PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TĨNH GIA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015-2016 Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC  3x + x − 1  + + − 2÷ Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức A =  ÷: x − x −1 x +2  x+ x −2  1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A 3) Tìm giá trị x để số tự nhiên A Câu II (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x + − 3x = x − 2) Tìm tất cặp số ngun tố (p;q) cho: p2 - 2q2 = Câu III (4,0 điểm): Cho hai đường thẳng: y = x+3 (d1) ; y = 3x+7 (d2) 1) Gọi A B giao điểm (d1) (d2) với trục Oy Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB 2) Gọi J giao điểm (d1) (d2) Tam giác OIJ tam giác gì? Tính diện tích tam giác Câu IV (6,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vng góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M 1) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? 2) Gọi H K hình chiếu M AC BC Chứng minh rằng: HM MK CD × = HK MC R 3) Gọi C’ điểm đối xứng với C qua A Chứng minh C’ nằm đường tròn cố định M di chuyển đường kính AB (M khác A B) Câu IV (2,0 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn: a+b+c =1 Chứng minh rằng: c + ab a + bc b + ac + + ≥2 a+b b+c a+c Họ tên thí sinh: SBD: PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TĨNH GIA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015-2016 Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/12/2015 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu Ý Điều kiện: (0.5đ) Lời giải Điểm 0.5 x ≥  x ≠  3x + x −  1 A =  + + − 2÷ ÷: x − x −1 x +2  x+ x −2  I (4.0đ) = ( ( = ( =( (2.0đ) x ≥ x ≠ x+3 x +2 )( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ×( x − 1) ) x + 2) ×( x + 2) x −1 x +2 1.0 0.5 0.5 )( ) x −1 x +1 Với ĐK:  Ta có: A = Vì A = (1.5đ) ( ( ) 0.5 x + ≥ với x ≥ nên = Do đó: A Mà ) x +1 ( ) x +1 x + > nên ∈N ( ( ) ) ( ) x +1 x + = x + = Do đó: x = x = Vậy 0< ( ≤2 0.25 0.25 ) x +1 = x +1 = 0.25 2 −1 = − 2 số tự nhiên x = x = − 2 A Giải phương trình: x + − 3x = x − (1) ĐK: x ≥ Đặt a = 3x , b = x + 1, ( a, b ≥ ) Khi ta PT: b − a = a − b ⇔ (a − b)(a + b + 1) = (2.0đ) Mà a + b + > nên a = b Do (1) ⇔ x = x + ⇔ 3x = x + ⇔ x = II (4.0đ) 0.25 Vậy nghiệm PT x = ( t / m) 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 2 (2.0đ) Ta có: p2 -2q2 = ⇒ p2 =2q2 + ⇒ p lẻ Đặt p = 2k+1 (k ∈ N*) ⇒ (2k+1)2 = 2q2 + ⇒ q2 = 2(k2+k) 0.5 0.75 0.5 ⇒ q chẵn mà q ngun tố nên q = ⇒ p = (thỏa mãn) 0.25 Vây cặp số ngun tố (p;q) cần tìm (3;2) III (4.0đ) 2a (1.5đ) 2b (2.5đ) Tìm A(0;3); B(0;7) suy I(0;5) 0.75 0.75 Hồnh độ giao điểm J (d1) (d2) nghiệm PT: x+3 = 3x+7 ⇒ x = -2 ⇒ yJ = ⇒ J(-2;1) Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20 ⇒ OJ2 + IJ2 = OI2 ⇒ tam giác OIJ tam giác vng J 0.5 0.5 0.75 0.25 0.5 ⇒ S ∆OIJ = 1 OJ ×IJ = × × 20 = (đvdt) 2 IV (6.0đ) (2.0đ) Vì CD ⊥ AB ⇒ CM=MD tứ giác ACED có AE cắt CD trung điểm đường nên hình bình hành mà AE ⊥ CD ⇒ tứ giác ACED hình thoi 0.75 0.5 0.75 Vì tam giác ABC có AB đường kính (O) nên ∆ABC vuông C suy tứ giác CHMK hình chữ nhật Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ta có: (2.0 đ) MA ×MC MH ×AC=MA ×MC ⇒ MH= AC MB ×MC tương tự ta có: MK= BC MA ×MB ×MC2 ⇒ MH ×MK= AC ×BC mà MA.MB=MC , AC.BC=MC.AB (do tam giác ABC vuông C) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 MC2 ×MC2 MC3 MH ×MK MC ⇒ MH ×MK= = ⇒ = MC ×AB AB MC AB mà MC=HK (do CHMK hình chữ nhật) MH ×MK MC 2MC CD = = = HK ×MC AB 2AB 4R HM MK CD Vậy: × = (Đpcm) HK MC 4R ⇒ Lấy O’ đối xứng với O qua A suy O’ cố định (2.0 đ) Tứ giác COC’O’ hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm A đường Do O’C’ = OC = R khơng đổi Suy C’ nằm đường tròn (O’,R) cố định M di chuyển đường kính AB Vì a + b + c = nên c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a )(c + b) V (2.0đ) a + bc = a (a + b + c) + bc = (b + a )(b + c ) b + ac = a (a + b + c ) + ac = (a + b)(a + c) Nên BĐT cần chứng minh tương đương với: (c + a)(c + b) (b + a )(b + c ) (a + b)(a + c ) + + ≥2 a +b a+c b+c 2 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5  (c + a )(c + b)   (b + a )(b + c )   (a + b)(a + c)  ⇔  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥2 a +b a+c b+c       2 Mặt khác dễ thấy: x + y + z ≥ xy + yz + zx , với x, y, z (*) Áp dụng (*) ta có: 0.25 0.25 VT ≥ b + c + a + b + c + a = Dấu “=” xảy a = b = c = ⇒ Đpcm Chú ý: 1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Bài hình khơng vẽ hình khơng chấm điểm  ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TĨNH GIA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015- 2016 Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/12 /2015 (Hướng dẫn chấm... phút, khơng kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/12 /2015 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu Ý Điều kiện: (0.5đ) Lời giải Điểm 0.5 x ≥  x ≠  3x + x −  1 A =  + +... 0.25 VT ≥ b + c + a + b + c + a = Dấu “=” xảy a = b = c = ⇒ Đpcm Chú ý: 1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Bài hình khơng vẽ hình khơng chấm