ ∧ ωm 29 Suy dVt = g(t)dV0 ; g(t) = det(gij (t)) Từ đó, ta có d d dVt |t=0 = dt dt g(t)dV0 |t=0 = dg (0)dV0 dt Từ bổ đề chứng minh, ta thấy điểm p, ta có: d dVt |t=0 = dt m k=1 dgkk (0)dV0 dt ∂ Ta mở rộng E1 , E2 , , Em lên I × Uα ⊂ I × M ý [ ∂t , Ek ] = 0; ∀k = 1, m ∂ Gọi E, E1 , , Em ảnh ∂t , E1 , , Em dọc theo ánh xạ F Khi đó, ta có gkk (t) = g(ft∗ Ek , ft∗ Ek ) = g(Ek , Ek )|F (t,p) dgkk (t) = Eg(Ek , Ek ) dt = 2g(∇E Ek , Ek ) = 2g(∇Ek E, Ek ) = 2(Ek g(E, Ek ) − g(E, ∇Ek Ek )) Suy m k=1 − → dgkk (0) = −g(E, H ) + dt m Ek g(E, Ek ) (∗) k=1 Ta có công thức: m (−1)k+l Ek Ω(E1 , , Ek , , Em )+ dΩ(E1 , , Em ) = k=1 30 m (−1)k+l Ω(g(Ei , Ej ), E1 , , Ei , , Em ) + k=1 Thay m (−1)k+l g(E, Ek )ω1 ∧ ∧ ωk ∧ ∧ ωm Ω= k=1 vào công thức với ý [Ei , Ej ]|p = ((∇Ei Ej ) − (∇Ej Ei ))|p = m dΩ(E1 , , Em ) = Ek g(E, Ek ) k=1 Mặt khác ta có: m m Ek g(E, Ek )dV0 = k=1 Ek g(E, Ek )ω1 ∧ ∧ ωm k=1 Nên suy ra: m m Ek g(E, Ek )dV0 (E1 , , Em ) = k=1 Ek g(E, Ek ) k=1 Vậy ta có m dΩ = Ek g(E, Ek )dV0 k=1 Từ (*) ta suy m k=1 Mà ta có: m − → dgkk (0)dV0 = −g(E, H dV0 + Ek g(E, Ek )dV0 dt k=1 − → = −g(E, H )dV0 + dΩ d dVt |t=0 = dt m k=1 31 dgkk (0)dV0 dt Suy M d dVt |t=0 = − dt → − g(E, H )dV0 + M = − M = − → − g(E, H )dV0 + → − g(E, H )dV0 ✷ dΩ M Ω ∂M M 2.7 Định nghĩa (M, J) gọi đa tạp đa tạp phức (M , J) phép nhúng ψ : M → M thoả mãn: dψp ◦ J = J ◦ dψp Trong hệ toạ độ địa phương phép nhúng M ⊂ M đa tạp với p ∈ M , không gian tiếp xúc Tp (M ) ⊂ TP (M ) J−bất biến, tức J(Tp (M )) ⊂ Tp (M ) với p ∈ M 2.8 Mệnh đề Mọi đa tạp chẵn chiều đa tạp K¨ ahler đa tạp K¨ ahler với metric cảm sinh Chứng minh Giả sử (M , J, g) đa tạp K¨ ahler, (M, J, g) đa tạp chẵn chiều đa tạp K¨ ahler (M , J, g) Ta cần chứng minh (M, J, g) đa tạp K¨ ahler, theo mệnh đề 1.14 ta cần chứng minh (∇X J)(Y ) đ/n ∇X (JY ) − J(∇X Y ) = 0; ∀X, Y ∈ B(M ) Thật vậy, ta có ∇X (JY ) = (∇X (JY ))T = (J(∇X Y ))T (do (M , ∇) đa tạp K¨ ahler) = J(∇X Y )T = J(∇X Y ); ∀X, Y ∈ B(M ) ⇒ ∇X (JY ) − J(∇X Y ) = 0; ∀X, Y ∈ B(M ) ✷ 32 2.9 Mệnh đề Giả sử (M, J, g) đa tạp chẵn chiều đa tạp K¨ ahler (M , J, g) Khi đó: BX,JY = JBX,Y = BJX,Y ; ∀X, Y ∈ B(M ) Chứng minh ⊕BX,JY = (∇X JY )N = (J(∇X Y ))N (Do M đa tạp K¨ ahler) = J(∇X Y )N = JBX,Y ; ∀X, Y ∈ B(M ) ⊕BJX,Y = BY,JX (Vì B ánh xạ đối xứng) = JBY,X = JBX,Y ; ∀X, Y ∈ B(M ) Vậy BX,JY = JBX,Y = BJX,Y ; ∀X, Y ∈ B(M ) ✷ 2.10 Mệnh đề Giả sử M đa tạp K¨ ahler M đa tạp thực 2m-chiều định hướng M Với điểm p ∈ M ký hiệu dVp dạng thể tích cảm sinh metric M Khi dạng K¨ ahler M Tp M thỏa mãn: ωm ≤ dVp m! đẳng thức xảy Tp (M ) không gian chẵn chiều Tp (M ), với định hướng tắc Chứng minh Giả sử X, Y trường vectơ đơn vị Tp (M ), ta có: ω(X, Y )2 = X, JY ≤ |X|2 |JY |2 (theo BĐT Cauchy-Svac) = |X|2 |Y |2 = Đẳng thức xảy X = ±JY , tức X Y cách không gian phức 1-chiều 33 Xét dạng K¨ ahler ω M hạn chế Tp (M ) Vì ω phản xứng nên tồn sở trực chuẩn { ε1 , , ε2m } Tp (M ) để ma trận chuyển phản xứng có dạng   −λ1           λ1 0 0 0 0 λ2 −λ2 0 0 0 0 −λm             λm  0 0 λk = ω(ε2k−1 , ε2k ); ∀k = 1, m Giả sử {ε∗1 , , ε∗2m } 1-dạng đối ngẫu {ε1 , , ε2m } Khi đó: m λk ε∗2k−1 ∧ ε∗2k ω = k=1 ⇒ω m = ω ∧ ∧ ω (tích m-lần) m m λk ε∗2k−1 = ( ∧ ε∗2k ) k=1 = (m!)λ1 λm ε∗1 λk ε∗2k−1 ∧ ε∗2k ) ∧ ∧ ( ∧ ∧ ε∗2m k=1 (chứng minh theo quy nạp) = (m!)λ1 λm dV0 ⇒ ω m ≤ (m!)dV0 Đẳng thức xảy |λ1 λm | = ⇔ ω(ε2k−1 , ε2k )2 = 1; ∀k = 1, m ⇔ ε2k−1 = ±Jε2k ; ∀k = 1, m ⇔ Tp (M ) J-bất biến ⇔ M đa tạp chẵn chiều đa tạp K¨ ahler M ✷ 34 III Đa tạp cực tiểu 2.11 Định nghĩa Đa tạp M M gọi đa tạp cực → − tiểu trường vectơ độ cong trung bình H M 2.12 Ví dụ Cho R4 với hệ toạ độ địa phương (x1 , x2 , x3 , x4 ) (J, ω, g) cho ví dụ 1.12 G = {(x1 , x2 , x1 , x2 )|(x1 , x2 ) ∈ R2 } Khi G đa tạp cực tiểu R4 Thật vậy: ⊕ G đa tạp khả vi R4 phép nhúng vi phôi i : G → R4 (x1 , x2 , x1 , x2 ) → (x1 , x2 , x1 , x2 ) ⊕ (G, J) đa tạp phức (R4 , J) với X(X1 , X2 , X1 , X2 ) ∈ B(G) ta có: ∂ ∂ ∂ ∂ + X2 + X1 + X2 ) ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = X1 (− +2 ) + X2 (− + ) + X1 (− +2 )+ ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂ ∂ + ) + X2 (− ∂x3 ∂x4 ∂ ∂ ∂ = (−X1 − X2 ) + (2X1 + X2 ) + (−X1 − X2 ) + ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂ + (2X1 + X2 ) ∂x4 = (−X1 − X2 , 2X1 + X2 , −X1 − X2 , 2X1 + X2 ) ∈ B(G) JX = J(X1 ⊕ {E1 ( 21 , 0, 12 , 0); E2 (− 12 , 1, − 12 , 1)} sở trực chuẩn B(G) vì: 1 g(E1 , E1 ) = 2(2 .( )) = 2 35 1 1 g(E2 , E2 ) = 2(2.(− )(− ) + (− ).1 + (− ) + 1) = 2 2 g(E1 , E2 ) = Do − → H = B(E1 , E1 ) + B(JE2 , JE2 ) = B(E1 , E1 ) + B(JE1 , JE2 ); (vì E2 = JE1 ) = B(E1 , E1 ) + J B(E1 , E1 ) ( áp dụng mệnh đề 2.9) = − → ⇒H = Vậy G cực tiểu ✷ Theo nhận xét sau mệnh đề 2.5 ta thấy đa tạp M siêu mặt M việc chứng minh M đa tạp cực tiểu quy chứng minh độ cong trung bình đa tạp M 2.13 Mệnh đề M đa tạp cực tiểu đa tạp M thể tích M đạt cực trị biến phân M giữ nguyên biên Chứng minh Theo mệnh đề 2.6, ta có: dA |t=0 = − dt − → g( H , E)dV0 M Do − → • Nếu M đa tạp cực tiểu đa tạp M H |M = ⇒ dA dt |t=0 = ⇒ V ol(M ) đạt cực trị biến phân M giữ nguyên biên • Nếu V ol(M ) đạt cực trị biến phân M giữ nguyên biên dA dt |t=0 =0 36 − → ⇒ H = (vì E = 0) ⇒ M đa tạp cực tiểu ✷ 2.14 Mệnh đề (Xem [7]) Mọi đa tạp chẵn chiều đa tạp K¨ ahler cực tiểu Chứng minh Xét M đa tạp đa tạp K¨ ahler M Theo mệnh đề 2.9 ta có: BX,JY = JBX,Y = BJX,Y ; ∀X, Y ∈ B(M ) Vì g(X, X) = g(JX, JX) g(X, JX) = ω(X, X) = với X ∈ B(M ) nên ta có sở B(M ) có dạng {E1 , , En , JE1 , , JEn } n = dimC (M ) Như vậy, p ∈ M có: − → H = n (B(Ek , Ek ) + B(JEk , JEk )) k=1 n (B(Ek , Ek ) + J B(Ek , Ek )) = k=1 = Vậy đa tạp đa tạp K¨ ahler cực tiểu ✷ Nhận xét Nếu đa tạp R2n trang bị cấu trúc hầu phức tắc J ta đồng với đa tạp phức Cn Thật vậy, ta có: • Cn = {(z1 , , zn )|zj = xj + iyj ∈ C; ∀j = 1, n } = {(x1 + iy1 , , xn + iyn )|xj , yj ∈ R; ∀j = 1, n } ≡ {(x1 , , xn , y1 , , yn )|xj , yj ∈ R; ∀j = 1, n } = R2n 37 • Với Z = (Z1 , , Zn ) ∈ B(Cn ); Zj = Xj + iYj ; j = 1, n ta có i∗ Z = i∗ (Z1 , , Zn ) = i∗ (X1 + iY1 , , Xn + iYn ) = (−Y1 + iX1 , , −Yn + iXn ) ≡ (−Y1 , , −Yn , X1 , , Xn ) = J(X1 , , Xn , Y1 , , Yn ) ≡ JZ ✷ Từ ta đồng cấu trúc hầu phức tắc J với i∗ 2.15 Mệnh đề Giả sử Cn đa tạp K¨ ahler với cấu trúc hầu phức J ≡ i∗ metric cảm sinh Đặt M = {(ϕ1 (z), , ϕn (z))|z ∈ C} ϕk : C → C z → ϕ(z); ∀k = 1, n hàm chỉnh hình C Khi M đa tạp cực tiểu Cn nếu: n |ϕk (z)| = 0; ∀z ∈ C k=1 Chứng minh • Trước hết ta chứng minh J(B(M )) ⊂ B(M ) Thật vậy, ta có hệ sinh ∂ϕn ∂ϕ1 ∂ϕn B(M ) { ∂ϕ ∂z , , ∂z , ∂z , , ∂z } Vì ϕk : C → C hàm chỉnh hình với k = 1, n nên ta có: ∂ϕk J( ) ∈ B(M ); ∀k = 1, n ∂z ∂ϕk ) ∈ B(M ); ∀k = 1, n J( ∂z ⇒ J(B(M )) ⊂ B(M ) 38 • Ta có: n |ϕk (z)| = 0; ∀z ∈ C k=1 ∂ϕn ∂ϕ1 , , )=1 ∂z ∂z Suy M đa tạp đa tạp K¨ ahler Cn ⇒ rankC ( Theo mệnh đề 2.14 ta suy M đa tạp cực tiểu C ✷ 2.16 Ví dụ Xét ánh xạ ψ : C → C2 cho ψ(z) = (z , z ) Khi đó, M = ψ(C \ {0}) đa tạp cực tiểu C2 Thật vậy, ta dễ dàng chứng minh hàm ϕ1 : C → C z → z2 ϕ2 : C → C z → z5 hàm chỉnh hình C Theo mệnh đề 2.15 ta thấy M đa tạp cực tiểu C2 |ϕ1 (z)| + |ϕ2 (z)| = 2|z| + 5|z|4 = 0; ∀z ∈ C \ {0} Vậy, M = ψ(C \ {0}) đa tạp cực tiểu C2 ✷ 39 kết luận Trong luận văn đạt kết sau: Tập hợp chứng minh chi tiết số tính chất đa tạp Riemann, đa tạp K¨ ahler, công thức biến phân thể tích, dạng thứ hai đa tạp trường vectơ độ cong trung bình siêu mặt (Mệnh đề 1.13; 1.14; 2.6; 2.8) Chứng minh trường vectơ độ cong trung bình không phụ thuộc vào cách chọn trường mục tiêu (Mệnh đề 2.5) Phát biểu chứng minh (Mệnh đề 2.9) tính chất dạng thứ hai đa tạp đa tạp K¨ ahler Chứng minh tính cực tiểu đa tạp đa tạp K¨ ahler Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu tính cực tiểu thể tích siêu mặt lớp siêu mặt biên nhóm đồng điều 40 tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Khu Quốc Anh (2003), Nguyễn Doãn Tuấn (2003), Lý thuyết liên thông hình học Riemann, NXB Sư phạm [2] Henri Cartan (1980), phép tính tích phân dạng vi phân, NXB ĐH Và THCN [3] Gromoll, W.Klingenberg, W.Meyer (1997), Hình học Riemann toàn cục, Bản dịch tiếng Việt, Thư viện ĐHV [4] Nguyễn Hữu Quang, Nguyễn Thị Dung (2001), Trường vectơ độ cong trung bình siêu mặt đa tạp Riemann, TBKH số 26, Đại học Vinh [5] Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB giáo dục [6] Hoàng Tụy, Nguyễn Xuân My, Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái (1979), Mở đầu số lý thuyết đại Tôpô đại số, tập 2, NXB ĐH THCN Tiếng Anh [7] H.Blaine Lawson, Jr, Lecture on minimal Submanifolds, Copyright 1980 [8] H.Blaine Lawson, Jr and Reere Harey (1982), Calibrated Geometric, Acta Math [9] Ana Cannas da Silva, Lecture on Symplectic Geometry (2000) 41 [...]... ✷ 18 chương 2 một số tính chất về trường vectơ độ cong trung bình và ứng dụng Trong suốt chương này, chúng ta luôn giả thiết (M , g) là đa tạp Riemann (m + k)-chiều với liên thông Lêvi-Sivita ∇; (M, g) là đa tạp Riemann con m-chiều của (M , g) với liên thông Lêvi-Sivita ∇ cảm sinh từ ∇ N(M) là tập tất cả các trường vectơ của B(M ) mà vuông góc với B(M ) I Trường véc tơ độ cong trung bình của đa tạp... (ej , ej ); ∀p ∈ M j=1 {ej }m j=1 (Trong đó là cơ sơ trực chuẩn của Tp M ) − → Khi đó: Hp được gọi là vectơ độ cong trung bình của đa tạp con M tại p − → − → 2.2 Định nghĩa Ánh xạ H : p → H p được gọi là trường vectơ độ cong trung bình của đa tạp M 19 2.3 Ví dụ Siêu mặt T trong R4 được cho bởi tham số hoá: r : R3 → R4 (u, v, t) → (cos u, sin u, v, t) • Ta có cơ sở của Tp (T ); p(u, v, t) ∈ R3 ∂r =... ∂r N ) ∂u ∂u (− cos u, −sinu, 0, 0) ∂r (∇ ∂r )N ∂v ∂v (0, 0, 0, 0) ∂r (∇ ∂r )N ∂t ∂t (0, 0, 0, 0) (∇ ∂r • Vectơ độ cong trung bình của T tại p là: − → H p = (− cos u, − sin u, 0, 0) 2.4 Mệnh đề Ánh xạ B là ánh xạ song tuyến tính đối xứng Chứng minh • B là ánh xạ song tuyến tính do tính song tuyến tính của liên thông Lêvi-Sivita ∇ • ánh xạ B là ánh xạ đối xứng Thật vậy, với mọi X, Y ∈ B(M ) ta có: B(X,... Symplectic Thật vậy, ta kiểm tra các điều kiện sau: • Dễ dàng nhận thấy ω là song tuyến tính vì tính tuyến tính của cấu trúc hầu phức J và tính song tuyến tính của mêtric g • ω là phản xứng vì ω(X, Y ) = −g(X, JY ) = −g(JX, Y ) = −g(J 2 Y, JX) = g(Y, JX) = −ω(Y, X); ∀X, Y ∈ B(M ) 17 • Ta chứng minh ω là đóng Thật vậy, không mất tính tổng quát ta chỉ cần chứng minh dω = 0 thoả mãn đối với các trường véc tơ cơ... biến ⇔ M là đa tạp con chẵn chiều của đa tạp K¨ ahler M ✷ 34 III Đa tạp con cực tiểu 2.11 Định nghĩa Đa tạp con M của M được gọi là đa tạp con cực → − tiểu nếu trường vectơ độ cong trung bình H trên M bằng 0 2.12 Ví dụ Cho R4 với hệ toạ độ địa phương (x1 , x2 , x3 , x4 ) và (J, ω, g) được cho như trong ví dụ 1.12 G = {(x1 , x2 , x1 , x2 )|(x1 , x2 ) ∈ R2 } Khi đó G là đa tạp con cực tiểu của R4 Thật...Chứng minh Giả sử (U, V, ϕ : U → V ) là một bản đồ phức bất kì của đa tạp 2m-chiều M với hệ tọa độ địa phương (z1 , , zm ) = (x1 + iy1 , , xm + iym ); xj , yj ∈ R với mọi j = 1, m Tại p ∈ U Tp M = ∂ ∂ |p , |p ; j = 1, , m ∂xj ∂yj Từ đó, ta xác định cấu trúc J... ∈ B(M ) ⇒ (∇X J)J = −J(∇X J); ∀X ∈ B(M ).✷ 1.10 Ví dụ Cho R4 với hệ tọa độ địa phương (x1 , x2 , x3 , x4 ) J : B(R4 ) ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x3 ∂ ∂x4 → B(R4 ) ∂ ∂ → − +2 ∂x1 ∂x2 ∂ ∂ → − + ∂x1 ∂x2 ∂ ∂ → − +2 ∂x3 ∂x4 ∂ ∂ → − + ∂x3 ∂x4 Khi đó R4 là đa tạp có cấu trúc hầu phức J Thật vậy, • Dễ dàng chứng minh được ánh xạ J là ánh xạ tuyến tính • Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh J 2 = −id Thật vậy, với mọi X(X1 ,... trúc Riemann trên M Khi đó bộ ba (ω, g, J) được gọi là bộ ba tương thích nếu: g(X, Y ) = ω(X, JY ); ∀X, Y ∈ B(M ) b) Đa tạp K¨ ahler là đa tạp Symplectic (M, ω) đã được trang bị một bộ ba tương thích 1.12 Ví dụ Cho R4 với hệ tọa độ địa phương (x1 , x2 , x3 , x4 ) J : B(R4 ) ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x3 ∂ ∂x4 → B(R4 ) ∂ ∂ → − +2 ∂x1 ∂x2 ∂ ∂ → − + ∂x1 ∂x2 ∂ ∂ → − +2 ∂x3 ∂x4 ∂ ∂ → − + ∂x3 ∂x4 ω = 2dx1 ∧ dx2 g(X, Y... minh bổ đề sau: Bổ đề Giả sử M là đa tạp K¨ ahler 2n-chiều với bộ ba tương thích (ω, g, J) Khi đó cơ sở của B(M ) có dạng {E1 , , En , JE1 , , JEn } 13 Thật vậy, giả sử {E1 , , En } là hệ độc lập tuyến tính trong B(M ) thoả mãn g(Ei , Ei ) = 1; ∀i = 1, n ω(Ei , Ej ) = 0; ∀i, j = 1, n Theo 1.11 thì M có bộ ba tương thích nên g(X, Y ) = ω(X, JY ); ∀X, Y ∈ B(M ) ⇒ g(JX, JY ) = ω(JX, J 2 Y ) = ω(JX,... det(gij ) Biểu thức gdx1 ∧ dx2 ∧ ∧ dxm xác định m-dạng vi phân trên M và được gọi là dạng thể tích chính tắc trên M Bây giờ ta xét f : M → M là một phép nhúng đóng và phép đồng luân F : I × M → M , ở đây I = [−1, 1] thỏa mãn: ⊕ Mỗi ánh xạ ft = F (t, ) : M → M là một phép nhúng đóng ⊕ f0 = f ⊕ ft |∂M = f |∂M ; ∀t ∈ I Ta ký hiệu trường véc tơ chính tắc dọc I là ∂ ∂t , ∂ E = F∗ ( ∂t ) |t=0 và A(t) là thể ... Chương Một số tính chất trường vectơ độ cong trung bình ứng dụng I Trường vectơ độ cong trung bình đa tạp Trong phần này, trình bày trường vectơ độ cong trung bình tính chất trường vectơ độ cong trung. .. Khi đó: Hp gọi vectơ độ cong trung bình đa tạp M p − → − → 2.2 Định nghĩa Ánh xạ H : p → H p gọi trường vectơ độ cong trung bình đa tạp M 19 2.3 Ví dụ Siêu mặt T R4 cho tham số hoá: r : R3 →... tính chất trường vectơ độ cong trung bình mối liên hệ với tính cực tiểu đa tạp đa tạp Riemann Luận văn trình bày chương: Chương Đa tạp Riemann Trong chương này, trình bày số khái niệm bản, tính chất