Chuyên đề phương tích Phương tích trục đẳng phương vấn đề quen thuộc tốn hình học phẳng Kiến thức dể hiểu, dể sử dụng Nó giải hình học phẳng phong phú Nhiều tốn tưởng phức tạp lại giải gọn gàng nhờ sử dụng tính chất có liên quan đến phương tích Lời giải đệp Bài viết số tích lũy tơi q trình dạy học có nhờ tham khảo tài liệu thầy giáo, đồng nghiệp thông qua hội thảo đợt tập huấn cho giáo viên chun tốn Tóm tắt lý thuyết: I Phương tích điểm đường tròn Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định, OM = d Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A B Khi MA.MB = MO − R = d − R 2 Định nghĩa Giá trị không đổi MA.MB = d − R định lý 1.1 gọi phương tích điểm M đường trịn (O) kí hiệu P M /( O ) Ta có: PM / ( O ) = MA.MB = d − R II 1) 2) Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB CD cắt P điểm A, B, C, D thuộc đường tròn PA.PB = PC PD Trục đẳng phương hai đường trịn Định lý 2.1 Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1; R1) (O2; R2) Tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) Trục đẳng phương hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối tâm Nếu hai đường tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng 3) Nếu điểm M có phương tích (O) (I) đường thẳng qua M vng góc với OI trục đẳng phương hai đường tròn 4) Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường trịn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường trịn 5) Nếu điểm có phương tích hai đường trịn điểm thẳng hàng III Tâm đẳng phương Định lý 2.2 Cho đường trịn (C1), (C2) (C3) Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm, điểm gọi tâm đẳng phương ba đường tròn Ứng dụng phương tích- trục đẳng phương Ứng dụng : Trục đẳng phương hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối tâm sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc Bài 1: Cho hình thang ABCD điểm E nằm đáy nhỏ AB cho EC = ED Gọi I tâm đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AED J tâm đường tròn (J) ngoại tiếp tam giác BEC Gọi F giao điểm AC BD Chứng minh EF ⊥ IJ Lời giải : Gọi M giao điểm AC (I) N giao điểm BD (J) EC = ED => => · · EDC = ECD · · DMC = CND mà · EDC = ·AED = ·AMD · · · ECD = BEC = BNC => tứ giác CDNM nội tiếp đường tròn => FC.FM = FD.FN mà FA FB = FC FD FA.FM = FB.FN => => PF /( I ) = PF /( J ) mà PE /( I ) = PE /( J ) Do đường thẳng EF trục đẳng phương (I) (J) suy EF ⊥ IJ ABC BC < AC Bài 2: Cho tam giác ( ) có đường cao AD, BE, CF, trực tâm M AB AB H Gọi trung điểm , Giả sử đường thẳng DE cắt đường thẳng IH ⊥ CM I Chứng minh Lời giải : I , F , B, A AD, BE, CF đồng quy nên Do ta có IM IF = IA.IB hàng điểm điều hòa ( ( IFBA) = −1 Xét hai đường tròn ngoại tiếp tam giác CFM ngoại tiếp tứ giác CM hai đường tròn nằm đường thẳng IM IF = IA.IB ) HD.HA = HF HC Nhưng hai đường trịn nói nên H, I ABDE , tâm nằm trục đẳng phương Do ta có IH ⊥ CM (ĐPCM) Bài (India, 1995): Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC D E Gọi P điểm bên tam giác ADE, F G giao DE với BP CP Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt điểm thứ hai Q Chứng minh AQ ⊥ OI Lời giải : Gọi M giao điểm thứ hai AB (PDG), N giao thứ hai AC (PFG) ·AMP = PGD · · · PGD = PCB ·AMP = PCB · Ta có (đồng vị), suy , suy tứ giác BMPC nội tiếp Chứng minh tương tự ta có tứ giác PNCB nội tiếp Suy BMNC nội tiếp, suy Suy AM AB = AN AC Mà AD AE = AB AC (Định lý Thalet) AM AD = AN AE Do A thuộc trục đẳng phương PQ (PDG) (PEF) suy AQ ⊥ OI Ứng dụng : Ba điểm có phương tích hai đường trịn thẳng hàng Bài 4: Cho điểm I trung điểm đoạn thẳng AB cố định Đường tròn (O1) tiếp xúc với đường thẳng AB A, đường tròn (O2) tiếp xúc với đường thẳng AB B Đường trịn (c1) tâm O1 bán kính O1B cắt đường trịn (c2) tâm O2 bán kính O2A M N Chứng minh ba điểm I, M, N thẳng hàng Lời giải : PM /(O1 ) = O1M − O1 A2 = O1B − O1 A2 = AB PM /(O2 ) = O2 M − O2 B = O2 A2 − O2 B = AB tương tự ta có => PM /(O1 ) = PM /(O2 ) tương tự ta có PN /( O1 ) = PN /(O2 ) PI /( O1 ) = PI /( O2 ) Mà => ba điểm I, M, N nằm trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) => ba điểm I, M, N thẳng hàng Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Gọi E, F giao điểm cặp đường thẳng AC BD, AB CD tròn Chứng minh : điểm F, trực tâm tam giác AED trực tâm tam giác BEC nằm đường thẳng Lời giải : Gọi A’ hình chiếu A lên BD D’ lần hình chiếu D lên AC Gọi H trực tâm tam giác AED K trực tâm tam giác BEC Tứ giác ADA’D’ nội tiếp đường tròn suy HA.HA ' = HD.HD ' (1) Gọi (c) (c’) đường tròn đường kính AB DC (1) => PH /( c ) = PH /(c ') (2) PK /( c ) = PK /( c ') Tương tự ta có (3) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn suy FA.FB = FC.FD => PF /( c ) = PF /( c ') (4) Từ (2), (3), (4) suy H, K, F nằm trục đẳng phương (c) (c’) suy H, K, F thẳng hàng Ứng dụng : Cho ba đường trịn có tâm khơng thẳng hàng Ba trục đẳng phương cặp đường tròn ba đường tròn đồng quy tâm đẳng phương ba đường trịn Bài (IMO 95/1) : Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Các đường trịn đường kính AC BD cắt X, Y Đường thẳng XY cắt BC Z Lấy P điểm XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC điểm thứ M, BP cắt đường trịn đường kính BD điểm thứ N Chứng minh AM, DN XY đồng qui Lời giải : P X N M Q A B Z C D Y Gọi Q, Q’ giao điểm DN AM với XY Ta cần chứng minh Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy Q ≡ Q′ PM PC = PQ.PZ PQ′.PZ = PN PB Mà P thuộc XY trục đẳng phương đường trịn đường kính AC đường trịn đường kính BD nên Suy PN PB = PX PY = PM PC PQ.PZ = PQ′.PZ ⇒ Q ≡ Q′ Vậy XY, AM DN đồng quy Bài 7: Hai đường tròn (Ca ),( Cb) tiếp xúc với đường tròn (C) theo thứ tự A, B hai đường tròn tiếp xúc ngồi điểm T Gọi S giao điểm đường tròn (C) với tiếp tuyến chung qua T hai đường tròn (Ca ),( Cb) C giao điểm thứ hai đường thẳng SA với đường tròn (Ca ), D giao điểm thư hai đường thẳng SB với đường tròn ( Cb) Đường thẳng AB cắt đườngtròn (Ca ) điểm E, cắt đường tròn ( Cb) điểm F Chứng minh ST, CE, DF đồng quy Lời giải : Ta có ST = SA.SC = SB.SD · · · · SDC = SAB SCD = SBA , => Tứ giác ABDC nội tiếp, suy Gọi xx’ tiếp tuyến đường trịn (C) S Khi đó: Gọi · · xSB = SAB r , r1 , r2 Phép vị tự thành E => · · xSB = SDC => xx’ // DC bán kính đường tròn (C), (Ca ),( Cb) r V ( A, ) r biến đường tròn (C) thành (Ca ) ,biến xx’ thành CD, biến B Do CD tiếp tuyến đường tròn (Ca) CE // SB Tương tự, ta có: CD tiếp tuyến đường tròn ( Cb) DF // SA Ta có: · · ECD = DFB ( · CAB ) Vậy tứ giác CDFE nội tiếp đường trịn (C’) Ta có : ST trục đẳng phương hai đường tròn (Ca ) ( Cb) CE trục đẳng phương hai đường tròn (Ca ) ( C’) DF trục đẳng phương hai đường tròn (C’ ) ( Cb) Do vậy, đường thẳng ST, CE, DF đồng quy Bài 8: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường thẳng qua H cắt đường tròn C Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC (O) D, E F a) b) Chứng minh AB, DE CF đồng quy Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) P Q Chứng minh P, D, E, Q thẳng hàng Lời giải : C P D E Q A O H B M CA.CD = CH = CB.CE a) Ta có , suy ADEB nội tiếp Xét đường tròn (ADEB), (O) đường trịn đường kính CH, DE, AB CF trục đẳng phương cặp đường tròn nên chúng đồng quy b) Ta có PQ trục đẳng phương ( C) (O) nên OD ⊥ DE OC ⊥ PQ Ta dễ thấy Hơn H tâm đẳng phương ba đường tròn (O), ( C) đường trịn đường kính CH Suy PQ qua H Vậy DE, PQ qua H vng góc với OC nên trùng Hay D, E, P, Q thẳng hang Đường trịn điểm Ta xem điểm đường tròn với tâm điểm bán kính khơng để xét phương tích, trục đẳng phương Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AD, BE, CF cắt H Qua A vẽ đường thẳng song song với BE, CF cắt đường thẳng CF, BE P Q Chứng minh PQ vuông góc với trung tuyến AM ABC Lời giải : Gọi (M) đường trịn đường kính BC QA = QB.QE Ta thấy tam giác ABQ vuông A có AE đường cao => nên Q thuộc trục đẳng phương đường tròn điểm A đường tròn (M) Tương tự với điểm P Suy PQ trục đẳng phương đường trịn điểm A (M) Do PQ vng góc với AM Ta có đpcm Bài 10: Cho hai đường trịn (O1 , R1 ), (O2 , R2 ) tiếp xúc M với R1 < R Điểm A di động (O2 ) cho A, O1 , O2 không thẳng hàng Kẻ tiếp tuyến AB, AC đến (O1) Các đường thẳng CM, BM cắt lại (O2) F, E Giả sử EF cắt tiếp tuyến A (O2) D Chứng minh D di chuyển đường cố định (Đề thi HSGQG 2003 bảng A) Lời giải : Ta thấy hai tam giác cân MO1B, MO2E đồng dạng với nên · B = MO · E MO => ·ABM = EAM · EA = EM EB => hai tam giác ABE MAE đồng dạng với => Suy E có phương tích đến (O1 ) đường trịn điểm A ương tự với điểm F Do đó, EF trục đẳng phương (O1) đường tròn điểm A Ta có tiếp tuyến A (O2 ) trục đẳng phương (O2 ) đường tròn điểm A Suy giao điểm D hai đường tâm đẳng phương đường trịn điểm A (O1 ), (O2 ) hay D thuộc trục đẳng phương (O1) (O2) cố định Ta có đpcm Bài 11: Cho điểm M nằm tam giác ABC nhọn không cân cân (không nằm trung trực cạnh) Tiếp tuyến M tam giác MBC cắt BC X Tương tự xác định điểm Y Z Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng Lời giải : XM = XB XC Theo tính chất phương tích nên X thuộc trục đẳng phương đường tròn điểm M đường tròn (ABC) Tương tự với Y Z Suy X, Y, Z thuộc trục đẳng phương đường tròn điểm M Và đường tròn (ABC) nên chúng thẳng hàng Bài 12: Cho điểm A nằm (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC đến (O) Lấy điểm D thuộc đoạn BC M trung điểm AD Đường tròn đường kính AD cắt (O) P, Q Chứng minh MP, MQ tiếp tuyến (O) Lời giải : Do M thuộc trục đẳng phương đường tròn điểm A (O) nên MA2 = OM − R MP = OM − R = OM − OP Hơn MP = MA nên Theo định lí Pythagores tam giác OMP vuông P nên ta suy MP tiếp tuyến kẻ từ M đường trịn (O) Tương tự với đường thẳng MQ Ta có đpcm Một số tốn đơn giản khác phương tích Bài 13: Cho đường tròn (O) hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) M N Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc đường thẳng cố định Lời giải : A M C B I O N Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB Gọi C giao điểm AB (I) Khi ta có: P A / ( I ) = AC AB = AM AN = P A / ( O ) AC = (không đổi A, (O) cố định) Suy Vì A, B cố định C thuộc AB nên từ hệ thức ta có C cố định Suy I thuộc đường trung trực BC cố định PA /( O) AB Bài 14: Cho đường trịn tâm O đường kính AB, điểm H cố định thuộc AB Từ điểm K thay đổi tiếp tuyến B O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) C D Chứng minh CD qua điểm cố định Lời giải : K H A O B I Gọi I điểm đối xứng H qua B, suy I cố định thuộc (K) Gọi M giao điểm CD AB Vì CD trục đẳng phương (O) (K) nên ta có: MH MI = MC.MD = MA.MB ⇔ ( MB + BH ) ( MB + BI ) = MB ( MB + BA) ( MB + BH ) ( MB − BH ) = MB + MB.BA ⇔ MB − BH = MB + MB.BA ⇔ BH BM = BA ⇔ 2 2 Vì A, B, H cố định suy M cố định Bài 15: (Chọn đội tuyển PTNK 2008): Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định B, C thay đổi đường thẳng d cố định cho gọi A’ hính chiếu A A′B A′C lên d âm khơng đổi Gọi M hình chiếu A’ lên AB Gọi N hình chiếu A’ lên AC, K giao điểm tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN M N Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định Lời giải : A N I P M B A' C D H K Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN I giao điểm OK MN Ta thấy O trung điểm AA’ Gọi D P giao điểm AA’ với (ABC) MN Dễ thấy AM AB = AA′ = AN AC ⇒ ·AMN = ·ACB Nên ·AMN = ·ADB Do ta có Mà Suy tứ giác BMNC nội tiếp ·ADB = ·ACB Suy MPDB nội tiếp AP AD = AM AB = AA′ Mà A, A’ D cố định suy P cố định Gọi H hình chiếu K AA’ AP AH = AI AK = IN = Ta có AA′2 Mà A, P, A’ cố định suy H cố định Vậy K thuộc đường thẳng qua H vng góc với AA’ Bài tập Cho đường trịn (O) có hai đường kính AB, CD Tiếp tuyến (O) B cắt AC E, DE cắt (O) lần thứ hai F Chứng minh AF, BC, OE đồng quy Cho đường tròn tâm O đường kính AB D điểm cố định thuộc AB, đường thẳng d qua D vuông góc với AB H điểm thay đổi d AH BH cắt (O) P Q Chứng minh PQ qua điểm cố định Cho tam giác ABC đường cao AH thỏa AD = BC Gọi H trưc tâm tam giác, M N trung điểm BC AD Chứng minh HN = HM Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi H, K trực tâm tam giác OAD OBC; M, N trung điểm MN ⊥ HK AB CD Chứng minh (Dự tuyển IMO 1994) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BA, CA, AB D, E, F X điểm bên tam giác ABC cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với BD D, tiếp xúc với XB, XC Y, Z Chứng minh EF, YZ BC đồng quy (USAMO 1997) Cho tam giác ABC Về phía ngồi tam giác dựng tam giác cân DBC, EAC, FAB có đỉnh D, E, F Chứng minh đường thẳng qua A, B, C vng góc với EF, FD DE đồng quy 7 F điểm cạnh đáy AB hình thang ABCD cho DF = CF E giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi (O1), (O2) đường EF ⊥ O1O2 tròn ngoại tiếp tam giác ADF BCF Chứng minh Cho tam giác ABC Dựng hình vng DEFG nội có đỉnh D, E thuộc cạnh BC, F, G thuộc AC AB Gọi dA trục đẳng phương hai đường tròn (ABD) (ACE) Các đường thẳng dA, dB xác định tương tự Chứng minh dA, dB, dC đồng quy Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M trung điểm BC, M’ giao điểm AM (O) Tiếp tuyến M cắt đường thẳng qua M vng góc với AO X Y, Z xác định tương tự Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình, Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10 [2] Viktor Prasolov, Problems in plane and solid geometry, vol.1: Plane geometry [3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu giáo khoa chun tốn Hình học 10, NXB Giáo dục, 2009  ... 4) Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường trịn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường trịn 5) Nếu điểm có phương tích hai đường trịn điểm thẳng hàng III Tâm đẳng phương Định lý 2.2 Cho... (C2) (C3) Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm, điểm gọi tâm đẳng phương ba đường trịn Ứng dụng phương tích- trục đẳng phương Ứng dụng : Trục đẳng phương hai đường trịn... đẳng phương hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối tâm Nếu hai đường trịn cắt A B AB trục đẳng phương chúng 3) Nếu điểm M có phương tích (O) (I) đường thẳng qua M vng góc với OI trục đẳng phương