MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ Đối với người giáo viên đặc biệt giáo viên trường chuyên nhiệm vụ trang bị cho em học sinh kiến thức tảng để giải toán bản, chúng tơi cịn tham gia giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Vì việc học tập, trau dồi chuyên đề nâng cao nhiệm vụ quan trọng Nội dung Đa thức phần ôn luyện học sinh giỏi nội dung khó học sinh giáo viên giảng dạy Khó tập Đa thức có phương pháp giải phong phú sử dụng kết hợp đại số giải tích, mà tài liệu, sách tham khảo nội dung cũ, không hệ thống cập nhật cách đầy đủ, liên tục, bên cạnh lại có nhiều phương pháp giải mà khơng phải có điều kiện tiếp cận Tuy kỳ thi học sinh giỏi cấp nội dung thường xuyên xuất Nhằm nâng cao hiệu giáo dục nhà trường phổ thơng, góp phần bước nâng cao chất lượng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trường chuyên, viết chuyên đề ôn luyện học sinh giỏi: “Đa thức” Phần thứ hai: NỘI DUNG A Cơ sở khoa học Toán học khoa học trừu tượng, có nguồn gốc từ thực tiễn có ứng dụng rộng rãi thực tiễn Việc rèn luyện tư logic, phát huy tính tíc cực, tự giác, chủ động người học, hình thành phát triển lực tự học, trau dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo tư yêu cầu dạy học hàng đầu mơn tốn trường phổ thơng Việc trang bị cho học sinh phương pháp để giải tập, rèn kỹ cho học sinh điều cần mơn Tốn, giúp học sinh nắm vững kiến thức bản, đồng thời phát triển tư lực sáng tạo, cịn phương tiện tư tốt để củng cố kiến thức, luyện tính độc lập suy luận, tính kiên trì gặp khó, tính cẩn thận, xác khoa học Việc đổi phương pháp dạy học nhà trường nói chung, trường chuyên nói riêng việc làm cần thiết, nhằm phát huy tính chủ động, sáng tạo, phát bồi dưỡng, rèn luyện trí thơng minh cho học sinh Cũng trường phổ thông nước, tập thể giáo viên trường chun Hồng Văn Thụ ln suy nghĩ, tìm tịi đổi phương pháp dạy theo hướng phát huy tính tích cực học sinh để em nắm kiến thức Đây bước tảng để ôn luyện thi đại học, từ bước nâng cao tỷ lệ học sinh vào đại học nhà trường Song song với nội dung ơn thi đại học, nhà trường cịn thực trọng trách quan trọng phát bồi dưỡng nhân tài Cụ thể bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp, trang bị cho em đội tuyển phương pháp tự nghiên cứu, niềm say mê học tập để em đạt kết cao kỳ thi toàn quốc Vì chúng tơi thiết nghĩ việc viết chuyên đề học sinh giỏi có chất lượng điều cần thiết, nguồn tư liệu cho sử dụng, đồng thời tài liệu hữu ích cho việc tự học em học sinh B Nội dung cụ thể ĐA THỨC I Tóm tắt kiến thức Một số kiến thức đa thức học sinh làm quen từ lớp như: cộng, trừ, nhân, chia đa thức, ta không nhắc lại Định nghĩa đa thức, bậc đa thức Cho K tập hợp: Z, Q, R, C Định nghĩa Một đa thức K biểu thức có dạng: P ( x ) = an x n + an−1.x n−1 + + a1.x + a0 (1) n ∈ N , ∈ K,∀i = 0, , n • a0 , a1 , , an gọi hệ số đa thức • Nếu an ≠ gọi hệ số cao • a0 gọi hệ số tự • Nếu K = Z (tương ứng Q, R, C) ta nói P ( x ) ∈ Z [ x ] (tương ứng R [ x ] , Q [ x ] , C [ x ] ) • Nếu a0 = a1 = = an = P ( x ) = 0, ∀x ∈ R , ta nói P ( x ) đa thức 0, để đơn giản ta viết P ( x ) = Định nghĩa Cho đa thức dạng (1), an ≠ ta nói đa thức P ( x ) có bậc n, ký hiệu deg P ( x ) = n Đa thức có bậc −∞ Từ phép cộng nhân hai đa thức ta rút định lí sau: Định lí Cho P ( x ) , Q ( x ) đa thức, đó: deg  P ( x ) + Q ( x )  ≤ max { deg P ( x ) ,deg Q ( x ) } deg  P ( x ) Q ( x )  = deg P ( x ) + deg Q ( x ) Chia hết chia có dư Định lí (phép chia có dư) Cho hai đa thức P ( x ) , G ( x ) ∈ K [ x ] , G ( x ) khác đa thức Khi tồn cặp đa thức Q ( x ) , R ( x ) ∈ K [ x ] thỏa mãn P ( x ) = G ( x ) Q ( x ) + R ( x ) deg R ( x ) < deg G ( x ) Định nghĩa Đa thức Q ( x ) R ( x ) định lí gọi thương dư phép chia đa thức P ( x ) cho G ( x ) Xét trường hợp R ( x ) đa thức Định nghĩa Ta nói đa thức P ( x ) chia hết cho đa thức G ( x ) K [ x ] tồn đa thức Q ( x ) ∈ K [ x ] thỏa mãn P ( x ) = G ( x ) Q ( x ) G ( x) ký hiệu P ( x ) M Trong trường hợp ngược lại ký hiệu P ( x ) MG ( x ) Trong định lí 2, xét trường hợp đặc biệt G ( x ) = x − a , với a số, a ∈ K , ta thấy R ( x ) số Định lí Số dư chia đa thức P ( x ) cho nhị thức x − a P ( a ) ( x − a) ⇔ P( a) = Nói cách khác P ( x ) M Nghiệm đa thức Định nghĩa Số a gọi nghiệm đa thức P ( x ) P ( a ) = Kết hợp với định lí ta có nhận xét: a nghiệm P ( x ) P ( x ) M ( x − a) Định nghĩa Cho đa thức P ( x ) m ∈ N* Ta nói số a nghiệm bội m P ( x ) P ( x) M ( x − a ) P ( x ) M( x − a ) m m +1 Định lí (Định lí đại số) Trong C [ x ] , đa thức bậc n có đầy đủ n nghiệm phức (kể bội) Hệ Trong R [ x ] , đa thức bậc n có khơng q n nghiệm thực (kể bội) Định lí Cho đa thức P ( x ) ∈ R [ x ] Nếu z = a + b.i, ( a, b ∈ R ) nghiệm phức P ( x ) liên hợp z = a − b.i nghiệm P ( x ) Định lí • Cho P ( x ) ∈ C [ x ] bậc n, hệ số cao a có n nghiệm phức α1 , α , , α n Khi P ( x ) = a ( x − α1 ) ( x − α ) ( x − α n ) • Cho P ( x ) ∈ C [ x ] bậc n, hệ số cao a có tất nghiệm phức α1 , α , , α m với bội tương ứng k1 , k2 , , km Khi P ( x ) = a ( x − α1 ) k1 ( x−α ) k2 .( x − α m ) , k1 + k2 + + km = n km • Cho đa thức P ( x ) ∈ R [ x ] có nghiệm thực α1 , α , , α m với bội tương ứng k1 , k2 , , k m Khi P ( x ) = ( x − α1 ) k1 ( x−α ) k2 .( x − α m ) Q ( x ) , với km Q ( x ) ∈ R [ x] Từ định lí ta thấy P ( x ) ∈ R [ x ] có nghiệm phức z = a + b.i , có nghiệm phức z = a − b.i dẫn đến có phân tích P ( x ) =  x − ( a + bi )   x − ( a − bi )  Q ( x ) , với Q ( x ) ∈ R [ x ] = ( x − 2a.x + a + b ) Q ( x ) Lặp lại trình cách xét nghiệm phức Q ( x ) ta có định lí Định lí Trong R [ x ] , đa thức phân tích dạng tích nhân tử bậc nhân tử bậc hai với biệt thức âm Định lí • Nếu đa thức P ( x ) với deg P ( x ) ≤ n P ( x ) có nhiều n nghiệm (kể bội) đa thức • Nếu hai đa thức P ( x ) , Q ( x ) có bậc khơng vượt q n, lại nhiều n giá trị khác biến x chúng có hệ số nhau, ta viết P ( x ) = Q ( x ) Hệ Cho P ( x ) đa thức với hệ số thực Khi • Nếu hàm y = P ( x ) hàm số chẵn tất hệ số lũy thừa bậc lẻ • Nếu hàm y = P ( x ) hàm số lẻ tất hệ số lũy thừa bậc chẵn Định lí • Nếu x = a nghiệm đa thức P ( x ) x = a − b nghiệm đa thức P ( x + b) n n −1 • Nếu x = a ≠ nghiệm đa thức P ( x ) = an x + an−1.x + + a1.x + a0 n −1 n nghiệm đa thức P ( x ) = an + an −1.x + + a1.x + a0 x a n n −1 Định lí 10 Cho đa thức P ( x ) = an x + an−1.x + + a1.x + a0 ∈ Z [ x ] Khi x = x= p (phân số tối giản) nghiệm P ( x ) a0 Mp an Mq q Trong trường họp đặc biệt hệ số cao P ( x ) dẫn đến nghiệm hữu tỉ đa thức nghiệm nguyên nên thu hệ n n −1 Hệ Cho P ( x ) = x + an−1.x + + a1.x + a0 ∈ Z [ x ] nghiệm thực P ( x ) ngun vơ tỉ Định lí Viét Định lí 11 (Định lí Viét) Trong C, đa thức P ( x ) = an x n + an−1.x n−1 + + a1.x + a0 có n nghiệm x1 , x2 , , xn n ∑x i i =1 ∑ 1≤i < j ≤ n =− an−1 an xi x j = an− an ∑ 1≤i1