1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI GIÁP TÝ VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN HẦU TỰ NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI GIÁP TÝ VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN HẦU TỰ NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An - 2012 MỤC LỤC Mục lục MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun cốt yếu 1.2 Phần bù 1.3 Môđun 1.4 Môđun A - nội xạ 1.5 Môđun tự nội xạ 10 1.6 Môđun nội xạ 11 1.7 Bao nội xạ 12 1.8 Môđun nội xạ không phân tích 13 Vành tự đồng cấu môđun hầu tự nội xạ 15 2.1 Vành tự đồng cấu địa phương 15 2.2 Vành tự đồng cấu môđun hầu tự nội xạ 21 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 MỞ ĐẦU Việc mở rộng lớp môđun vấn đề nhà nghiên cứu lý thuyết vành môđun quan tâm Đặc biệt môđun nội xạ trụ cột lý thuyết môđun, từ ứng dụng để đặc trưng vành Nhưng điều kiện nội xạ mạnh, số lớp vành khó đặc trưng Vì người ta nghiên cứu mở rộng lớp môđun Trong thập kỷ 80 90 nhà toán học đạt nhiều kết tốt việc nghiên cứu lớp môđun mở rộng môđun nội xạ Năm 1989, Yoshitomo Baba Manabu Harada đưa khái niệm môđun hầu nội xạ, với tính chất chúng Mặc dù lớp môđun được nghiên cứu thập kỷ qua nhiều tính chất thú vị hữu ích không ý Năm 2009 Adel Alahmadi S K Jain tiếp tục nghiên cứu mở rộng lớp môđun thu nhiều kết Đó số tính chất môđun hầu tự nội xạ Kết đăng trên tạp chí Mah J Okayama Univ năm 2009 Dựa kết báo "A note on almost injective modules" Adel Alahmadi S K Jain (xem [3]) luận văn nhằm tìm hiểu vành tự đồng cấu môđun hầu tự nội xạ Vì chọn đề tài nghiên cứu luận văn "Vành tự đồng cấu môđun hầu tự nội xạ" Luận văn phần mở đầu, phần kết luận, bố cục thành hai chương nội dung: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày kiến thúc môđun đều, môđun nội xạ, môđun không phân tích Chương Vành tự đồng cấu môđun hầu tự nội xạ Trong chương trình bày kiến thúc vành địa phương tìm hiểu môđun hầu tự nội xạ tính chất địa phương vành tự đồng cấu môđun hầu tự nội xạ Bản luận văn hoàn thành làm việc nghiêm túc thân hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy giáo PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS TS Ngô Sỹ Tùng, thầy cô giáo môn Đại số, Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, thầy cô giáo phản biện quan tâm dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu, tạo điều kiện để giúp đỡ trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn tới gia đình, đồng nghiệp bạn bè động viên suốt trình học tập Trong trình học tập, nghiên cứu viết luận văn, cố gắng nỗ lực, song thời gian kiến thức hạn chế nên nhiều thiếu sót Kính mong góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số khái niệm kết biết môđun nội xạ, bao nội xạ môđun cốt yếu, Ta quy ước viết môđun M mà không nói thêm, ta hiểu môđun phải M Trên vành cố định R đó, vành giả thiết có đơn vị, môđun unita (nghĩa x.1R = x với x ∈ MR ) 1.1 Môđun cốt yếu Khái niệm môđun cốt yếu sử dụng nhiều luận văn 1.1.1 Định nghĩa 1) Môđun A môđun M gọi môđun cốt yếu M với môđun B ⊂ M thoả mãn A ∩ B = B = Kí hiệu A⊂∗ M Ta gọi A môđun lớn M 2) Đồng cấu α gọi đồng cấu cốt yếu Im α⊂∗ M 1.1.2 Mệnh đề M R môđun, A ⊂ B ⊂ M Khi đó, A⊂∗ M A⊂∗ B B⊂∗ M 1.1.3 Mệnh đề Giả sử A môđun M Khi A⊂∗ M ∀m ∈ M, m = 0, ∃r ∈ R, mr = mà mr ∈ A 1.1.4 Mệnh đề Cho họ Ai môđun M n 1) Ai ⊂∗ M, ∀i = 1, , n ⇒ ∩ Ai ⊂∗ M n 2) M = ⊕ Mi , Mi ⊂ M, Ai ⊂∗ Mi , ∀i i∈I n Khi đó, A = n Ai = ⊕ Ai A⊂∗ M 1 1.2 Phần bù 1.2.1 Định nghĩa Giả sử A môđun M 1) Môđun A∗ M gọi phần bù cộng tính A M A + A∗ = M A∗ môđun tối tiểu có tính chất A + A∗ = M 2) Môđun A M gọi phần bù theo giao (hay ∩-bù ) A ∩ A = A môđun tối đại có tính chất A ∩ A = 1.2.2 Mệnh đề Mọi môđun môđun M có bù giao 1.2.3 Mệnh đề 1) Nếu A ⊂ M, B ⊂ M A B = Khi B = A ⇔ (A + B) /B⊂∗ M/B 2) Nếu B = A A = B A’ bù giao A M 3) Nếu A ⊂ A A⊂∗ A 1.3 Môđun Tính chất quan hệ chặt chẽ với tính chất nội xạ dạng suy rộng tính chất nội xạ 1.3.1 Định nghĩa Môđun M gọi môđun môđun khác không M môđun cốt yếu M (Nói cách khác, M môđun khác không A B ta có A ∩ B = 0) 1.3.2 Ví dụ a) Mỗi R môđun đơn môđun b) Mỗi môđun khác không môđun môđun Thật vậy, giả sử N ⊂ M, N = Mọi B ⊂ M mà N ∩ B = nên B = Vì B = giả thiết M ta có:N ∩ B = (mâu thuẫn với giả thiết N ∩ B = 0) Vậy N ⊂∗ M 1.3.3 Nhận xét Mỗi R môđun M chứa môđun N , N cốt yếu M M môđun Chứng minh Giả sử N ⊂∗ M , N M = U, V ⊂ M (vì N ⊂∗ M ⇒ N ∩ U = N ∩ V = 0) Khi (N ∩ U ) ∩ (N ∩ V ) = suy N ∩ (U ∩ V ) = hay U ∩ V = Vậy M môđun 1.3.4 Mệnh đề M R môđun khác không, M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không Khi M chứa môđun 1.3.5 Mệnh đề Giả sử N ⊂∗ M , với N = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un , Ui M , ∀i = 1, n Thế môđun K = M cốt yếu M K ∩ Ui = ∀i = 1, n n 1.3.6 Mệnh đề Giả sử M R - môđun ⊕ Ui ⊂∗ M , i=1 Ui môđun Khi đó: 1) Mọi tổng trực tiếp môđun khác M có nhiều n hạng tử k 2) Nếu ⊕ Vi ⊂∗ M , với Vi môđun k = n i=1 Chứng minh 1) Giả sử tồn M tổng trực tiếp: K1 ⊕ K2 ⊕ ⊕ Kn+1 , Ki = 0, (i = 1, , n + 1), Ki ⊂ M Thế K2 ⊕ ⊕ Kn+1 ⊂∗ M (vì có K1 = 0, cho K1 ∩ (K2 ⊕ ⊕ Kn+1 ) = 0) Theo Mệnh đề 1.3.5 tồn Ui (i = 1, , n) cho (K2 ⊕ K3 ⊕ ⊕ Kn+1 ) ∩ Ui = Giả sử Ui = U1 , ta có tổng trực tiếp M U1 ⊕ K2 ⊕ ⊕ Kn+1 Ta lại có U1 ⊕ K3 ⊕ ⊕ Kn+1 ⊂∗ M (Vì (U1 ⊕ K3 ⊕ ⊕ Kn+1 ) ∩ K2 = ) Do tồn Uj cho Uj ∩ (U1 ⊕ K3 ⊕ ⊕ Kn+1 ) = với (j = 1) Chẳng hạn Uj = U2 , ta có tổng trực tiếp U1 ⊕ U2 ⊕ K3 ⊕ Kn+1 Sau n bước ta có tổng trực tiếp U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un ⊕ Kn+1 Suy (U1 ⊕ ⊕ Un ) ∩ Kn+1 = Vì U1 ⊕ ⊕ Un ⊂∗ M nên Kn+1 = (Trái với giả thiết Kn+1 = 0) 2) Nếu V1 ⊕ ⊕ Vk ⊂∗ M Theo 1) k ≤ n Mặt khác thay đổi vai trò Vi thành Ui lại áp dụng 1) ta có n ≤ k Vậy n = k Như với môđun M = ta có môđun M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun tồn số nguyên dương n cho M chứa môđun cốt yếu dạng U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un , Ui (i=1, ,n) 1.3.7 Định nghĩa Số n bất biến với môđun M Mệnh đề 1.3.6 gọi chiều môđun M Kí hiệu UdimM 1.3.8 Mệnh đề Cho M N R – môđun,N môđun M 1) N ⊂∗ M UdimM hữu hạn UdimN hữu hạn trường hợp UdimM = UdimN 2) Giả sử N M/N có chiều hữu hạn M có chiều hữu hạn UdimM = UdimN + UdimM/N 1.4 Môđun A - nội xạ 1.4.1 Định nghĩa Cho A M R - môđun Môđun M gọi A - nội xạ với môđun X A với đồng cấu ϕ : X → M , ϕ mở rộng đến đồng cấu ψ : A → M / X ❇❇ ❇❇ ❇ ϕ ❇❇❇! M ~ ψ A 14 (iii) Môđun không E bất khả quy; (iv) Mỗi môđun E nhất; (v) E bao nội xạ môđun khác không 1.8.3 Hệ .Cho R - môđun M N R - môđun M Khi bao nội xạ không phân tích N môđun bất khả quy M 1.8.4 Hệ Bao nội xạ R - môđun đơn môđun không phân tích CHƯƠNG VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN HẦU TỰ NỘI XẠ 2.1 Vành tự đồng cấu địa phương 2.1.1 Định nghĩa Cho vành R phần tử r R (i) Phần tử r gọi khả nghịch phải tồn phần tử r R cho rr = Phần tử r gọi nghịch đảo phải r (ii) Phần tử r gọi khả nghịch trái tồn phần tử r R cho r r = Phần tử r gọi nghịch đảo trái r (iii) Phần tử r gọi khả nghịch tồn phần tử u R cho ru = ur = Phần tử u gọi nghịch đảo r 2.1.2 Hệ Nếu r có nghịch đảo phải trái chúng nghịch đảo r 2.1.3 Định lý Cho vành R, gọi A tập hợp tất phần tử không khả nghịch R Khi điều kiện sau tương đương (i) A đóng kín phép cộng; (ii) A iđêan hai phía R; (iii) A iđêan trái thực lớn nhất; (iv) A iđêan phải thực lớn nhất; (v) Trong R tồn iđêan trái lớn nhất; (vi) Trong R tồn iđêan phải lớn nhất; 16 (vii) ∀r ∈ R r − r khả nghịch trái; (viii) ∀r ∈ R r − r khả nghịch phải; (ix) ∀r ∈ R r − r khả nghịch 2.1.4 Định nghĩa Một vành gọi vành địa phương tập hợp phần tử không khả nghịch đóng kín phép cộng 2.1.5 Hệ Một vành thoã mãn mệnh đề Định lý 2.1.3 vành địa phương 2.1.6 Định lý (Định lý phân tích vành tổng quát) (a) Cho vành R thoả mãn R = ⊕ Ai với Ai i∈I R R, thì: (i) Tập I hữu hạn (I = I0 = {1, 2, ,n}) (ii) Ai = Rei ∀i ∈ I0 +e2i = ei ∀i ∈ I0 + ei ej = 0∀i, j ∈ I0 , i = j (*) + e1 + e2 + + en = (b) Ngược lại: vành R có họ luỹ đẳng {e1 , e2 , , en } thoả mãn điều kiện (*) R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ⊕ Ren Hơn ei luỹ đẳng tâm (∀i = 1, n) Rei iđêan hai phía Chứng minh a) Do ∈ R nên từ giả thiết R = ⊕ Ai ta có i∈I = e1 + e2 + + en , ei ∈ Ai (∗∗) ∀r ∈ R ⇒ r = re1 + re2 + ren ∈ Re1 ⊕ Re2 ⊕ ⊕ Ren , Rei ∈ Ai ⇒ R ⊆ Re1 ⊕ Re2 ⊕ ⊕ Ren ⇒ R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ⊕ Ren ∀ai ∈ Ai (i = 1, n) ta có = e1 + e2 + + en 17 Do R = ⊕ Ai tổng trực tiếp (trong) nên biểu diễn i∈I ⇒ ej = 0(∀j = 1, n, j = i) ⇒ = ei ∈ Rei ⇒ Ai ⊆ Rei ⇒ Ai = Rei Vậy R = A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ An suy (i) chứng minh Từ (**) ta có ei = ei e1 + ei e2 + ei ei + + ei en Lý luận tương tự suy ei = ei ei = ei nên ei luỹ đẳng ei ej = 0, ∀i = j = 1, n b) ∀r ∈ R, = e1 + e2 + + en ⇒ r = re1 + re2 + ren ⇒ R = Re1 + Re2 + + Ren n ∀k ∈ 1, n ta chứng minh Rek ∩ Rei = i=1 i=k n Thật vậy: giả sử a ∈ Rek ∩ Rei i=1 i=k ⇒ a = rk ek (1) n ⇒a= ri ei (2) i=1 i=k (1) ⇒ aek = rk ek ek = rk ek = a n (2) ⇒ a = aek = ri e i e k = i=1 i=k ⇒a=0 18 Do R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ⊕ Ren Nếu ei thuộc tâm: ei x = xei , ∀x ∈ R, i = 1, n ⇒ rei x = rxei ∈ Rei , ∀r, x ∈ R ⇒ Rei RR ⇒ Rei R 2.1.7 Hệ Cho vành R điều kiện sau tương đương: (i) R không phân tích bên trái; (ii) R không phân tích bên phải; (iii) R có hai luỹ đẳng Chứng minh (i) ⇒ (ii): Điều tương đương với Mệnh đề: Nếu R phân tích bên trái suy R phân tích bên phải Ta chứng minh Mệnh đề sau: Giả sử R phân tích bên trái: R = A1 ⊕ A2 , (0 = A1 , A2 R R), theo phần (a) Định lý A1 = Re1 , A2 = Re2 , iđêan hai phía R suy R phân tích bên phải Tương tự (ii) ⇒ (i) (i) ⇒ (iii): Giả sử R có luỹ đẳng e ∈ / {0, 1} − e luỹ đẳng − e ∈ / {0, 1} Ta có = e + (1 − e), e(1 − e) = e − ee = Suy R có phân tích bên trái: R = Re ⊕Rf, f = − e Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy R có hai luỹ đẳng 0,1 19 (iii) ⇒ (i): Giả sử R có phân tích bên trái R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ⊕ Ren , ei luỹ đẳng ei ej = 0, i = j Vì R có hai luỹ đẳng 0,1 nên ei = ei = Suy Rei = Rei = R Vậy không tồn phân tích bên trái 2.1.8 Bổ đề End(M ) tập tất tự đồng cấu môđun M vành Vành gọi vành tự đồng cấu môđun M 2.1.9 Định lý Môđun M không phân tích S = End(M ) có hai luỹ đẳng Chứng minh Điều kiện cần: Gọi e phần tử luỹ đẳng S Ta có:M = e(M ) ⊕ (1 − e)M Thật vậy: + M = e(M ) + (1 − e)M + e(M ) ∩ (1 − e)M = ker(e) = (1 − e)M , ta chứng ming điều này: x ∈ ker(e) ⇒ e(x) = ⇒ x − e(x) = x ⇒ (1 − e)x = x ⇒ x ∈ (1 − e)M x ∈ (1 − e)M ⇒ ∃y ∈ M : x = (1 − e)y ⇒ x = y − e(y) ⇒ e(x) = e(y) − e2 (y) = o ⇒ Do M không phân tích nên: + Hoặc e(M ) = ⇒ e = + Hoặc (1 − e)M = ⇒ − e = ⇒ e = Điều kiện đủ: Giả sử M = A ⊕ B Đặt e:M →M x = a + b → a(a ∈ A) Suy e ∈ End(M ) Ta có: e2 = e 20 Thật vậy: ∀x ∈ M, x = a + b(a ∈ A), e2 (x) = e(e(x)) = e(a) = a = e(x) Theo giả thiết điều kiện đủ ta có: + Hoặc e = ⇒ A = M ⇒ B = + Hoặc e = ⇒ A = Từ M không phân tích 2.1.10 Định lý Cho môđun M khác không Nếu M không phân tích có độ dài hữu hạn vành tự đồng cấu M vành địa phương phần tử không khả nghịch luỹ linh Chứng minh Để chứng minh Định lý ta sử dụng Mệnh đề nêu Mệnh đề Cho môđun M có độ dài hữu hạn ϕ tự đồng cấu M Khi ta có: ∃no ∈ N, ∀n ≥ no : M = Im(ϕn ) ⊕ ker(ϕn ) Theo giả thiết Định lý, M có độ dài hữu hạn nên theo Mệnh đề ∃no ∈ N, ∀n ≥ no : M = Im(ϕn ) ⊕ ker(ϕn )(ϕ ∈ End(M )) Do M không phân tích nên: + Hoặc Im(ϕn ) = ⇒ ϕn = ⇒ ϕ luỹ linh suy − ϕ khả nghịch + Hoặc ker(ϕn ) = ⇒ kerϕ = ⇒ ϕ đơn cấu M actin (do M có độ dài hữu hạn) suy ϕ đẳng cấu suy ϕ khả nghịch Vậy End(M ) vành địa phương Nếu ϕ ∈ End(M ) không khả nghịch suy Im(ϕn ) = ⇒ ϕn = ⇒ ϕ luỹ linh 2.1.11 Định lý Cho M môđun nội xạ không phân tích Khi vành tự đồng cấu M địa phương Chứng minh Cho ϕ ∈ End(M )và ϕ đơn cấu Do M nội xạ, ϕ ∈ End(M ) ⇒ Im(ϕ) nội xạ ⇒ Im(ϕ)⊂⊕ M , M không phân tích nên Im(ϕ) = M ⇒ ϕ đẳng cấu⇒ ϕ khả nghịch Từ ta có nhận xét: Với môđun M giả thiết Địnhlý, ϕ ∈ End(M ) khả nghịch ϕ đơn cấu hay ker(ϕ) = 0, suy ϕ ∈ End(M ) không khả nghịch ker(ϕ) = 21 Cho ϕ1 , ϕ2 ∈ End(M ), ϕ1 , ϕ2 không khả nghịch nên ker(ϕ1 ), ker(ϕ2 ) = Mặt khác M môđun nội xạ không phân tích nên M bất khả quy suy = ker(ϕ1 ) ∩ ker(ϕ2 ) ⊂ ker(ϕ1 + ϕ2 ) ⇒ ϕ1 + ϕ2 không khả nghịch Theo Định nghĩa 2.1.4 End(M ) địa phương 2.2 Vành tự đồng cấu môđun hầu tự nội xạ 2.2.1 Định nghĩa Giả sử M N hai R - môđun M gọi môđun hầu N - nội xạ với môđun X N đồng cấu f : X → M tồn đồng cấu g : N → M cho biểu đồ (1) sau giao hoán tồn hạng tử trực tiếpN1 = N đồng cấu h : M → N1 cho biểu đồ (2) sau giao hoán: / i X f  ~ / N (1) N1 ⊕ N2 (2) g M /X f i/ p  M h /  N1 Trong i, p phép nhúng phép chiếu tắc Nếu M hầu M - nội xạ ta nói M môđun hầu tự nội xạ Vành R gọi vành hầu tự nội xạ R - môđun hầu tự nội xạ 2.2.2 Mệnh đề Mỗi môđun hầu tự nội xạ không phân tích môđun tựa liên tục, môđun Chứng minh Ta có M hầu tự nội xạ không phân tích nên M có hai hạng tử trực tiếp M Giả sử M1 , M2 hai môđun M mà M1 ∩ M2 = 22 Khi phép chiếu tắc pi : M1 ⊕ M2 → Mi mở rộng thành tự đồng cấu M Thật vậy, có Mi = 0, chẳng hạn M1 = Khi p1 = 0, p2 = 1M2 Thế mở rộng p1 đồng cấu 0, mở rộng p2 1M Giả sử M1 = 0, M2 = pi không mở rộng thành tự đồng cấu M Vì M môđun hầu tự nội xạ nên tồn đồng cấu h : M → M cho hp1 = 1M1 Suy p1 đơn cấu Nhưng p1 đơn cấu Kerp1 = M2 = Mâu thuẫn chứng tỏ p1 mở rộng thành tự đồng cấu M Tương tự p2 Vậy M môđun tựa liên tục Do môđun khác không M môđun cốt yếu M Do môđun 2.2.3 Mệnh đề Giả sử M N môđun Thế M môđun hầu N - nội xạ với f : E (N ) → E (M ) ta có f (N ) ⊆ M f đẳng cấu f −1 (M ) ⊆ N Chứng minh Giả sử M hầu N - nội xạ Cho f ∈ Hom(E(M ), E(N )) X = {n ∈ N |f (n) ∈ M } Khi f |X : X → M Vì M hầu N - nội xạ, theo sơ đồ (1) (2) Nếu (1) xảy ra, tồn g : N → M cho g |X = f |X Chúng ta nhận thấy M ∩ (g − f )(M ) = Thật : Lấy m ∈ M cho m = (g − f )(n), với n ∈ N Khi f (n) = g(n) − m ∈ M Do n ∈ X suy f (n) = g(n) − m = M ⊆∗ E(M ) nên (g − f )(N ) = Suy f (N ) ⊆ M 23 Nếu (2) xảy tồn h : M → N cho hf = 1X Khi f song ánh Do f đẳng cấu E(M ) nội xạ E(M ) không phân tích rõ ràng h f (X) = f −1 f (X) Chúng ta nhận thấy N ∩ (f −1 − h)(M ) = Thật vậy, lấy n ∈ N cho n = (f −1 − h)(m ) với m ∈ M Khi f −1 (m ) = h(m ) + n ∈ N Tác động f hai vế ta m = f (f −1 (m )) = f (h(m ) + n ) với m ∈ f (X) Do n = (f −1 − h)(m ) = 0,Bởi h f (X) = −1 N ⊆∗ E(N ), (f f −1 f (X) m ∈ f (X) Kết chứng minh − h)(M ) = Do f −1 (M ) = h(M ) ⊆ N Chiều ngược lại chứng minh tương tự 2.2.4 Mệnh đề Giả sử R vành phần tử luỹ đẳng không tầm thường R vành hầu tự nội xạ phải với phần tử c ∈ E (RR ) c ∈ R tồn r ∈ R cho cr = Chứng minh Giả sử R hầu nội xạ phải RR Bổ đề 2.2.2 Cho c ∈ E(RR ) lc : R → E(RR ) phép nhân trái đồng cấu Khi tồn f : E(RR ) → E(RR ) cho lc |R = f |R Bởi Mệnh đề 2.2.3 f (R) ⊆ R f đẳng cấu f −1 (R) ⊆ R Nếu f (R) ⊆ R c ∈ R Nếu f −1 (R) ⊆ R tồn r ∈ R cho f (r) = nên cr = lc (r) = f (r) = Giả sử c ∈ E(RR ) c ∈ R tồn r ∈ R cho cr = Chúng ta có E(RR ) Nếu e ∈ End(E(RR )) luỹ đẳng e(1) ∈ R tồn r ∈ R cho e(1)r = Nếu e(1) ∈ R e(1) luỹ đẳng R theo giả thiết e(1) = e(1) = Do e = e = 1E(R) , R⊆∗ E(RR ) Nếu e(1)r = với r ∈ R e(1) = e(1) = e(e(r)) = e2 (r) = e(r) = Vì e |RR = 1RR Chúng ta tiếp tục chứng tỏ e = 1E(RR ) Giả sử ngược lại tồn x ∈ E(RR ) cho e(x) = x Khi e(x) − x = Vì R⊆∗ E(RR ) nên tồn r ∈ R cho (e(x) − x)r = (e(x) − x)r ∈ R Vì (e(x) − x)r ∈ R nên (e(x) − x)r = e(e(x) − x)r = Mâu thuẫn với (e(x) − x)r = Bởi e = 1E(RR ) Điều chứng minh E(RR ) không phân tích 24 RR Bây cho f ∈ End(E(RR )) Khi giả sử khác f (r) ∈ R f (r) = với r ∈ R Nếu f (r) ∈ R kéo theo f (R) ⊆ R Nếu f (r) = với r ∈ R f |rR : rR → R đẳng cấu Bởi E(RR ) nội xạ , f đẳng cấu E(RR ) f −1 (R) = rR ⊆ R Theo Mệnh đề 2.2.3, R hầu tự nội xạ Tính chất địa phương vành tự đồng cấu môđun ảnh hưởng sâu sắc đến phân tích môđun thành tổng trực tiếp đồng thời có quan hệ chặt chẽ với tính chất nội xạ 2.2.5 Bổ đề Cho M môđun hầu tự nội xạ không phân tích Khi với f, g ∈ S = End(M ) (i) Nếu Ker(f ) ⊆ Ker(g) Ker(f ) = Ker(g) Sg ⊆ Sf Sg = Sf (ii) Nếu Ker(f ) ⊆ Ker(g) Sg ⊆ Sf Sg ⊆ Sf Chứng minh Định nghĩa φ : f (M ) → g(M ) φ(f (M )) = g(M )φ R đồng cấu (i) Chúng ta có Ker(f ) ⊆ Ker(g) Ker(f ) = Ker(g), φ không ánh xạ một Giả sử φ mở rộng M Do tồn ψ ∈ S cho ψ(f (m)) = φ(f (m)) m ∈ M Khi g(m) = (ψ ◦ f )(m) với m ∈ M Kết Sg ⊆ Sf Sg = Sf (ii) Cho Ker(f ) = Ker(g) Trong trường hợp φ một Do φ mở rộng thành tự đồng cấu ψ ∈ S tồn η ∈ S cho η ◦ φ = 1f (m) Nếu φ = ψ rộng thành tự đồng cấu ψ ∈ S tồn η ∈ S cho η ◦ φ = 1f (m) Nếu φ = ψ f (M ) Sg ⊆ Sf nên η ◦ φ = 1f (m) f (m) = (φ ◦ ψ)f (m) = η(g(m)) = (η ◦ g)(m) với m ∈ M Do Sf ⊆ Sg 2.2.6 Định nghĩa Môđun M gọi môđun chuỗi tập hợp môđun tập thứ tự tuyến tính theo quan hệ bao hàm 25 Vành R gọi vành chuỗi trái môđun trái R R môđun chuỗi 2.2.7 Hệ Cho M chuỗi R - môđun hầu tự nội xạ phải Khi End(M ) chuỗi trái 2.2.8 Bổ đề Cho M môđun hầu tự nội xạ không phân tích S = End(M ) Khi iđêan trái H S tạo phép đơn cấu không đẳng cấu S iđêan hai phía 2.2.9 Định lý Nếu M môđun tự nội xạ không phân tích End(M ) vành địa phương Chứng minh Cho S = End(M ) Khi S lũy đẳng khác Nhớ lại từ M môđun hầu tựa nội xạ không phân tích nên (Bổ đề 2.2.2) Gọi F tập tất đơn cấu không đẳng cấu S Nếu F rỗng φ ∈ S đẳng cấu Ker(ϕ) = Lấy h + g ∈ U (S), U (S) nhóm đơn vị S Vì M đều, mặt khác Ker(h) = Ker(g) =0 Điều có nghĩa h g đẳng cấu Do S địa phương Sf Theo Bổ đề 2.2.5, S\U (S) ⊂ H Giả sử F khác rỗng Cho H= f ∈F n Với h ∈H thấy h không khả nghịch Viết h = gi fi , với i=1 fi ∈ F, gi ∈ S Theo Bổ đề 2.2.5, Sf1 , Sf2 , , Sfn xếp tuyến tính Sf1 ⊆ Sf2 ⊆ ⊆ Sfn Do h = gfn với g ∈ S Bây h khả nghịch fn khả nghịch trái Từ S luỹ đẳng không tầm thườngfn khả nghịch, mâu thuẫn fn ∈ F Do H = S\U (S) Từ H iđêan hai phía (Bổ đề 2.2.8) Do S địa phương KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành với nội dung sau Luận văn trình bày số điều kiện để môđun M- nội xạ, môđun đều, môđun không phân tích được, vành địa phương mối quan hệ chúng Trong chương 2: Tìm hiểu vành tự đồng cấu địa phương, vành tự đồng cấu môđun hầu tự nội xạ Cụ thể trình bày chứng minh chi tiết Mệnh đề 2.2.3, 2.3.4, Định lý 2.2.9 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lí thuyết môđun vành, NXB Giáo dục [2] Dương Quốc Việt (2009), Lí thuyết module, NXB Đại học sư phạm Tiếng Anh [3] Adel Alahmadi, S K Jain (2009), A note on almost injective modules, Math J.Okayama Univ, 51, 101 – 109 [4] Yoshitomo Baba (1989), Note on Almost M – injective, Osaka J Math, 26, 687 – 698 [5] K I Beidar, S K Jain, P Kanwar, and J B Srivastava (2003), CS matrix rings overlocal rings, J Algebra, 264, 251 – 261 [6] K I Beidar, S K Jain, P Kanwar (2004), Nonsingular CS – rings coincide with tight PP rings, J Algebra, 282, 626 – 637 [7] N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer (1994), Extending Modules, Pitman, London [8] K Harada, Y Kuratomi, and K Oshiro (2002), On Direct Sums of Extending Modules and Internal Exchange Property, J Algebra, 250, 115 – 133 28 [9] K Harada and K Oshiro (1981), On Extending property On Direct Sums of Uniform Modules, Osaka J Math, 18, 767 – 785 [10] F Kasch (1982), Modules and rings, Academic Press Inc (LonDon) Ltd [11] S H Mohamed and B J Muller (1990), Continous and discrete Modules, Cambridge University Press [...]... là hầu M - nội xạ thì ta nói M là môđun hầu tự nội xạ Vành R được gọi là vành hầu tự nội xạ nếu nó là R - môđun hầu tự nội xạ 2.2.2 Mệnh đề Mỗi môđun hầu tự nội xạ và không phân tích được đều là môđun tựa liên tục, do đó là môđun đều Chứng minh Ta có M là hầu tự nội xạ không phân tích được nên M chỉ có hai hạng tử trực tiếp là 0 và M Giả sử M1 , M2 là hai môđun con của M mà M1 ∩ M2 = 0 22 Khi đó các. .. ngắn; (iv) M là K nội xạ với mọi môđun xyclic K ⊂ A 1.5 Môđun tự nội xạ Khái niệm môđun tự nội xạ được Johson-Wong đưa ra 11 1.5.1 Định nghĩa Một môđun M được gọi là tự nội xạ nếu và chỉ nếu M là M - nội xạ 1.5.2 Hệ quả Mọi môđun nội xạ đều là môđun tự nội xạ 1.5.3 Hệ quả M là tự nội xạ ⇔ f (M ) ⊂ M với mọi f ∈ End (E (M )) 1.5.4 Mệnh đề Cho các môđun M1 và M2 Khi đó M1 ⊕ M2 là tự nội xạ khi và chỉ khi... B - nội xạ thì M cũng là A - nội xạ và C - nội xạ 1.4.3 Mệnh đề M là môđun A - nội xạ và B ⊂ A Khi đó M là B - nội xạ và A/B - nội xạ 1.4.4 Mệnh đề Cho A và M là các R - môđun M là A - nội xạ khi và chỉ khi M là aR - nội xạ với mỗi a ∈ A 1.4.5 Mệnh đề M là R - môđun, M là ⊕ Ai - nội xạ khi và chỉ khi M i∈I là Ai - nội xạ, với mọi i ∈ I 1.4.6 Mệnh đề Giả sử môđun M là A - nội xạ, N ⊂∗ M Khi đó các. .. iđêan hai phía (Bổ đề 2.2.8) Do đó S địa phương KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành với những nội dung chính sau 1 Luận văn đã trình bày một số điều kiện để một môđun là M- nội xạ, môđun đều, môđun không phân tích được, vành địa phương và mối quan hệ giữa chúng 2 Trong chương 2: Tìm hiểu vành tự đồng cấu địa phương, vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ Cụ thể đã trình bày chứng minh chi tiết Mệnh đề... mỗi r ∈ R thì f |rR : rR → R là đẳng cấu Bởi vì E(RR ) là nội xạ , f là một đẳng cấu trên E(RR ) và f −1 (R) = rR ⊆ R Theo Mệnh đề 2.2.3, R là hầu tự nội xạ Tính chất địa phương của vành các tự đồng cấu của một môđun ảnh hưởng sâu sắc đến sự phân tích môđun thành tổng trực tiếp đồng thời có quan hệ chặt chẽ với tính chất nội xạ 2.2.5 Bổ đề Cho M là môđun hầu tự nội xạ không phân tích được Khi đó với... nghĩa 2.1.4 End(M ) địa phương 2.2 Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ 2.2.1 Định nghĩa Giả sử M và N là hai R - môđun M được gọi là môđun hầu N - nội xạ nếu và chỉ nếu với mỗi môđun con X của N và mỗi đồng cấu f : X → M thì hoặc là tồn tại một đồng cấu g : N → M sao cho biểu đồ (1) sau đây giao hoán hoặc tồn tại một hạng tử trực tiếpN1 = 0 của N và một đồng cấu h : M → N1 sao cho biểu đồ (2)... là bao nội xạ của mọi R - môđun con khác không của E; 14 (iii) Môđun không của E là bất khả quy; (iv) Mỗi môđun con trong E là thuần nhất; (v) E là bao nội xạ của một môđun con thuần nhất khác không nào đó 1.8.3 Hệ quả .Cho R - môđun M và N là một R - môđun con của M Khi đó bao nội xạ là không phân tích được khi và chỉ khi N là môđun con bất khả quy của M 1.8.4 Hệ quả Bao nội xạ của một R - môđun. .. mở rộng được thành tự đồng cấu của M Tương tự đối với p2 Vậy M là môđun tựa liên tục Do đó mỗi môđun con khác không của M là môđun con cốt yếu của M Do đó là môđun đều 2.2.3 Mệnh đề Giả sử M và N là các môđun đều Thế thì M là môđun hầu N - nội xạ khi và chỉ khi với mỗi f : E (N ) → E (M ) ta có f (N ) ⊆ M hoặc f là một đẳng cấu và f −1 (M ) ⊆ N Chứng minh Giả sử M là hầu N - nội xạ Cho f ∈ Hom(E(M... nội xạ (i, j = 1, 2) 1.5.5 Hệ quả Giả sử M = ⊕ Mi , khi đó M là tựa nội xạ khi và chỉ khi i∈I Mi là Mj - nội xạ với i, j = 1, n 1.5.6 Định nghĩa Cho R - môđun M và N là một môđun con của M thì N được gọi là môđun con hoàn toàn bất biến của M nếu và chỉ nếu f (N ) ⊂ N, ∀f ∈ End (M ) 1.5.7 Mệnh đề Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi nó là môđun con hoàn toàn bất biến của môđun E (M ) 1.6 Môđun nội xạ. .. môđun đơn là môđun không phân tích được CHƯƠNG 2 VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN HẦU TỰ NỘI XẠ 2.1 Vành các tự đồng cấu địa phương 2.1.1 Định nghĩa Cho vành R và một phần tử r của R (i) Phần tử r được gọi là khả nghịch phải nếu và chỉ nếu tồn tại phần tử r của R sao cho rr = 1 Phần tử r được gọi là nghịch đảo phải của r (ii) Phần tử r được gọi là khả nghịch trái nếu và chỉ nếu tồn tại phần tử r của R sao ... văn nhằm tìm hiểu vành tự đồng cấu môđun hầu tự nội xạ Vì chọn đề tài nghiên cứu luận văn "Vành tự đồng cấu môđun hầu tự nội xạ" Luận văn phần mở đầu, phần kết luận, bố cục thành hai chương nội. .. K nội xạ với môđun xyclic K ⊂ A 1.5 Môđun tự nội xạ Khái niệm môđun tự nội xạ Johson-Wong đưa 11 1.5.1 Định nghĩa Một môđun M gọi tự nội xạ M M - nội xạ 1.5.2 Hệ Mọi môđun nội xạ môđun tự nội. .. hầu tự nội xạ Vành R gọi vành hầu tự nội xạ R - môđun hầu tự nội xạ 2.2.2 Mệnh đề Mỗi môđun hầu tự nội xạ không phân tích môđun tựa liên tục, môđun Chứng minh Ta có M hầu tự nội xạ không phân