Trờng Đại học Vinh Khoa toán ====== Phạm Thị Hạnh Một số luật số lớn luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên khóa Luận tốt nghiệp Mở đầu Vinh, 2003 Luật số lớn (LSL) luật mạnh số lớn (LMSL) hớng = = nghiên cứu quan trọng lý thuyết xác suất với hớng: Định lý Giới hạn trung tâm Luật Lôga lặp Về phơng diện lý thuyết, việc tìm điều kiện đặt lên dãy đại lợng ngẫu nhiên độc lập (Xn) để xảy LSL LMSL đợc nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong công trình nghiên cứu thuộc hớng này, phải kể đến công trình có tính chất kinh điển của: Bernoulli, Poisson, Trebsep, Marcov, Liapunov, Canteli, Konmogorov Khoá luận không theo hớng tìm điều kiện chung có tính chất lý thuyết đặt lên dãy đại lợng ngẫu nhiên (Xn) để xảy LSL LMSL mà vào xem xét lớp đại lợng ngẫu nhiên lấy giá trị cụ thể khác thỏa mãn số điều kiện cụ thể định kỳ vọng, phơng sai, hệ số tơng quan moment để xảy LSL LMSL Khoá luận gồm có nội dung sau: Phần I: Đ1 Đ2 Giới thiệu định nghĩa LSL, LMSL trình bày số LSL, LMSL có tính chất kinh điển nh là: Bernoulli, Trebsep, Markov, Konmogorov, Khinchin, Borel số bất đẳng thức có liên quan Phần II: Đ3 Trình bày số lớp dãy biến ngẫu nhiên tuân theo LSL LMSL từ Mệnh đề - Mệnh đề 21 Khoá luận đợc hoàn thành dới hớng dẫn PGS-TS Phan Đức Thành Nhân dịp này, tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - ngời dành cho hớng dẫn nhiệt tình, tận tâm trình học tập nghiên cứu để hoàn thành đề tài Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo tổ môn Điều khiển thầy cô giáo Khoa Toán - Trờng ĐH Vinh nhiệt tình giúp đỡ quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Vinh, tháng năm 2003 Tác giả Luật số lớn với Định lý giới hạn trung tâm Luật Lôga lặp "3 viên ngọc quý" lý thuyết xác suất Nói cách ngắn gọn, luật số lớn mệnh đề khẳng định: trung bình số học biến số ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất Luật số lớn Jame Bernoulli đợc công bố năm 1713, sau kết đợc Poisson, Trebsep, Markov, Liapunov mở rộng Luật mạnh số lớn mệnh đề khẳng định trung bình số học biến ngẫu nhiên hội tụ hầu chắn Luật mạnh số lớn đợc Borel phát năm 1909 đợc Kolmogorov hoàn thiện năm 1926 Phần I: Luật số lớn luật mạnh số lớn Đ1 Định nghĩa luật số lớn luật mạnh số lớn 1.1 Định nghĩa luật số lớn Ta nói dãy biến ngẫu nhiên 1, , n tuân theo luật số lớn có thực dãy số a1, , an cho: n n Lim P k a k > = n n k =1 n k =1 với cho trớc 1.2 Định nghĩa luật mạnh số lớn Ta nói dãy biến ngẫu nhiên 1, , n tuân theo luật mạnh số lớn, nếu: n n Lim P k E k = n n k =1 n k =1 Đ2 Một số luật số lớn luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập 2.1 Luật số lớn Bernoulli Nếu pn tần suất xuất kiện A dãy n phép thử độc lập Bernoulli p(A) = p phép thử, với > ta có: n Lim P k p = n n k =1 2.2 Luật số lớn dạng Trebsep Nếu biến ngẫu nhiên 1, , n độc lập, có phơng sai giới nội số c > Thì với > cho trớc ta có: n n Lim P k E k > = n n k =1 n k =1 2.3 Luật số lớn dạng Khinchin Nếu biến ngẫu nhiên 1, , n độc lập, phân phối, có kỳ vọng hữu hạn thì: n Lim P k E k > = n n k =1 2.4 Luật số lớn dạng Maccốp Nếu biến ngẫu nhiên 1, , n có phơng sai thỏa mãn điều kiện n Lim D k = với > 0, ta có: n n k =1 n n Lim P k E k > = n n k =1 n k =1 2.5 Luật mạnh số lớn dạng Borel Giả sử ta có n phép thử Bernoulli độc lập, p xác suất xuất biến cố phép thử Gọi k số lần xuất phép thử k Khi dãy 1, , n tuân theo luật mạnh số lớn, tức là: n P k p = n n k =1 * Bất đẳng thức Kolmogorov: Nếu biến ngẫu nhiên 1, , n độc lập, có phơng sai hữu hạn > cho trớc, ta có: P max k n k k j =1 j =1 j E j n D k k =1 2.6 Luật mạnh số lớn Kolmogorov Dãy biến ngẫu nhiên 1, , n độc lập, thỏa mãn điều kiện k =1 D k k < + tuân theo luật mạnh số lớn 2.7 Tiêu chuẩn cần đủ để dãy biến ngẫu nhiên tuân theo luật mạnh số lớn Dãy biến ngẫu nhiên 1, , n độc lập, phân phối tuân theo luật mạnh số lớn tồn kỳ vọng, tức là: E k = a < + Trớc trình bày số luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập, giới thiệu số bất đẳng thức tơng tự nh bất đẳng thức Trebsep Mệnh đề 1: Giả sử biến ngẫu nhiên E < + ( > 1, E = ) Khi ta có: P{ > } E A Chứng minh: Với IA hàm tiêu tập A, I A = A Ta có: = .I( ) + .I(> ) = .I( ) + .I(> ) .I(> ) .I(> ) I(> ) (vì > ) Lấy kỳ vọng hai vế ta đợc: E E I ( > ) = P ( > ) P( > ) E Mệnh đề 2: Giả sử biến ngẫu nhiên cho tồn Eea (a > 0) a Khi ta có: P{ } Ee e a Chứng minh: Ta có: = .I( ) + .I(< ) ea = ea.I( ) + ea.I(< ) ea ea.I( ) ea.I( ) Lấy kỳ vọng hai vế ta đợc: Eea ea.EI( ) = ea.P( ) Ee a P( ) e a (a > 0) Mệnh đề 3: Giả sử f(x) số liên tục tăng, dơng tồn Ef( - E) Khi ta có: P{ E } Ef ( E ) f () Chứng minh: Ta có: f( - E) = f( - E).I( - E ) + f( - E).I( - E< ) f( - E) f( - E).I( - E ) (vì f dơng) Vì f hàm liên tục, tăng nên f( - E) f() Do đó: f( - E) f().I( - E ) Lấy kỳ vọng hai vế ta đợc: Ef( - E) f().EI( - E ) = f().P( - E ) P( - E ) Ef ( E ) f ( ) Mệnh đề 4: Giả sử f(x) hàm số liên tục, đơn điệu tăng thực [0; +), f ( x ) < + Khi đó, điều kiện cần đủ để f(0) = Sup x Lim P( n ) = Lim Ef ( n ) = n n Chứng minh: + Giả sử Lim Ef ( n ) = , ta chứng minh Lim P( n > ) = n n Theo mệnh đề 3, ta có: P(n ) Ef ( n ) f ( ) P( n ) = Theo giả thiết Efn n Do Lim n P( n ) = 0, ta chứng minh Lim Ef ( n ) = + Giả sử Lim n n Ta có: f(n) = f(n).I(n ) + f(n).I(n< ) f(n) - f(n).I(n< ) = f(n).I(n ) Vì f hàm liên tục, đơn điệu tăng thực [0; +), f(0) = Đặt c = Sup f ( x ) < + , ta đợc: x I(n ) 1 f ( n ) - f ( n ) I(n< ) c c I(n ) 1 f ( n ) - f ( ) c c Lấy kỳ vọng hai vế ta đợc: EI(n ) 1 Ef ( n ) - f () c c Vì f hàm liên tục, f(0) = nên với > đủ bé f() đủ bé P( n ) = suy Lim Ef ( n ) = Do Lim n n (đpcm) Mệnh đề 5: Giả sử { n } n1 dãy biến ngẫu nhiên giới nội Khi Lim P{ n > } = Lim E ( n ) = , > cho trớc n n Chứng minh: + Giả sử Lim E ( n ) = Ta chứng minh Lim P{ n > } = n n Ta có: n - = n - 2.I(n - > ) + n - 2.I(n - ) n - n - 2.I(n - > ) 2.I(n - > ) Lấy kỳ vọng hai vế ta đợc: En - 2EI(n - > ) = P{ n > } P{ n > } = Theo giả thiết Lim E ( n ) = nên suy Lim n n + Giả sử Lim P{ n > } = 0, ta chứng minh Lim E ( n ) = n Ta có: Từ đó: n n - = n - 2.I(n - > ) + n - 2.I(n - ) n - n - 2.I(n - > ) + En - c.EI { n > } + En - c.P { n > } + P{ n > } = nên Lim E ( n ) = Vì > bé tùy ý Lim n n 10 Phần II: Đ3 Một số lớp dãy biến ngẫu nhiên tuân theo luật số lớn luật mạnh số lớn Mệnh đề 6: Giả sử { n } n1 dãy biến ngẫu nhiên cho: n phân phối đồng thời 1, , n xác định Dk < c < +, cov(k, j) 0, k j Khi { n } n1 tuân theo luật số lớn Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Trebsep cho dãy biến ngẫu nhiên { k } có phơng sai hữu hạn Với > cho trớc, ta có: n n P k E k n k =1 n k =1 n n D k D k n k =1 = k =1 > n2 Mặt khác ta có: n D k = k =1 n k k =1 + cov( k , j ) n k , j =1 k j n D k k =1 n.c (theo giả thiết, cov(k, j) 0, k j, Dk c < +) Nên ta có: n n n.c c P k E k > 2 n n k =1 n n k =1 n Vậy n n Lim P k E k > = , tức { n } n1 tuân theo n n k =1 n k =1 luật số lớn Trebsep 11 Mệnh đề 7: Giả sử { n } n1 dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn Dk < c hệ số tơng quan kj k - j + Khi { n } n1 tuân theo luật số lớn Chứng minh: Xét n 1 n D k = D k = n n k =1 n k =1 n2 n n kj k j ( ) k =1 j =1 2k = Dk Vì n2 n cov( k , j ) n n = k =1 j =1 n kj k j k =1 j =1 c n2 n n kj k =1 j =1 kj k - j nên với > 0, tồn số tự nhiên N cho k,j: k - j > N kj < Ma trận hệ số tơng quan kj có nìn = n2 phần tử Chỉ với phần tử mà k - j > N kj < nên số phần tử màkj > có không vợt n.N Các phần tử khác có trị số tuyệt đối bé Vì kj 1, nên: n2 Tức n n kj k =1 j =1 1 N nN + ( n Nn ) = + (1 ) n n2 n2 n Lim D k = Vậy { n } n1 tuân theo luật số lớn Maccốp n n k =1 Mệnh đề 8: Giả sử { n } n1 dãy biến ngẫu nhiên cho k phụ thuộc vào k-1 k+1 nhng độc lập với i khác phơng sai k giới nội dãy tuân theo luật số lớn Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Trebsep, ta có: 12 n n P k - E k n k =1 n k =1 n > 2 D k n k =1 n n D k = E k k =1 k =1 (*) Mặt khác = n E k = k =1 n n k =1 k =1 D k + ( E k k +1 E k E k +1 ) + n ( E k k E k E k ) + k =2 Các số hạng khác triệt tiêu giả thiết độc lập biến ngẫu nhiên có số cách từ trở lên Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki-Svac, ta có: E k k +1 E k E k +1 = E ( k E k ) ( k +1 E k +1 ) E ( k E k ) E( k +1 E k +1 ) = D k D k +1 < c (const ) Tơng tự: E k k E k E k Vậy: < c n D k nc + 2(n 1)c = (3n 1)c k =1 Thế vào (*) ta có: n n P k - E k n k =1 n k =1 > 2 (3n 1)c n n n n Lim P k - E k n n k =1 n k =1 Vậy dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn 13 > = Mệnh đề 9: Giả sử dãy biến ngẫu nhiên 1, , n độc lập Ek1+ < c (0 < < 1, < c) dãy 1, , n tuân theo luật số lớn Chứng minh: Giả sử N số cố định chọn sau Ek = 0, k Đặt: k > N ; k k N k = k = k + k , Ek + Ek = = Ek Vậy: Ek = -Ek = k P n ( k - k ) 2 n k =1 n n D k k =1 E 2k N1-E (k1+) N1-(Ek)1+ c.N1- Nhng n D( k ) = k =1 Do đó: P n P n Mà: k k > N k = k N n D k k =1 n ( k - k ) k =1 n k k =1 cnN1- 4c.N n = P n n ( k - k) + k =1 + P n P n ( k - k ) P n ( k + k ) P n n n 14 n n ( k k ) k =1 ( k + k ) n k n n k P n n k > n P{ k k =1 c n P k N > N} cn N 1+ Vì Nk = NEk Ek1+ c k < n Chọn N = Ta có: c.N N P n n k 4c c (n ) 1+ + n n +1 Vậy dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Mệnh đề 10: Giả sử { n } n1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập, k nhận giá trị: ak 2a k 2k + 2k + 1 Khi Lim n n 2k + tuân theo luật số lớn xác suất n a 2k k.a k 2k + = điều kiện đủ để dãy 1, , k k =1 Chứng minh: Ta có: Ek = Dk = E k - (Ek) = E k 2 15 2a 2k (1 + 2 + + k ) = = (2k + 1) a 2k k (k + 1)(2k + 1) a 2k k (k + 1) = 3(2 k + 1)3 3(2k + 1) = Theo tiêu chuẩn Maccốp, để dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn điều kiện là: Lim n n2 n D k = k =1 n2 Ta xét: n D k = k =1 n2 n a 2k k =1 k (k + 1) 2 3.(2k + 1) n n a 2k k =1 k (k + 1) k +k = < Vì k N 3.(2k + 1) 3.(2 k + 1) Suy ra: Lim n n2 n D k Lim k =1 n n n2 a 2k = k =1 n Vậy điều kiện đủ để dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Mệnh đề 11: { } P n = n = k =1 n n Lim 1 (n 1) với < Khi { n } n1 tuân theo luật số lớn 2 En = n 1 - n = 2 Dn = E2n - (En)2 = (n)2 Với < = Giả sử { n } n1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập với Chứng minh: Ta có: a 2k < - > 16 1 + (-n)2 = n2 2 áp dụng bất đẳng thức Trebsep, ta có: n P k n k =1 2 n n Vậy P k n k =1 { } k =1 = 2 n 1 n.n = 12 n n 2 0, Mệnh đề 12: Giả sử P n = ln k = n D k { n } n1 n k k =1 n tức { n } n1 tuân theo luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập với Khi dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Chứng minh: E k = Ta có: ln k ln k = Dk = E2k - (Ek)2 = ln k n Xét D k k =1 n n = D k k =1 n2 n = ln k k =1 n2 ln( n !) ln n ln n n = = n n n2 n2 Theo quy tắc Lopitan ln x Lim = Lim x = x x x x Với dãy xn (n ) Lim x ln n = n n Lấy xn = n, suy Lim 17 ln x n = xn n Vậy Lim n D k k =1 n = Theo luật số lớn Maccốp { n } n1 tuân theo luật số lớn Mệnh đề 13: Giả sử { { n } n1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập cho } P k = k = -(2 k +1) ; P{ k = 0} = - -2 k Khi dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Chứng minh: Ta có bảng phân phối biến ngẫu nhiên k là: k Pk -2k 2k 2-(2k+1) 1-2-2k 2-(2k+1) Từ ta có Ek = Dk = 22k 2-(2k+1) + 22k 2-(2k+1) = 2-1 + 2-1 = n Xét Lim n D k k =1 n = Lim n n = Lim = n n n2 Vậy theo luật số lớn Maccốp, dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Mệnh đề 14: Giả sử { n } n1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập, n nhận giá trị: -n , -(n-1), , -1, 0, 1, , (n-1), n Và: 1 P{ n = 0} = - + + + + 3 n P{ n = k} = , k = 1, n 3k Khi dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Chứng minh: Ta có bảng phân phối biến ngẫu nhiên là: 18 n Pn -n -(n-1) -1 (n-1) n 3n 3(n - 1)3 P1 3(n - 1) 3n n E k = k =1 Ta có: n D k = k =1 n k =1 2k = 3k n 3k k =1 < (n + lnn) Vì xét dãy { n } n1 ta thấy: 1 1 k n n = n < n + lnn k =1 k Xét Lim n 2 ln n D k Lim + ln n = Lim + Lim = n 3n n 3n n 3n n k =1 3n Vậy Lim n D k = Dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Maccốp n k =1 n n Mệnh đề 15: Giả sử { n } n1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập, n nhận giá trị n với xác suất n số phơng nhận giá trị 19 1 trờng hợp khác Khi dãy { n } n1 tuân theo n với xác suất 2 luật số lớn Chứng minh: n n = k với p = n = n k với p = 2n Ta có: En = n n = k D n = n n k Xét Lim n n2 n D k k =1 Ta thấy: n2 = n 1 [ n ] n D k k + k n k =1 n k =1 k =1 k i2 [ ] ([ n ] + 1) (2[ n ] + 1) + n [ n ] ([ n ] + 1) (2[ n ] + 1) + n n2 6n n Vậy Lim n D k k =1 n2 = Mệnh đề 16: Giả sử Dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Maccốp { n } n1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị -n, 0, n ( > 0) với xác suất tơng ứng: a) 1 , , 2n n2 2n 20 b) 1 , - n-1 , n n 2 Khi dãy tuân theo luật số lớn Chứng minh: a) Ta có: En = Dn = 2 2 n + n = > 2 2n 2n Vậy Dn = > giới nội nên dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Trebsep b) Ta có: En = 2n n2 Dn = = n-1 2n n n D k = D k = n n n k =1 Với giá trị k mà n k =1 k2 k k < , log logk k2 < Vì k k2 k n + n , với n0 số nguyên dơng cố định k =1 n 2 n ( n +n ) D k < n n n n k =1 Vậy dãy tuân theo luật số lớn 21 { n } n1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân Mệnh đề 17: Giả sử phối: P{ n = k} = c , k = 1, 2, Khi dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn k3 Chứng minh: c En = k = k =1 k c < + k = 1, 2, k =1 k n Ta có: n Vậy theo luật số lớn Khinchin, dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Mệnh đề 18: Giả sử { n } n1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có hàm mật độ p( x ) = x -a n an + x - a n < x a 2n với an = n , < an x < x a n a 2n x > a n Khi dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Chứng minh: + Ta có: an an + x En = xp( x )dx = x dx + an an + x an + x Dn = x p( x )dx = x dx + an an 2 an an x a 2n x a dx = n n Xét Lim n D k k =1 n = Lim n 6n n a 2k = Lim n k =1 22 6n n k k =1 an x dx = a 2n Mặt khác < Vậy Lim n 6n k { n } n1 tuân theo luật mạnh số lớn ln n Chứng minh: Ta có: D{ } 2n n =1 n c n =1 1 = c < (theo Mệnh đề 19) n ln n n ln n n =1 Vậy dãy { n } n1 tuân theo luật mạnh số lớn Kolmogorov 24 Mục lục Trang Mở đầu Phần I: Luật số lớn luật mạnh số lớn Đ1 Định nghĩa luật số lớn luật mạnh số lớn Đ2 Một số luật số lớn luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập Phần II: Đ3 Một số lớp dãy biến ngẫu mạnh số lớn Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề nhiên tuân theo luật số lớn luật 10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10 11 11 13 14 15 16 16 18 19 20 21 21 23 23 24 25 [...]... Mệnh đề 19) 2 n ln 2 n n ln n n =1 Vậy dãy { n } n1 tuân theo luật mạnh số lớn Kolmogorov 24 Mục lục Trang Mở đầu Phần I: Luật số lớn và luật mạnh số lớn 1 3 Đ1 Định nghĩa luật số lớn và luật mạnh số lớn 3 Đ2 Một số luật số lớn và luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập 4 Phần II: Đ3 Một số lớp dãy các biến ngẫu mạnh số lớn Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh...Phần II: Đ3 Một số lớp dãy các biến ngẫu nhiên tuân theo luật số lớn và luật mạnh số lớn Mệnh đề 6: Giả sử { n } n1 các dãy biến ngẫu nhiên sao cho: n phân phối đồng thời của 1, , n đều xác định và Dk < c < +, cov(k, j) 0, k j Khi đó { n } n1 tuân theo luật số lớn Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Trebsep cho dãy biến ngẫu nhiên { k } có phơng sai hữu hạn Với mọi > 0 cho trớc, ta... 0 n n n2 Vậy theo luật số lớn Maccốp, dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Mệnh đề 14: Giả sử { n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, n nhận các giá trị: -n , -(n-1), , -1, 0, 1, , (n-1), n Và: 2 1 1 1 P{ n = 0} = 1 - 1 + 3 + 3 + + 3 3 2 3 n P{ n = k} = 2 , k = 1, n 3k 3 Khi đó dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Chứng minh: Ta có bảng phân phối của biến ngẫu nhiên là: 18 n Pn -n... Giả sử Dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Maccốp { n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập nhận các giá trị -n, 0, n ( > 0) với xác suất tơng ứng: a) 1 1 1 , 1 , 2n 2 n2 2n 2 20 b) 1 1 1 , 1 - n-1 , n n 2 2 2 Khi đó dãy trên tuân theo luật số lớn Chứng minh: a) Ta có: En = 0 Dn = 1 2 2 1 2 2 n + n = 2 > 0 2 2 2n 2n Vậy Dn = 2 > 0 là giới nội đều nên dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Trebsep... =1 Với các giá trị của k mà n k =1 k2 2 k 1 2 k 1 < , thì log 2 logk k2 < 1 Vì vậy 2 k 1 k2 k 1 n + n 0 , với n0 là một số nguyên dơng cố định k =1 2 n 2 2 1 n ( n +n 0 ) 2 D k < 0 khi n 2 n n n k =1 Vậy dãy tuân theo luật số lớn 21 { n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân Mệnh đề 17: Giả sử phối: P{ n = k} = c , k = 1, 2, 3 Khi đó dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn. .. n, suy ra Lim 17 ln x n = 0 xn n Vậy Lim n D k k =1 2 n = 0 Theo luật số lớn Maccốp { n } n1 tuân theo luật số lớn Mệnh đề 13: Giả sử { { n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho } P k = 2 k = 2 -(2 k +1) ; P{ k = 0} = 1 - 2 -2 k Khi đó dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Chứng minh: Ta có bảng phân phối của biến ngẫu nhiên k là: k Pk -2k 0 2k 2-(2k+1) 1-2-2k 2-(2k+1) Từ đó ta có Ek... =1 1 > 2 2 (3n 1)c 0 khi n n 1 n 1 n Lim P k - E k n n k =1 n k =1 Vậy dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn 13 > = 0 Mệnh đề 9: Giả sử dãy các biến ngẫu nhiên 1, , n độc lập và Ek1+ < c (0 < < 1, 0 < c) khi đó dãy 1, , n tuân theo luật số lớn Chứng minh: Giả sử N là một số cố định sẽ chọn sau và Ek = 0, k Đặt: 0 nếu k > N ; k nếu k N k = k = k + k , Ek + Ek = 0 = Ek Vậy:... =1 k c < + k = 1, 2, 2 k =1 k n Ta có: n Vậy theo luật số lớn Khinchin, dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Mệnh đề 18: Giả sử { n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có hàm mật độ p( x ) = 0 nếu x -a n an + x nếu - a n < x 0 a 2n với an = n , < an x nếu 0 < x a n a 2n 0 1 2 nếu x > a n Khi đó dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Chứng minh: + Ta có: an an + x En = xp( x )dx =... Theo luật số lớn Maccốp, dãy { n } n1 tuân theo luật số lớn Mệnh đề 19: Giả sử { n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối: P{ n = k} = c , k 2, c-1 = 2 2 k ln k 1 Khi đó dãy { n } n1 tuân 2 2 k ln k k =1 theo luật số lớn Chứng minh: Xét Ek = k k =2 c = k 2 ln 2k c < + 2 k l n k k =2 c d (ln x ) Vì hội tụ dx = c 2 2 x ln x ln x 0 0 Vậy theo định lý Khinchin, dãy { ... 1 2 N nN + ( n Nn ) = + (1 ) n n2 n2 1 n Lim D k = 0 Vậy { n } n1 tuân theo luật số lớn Maccốp n n k =1 Mệnh đề 8: Giả sử { n } n1 là dãy các biến ngẫu nhiên sao cho k chỉ có thể phụ thuộc vào k-1 và k+1 nhng độc lập với các i khác và phơng sai của các k giới nội đều thì dãy đó tuân theo luật số lớn Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Trebsep, ta có: 12 1 n 1 n P k - E k n k =1 n k ... Vậy dãy { n } n1 tuân theo luật mạnh số lớn Kolmogorov 24 Mục lục Trang Mở đầu Phần I: Luật số lớn luật mạnh số lớn Đ1 Định nghĩa luật số lớn luật mạnh số lớn Đ2 Một số luật số lớn luật mạnh số. .. Luật mạnh số lớn đợc Borel phát năm 1909 đợc Kolmogorov hoàn thiện năm 1926 Phần I: Luật số lớn luật mạnh số lớn Đ1 Định nghĩa luật số lớn luật mạnh số lớn 1.1 Định nghĩa luật số lớn Ta nói dãy biến. .. k < + tuân theo luật mạnh số lớn 2.7 Tiêu chuẩn cần đủ để dãy biến ngẫu nhiên tuân theo luật mạnh số lớn Dãy biến ngẫu nhiên 1, , n độc lập, phân phối tuân theo luật mạnh số lớn tồn kỳ vọng,