1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm sở 1.2 Môđun nội xạ số tính chất Môđun nội xạ số ứng dụng 12 2.1 Môđun nội xạ tính chất 12 2.2 Một kết đặc trưng QF-vành 17 Kết luận 21 Tài liệu tham khảo 22 LỜI NÓI ĐẦU Môđun nội xạ lớp môđun đóng vai trò quan trọng nghiên cứu lý thuyết vành Theo thời gian nhu cầu việc nghiên cứu chuyên sâu, khái niệm đến mở rộng theo nhiều hướng khác như: nội xạ chính, giả nội xạ, cốt yếu giả nội xạ, Trong [8] giới thiệu hướng mở rộng khác khái niệm nội xạ nội xạ hay nội xạ tối tiểu (mininjective): Cho R vành, R - môđun phải MR gọi - nội xạ (mininjective) với iđêan phải đơn K R, đồng cấu: ϕ : K → MR mở rộng thành đồng cấu ϕ : R → MR Rõ ràng Min nội xạ khái niệm mở rộng nội xạ, nội xạ suy nội xạ, nhiên điều ngược lại không hoàn toàn Tương tự khái niệm nội xạ, từ khái niệm nội xạ có khái niệm kéo theo CS số kết đặc trưng vành Như biết, vành QF vành Artin hai phía tự nội xạ hai phía Khi thay điều kiện tự nội xạ khái niệm nội xạ kết có hay không Mục đích nghiên cứu đề tài tìm hiểu khái niệm nội xạ ứng dụng đặc trưng số lớp vành, đặc biệt lớp vành QF Từ lý nêu trên, đề tài có tựa đề là: "Về lớp môđun nội xạ ứng dụng đặc trưng số lớp vành" Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương: Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương chủ yếu dành để trình bày kiến thức sở có liên quan đến nội dung chương 2, đặc biệt kiến thức môđun nội xạ số tính chất liên quan 3 Chương Môđun nội xạ số ứng dụng Nội dung chương trình bày hai phần: 2.1 Môđun nội xạ tính chất Phần chủ yếu trình bày khái niệm nội xạ tính chất môđun nội xạ đồng thời có so sánh khái niệm nội xạ nội xạ 2.2 Một kết đặc trưng QF- vành Như biết, lớp vành QF lớp vành dành quan tâm đặc biệt nhà nghiên cứu Số lượng báo đầu sách chuyên khảo lớp vành [4], [5], [8] [9] phần nói lên tầm quan trọng Vành R QF vành Artin hai phía tự nội xạ hai phía Trong tiết cố gắng tìm hiểu việc thay điều kiện tự nội xạ điều kiện nội xạ thu kết tương tự lớp vành QF số lớp vành khác Luận văn bắt đầu thực từ tháng năm 2010, hướng dẫn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người định hướng nghiên cứu, tận tình giúp đỡ, thường xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo tổ Đại số, khoa Toán, khoa Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh Mặc dù cố gắng trình nghiên cứu, tham khảo tài liệu tiếp thu ý kiến đóng góp luận văn khó tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả Đinh Hồng Đức CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn, vành giả thiết vành kết hợp có đơn vị Các môđun vành hiểu unita phải (nếu không nói thêm ) Ở chương trình bày khái niệm kết biết sử dụng trực tiếp nội dung chương sau Các khái niệm, tính chất ký hiệu, chủ yếu tham khảo tài liệu [1], [2], [6] [8] 1.1 Khái niệm sở Chúng ta giới thiệu số khái niệm liên quan 1.1.1 Định nghĩa Môđun A R- môđun M gọi môđun cốt yếu (bé), ký hiệu A ⊂∗ M (t.ư., A ⊂◦ M ) với môđun U ⊂ M , A ∩ U = ⇒ U = (t.ư A + U = M ⇒ U = M ) Từ định nghĩa môđun cốt yếu môđun bé ta có số tính chất sau: 1.1.2 Nhận xét A ⊂◦ M ⇔ ∀U ⊆ M ta có A + U ⊆ M A ⊂∗ M ⇔ ∀0 = U ⊂ M ta có A ∩ U = A ⊂◦ M = ⇒ A = M A ⊂∗ M = ⇒ A = 5 ⊂◦ M M ⊂∗ M với R môđun M 1.1.3 Định nghĩa Cho R- môđun M khác không Một dãy hữu hạn n + môđun M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = gọi dãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) Mi−1 /Mi đơn Liên quan đến dãy hợp thành sở việc hình thành khái niệm độ dài môđun, có định lý Jordan- H¨older: 1.1.4 Định lý Nếu môđun M có phân tích thành dãy hợp thành có độ dài hữu han cặp dãy hợp thành có độ dài 1.1.5 Định nghĩa Một môđun M có phân tích thành dãy hợp thành gọi môđun có độ dài hữu hạn độ dài dãy hợp thành gọi độ dài M Ký hiệu l(M ) length(M ) 1.1.6 Định nghĩa Cho vành R A ⊂ R tập khác rỗng Linh hóa tử (annihilator) phải (trái) tập A R tập hợp r(A) := {b ∈ R|ab = 0; ∀a ∈ A} (tư., l(A) := {b ∈ R|ba = 0; ∀a ∈ A}) Một cách tự nhiên có linh hóa tử phần tử a trường hợp đặc biệt tập A = {a} linh hóa tử tập A tập hợp thỏa mãn tính chất linh hóa tử hai phía trái phải Đối với linh hóa tử ta có số tính chất sau: 1.1.7 Bổ đề Cho A tập khác rỗng vành R Khi ta có: Linh hóa tử trái l(A) iđêan trái R Tương tự linh hóa tử phải r(A) Nếu A tập Z(R) (tâm vành R) l(A) = r(A) iđêan vành R 6 Nếu A iđêan trái (phải) vành R l(A) (t.ư., r(A)) iđêan vành R 1.1.8 Định nghĩa • Môđun M gọi thỏa mãn điều kiện ACC (Ascending Chain Condition) với dãy tăng môđun M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ , tồn số n cho Mn+i = Mn với i = 1, 2, • Môđun M gọi thỏa mãn điều kiện DCC(Descending Chain Codition) với dãy giảm môđun M1 ⊇ M2 ⊇ ⊇ Mn ⊇ , tồn số n cho Mn+i = Mn với i = 1, 2, 1.1.9 Định nghĩa • Môđun M gọi môđun Artin (Noether) M thoả mãn điều kiện DCC (ACC) • Vành R gọi vành Artin phải (trái) RR (R R) môđun Artin Chúng ta định nghĩa hoàn toàn tương tự cho vành Noether phải(trái) 1.1.10 Định nghĩa • Trên vành R, R- môđun phải M gọi môđun đơn (simple) M = môđun khác ngoại trừ Môđun M gọi môđun nửa đơn (semisimple) thỏa mãn điều kiện tương đương sau: Mọi môđun M tổng môđun đơn M tổng môđun đơn M tổng trực tiếp môđun đơn Mọi môđun M hạng tử trực tiếp M • Tổng tất môđun đơn R- môđun phải M gọi đế phải môđun MR Ký hiệu Soc(MR ) Sr (M ) 7 1.2 Môđun nội xạ số tính chất 1.2.1 Định nghĩa R-môđun N gọi M -nội xạ với môđun X M , đồng cấu ϕ : X → N mở rộng thành đồng cấu ψ : M → N Môđun N gọi tựa nội xạ N N - nội xạ Môđun N gọi môđun nội xạ N A-nội xạ với A Mod-R Như có, môđun N nội xạ N RR -nội xạ Môđun N nội xạ thỏa mãn điều kiện tương đương sau: Với môđun A với môđun X A, đồng cấu f : X → N mở rộng thành đồng cấu từ A → N; (Tiêu chuẩn Baer) Mọi đồng cấu từ iđêan phải I R tới N mở rộng thành đồng cấu từ R tới N ; Với R-môđun M , đơn cấu f : N → M chẻ Nghĩa là, Im f hạng tử trực tiếp M ; R-môđun N mở rộng cốt yếu thực 1.2.2 Định nghĩa Hai R-môđun M N gọi nội xạ lẫn M N -nội xạ ngược lại 1.2.3 Định nghĩa Nếu N môđun cốt yếu môđun nội xạ E E gọi bao nội xạ hay R-bao nội xạ môđun N Kí hiệu E(N ) Chúng ta có số tính chất môđun nội xạ 1.2.4 Mệnh đề Tích trực tiếp hạng tử trực tiếp môđun nội xạ môđun nội xạ 8 1.2.5 Định lý Cho Q R- môđun phải Các điều kiện sau tương đương (i) Q môđun nội xạ; (ii) Mỗi đơn cấu ϕ : Q → B chẻ (nghĩa Im(ϕ) hạng tử trực tiếp B); (iii) Với đơn cấu α : A → B, ánh xạ Hom(α, 1Q ) : HomR (B, Q) → HomR (A, Q) toàn cấu 1.2.6 Định nghĩa Môđun P gọi M -xạ ảnh với toàn cấu g : M → N đồng cấu f : P → N tồn đồng cấu h : P → M cho f = gh Môđun P gọi xạ ảnh P M -xạ ảnh với môđun M thuộc Mod-R Nhóm aben Q gọi chia (divisible) Q = nQ với n số nguyên khác không Một số kết sau mối liên hệ lớp nhóm với môđun nội xạ 1.2.7 Bổ đề Nhóm aben Q chia Q Z- môđun nội xạ 1.2.8 Bổ đề Nếu Q nhóm aben chia R- môđun trái HomZ (RR , Q) nội xạ 1.2.9 Mệnh đề Mọi R- môđun phải (trái) nhúng R- môđun nội xạ phải (trái) Từ Định lý 1.2.5 ta có đặc trưng lớp vành nửa đơn 1.2.10 Hệ Vành R nửa đơn R- môđun nội xạ Một khái niệm quan trọng môđun nội xạ bao nội xạ (xem Định nghĩa 1.2.3) Ví dụ từ Q chia được, Q nhóm cộng số hữu tỷ Z- môđun Q Z- nội xạ Mặt khác đồng cấu bao hàm i : Z → Q đồng cấu cốt yếu (Q, i) bao nội xạ Z Định lý sau kết qủa khẳng định tồn bao nội xạ môđun 1.2.11 Định lý Mọi R- môđun phải MR (trái R M ) có bao nội xạ E(MR ) (E(R M )) tồn theo nghĩa sai khác đẳng cấu Giữa tính chất khác bao nội xạ ta có bổ đề sau 1.2.12 Mệnh đề Trong phạm trù R- môđun phải (trái) vành R ta có: M nội xạ M = E(M ) Nếu M ⊂∗ N E(M ) = E(N ) Nếu ⊕A E(Mα ) nội xạ, với A tập hữu hạn số, E(⊕A Mα ) = ⊕A E(Mα ) Như có Mệnh đề 1.2.4, hạng tử trực tiếp môđun nội xạ môđun nội xạ Vấn đề đặt là, liệu tổng trực tiếp môđun nội xạ có môđun nội xạ hay không Điều số trường hợp cụ thể Chẳng hạn có câu trả lời mệnh đề sau 1.2.13 Mệnh đề Trên vành R, điều kiện sau tương đương: Mọi tổng trực tiếp R- môđun nội xạ phải (trái) môđun nội xạ phải (trái) Nếu (Mα )α∈A họ R- môđun phải (trái) E(⊕A Mα ) = ⊕A E(Mα ) R vành Noether phải (trái) 10 Khái niệm nội xạ có nhiều hướng mở rộng khác nhau, chẳng hạn như: mở rộng thông qua điều kiện C1 , C2 , C3 có khái niệm CS-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục Cho MR R- môđun phải Ta xét điều kiện sau: • (C1 ) : Mọi môđun MR cốt yếu hạng tử trực tiếp MR Hay nói cách khác, môđun đóng MR hạng tử trực tiếp MR • (C2 ) : Nếu A B môđun MR đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp MR B hạng tử trực tiếp MR • (C3 ) : Nếu A B hạng tử trực tiếp MR A ∩ B = A ⊕ B hạng tử trực tiếp MR • (1 − C1 ) : Nếu U môđun đóng, MR U hạng tử trực tiếp MR Điều kiện (1 − C1 ) mở rộng điều kiện C1 từ điều kiện C2 suy điều kiện C3 1.2.14 Định nghĩa Môđun MR gọi CS-môđun (extending module) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) Môđun MR gọi liên tục (continuous) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C2 ) Môđun MR gọi tựa liên tục (quasi-continuous) MR thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C3 ) Môđun MR gọi (1 − C1 )- môđun (uniform extending) MR thỏa mãn điều kiện (1 − C1 ) Từ định nghĩa có dãy kéo theo sau đây: Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1 ) Sử dụng khái niệm cho vành R xét R R-môđun có khái niệm tương ứng 11 1.2.15 Định nghĩa Vành R gọi CS (liên tục, tựa liên tục) vành phải RR CS (liên tục, tựa liên tục) môđun phải Tương tự có khái niệm CS-vành trái, vành liên tục trái vành tựa liên tục trái 12 CHƯƠNG MÔĐUN MIN NỘI XẠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Các kết chương chủ yếu tham khảo tài liệu [8] trình bày lại cách cụ thể theo hiểu biết 2.1 Môđun nội xạ tính chất 2.1.1 Định nghĩa Cho vành R Môđun MR gọi nội xạ (mininjective) hay nội xạ tối tiểu với iđêan phải đơn K R, đồng cấu f : K → MR tồn đồng cấu f : R → M cho f = f ◦ i , i phép nhúng K vào R Hay nói cách khác f = m∗ phép nhân phần tử m ∈ M Vành R gọi vành nội xạ phải RR môđun nội xạ 2.1.2 Nhận xét (i) Vành R nội xạ phải với iđêan phải đơn K R, R- đồng cấu f : K → RR mở rộng thành đồng cấu f : RR → RR (ii) Mọi vành tự nội xạ phải nội xạ phải (iii) Vành thỏa mãn điều kiện iđêan phải đơn hạng tử trực tiếp vành nội xạ phải Do đó, vành có đế phải không nội xạ phải 2.1.3 Ví dụ Vành nửa nguyên tố (giao tất iđêan nguyên tố vành R 0) vành nội xạ hai phía iđêan phải trái vành nửa nguyên tố hạng tử trực tiếp 13 Vành số nguyên Z vành giao hoán, noether, nội xạ không vành tự nội xạ Mọi vành đa thức R[x] vành nội xạ hai phía Chúng ta có số tính chất lớp vành nội xạ qua bổ đề sau: 2.1.4 Bổ đề Cho vành R Các điều kiện sau tương đương: Vành R nội xạ phải Nếu kR iđêan đơn, k ∈ R, lr(k) = Rk Nếu kR iđêan đơn r(k) ⊆ r(a), k, a ∈ R, Ra ⊆ Rk Nếu kR iđêan đơn f : kR → R đồng cấu tuyến tính, k ∈ R, f (k) ∈ Rk Chứng minh Chúng ta chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1) (1) ⇒ (2) : Ta có Rk ⊆ lr(k) (1) Để chứng minh chiều ngược lại ta giả sử a ∈ lr(k) r(k) ⊆ r(a) Đặt f : kR → R xác định sau: f (kr) = ar Do R vành nội xạ phải kR iđêan đơn nên theo định nghĩa ta có f = c∗ , c∗ phép nhân trái phần tử c thuộc R Khi a = f (k) = ck ∈ Rk, suy lr(k) ⊆ Rk (2) Từ (1) (2) ta có lr(k) = Rk (2) ⇒ (3): Nếu r(k) ⊆ r(a) a ∈ lr(k) Theo kết chứng minh lr(k) = Rk nên a ∈ Rk Vậy Ra ⊆ Rk (3) ⇒ (4): Nếu f (k) = a r(k) ⊆ r(a) Theo (3) suy Ra ⊆ Rk, hay a = f (k) ∈ Rk (4) ⇒ (1): Đặt f : kR → RR Theo tính chất (4), f (k) ∈ Rk nên ta viết f (k) = ck ∈ Rk với c R Vậy f = c∗ theo định nghĩa vành nội xạ ta có điều phải chứng minh Tiếp theo xem xét đặc trưng khác lớp môđun nửa đơn (xem 1.1.10) 14 2.1.5 Định nghĩa Một môđun nửa đơn gọi không phương (square- free) chứa nhiều môđun đơn Với kí hiệu Sr đế phải vành R, có kết sau 2.1.6 Bổ đề Trên vành R, điều kiện sau tương đương: Đế phải Sr vành R không phương Nếu kR iđêan đơn γ : kR → R đồng cấu tuyến tính, k ∈ R, γ(k) ∈ kR Nếu kR iđêan đơn, k ∈ R, lr(k) ⊆ kR Chứng minh Chúng ta chứng minh theo lược đồ sau: (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1) • (1) ⇒ (2): Giả sử γ : kR → R đồng cấu tuyến tính, γ(k)R = γ(kR) Theo (1), đế phải Sr vành R không phương nên ta có γ(kR) ⊆ kR • (2) ⇒ (3): Giả sử a ∈ lr(k), lấy linh hóa tử phải hai vế ta có r(k) ⊆ r(a) Từ tính chất (2), γ(kr) = ar γ đồng cấu tuyến tính nên γ(kr) = γ(k).r Suy a = γ(k) ∈ kR • (3) ⇒ (1): Đặt đế phải Sr = M Do kR iđêan đơn (giả thiết (3)) nên hiển nhiên có kR ⊆ Sr = M (1) Xét đẳng cấu iđêan phải đơn γ : kR → M Theo cách chứng minh trên, ta viết γ(k) = m, với m phần tử M Khi r(k) ⊆ r(m), suy m ∈ lr(k) ⊆ kR, theo tính chất (3) Do ta có M = Sr ⊆ kR (2) Từ (1) (2) ta thấy Sr = M = kR iđêan đơn Sr không phương 15 Tương tự khái niệm vành quy mạnh (strongly regular), vành R gọi vành C2 phải mạnh (strongly right C2 ) Mn (R) vành C2 phải với n ≥ Nếu vành R C2 phải mạnh R vành C2 phải (xem Theorem 7.14, [8]) Tuy nhiên, điều ngược lại không hoàn toàn xác (xem Theorem 7.15, [8]) Đối với lớp vành nội xạ mối liên hệ Câu trả lời đưa Định lý 2.1.10 Để đưa chứng minh định lý, trước hết ta cần làm sáng tỏ số bổ đề sau 2.1.7 Bổ đề Nếu R vành nội xạ phải với e ∈ R thỏa mãn e2 = e, ReR = R Chứng minh Đặt S = eRe ký hiệu rS (k), rS (a) linh hóa tử phải k a S Khi đó, rS (k) ⊆ rS (a), k, a ∈ S kS iđêan phải đơn S Trước hết ta khẳng định kR iđêan phải đơn R Nếu kr = 0, r ∈ R krReR = tồn t ∈ R cho = krte = (ke)rte ∈ kS Suy k ∈ krteS ⊆ krR, kR iđêan đơn Sử dụng Bổ đề 2.1.4 ta có rR (k) ⊆ rR (a) a ∈ Rk, a = ea ∈ eRk = Sk Điều cần chứng minh Nếu kx = 0, x ∈ R, ta biểu diễn = Σni=1 ebi , , bi ∈ R Khi k(exai e) = với i, a(exai e) = Mặt khác, a = ae nên ax = Σni=1 axai ebi = Ta kết thúc chứng minh bổ đề 2.1.8 Định nghĩa Một iđêan phải T vành R gọi mở rộng (extensive) R - đồng cấu γ : T → RR mở rộng thành đồng cấu từ RR → RR Như vậy, vành R nội xạ phải iđêan phải đơn K R iđêan mở rộng 2.1.9 Bổ đề Cho K iđêan phải đơn vành R Nếu dK = iđêan mở rộng được, với d R, K iđêan mở rộng 16 Chứng minh Định nghĩa đẳng cấu σ : K → dK xác định sau: σ(x) = dx Đặt γ : K → RR có γ ◦ σ −1 : dK → R Theo giả thiết, dK iđêan phải mở rộng nên γ ◦ σ −1 = c∗ , với c ∈ R Điều suy γ = (cd), hay nói cách khác K iđêan mở rộng Định lý sau kết tài liệu tham khảo [8] chứng minh chi tiết định lý 2.1.10 Định lý Vành R nội xạ phải vành ma trận Mn (R) vành nội xạ phải với n ≥ Chứng minh Trước hết ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử S = Mn (R) vành nội xạ phải, Se11 S = S, với eij ma trận đơn vị Sử dụng Bổ đề 2.1.7 ta có R ∼ = e11 Se11 R vành nội xạ phải Ngược lại, giả sử R vành nội xạ phải Ta nhận thấy rằng, chọn 2k ≥ n từ T = M2k (R) vành nội xạ phải Mn (R) ∼ = In eT e, e = 0 Sử dụng Bổ đề 2.1.7 ta có T eT = T Mặt khác, tính chất khép kín phép nhân nên e11 ∈ T eT eii = ei1 e11 e1i ∈ T eT với i Như cần cho trường hợp n = Đặt kS iđêan phải đơn S = M2 (R), phải chứng minh lr(k) = Sk Nếu hàng thứ i k khác không e1i k = 0, theo Bổ đề 2.1.9 giả sử k ∈ e11 S Trong trường hợp cột thứ j k khác không kej1 = 0, kS = ke1j S Do vậy, chúng k ta giả sử k ∈ e11 Se11 ta biểu diễn k = 0 , k ∈ R Vậy kR iđêan phải đơn, theo Bổ đề 2.1.4, Rk = lr(k) Nhưng lr(k) Rk r(k) r(k) rS (k) = , nên lr (k) = = S Rk = Sk R R lr(k) Ta có điều phải chứng minh 17 2.2 Một kết đặc trưng QF-vành Trước hết có định nghĩa lớp QF- vành 2.2.1 Định nghĩa Vành R gọi tựa Frobenius (quasi-Frobenius), kí hiệu QF- vành, thỏa mãn tính chất tương đương sau: R vành Artin hai phía tự nội xạ hai phía R vành Noether hai phía tự nội xạ hai phía Vành R thỏa mãn điều kiện ACC cho linh hóa tử tự nội xạ hai phía R vành Noether hai phía, rl(T ) = T với iđêan phải T lr(L) = L với iđêan trái L Khái niệm QF- vành Nakayama đưa từ năm 1939 lớp vành quan trọng lớp vành Artin Lớp vành thu hút nhiều quan tâm nhà nghiên cứu lý thuyết vành kết đạt phong phú Chúng ta dễ dàng tìm thấy kết qủa lớp vành tài liệu tham khảo [3], [4], [5], [9], Có nhiều hướng tiếp cận nghiên cứu khác lớp QF- vành Chẳng hạn như: thay điều kiện Artin (hoặc tự nội xạ) hai phía điều kiện phía trái phải; thay điều kiện Artin (hoặc tự nội xạ) điều kiện yếu hơn; , nhiều giả thuyết tiếng liên quan đến lớp vành đề xuất giả thuyết Faith: "Vành nửa nguyên sơ nội xạ phía QF" Trong phạm vi nghiên cứu đề tài, quan tâm đến hướng tiếp cận lớp vành cách thay điều kiện nội xạ điều kiện nội xạ kết thu Định lý 2.2.4 Kí hiệu M ∗ = Hom(MR , R) Khi M ∗ R- môđun trái với phép nhân (rλ)(m) = r.λ(m), với r ∈ R; λ ∈ M ∗ ; m ∈ M 18 2.2.2 Bổ đề Nếu M = mR R- môđun phải T = r(m) M∗ ∼ = l(T ) = lr(m) R- môđun trái Chứng minh Thật vậy, b ∈ l(T ) ta xét ánh xạ λb : M → R định nghĩa sau: λb (mr) = br Khi rõ ràng b → λb đơn cấu từ l(T ) → M ∗ R- môđun trái Hơn nữa, toàn cấu λ ∈ M ∗ λ = λb , với b = λ(m) ∈ l(T ) Vậy ta có M ∗ ∼ = l(T ) = lr(m) Từ kết Bổ đề 2.2.2 có số tính chất khác lớp vành nội xạ 2.2.3 Định lý Các điều kiện sau tương đương vành R: R vành nội xạ phải M ∗ đơn không với R-môđun phải đơn MR l(T ) đơn không với iđêan phải tối đại T R K ∗ đơn với iđêan phải đơn K R Chứng minh Quy trình chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1) • (1) ⇒ (2): Xét môđun đơn MR Nếu M ∗ = hiển nhiên ta có điều phải chứng minh Ngược lại, với = f ∈ M ∗ , ta phải chứng minh M ∗ = Rf Trước hết ta thấy f : M → f (M ) đẳng cấu Lấy γ ∈ M ∗ , ta có f (M ) →f −1 M →γ R Theo giả thiết, R vành nội xạ nên γ ◦ f −1 = a, với a R Điều chứng tỏ γ = af hay M ∗ = Rf Ta có điều phải chứng minh • (2) ⇒ (3): Lấy T iđêan phải tối đại, R/T = (1 + T )R đơn r(1 + T ) = T Sử dụng Bổ đề 2.2.2 ta có l(T ) ∼ = (R/T )∗ , áp dụng điều kiện (2) ta có l(T ) ∼ = (R/T )∗ đơn không 19 • (3) ⇒ (4): Giả sử K = kR iđêan phải đơn T = r(k), T iđêan phải tối đại Theo Bổ đề 2.2.2, K ∗ ∼ = l(T ) Sử dụng điều kiện (3), K ∗ ∼ = l(T ) đơn không Mặt khác, K ∗ có chứa đồng cấu bao hàm nên K ∗ = Vậy K ∗ đơn ta có điều kiện (4) • (4) ⇒ (1): Xét f : K → R, K = kR iđêan phải đơn Đặt i : K → R đồng cấu bao hàm Theo giả thiết điều kiện (4), K ∗ = Ri, f = ci với c R Điều chứng tỏ f = c, ta có R vành nội xạ Kết phần đặc trưng lớp QF -vành định lý sau 2.2.4 Định lý Cho vành R, điều kiện sau tương đương: R QF - vành; R vành nội xạ hai phía Artin hai phía Chứng minh Theo định nghĩa QF- vành ta có R vành Artin hai phía tự nội xạ hai phía chiều (1) ⇒ (2) hiển nhiên Ta cần chứng minh cho chiều ngược lại Chúng ta chứng minh R QF - vành thông qua điều kiện (4) Định nghĩa 2.2.1 Cụ thể, rl(T ) = T với iđêan phải T R Để chứng minh định lý trước hết ta làm sáng tỏ phát biểu sau: "Nếu K ⊆ T iđêan phải T /K đơn l(K)/l(T ) không đơn" Thật vậy, với a ∈ l(K), xét đồng cấu λa : T /K → RR xác định sau: λa (t + K) = at Đặt (T /K)∗ = HomR (T /K, R) Khi đồng cấu f : l(K) → (T /K)∗ : a → λa có Ker(f ) = l(T ) Mặt khác theo giả thiết 20 R vành nội xạ, sử dụng Định lý 2.2.3 ta có Ker(f ) = l(T ) đơn không Suy l(K)/l(T ) không đơn Bây xét T iđêan phải R Theo giả thiết R vành Artin nên tồn dãy = T0 ⊂ T1 ⊂ ⊂ Tn = R iđêan R chứa T Ta chứng minh rl(Ti ) = Ti với i Lấy linh hóa tử trái hai vế ta có dãy: R = l(T0 ) ⊇ l(T1 ) ⊇ ⊇ l(Tn ) = (∗) Theo chứng minh trên, l(K)/l(T ) không đơn Kết hợp (∗) ta thấy length(R R) ≤ n = length(RR ) Chứng minh tương tự ta có length(R R) ≥ n = length(RR ) length(R R) = length(RR ) Mặt khác, từ kết định lý Jordan - H¨older (xem 1.1.4) nhận xét trên, (∗) dãy hợp thành R R bao hàm thức giảm ngặt Tiếp tục lấy linh hóa tử phải hai vế (∗) ta thu dãy hợp thành: = rl(T0 ) ⊂ rl(T1 ) ⊂ ⊂ rl(Tn ) = R Từ T1 ⊆ rl(T1 ), đặt T1 = rl(T1 ), rl(T1 ) = T1 ⊂ T2 ⊆ rl(T2 ) Tiếp tục trình ta thu Ti = rl(Ti ) với i, hay nói cách khác ta có T = rl(T ) với iđêan phải T R Do tính chất đối xứng ta có lr(L) = L với iđêan trái L R Mặt khác, theo giả thiết (2) định lý, R vành Artin hai phía nên hiển nhiên vành Noether hai phía Sử dụng điều kiện (4) Định nghĩa 2.2.1 ta có điều phải chứng minh 21 KẾT LUẬN Trên sở tài liệu tham khảo, đặc biệt sách chuyên khảo [8] Luận văn tập trung tìm hiểu làm rõ số vấn đề sau: Tìm hiểu số tính chất lớp vành nội xạ giới thiệu phần 2.1 Đặc biệt, Định lý 2.1.10 nêu lên tính chất nội xạ vành R lớp vành ma trận Mn (R) Từ tính chất lớp vành nội xạ, luận văn chứng minh chi tiết Định lý 2.2.4 kết lớp QF- vành thay điều kiện tựa nội xạ điều kiện yếu (điều kiện nội xạ) 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận ( 2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục B Tiếng Anh [2] F.W Anderson and K.R Furler (1974), Rings and Categories of Modules, Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin [3] C Faith (1976), Algebra II, Ring Theory, Springer Verlag [4] C Faith and Dinh Van Huynh (2002), When self-injective ring are QF: A report on a problem, J Algebra Appl 1, 75-105 [5] Dinh Van Huynh and Ngo Si Tung (1996), A note on quasiFrobenius rings, Proc Amer Math Soc, 124, No.2, 371-375 [6] T Y Lam (1991), A First Course on Noncommutative Rings, Springer Verlag [7] S.H Mohamed and B.J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Note Ser Vol 147, Cambridge University Press [8] W.K Nicholson and M.F Yousif (2003), Quasi- Frobenius Rings, Cambridge Univ Press, Vol 158 [9] B L Osofsky (1996), A generalization of quasi - Frobenius rings, J Algebra, 4, 373-387 [...]... iđêan nguyên tố của vành R bằng 0) là vành min nội xạ hai phía vì mọi iđêan phải hoặc trái của vành nửa nguyên tố đều là hạng tử trực tiếp của chính nó 13 2 Vành các số nguyên Z là vành giao hoán, noether, min nội xạ nhưng không là vành tự nội xạ 3 Mọi vành đa thức R[x] là vành min nội xạ hai phía Chúng ta có một số tính chất của lớp vành min nội xạ qua bổ đề sau: 2.1.4 Bổ đề Cho vành R Các điều kiện... một số tính chất của lớp vành min nội xạ và được giới thiệu trong phần 2.1 Đặc biệt, Định lý 2.1.10 đã nêu lên được tính chất min nội xạ giữa vành R và lớp vành các ma trận Mn (R) 2 Từ các tính chất của lớp vành min nội xạ, luận văn chứng minh chi tiết Định lý 2.2.4 là một kết quả về lớp QF- vành khi chúng ta thay thế điều kiện tựa nội xạ bởi một điều kiện yếu hơn (điều kiện min nội xạ) 22 TÀI LIỆU THAM... định lý này 2.1.10 Định lý Vành R là min nội xạ phải nếu và chỉ nếu vành các ma trận Mn (R) là vành min nội xạ phải với mọi n ≥ 1 Chứng minh Trước hết ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử S = Mn (R) là vành min nội xạ phải, do Se11 S = S, với eij là các ma trận đơn vị Sử dụng Bổ đề 2.1.7 ta có R ∼ = e11 Se11 và do đó R là vành min nội xạ phải Ngược lại, giả sử R là vành min nội xạ phải Ta nhận thấy rằng,... môđun min nội xạ 2.1.2 Nhận xét (i) Vành R là min nội xạ phải nếu và chỉ nếu với mọi iđêan phải đơn K của R, mọi R- đồng cấu f : K → RR đều có thể mở rộng thành đồng cấu f : RR → RR (ii) Mọi vành tự nội xạ phải là min nội xạ phải (iii) Vành thỏa mãn điều kiện mọi iđêan phải đơn là hạng tử trực tiếp là vành min nội xạ phải Do đó, mọi vành có đế phải bằng không là min nội xạ phải 2.1.3 Ví dụ 1 Vành nửa nguyên... 2.1 Môđun min nội xạ và các tính chất 2.1.1 Định nghĩa Cho vành R Môđun MR được gọi là min nội xạ (mininjective) hay nội xạ tối tiểu nếu với mọi iđêan phải đơn K của R, mỗi đồng cấu f : K → MR đều tồn tại một đồng cấu f : R → M sao cho f = f ◦ i , trong đó i là phép nhúng K vào R Hay nói cách khác f = m∗ là một phép nhân bởi phần tử m ∈ M Vành R được gọi là vành min nội xạ phải nếu RR là môđun min nội. .. là QF - vành; 2 R là vành min nội xạ hai phía và Artin hai phía Chứng minh Theo định nghĩa của QF- vành ta có R là vành Artin hai phía và tự nội xạ hai phía do đó chiều (1) ⇒ (2) là hiển nhiên Ta chỉ cần chứng minh cho chiều ngược lại Chúng ta sẽ chứng minh R là QF - vành thông qua điều kiện (4) của Định nghĩa 2.2.1 Cụ thể, chúng ta sẽ chỉ ra rằng rl(T ) = T với mọi iđêan phải T của R Để chứng minh định... QF- vành, nếu nó thỏa mãn một trong các tính chất tương đương sau: 1 R là vành Artin hai phía và tự nội xạ hai phía 2 R là vành Noether hai phía và tự nội xạ hai phía 3 Vành R thỏa mãn điều kiện ACC cho các linh hóa tử và tự nội xạ hai phía 4 R là vành Noether hai phía, rl(T ) = T với mọi iđêan phải T và lr(L) = L với mọi iđêan trái L Khái niệm QF- vành đã được Nakayama đưa ra từ năm 1939 và nó là một. ..11 1.2.15 Định nghĩa Vành R được gọi là CS (liên tục, tựa liên tục) vành phải nếu RR là một CS (liên tục, tựa liên tục) môđun phải trên chính nó Tương tự chúng ta có các khái niệm CS -vành trái, vành liên tục trái và vành tựa liên tục trái 12 CHƯƠNG 2 MÔĐUN MIN NỘI XẠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Các kết quả ở chương này chúng tôi chủ yếu tham khảo trong tài liệu [8] và được trình bày lại một cách cụ thể hơn... nào đó trong R Vậy f = c∗ và theo định nghĩa vành min nội xạ ta có điều phải chứng minh Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét một đặc trưng khác của lớp môđun nửa đơn (xem 1.1.10) 14 2.1.5 Định nghĩa Một môđun nửa đơn được gọi là không chính phương (square- free) nếu nó chứa nhiều nhất một môđun đơn nào đó Với kí hiệu Sr là đế phải của vành R, chúng ta có kết quả sau 2.1.6 Bổ đề Trên vành R, các điều kiện sau... một lớp vành con rất quan trọng của lớp vành Artin Lớp vành này đã thu hút được khá nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu lý thuyết vành và các kết quả đạt được khá phong phú Chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy các kết qủa về lớp vành này trong các tài liệu tham khảo [3], [4], [5], [9], Có nhiều hướng tiếp cận nghiên cứu khác nhau đối với lớp QF- vành Chẳng hạn như: thay thế điều kiện Artin (hoặc tự nội ... vành R 0) vành nội xạ hai phía iđêan phải trái vành nửa nguyên tố hạng tử trực tiếp 13 Vành số nguyên Z vành giao hoán, noether, nội xạ không vành tự nội xạ Mọi vành đa thức R[x] vành nội xạ hai... khái niệm nội xạ tính chất môđun nội xạ đồng thời có so sánh khái niệm nội xạ nội xạ 2.2 Một kết đặc trưng QF- vành Như biết, lớp vành QF lớp vành dành quan tâm đặc biệt nhà nghiên cứu Số lượng... chất nội xạ vành R lớp vành ma trận Mn (R) Từ tính chất lớp vành nội xạ, luận văn chứng minh chi tiết Định lý 2.2.4 kết lớp QF- vành thay điều kiện tựa nội xạ điều kiện yếu (điều kiện nội xạ)