-1- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN MAI DẠ THẢO VỀ MÔĐUN HẦU NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN – 12.2011 -2- MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1.Môđun cốt yếu, môđun đóng 1.2.Môđun nội xạ Chương MÔĐUN HẦU NỘI XẠ 18 2.1.Môđun M- hầu nội xạ , môđun hầu nội xạ 18 2.2.Môđun mở rộng (CS- môđun) 19 -3- MỞ ĐẦU Việc mở rộng lớp môđun vấn đề nhà nghiên cứu lý thuyết vành lý thuyết môđun quan tâm Môđun nội xạ hai trụ cột lý thuyết môđun ứng dụng nhiều để đặc trưng vành Nhưng điều kiện để môđun nội xạ mạnh, số lớp vành khó đặc trưng qua lớp môđun Vì người ta mở rộng nghiên cứu lớp môđun nội xạ năm thập kỷ 80, 90 nhà toán học đạt nhiều kết tốt việc nghiên cứu lớp môđun mở rộng môđun nội xạ Cụ thể người ta xét các lớp môđun sau: Môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ, môđun liên tục, tựa liên tục, CS- môđun, môđun M- nội xạ… Năm 1989, Y Baba [6] đưa khái niệm lớp môđun hầu Mnội xạ (M - almost injective) Dựa vào tài liệu “A note on almost injective modules” Adel Alahmadi and S.K.Jain [4] ; luận văn nghiên cứu tính chất lớp môđun hầu nội xạ, mối quan hệ với CS- môđun, từ trình bày số tính chất điều kiện môđun hầu nội xạ lẫn nhau, phân biệt môđun hầu nội xạ môđun nội xạ Luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức sở -4- Trong chương trình bày số kiến thức sở lý thuyết môđun Ngoài trình bày số kết có nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương 2: Môđun hầu nội xạ Trong chương đề cập tính chất đặc trưng môđun hầu M-nội xạ, từ tìm điều kiện môđun hầu nội xạ lẫn nhau, phân biệt môđun hầu nội xạ môđun nội xạ Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người trực tiếp giảng dạy, bảo tận tình, nghiêm khắc động viên nhiều suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, Khoa đào tạo Sau Đại học-Trường Đại học Vinh tất bạn bè đồng nghiệp động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Luận văn tránh khỏi thiếu sót, kính mong giúp đỡ thầy cô bạn Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả -5- CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Tất vành R luận văn vành có đơn vị, ký hiệu môđun R- môđun phải unita 1.1.Môđun cốt yếu, môđun đóng Cho R vành có đơn vị M R-môđun phải , N môđun M 1.1.1 Định nghĩa Môđun N gọi cốt yếu (essential) M e kí hiệu N Í M , với môđun K M, K ≠ N ∩ K ≠0 Qui ước: OÍ eM Û M = O Hay nói cách khác, N gọi cốt yếu M môđun A M mà N ∩ A = A = Ví dụ a) Với môđun e MÍ M e b) Xét vành số nguyên Z, ta có A = nZ Í Z, ∀n ≠ e Thật vậy, lấy ≠ B Í Z, B = mZ với m ≠ 0∈Z Khi A ∩ B = nZ ∩ mZ = nmZ e Do A ∩ B ≠ Vậy nZ Í Z -6- 1.1.2 Định nghĩa a) Nếu N cốt yếu M M gọi mở rộng cốt yếu (essential extension) N b) Nếu môđun môđun M cốt yếu M gọi môđun uniform (đều) Hoặc định nghĩa Môđun U gọi U ≠ ∀0 ≠ A, B A ∩ B ≠ Ví dụ: a Z – môđun Z môđun Vì với A = mZ, B = nZ với m, n ∈ N* ta có: A ∩B = mnZ ≠ b Z – môđun Q Chứng minh Lấy ≠ A, B Í Q ta chứng minh A ∩ B ≠ a m Thật tồn b ∈ A, n ∈ B (a, b, m, n ∈ Z*) a m Ta có mb b ∈ A na n ∈ B ⇒ ma ∈ A ma ∈ B ⇒ ≠ ma ∈ A ∩ B 1.1.3 Định nghĩa a) R- môđun M gọi môđun đơn (simple module) M không chứa môđun thực (có nghĩa M có hai môđun M) Ví dụ: Z - môđun Zp với p nguyên tố môđun đơn -7- b) R- môđun M gọi môđun nửa đơn (Semisimple module) môđun M hạng tử trực tiếp Ví dụ: Môđun gọi môđun nửa đơn Mỗi môđun đơn môđun nửa đơn c) Tổng tất môđun đơn môđun M gọi đế (socle) M ký hiệu Soc(M) Nếu M môđun đơn ta qui ước Soc(M) = Nhận xét: Môđun M nửa đơn Soc(M) = M A 1.1.4 Hệ i) Soc(M ) = A⊆ eM ii) Nếu M môđun nửa đơn M = Soc(M) iii) Môđun nửa đơn có môđun bé 1.1.5 Định nghĩa Môđun N gọi đóng (closed) M Kí hiệu N ⊆C M N mở rộng cốt yếu thật M Hay nói cách khác, N gọi đóng M với môđun K M mà N cốt yếu K N = K Ví dụ: Mọi hạng tử trực tiếp M đóng M 1.1.6 Định nghĩa Môđun K M gọi bao đóng môđun N M K đóng M N cốt yếu K -8- Hay nói cách khác, môđun K gọi bao đóng N M K môđun tối đại M cho N cốt yếu K 1.1.7 Nhận xét Bao đóng môđun A M tồn Chứng minh Đặt Γ = {B A ⊂ B ⊆ M } Khi ta thấy: +) Γ ≠ φ A∈Γ ; +) Γ thứ tự quan hệ bao hàm B1 ⊆ B2 ⊆ ⊆ Bn ⊆ , Bi ∈Γ (*) ∞ Bi B môđun M Đặt B = ∪ i =1 ∞ Bi ∩ A ≠ Do A Lấy x ∈B, x ≠ ⇒ x ∈ Bx ⇒ Rx ∩ A ≠ ⇒ ∪ i =1 môđun cốt yếu B, suy B ∈Γ n Bi , +) B cận xích (*) Bi ⊂ ∪ i =1 Theo Bổ đề Zorn Γ ∀n = 1, ∞ có phần tử tối đại, kí hiệu A * Thế A* đóng Γ Do A* bao đóng A ( A ⊂ A* A* ∈ Γ ) 1.1.8 Mệnh đề i) Cho M R - môđun, N môđun khác không M K môđun cốt yếu M Thế K ∩ N ⊆e N ii) Nếu Ai , Bi ( i = 1, n ) môđun M cho Ai ⊆e Bi , n I i =1 Ai Í e " i = 1, n n I Bi i=1 iii) Nếu f : M → N đồng cấu môđun A ⊆e N f −1 (A) ⊆e N -9- 1.1.9.Mệnh đề i) Cho A môđun R- môđun M A cốt yếu M khi A ∩ mR ≠ ∀m ∈ M , m ≠ ii) Cho M R- môđun, K ⊆ N ⊆ M Khi K ⊆e M K ⊆e N N ⊆ M iii) Cho R- môđun M K ⊆ N ⊆ M Nếu N/K ⊆e M/K N ⊆e M iv) Cho Ai , Mi môđun M với i ∈ I cho Ai ⊆e Mi A = Å Ai i ; M = å Mi iÎ I Khi tồn Å Mi iÎ I A ⊆e M 1.1.10 Định nghĩa Cho M R- môđun Ta có điều kiện sau (C1) Mọi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M (C2) Nếu A B môđun môđun M, A B đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp M (C3) Nếu A B hạng tử trực tiếp M A ∩ B = A ⊕ B hạng tử trực tiếp M 1.1.11 Định nghĩa a Một môđun M gọi CS – môđun (extending), M thỏa mãn điều kiện (C1) b Một môđun M gọi liên tục (continuous) M thỏa mãn điều kiện (C1) (C2) -10- c Một môđun M gọi tựa liên tục ( quasi - continuous ) M thỏa mãn điều kiện (C1) (C3) d Một môđun M gọi (1 – C1) – môđun môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M, hay môđun đóng M hạng tử trực tiếp Ta có quan hệ sau với R- môđun phải Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1– C1) Chiều ngược lại kéo theo không hoàn toàn 1.2 Môđun nội xạ 1.2.1 Định nghĩa a) Cho M, A R- môđun, X môđun M Môđun A gọi M- nội xạ (M-injective module) với đồng cấu f : X → A tồn đồng cấu mở rộng f * : X → A f cho biểu đồ sau giao hoán 0→X M ∃f* f A f *i = f i : X → M phép nhúng Ví dụ: Q Z –môđun nội xạ Z Z-môđun nội xạ -18- f(nz) = zf(n) = zb = zna = xa ⇒ A Điều kiện đủ:Nếu A ¢ ¢ -môđun nội xạ -nội xạ, ∀n∈N*,ta chứng minh nA=A Xét biểu đồ : n¢ ¢ ∃f* f A f đồng cấu f(n)= a (với nx = a ) Do A nội xạ ⇒ tồn f *: ¢ → A Ta có a = f(n) = f(n.1) = f*(n.1)= n f*(1) ⇒ phương trình a = nx có nghiệm x = f*(n.1) Î A ⇒ nA = A ⇒ A ¢ -môđun chia -19- CHƯƠNG MÔĐUN HẦU NỘI XẠ 2.1 Môđun hầu M- nội xạ Môđun hầu nội xạ 2.1.1 Định nghĩa Giả sử M, N R-môđun Môđun N gọi hầu M-nội xạ (M-almost injective module) với môđun X M đồng cấu h: X → N : i) Hoặc tồn đồng cấu h*: M → N cho h*i=h với i: X → M phép nhúng O→X M ∃h* h N ii) Hoặc tồn hạng tử trực tiếp M1 khác O M đồng cấu h*: N → M1 cho h*h= π i, với π : M → M1 phép chiếu O→X M π h N M1 Môđun M gọi hầu nội xạ(almost injective module) M hầu A-nội xạ với môđun A -20- 2.1.2 Hệ Nếu môđun M không phân tích N hầu M-nội xạ với môđun X M đồng cấu h: X → N tồn đồng cấu h*: N → M cho h*i = h, tồn đồng cấu h*: N → M cho h*h = i, i: X → M phép nhúng 2.2 Môđun mở rộng (CS - môđun) 2.2.1 Định nghĩa Cho M R-môđun Nếu với môđun N M, tồn phân tích M=M1 Å M2 cho N M N cốt yếu M1 M gọi CS- môđun (hay môđun mở rộng) Nói cách khác, M CS- môđun môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M 2.2.2 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp CS – môđun CS – môđun Chứng minh Giả sử M CS – môđun N hạng tử trực tiếp M Ta chứng minh N CS – môđun Thật xét U môđun đóng N Khi U môđun đóng M Vì M CS – môđun nên U hạng tử trực tiếp M Tức M = U ⊕ V với V ⊂ M Theo định luật modular ta có N = N ∩ M = N ∩ (U ⊕ V) = U ⊕ (N ⊕ V) hay U hạng tử trực tiếp N Do ta có N CS – môđun -21- 2.2.3 Bổ đề Cho M1 M2 môđun uniform có vành tự đồng cấu địa phương M = M1 Å M2 Khi điều kiện sau tương đương: i) M1 M2 hầu nội xạ lẫn ii) M CS- môđun Chứng minh i)⇒ ii)Giả sử M1 M2 hầu nội xạ lẫn A môđun M = M1 Å M2 Ta giả thiết A môđun uniform Để chứng minh M CS_ môđun, ta chứng minh A môđun cốt yếu hạng tử trực tiếp M Trước hết ta chứng minh môđun uniform N không phân tích Thật vậy, N = N1 Å N2 môđun N1, N2 môđun N N1 ∩ N2 = N1, N2 không cốt yếu N, mâu thuẫn định nghĩa N uniform.Vậy N không phân tích Gọi π i phép chiếu từ M lên Mi Ai = π i ( A), i = 1, ⇒ Ai ⊆ M i Giả sử f : A1 → A2 đồng cấu Đặt { A1 ( f ) = x + f ( x) x ∈ A } Vì A uniform nên không phân tích ⇒ A = A1(f ) Ta xét biểu đồ sau: -22- O → A1 f M1 g’ M2 Theo giả thiết M2 M1-hầu nội xạ, mà M1 uniform ⇒ M1 không phân tích Theo Hệ 2.1.2 ta có : Hoặc tồn đồng cấu g : M1 → M2 cho f = gi Khi A = A1( f ) ⊂ M1( g ) Hoặc tồn đồng cấu g’ : M2 → M1 cho f g’ = i ⇒ A ⊂ M ( g ' ) Như A môđun M1( g ) M ( g ' ) ⇒ M1( g ) M ( g ' ) hạng tử trực tiếp M, M1( g ) ≅ M1 , M ( g ' ) ≅ M , mà M1 M2 môđun uniform theo giả thiết, nên A môđun cốt yếu Vậy A cốt yếu hạng tử trực tiếp M, hay M CS_ môđun ii) ⇒ i) Ta định nghĩa A' = A1(f ) với f : A1 → A2 đồng cấu Vì A' môđun uniform, tồn phân tích M = N1 Å N2 với N1 ⊃ A' Hơn N1, M1, M2 uniform nên M1 có tính chất thay đổi ⇒ M = N1 Å M1 M = N1 Å M2 Nếu M = N1 Å M2 π 2' : M → M2 phép chiếu Xét đồng cấu -23- ~ ~ ~ π ~ h = M , nghĩa h : M → M mà h (m1 ) = h (n1 + m2 ) = π (n1 + m2 ) = m2 ~ ∀m1∈M1, m2∈ M2, n1∈ N1 Khi h i = f ⇒M hầu M1- nội xạ Tương tự M = N1 ⊕ M1 M1 hầu M2- nội xạ hay M1, M2 hầu nội xạ lẫn 2.2.4 Mệnh đề Cho {Mα}I tập hợp môđun uniform với End(Mα) ⊕ địa phương ∀α∈ I M = I Mα Giả sử {Mα}I lsTn Khi điều kiện sau tương đương : i) M CS- môđun ii) Ma hầu Mb- nội xạ với a ≠ b Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.2.3 ⊕ 2.2.5 Mệnh đề Cho M = I Mα với Mα uniform với End(Mα) địa phương ∀α∈ I Giả sử M CS- môđun Khi không tồn tập hợp vô hạn f1 f2 fn M → M →  → M n →  ,    fi đơn cấu môđun không đẳng cấu Chứng minh Giả sử {fi : Mi → Mi + 1} tập hợp đồng cấu môđun không đẳng cấu Đặt M * = ⊕ M i ( fi ) ⊆ ⊕ M i I I -24- Vì M mở rộng, ta có phân tích M = X ⊕ Y cho M* ⊆e X Vì i* : M* → M đẳng cấu A/J ⇒ Y = Do M* ⊆e M ⇒ M1 ∩ M* ≠ Nếu tất fi đơn cấu, {fi}I phải hữu hạn 2.2.6 Ví dụ R1 (tương ứng R2) vành ma trận tam giác (dưới) trường K có đặc số vô hạn Giả sử ei = eii ma trận sơ cấp Khi ekRi hầu esRi- nội xạ với k, s bất kỳ, i = 1, cố định Hơn hầu ⊕ j≠ k ⊕ ekR1 k ejR2- nội xạ với k Tuy nhiên CS- môđun Mặt khác ekR2 ⊕ eiR2 i CS- môđun theo mệnh đề 2.2.5, ta có chuỗi vô hạn môđun e1R2 ⊂ e2R2 ⊂ …⊂enR2 ⊂… Hơn e1R2 hầu Đặt U = ⊕ eiR i≥2 Khi Soc(U) = ⊕ e R- i≥2 i nội xạ R = R2 ⊕ eiRe1 i≥2 eiRe1 ≅ e1R1 = e1R Ta xét biểu đồ sau : O → ⊕eiRe1 i  → U f e1R f đẳng cấu Vì HomR(eiR, e1R) = với i ≥ 2, ta phân ~ ~ tích U = A ⊕ B h : e1R → A cho h f = πAi với πA : U → A Hơn Soc(U) = Soc(A) ⊕ Soc(B) πA Soc( A) = 1Soc ( A) ~ Do h f = πAi kéo -25- theo Soc(A) đơn Vì A không phân tích B tổng trực tiếp môđun không phân tích Bj (j ≥ 2) Vì ta giả thiết f : en R → ⊕ ek R A = en1 R( f1 ), f1 : en1 R → ⊕e1R B j = en j R( f j ) , j j k≠n j Vì ei R ≅ e j R i ≠ j, nj ≠ ni Do ta giả thiết A = enR(fn) với n Bj = ejR(fj) (j ≠ n Bn = e2R(f2)), n Vì HomR(eiR, ejR) = với i > j, ta có en+1R ⊂ ~ ⊕ j ≥n +1 Bj ⊂ B theo cách xác ~ định Bj h f(en+1Re1) = h (e1Re1) ≠ e1R = e1Re1 đơn Soc(A) ⊂ Soc(U) = ⊕ i ≥ eiRe1, ~ h f(en+1Re1) = πA(en+1Re1) ⊂ πA(B) = 0, vô lý Vậy e1R2 hầu ⊕ i ≥ eiR2 nội xạ 2.2.7 Định nghĩa a) Cho M R- môđun N môđun M, N = N1 ⊕ N2 Nếu M phân tích thành M = M1 ⊕ M2 cho M1∩N = N1, ta nói N1 mở rộng thành M1 b) Nếu với môđun N R- môđun M, hạng tử trực tiếp N mở rộng thành hạng tử trực tiếp M, ta nói M có tính chất mở rộng hạng tử trực tiếp c) Cho R- môđun M N môđun M, N = N1 ⊕ N2 Nếu M phân tích thành M = M1 ⊕ M2 cho Ni = Mi ∩ N, i = 1,2, ta nói M có tính chất mở rộng tổng trực tiếp -26- 2.2.8 Mệnh đề Giả sử {Mi}i∈I tập hợp môđun uniform n M i Khi điều kiện sau tương End(Mi) địa phương ∀i∈I; M = i⊕ =1 đương: i) Mi hầu Mj- nội xạ ∀i ≠ j ii) M có tính chất mở rộng hạng tử trực tiếp Hơn điều kiện sau tương đương iii) Mi Mj- nội xạ ∀i ≠ j iv) M có tính chất mở rộng tổng trực tiếp 2.2.9 Mệnh đề Giả sử M1 M2 môđun uniform Ei bao nội xạ Mi, i = 1,2 Giả sử M1 hầu M2- nội xạ, f : E1 → E2 đơn cấu Khi f(M2) ⊂ M1 Chứng minh Đặt M = f −1(M1) ∩M2 Xét biểu đồ O → M → M2 f M M1 Vì f −1(0) ∩ M ≠ 0, tồn g : M2 → M1 cho gM = fM theo giả thiết M1 hầu M2- nội xạ Ta giả sử g phần tử HomR(E2, E1) Nếu (f-g)(M2) ≠ 0, M ⊆e E1, tồn m1 ≠ 0, m1∈M1 m2 ∈ M2 cho (f-f)(m2) = m1 Tuy nhiên g(m2) ∈ M1, nên m2 ∈ M2 ∩ f -27- −1 (M) = M Do (f-g)(m2) = 0, mâu thuẫn với (f-g)(M2) ≠ Vậy f(M2) = g(M) ⊂ M1 2.2.10 Định nghĩa a) Một họ môđun {Mi  i∈I} môđun M gọi hạng tử trực tiếp địa phương M tổng trực tiếp với tập hữu hạn F I ∑ M i I ∑ M i hạng tử F trực tiếp M b) Một phân tích M = ⊕ Mi I gọi bù hạng tử trực tiếp hạng tử trực tiếp A M, tồn tập J I cho M = A ⊕ ( j∈⊕J Mj) Nếu M = i∈⊕I Mi tổng trực tiếp môđun Mi J ⊂ I ; gọn ta ký hiệu M(J) = j∈⊕J Mj 2.2.11 Bổ đề Giả sử M = i∈⊕I Mi phân tích bù hạng tử trực tiếp Khi phân tích M(J) = ⊕M j∈J j bù hạng tử trực tiếp tập J I Chứng minh Giả sử A hạng tử trực tiếp M(J), A hạng tử trực tiếp M Theo giả thiết tồn tập K I cho M = A ⊕ M(K) Vì A môđun M(J), sử dụng luật modular ta có : M(J) = A ⊕ (M(K) ∩ M(J)) -28- Đặt X = M(K) ∩ M(J) Dễ dàng kiểm tra X = M(T), T = K ∩ J Vậy M(J) = A ⊕ M(T) với T = K ∩ J ⊆ J, M(J) = ⊕M J j bù hạng tử trực tiếp 2.2.12 Bổ đề Giả sử {Ui}i∈I tập R- môđun U R- môđun Giả sử Ui Uj hầu nội xạ lẫn cặp (i, j) U hầu Ui- nội xạ ∀i∈J Khi U hầu ⊕UI i nội xạ 2.2.13 Bổ đề Giả sử M = ⊕I Mi, Mi môđun End(Mi) địa phương ∀i∈I Giả thiết thêm phân tích M = ⊕M I i bù hạng tử trực tiếp Khi M CS- môđun M(J) hầu Mk- nội xạ ∀k∈I Chứng minh Xét biểu đồ U Mk α M(J) U môđun Mk, i phép nhúng α đồng cấu từ U đến M(J) Đặt X = {x – α(x)  x ∈ U} ⊆ Mk ⊕ M(J) -29- Do Mk ⊕ M(J) hạng tử trực tiếp M nên Mk ⊕ M(J) CSmôđun Vì tồn hạng tử trực tiếp X* Mk ⊕ M(J) mà X ⊆e X* Theo giả thiết phân tích M = ⊕ I Mi hạng tử trực tiếp, xảy hai trường hợp sau : Trường hợp : M(J) ⊕ Mk = X* ⊕ M(J’) , J’ ⊆ J Trường hợp : M(J) ⊕ Mk = X* ⊕ M(J1) ⊕ Mk , J1 ⊆ J Nếu trường hợp xảy ra, ta có : M(J) ⊕ Mk = X* ⊕ M(J’) ⊆ X* ⊕ M(J) ⊆ M(J) ⊕ Mk Vậy X* ⊕ M(J’) = X* ⊕ M(J) ⇒ J’ = J Khi ta chọn α : Mk → M(J) hạn chế π Mk, ∧ π1 :X* ⊕ M(J) → M(J) phép chiếu ∧ ∧ ∧ Ta có ∀x ∈ U α i(x) = α (x) = α [(x − α(x)) + α(x)] ( x − αx) = π1[   ∈X * α ( x) + ∈M ( J ) ] = α(x) ∧ Như vậy, α i = α, nghĩa thỏa mãn điều kiện (1) M(J) hầu Mk- nội xạ ∧ Nếu xảy trường hợp 2, ta lấy α : M(J) → Mk thu hẹp π2 : X* ⊕ M(J) ⊕ Mk → Mk π2 phép chiếu Ta có ∀x ∈ U -30- ∧ α α(x) (α ( x) − x) x ∧ = α [α(x) − x + x ] = π2[    *  +∈ M (J ) ] = x = πi(x) ∈X π : Mk ⊕ O → Mk phép chiếu lên Mk Điều chứng tỏ α α = πi , nghĩa thỏa mãn điều kiện (2) ∧ M(J) hầu Mk- nội xạ Bổ đề chứng minh 2.2.14 Định lý Giả sử M = ⊕ I Mi, Mi môđun đều, End(Mi) vành địa phương ∀i∈I {Mi}I lsTn Khi mệnh đề sau tương đương: (i) M CS- môđun (ii) M(J) hầu M(K)- nội xạ với tập K J I cho J ∩ K = ∅ (iii) Mα hầu Mβ- nội xạ với α ≠ β ∈I Chứng minh (i) ⇒ (ii) : Khi M CS- môđun Mi Mj hầu nội xạ lẫn ( xem Bổ đề 2.2.3) Hơn M(J) hầu Mk- nội xạ ∀k ∈ I – J (Bổ đề 2.2.14) Vậy M(J) thỏa mãn điều kiện Bổ đề 2.2.13 nên M(J) hầu Mknội xạ Như ta có (ii) (ii) ⇒ (iii) : Hiển nhiên (iii) trường hợp đặc biệt (ii) (iii) ⇒ (i) : Xem Định lý 2.2.4 -31- KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành, với nội dung sau : Hệ thống số khái niệm tính chất môđun cốt yếu, môđun đóng, môđun nội xạ Trình bày khái niệm tính chất môđun hầu M-nội xạ môđun hầu nội xạ Trình bày số tính chất điều kiện để môđun hầu nội xạ lẫn Phân biệt môđun hầu nội xạ môđun nội xạ -32- TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết Môđun Vành , Nhà xuất giáo dục [2] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trưng điều kiện liên tục CS-môđun, Luận án PTS, Đại học Vinh [3] Ngô Sỹ Tùng-Lê Thị Ngọc Thúy (2001), Môđun hầu M-nội xạ vành hoàn chỉnh phải, Thông báo khoa học Đại học Vinh ,số 26 Tiếng Anh [4] Adel Alahmadi and S.K.Jain, (2009), A note on almost injective modules, Math J Okayama Univ 51: 101 - 109 [5] G.Azumaya,F.Mbuntum and K.Varadara (1975), On M-projective and M-injective module, Pacific J Math,59,9-16 [6] Y.Baba and M.Harada (1989), On almost M-projective and almost M-injective modules, Tsukuba J Math,14,9-16 [7] S.H.Mohamed and B.J.Muller, (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math, Soc.Lecture Notes Series 147, Cambridge Univ.Press [...]... 2.2.13 nên M(J) là hầu Mknội xạ Như vậy ta có (ii) (ii) ⇒ (iii) : Hiển nhiên vì (iii) là trường hợp đặc biệt của (ii) (iii) ⇒ (i) : Xem Định lý 2.2.4 -31- KẾT LUẬN Luận văn được hoàn thành, với các nội dung sau : 1 Hệ thống một số khái niệm và tính chất cơ bản về môđun cốt yếu, môđun con đóng, môđun nội xạ 2 Trình bày các khái niệm và tính chất của môđun hầu M -nội xạ và môđun hầu nội xạ 3 Trình bày một... f(n) = f(n.1) = f*(n.1)= n f*(1) ⇒ phương trình a = nx có nghiệm x = f*(n.1) Î A ⇒ nA = A ⇒ A là ¢ -môđun chia được -19- CHƯƠNG 2 MÔĐUN HẦU NỘI XẠ 2.1 Môđun hầu M- nội xạ và Môđun hầu nội xạ 2.1.1 Định nghĩa Giả sử M, N là các R -môđun Môđun N được gọi là hầu M -nội xạ (M-almost injective module) nếu với mọi môđun con X của M và đồng cấu h: X → N thì : i) Hoặc tồn tại đồng cấu h*: M → N sao cho h*i=h với... Gọi α = iAf : X → Q Do Q nội xạ nên tồn tại α* : M → Q là mở rộng của α, lấy f * = pA α* : M → A Với pA : Q = A ⊕ B → A a+b a a Thì f * là mở rộng của f hay A là M- nội xạ với mọi M nên A là nội xạ 1.2.7 Mệnh đề Môđun A nội xạ khi và chỉ khi nó là hạng tử trực tiếp của các môđun chứa nó 1.2.8 Định lý Mọi môđun M luôn nhúng vào được một môđun nội xạ 1.2.9 Định lý Một môđun Q- nội xạ khi và chỉ khi Q là... các môđun hầu nội xạ lẫn nhau 4 Phân biệt giữa môđun hầu nội xạ và môđun nội xạ -32- TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết Môđun và Vành , Nhà xuất bản giáo dục [2] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trưng bởi các điều kiện liên tục và CS -môđun, Luận án PTS, Đại học Vinh [3] Ngô Sỹ Tùng-Lê Thị Ngọc Thúy (2001), Môđun hầu M -nội xạ và... 1.2.13 Hệ quả i) Môđun A là nội xạ khi và chỉ khi A không có mở rộng cốt yếu thực sự ii) Nếu A là môđun con của môđun nội xạ E thì A nội xạ khi và chỉ khi A đóng trong E Chứng minh i) Giả sử A là môđun nội xạ ⇒ E(A) = A Vì E(A) là mở rộng cốt yếu tối đại của A nên A không có mở rộng cốt yếu thật sự Ngược lại, nếu A không có mở rộng cốt yếu thực mà A ⊆e E(A) ⇒ A = E(A) Vì E(A) nội xạ nên A nội xạ -17- ii)... khi Q là hạng tử trực tiếp của các môđun chứa nó 1.2.10 Định lý Õ Q nội xạ khi và chỉ khi Qi nội xạ với ∀i ∈I i I -15- 1.2.11 Định nghĩa Cho môđun M Môđun nội xạ N nhỏ nhất chứa M (N là mở rộng cốt yếu tối đại của M) được gọi là bao nội xạ của M, ký hiệu E(M) 1.2.12 Mệnh đề Bao nội xạ của môđun A là tối đại trong các mở rộng cốt yếu và tối tiểu trong tất cả mở rộng nội xạ Chứng minh Giả sử B là mở rộng... ⊕ I Mi, Mi là các môđun đều, End(Mi) là vành địa phương ∀i∈I và {Mi}I là lsTn Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là CS- môđun (ii) M(J) là hầu M(K)- nội xạ với mọi tập con K và J của I sao cho J ∩ K = ∅ (iii) Mα là hầu Mβ- nội xạ với mọi α ≠ β ∈I Chứng minh (i) ⇒ (ii) : Khi M là CS- môđun thì Mi và Mj là hầu nội xạ lẫn nhau ( xem Bổ đề 2.2.3) Hơn nữa M(J) là hầu Mk- nội xạ ∀k ∈ I – J (Bổ...-11- b) Môđun M được gọi là nội xạ (injective module) nếu M là A- nội xạ với mọi môđun A c) M gọi là tựa nội xạ nếu M là M- nội xạ d) Ta gọi bao nội xạ của M là một môđun f :M ®Q sao cho Imf cốt yếu trong Q Kí hiệu Q Q và một đơn cấu = E(A) e) Cho M, A là các R- môđun Một đơn cấu f : A → M được gọi là đơn cấu cốt yếu nếu f(A) ⊆e M Khi đó ta còn nói A nhúng cốt yếu được vào M 1.2.2 Mệnh đề Cho môđun N... O→X M π h N M1 Môđun M được gọi là hầu nội xạ( almost injective module) nếu M là hầu A -nội xạ với mọi môđun A -20- 2.1.2 Hệ quả Nếu môđun M không phân tích được thì N là hầu M -nội xạ với mọi môđun con X của M và đồng cấu h: X → N thì hoặc tồn tại đồng cấu h*: N → M sao cho h*i = h, hoặc tồn tại đồng cấu h*: N → M sao cho h*h = i, trong đó i: X → M là phép nhúng 2.2 Môđun mở rộng (CS - môđun) 2.2.1 Định... 1.2.5 Hệ quả Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con I của R và mọi đồng cấu f :I→M luôn tồn tại phần tử a thuộc M sao cho f(x)=xa,mọi x ∈ I 1.2.6 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ Chứng minh -14- Cho Q là nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của Q ta chứng minh A nội xạ, do A là hạng tử trực tiếp của Q nên ta có Q = A ⊕ B Với mọi môđun M và X là môđun con bất kỳ của M,