Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học Vinh -phạm thị phơng Về hàm số số học Và ứng dụng Chuyên ngành đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thành Quang Vinh 2007 Lời cảm ơn Luận văn đợc thực hoàn thành Trờng Đại học Vinh, dới hớng dẫn tận tình PGS TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn PGS TS Nguyễn Thành Quang, ngời đặt phơng hớng nghiên cứu hớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Trong trình học tập viết luận văn, tác giả nhận đợc giúp đỡ dạy bảo tận tình GS TS Nguyễn Quốc Thi, PGS TS Nguyễn Quý Dy, PGS TS Ngô Sỹ Tùng, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Mai Văn T, TS Chu Trọng Thanh thầy giáo chuyên ngành Đại số & Lí thuyết số, Khoa Toán Khoa Đào tạo Sau đại học Trờng Đại học Vinh Tác giả xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả xin chân thành cảm ơn học viên cao học toán khóa 12 trao đổi bổ ích nhiều chứng minh chi tiết luận văn mục lục lời nói đầu Chơng Hàm số số học ứng dụng Trang 1.1 Hàm phần nguyên ứng dụng 1.2 Hàm nhân, công thức tổng trải 11 1.3 12 Hàm (n), (n) số hoàn chỉnh 1.4 Hàm số số học Euler ứng dụng 16 1.5 Tính toán với hàm số học Chơng Cấu trúc vành hàm số số học 21 26 2.1 26 32 Hàm Mobius, Luật thuận nghịch 2.2 ứng dụng hàm Euler lý thuyết trờng chia đờng tròn 2.3 Cấu trúc vành tập hợp hàm số số học 38 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Khi làm việc với số nguyên ngời ta thờng làm việc với đại lợng nh: số ớc số nguyên cho trớc, tổng ớc nó, tổng luỹ thừa bậc k ớc, Vì vậy, hàm số số học có vai trò quan trọng Số học Có thể thấy rằng, hàm số số học vừa đối tợng vừa công cụ nghiên cứu toán tin học Ngày nay, thời đại công nghệ thông tin, nhiều thành tựu Số học có ứng dụng trực tiếp vào vấn đề đời sống nh kinh tế, xã hội, thông tin, mật mã, kỹ thuật máy tính Vì vậy, phơng hớng số học đời phát triển mạnh mẽ: Số học thuật toán Với lý trên, luận văn đề cập đến lĩnh vực quan trọng Số học vấn đề hàm số số học ứng dụng Sau khảo sát số hàm số số học, luận văn đa số phép toán tập hợp hàm số số học xây dựng cấu trúc đại số tập hợp Luận văn thực số tính toán với hàm số số học phầm mềm Maple, nhằm tìm tòi ứng dụng hàm số số học Số học thuật toán Nội dung luận văn, gồm hai chơng: Chơng Hàm số học ứng dụng Chơng Cấu trúc vành hàm số số học Một số kết thu đợc luận văn gồm: Chỉ số tính chất hàm số số học: 1) Số nguyên dơng n hợp số (n) > n + n 2) Cho hàm nhân f Với số nguyên dơng m, n ta có f (BCNN (m, n)) f ( UCLN (m, n)) = f (m) f (n) 3) Cho nN, n ta có (n) + (n) 2n (Định lý 2.1.6) Sử dụng công cụ hàm nguyên toán tìm số điểm nguyên giải phơng trình nghiệm nguyên Sử dụng công cụ hàm số Euler lý thuyết trờng chia đờng tròn, chứng minh đợc nhóm nhân bậc n đơn vị nhóm cyclic cấp n (định lý 2.2.6) chứng minh đợc tính khả quy đa thức chia đờng tròn trờng đặc số khác Thực hành số tính toán với hàm số số học phần mềm Maple: Tính toán với phi hàm Euler, hàm sigma, số hoàn chỉnh, số Mersenne, số nguyên tố Mersen, bậc số nguyên, nguyên thuỷ, phơng trình đồng d Xây dựng đợc cấu trúc đại số vành tập hợp hàm số số học cách định nghĩa phép toán ( * ) thích hợp tập hợp tất hàm số học Cụ thể hơn, ta có: Xét hàm số học f, g với phép toán * sau n f g ( n) = f ( d ) g ( ) dn d hàm e đợc xác định n = 1, e( n ) = n Với cách xác định nh ta thu đợc kết sau (định lý 2.3.4) (a) Tập hàm số học phép toán +, phép toán * lập thành vành giao hoán có đơn vị (b) Tập hàm nhân với phép toán +, phép toán * lập thành miền nguyên Luận văn đợc hoàn thành dới hớng dẫn nhiệt tình thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời dành cho tác giả hớng dẫn chu đáo nghiêm túc qúa trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo Tổ Đại số Khoa Toán Trờng Đại học Vinh hết lòng giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu tập thể giáo viên học sinh Trờng THPT Huỳnh Thúc Kháng Sở Giáo dục Đào tạo Nghệ An động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Mặc dù cố gắng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý quý thầy cô bạn đồng nghiệp Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả Phạm Thị Phơng Thanh Chơng Hàm số học ứng dụng 1.1 Hàm phần nguyên ứng dụng 1.1.1 Định nghĩa Hàm phần nguyên xác định với số thực x, biểu thị số nguyên lớn không vợt x, ký hiệu [x] Nh vậy, phần nguyên x số nguyên thoả mãn [x] < x < [x] +1 Hiệu x - [x] = { x} gọi phần phân x 1.1.2 Định lý Phần nguyên số thực x có tính chất sau: (1) Nếu n Z [ x + n ] = [ x ] + n (2) n x < n x + n 1, với n N+ x R x [ i ] i [ i ] i i =1 i =1 i =1 n (3) Nếu x R+ d N+ số nguyên dơng bội d, không lớn x x d (6) Với x R x + = [ x ] [ x ] [ x] (5) = , x R, dN* d d x x x + (6) [ x ] = + , x R Chứng minh (1) Theo định nghĩa hàm phần nguyên, ta có [x] < x < [x] +1 Do đó: [ x] + n x + n < [ x] + + n = [ x] + n + Tính chất (1) đợc suy từ bất đẳng thức cuối (2) Theo định nghĩa, ta có: [xi] xi < [xi] + 1, i = 1, 2, , n Cộng tất bất đẳng thức , vế theo vế, ta có: n n n i =1 [ xi ] xi < [ xi ] + n i =1 i =1 n n x Các bất đẳng thức [ i ] xi < [ xi ] + n đợc suy từ định nghĩa phần i =1 i =1 i =1 n nguyên (3) Ký hiệu n số số nguyên dơng bội d không lớn x Đó x số d, 2d, , nd với nd x n + n 2) Cho hàm nhân f Với số nguyên dơng m, n ta có f (BCNN (m, n)) f ( UCLN (m, n)) = f (m) f (n) 3) Cho nN, n ta có (n) + (n) 2n (Định lý 2.1.6) Sử dụng công cụ hàm nguyên toán tìm số điểm nguyên giải số lớp phơng trình nghiệm nguyên Sử dụng công cụ hàm số Euler lý thuyết trờng chia đờng tròn, chứng minh đợc nhóm nhân bậc n đơn vị nhóm cyclic cấp n (định lý 2.2.6) chứng minh đợc tính khả quy đa thức chia đờng tròn trờng đặc số khác Thực hành số tính toán với hàm số học phần mềm Maple: Tính toán với hàm Euler, hàm sigma, số hoàn chỉnh, số Mersenne số nguyên tố Mersen, bậc số nguyên nguyên thuỷ, phơng trình đồng d Xây dựng đợc cấu trúc đại số vành tập hợp hàm số số học cách định nghĩa phép toán ( * ) thích hợp tập hợp tất hàm số học Cụ thể hơn, luận văn thu đợc kết sau (định lý 2.3.4): (a) Tập hàm số học phép toán +, phép toán * lập thành vành giao hoán có đơn vị (b) Tập hàm nhân với phép toán +, phép toán * lập thành miền nguyên Tài liệu tham khảo [1] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, Lập trình Giảng dạy Toán học Maple, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Grobner, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Phạm Minh Hoàng (2005), Maple toán ứng dụng, NXB Khoa học Kỹ thuật Tp Hồ Chí Minh [4] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Đại học Vinh [7] Nguyễn Thành Quang (2005), Lý thuyết trờng Lý thuyết Galois, Đại học Vinh [8] Z I Borevic and R I Shafarevich (1966), Number Theory, Acamedic Press [9] A Heck (1997), Introduction to Maple, Edition Springer Velrag, Berlin Heidenberg [10] R Hartshorne (1977), Algebrai Geometry, Springer [...]... Hàm số số học Euler và ứng dụng Cho n là số tự nhiên khác không Trong các hàm số số học, hàm số Euler đợc định nghĩa sau đây, có vai trò rất quan trọng 1.4.1 Định nghĩa Hàm số Euler (n) là hàm số số học có giá trị tại n bằng số các số tự nhiên khác 0, không vợt quá n và nguyên tố cùng nhau với n: ( n) = 1 1 m n ( n , m ) =1 Từ định nghĩa trên đây, ta có ngay hệ quả: Số tự nhiên p lớn hơn 1, là số. .. cho p = pi, i=1,,s, ta có điều cần chứng p p p p minh 1.2 Hàm nhân, công thức tổng trải 1.2.1 Định nghĩa Một hàm số f xác định trên tập hợp các só nguyên dơng Ơ + và nhận giá trị trong trờng các số hữu tỷ Ô đợc gọi là hàm số học 1.2.2 Định nghĩa (a) Hàm số học f đợc gọi là hàm có tính chất nhân (hàm nhân) i) Tồn tại số nguyên dơng n để cho f(n) 0 ii) Với mọi số nguyên dơng a, b nguyên tố cùng nhau,... hợp đẳng thức đúng với mọi a, b hàm f đợc gọi là hàm tính chất nhân mạnh (c) Hàm số học k đợc gọi là hàm cộng tính nếu mọi số nguyên dơng a, b nguyên tố cùng nhau, ta có k(ab) = k(a) +k(b) Ví dụ Các hàm số học xác định nh sau đều là hàm nhân: nếu: 1 + f(a) = am , m N; g ( a) = , a Ơ a Nhận xét: Nếu f là một hàm nhân, n là số nguyên dơng có khai triển thành tích của các số nguyên tố dạng n = p1 p2 ... N , ta đợc a n a r (mod p i j ) Ta xét một ví dụ bằng số: Tính 21000000 mod 77 Ta có: 77 = 11.7, và có (7) = 6, (11) = 10 Bội chung nhỏ nhất của 6 và 10 là 30 Do đó 2 30 1(mod 77) Mặt khác, 1000000 = 30 33333 + 10, do đó 21000000 210 23 (mod 77) 1.5 Tính toán với các hàm số số học 1.5.1 Hàm Euler và các ứng dụng liên quan Hàm Euler của số tự nhiên n đợc tính bằng lệnh {>phi(n); Thí dụ: [ >... ớc nguyên dơng của n Ký hiệu (n) = 1 d \n b) (n) là hàm số xác định với mọi số nguyên dơng n, biểu thị tổng các ớc tự nhiên của n Ký hiệu: (n) = d d \n 1.3.2 Mệnh đề Hàm số (n) và (n) là hàm số có tính chất nhân Chứng minh: Đặt f(x) = 1, x N và f(x) = x, x N theo định lý 2.1.5 , ta có (n) = 1 = f ( d ) và (n) = d = f (d ) d \n là các hàm có tính chất nhân d \n d \n d \n 1.3.3 Công thức... Mersenne Số Mersenne thứ k là số ( 2 1) và đợc tính trực tiếp bằng lệnh: k [> M[k] := 2^k 1 ; Thí dụ, số Mersenne thứ 9 đợc tính bằng [> M[9] := 2^9 1 ; M := 511 9 Khi k là số nguyên tố ta dùng hàm Mersenne (k) kiểm tra xem số Mersenne thứ k có là số nguyên tố Mersenne hay không? Nếu hàm trên trả lại giá trị false thì số M[k] không phải là số nguyên tố Mersenne, ngợc lại hàm trả lại giá trị bằng số Mersenne... nguyên tố dạng n = p1 p2 pk thì f (n) = f ( p1 ) f ( p2 ) f ( pk ) 1 2 k 1 2 k 1.2.3 Mệnh đề Cho các hàm số học f, g là những hàm nhân và k là hàm cộng Khi đó, ta có (i) f (1) = 1, k (1) = 0 (ii) Hàm f g xác định bởi (fg)(n) = f(n) g(n) cũng là một hàm nhân Chứng minh (i) Vì f là hàm nhân, nên có số nguyên dơng n để f(n) 0 Khi đó ta có f (n) = f (1.n) = f(1).f(n) Vì n f(n) 0, nên f(1) = 1 Vì k(1)... 2 Cấu trúc vành của các Hàm số số học 2.1 Hàm Mobius, luật thuận nghịch Trong phần này luận văn sẽ trình bày định lý nỗi tiếng của Gauss có tên gọi Luật thuận nghịch bậc 2, một công cụ hiệu quả để giải các phơng trình đồng d bậc 2 Đây là một định lý mà nhiều nhà toán học lớn nh Euler, Lagrange đã quan tâm sâu sắc Có thể coi nó là cái thớc đo vĩ đại của Gauss, ông vua số học, ngời đã chứng minh định... và các hình chữ nhật thuộc cùng một lớp thì chứa nhau Do số hình chữ nhật là 2006 phân vào 50 lớp, nên phải có ít nhất một lớp chứa nhiều hơn 40 hình chữ nhật Bài toán 5 Cho dãy số nguyên tố bất kỳ p 1 = 2, p2 3, pn+1 pn 2, n 1 Đặt n S n = pi Chứng minh rằng khi đó giữa S n và Sn+1 có ít nhất một số chính phơng với i =1 mọi n nguyên dơng Chứng minh Giả sử có n để giữa Sn và Sn+1 không có một số. .. ớc của m , d 2 là uớc của n và d1 , d 2 nguyên tố cùng nhau Do đó, ta có thể viết F (mn) = d1 m, d 2 n f (d1d 2 ) Vì f là hàm có tính chất nhân và d1 , d 2 nguyên tố cùng nhau, cho nên F (mn) = d1 m, d 2 n f (d1d 2 ) = d1 m f (d1 ) f (d 2 ) = F (m) F (n) d2 n 1.3 Hàm ( n), ( n) và số hoàn chỉnh 1.3.1 Định nghĩa: Cho số nguyên dơng n a) (n) là hàm số biểu thị số các ớc nguyên dơng của n Ký ... Chơng Hàm số số học ứng dụng Trang 1.1 Hàm phần nguyên ứng dụng 1.2 Hàm nhân, công thức tổng trải 11 1.3 12 Hàm (n), (n) số hoàn chỉnh 1.4 Hàm số số học Euler ứng dụng 16 1.5 Tính toán với hàm số. .. Chơng Hàm số học ứng dụng Chơng Cấu trúc vành hàm số số học Một số kết thu đợc luận văn gồm: Chỉ số tính chất hàm số số học: 1) Số nguyên dơng n hợp số (n) > n + n 2) Cho hàm nhân f Với số nguyên... đa số phép toán tập hợp hàm số số học xây dựng cấu trúc đại số tập hợp Luận văn thực số tính toán với hàm số số học phầm mềm Maple, nhằm tìm tòi ứng dụng hàm số số học Số học thuật toán Nội dung