Đang tải... (xem toàn văn)
PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. Một số kiến thức cần nhớ: I.1. Một số hằng đẳng thức hay sử dụng: + + + … + Sử dụng những hằng đẳng thức này, ta có thể quy phương trình vô tỉ ban đầu về dạng phương trình tích bằng việc làm xuất hiện các nhân tử chung. Từ đó ta có thể dễ dàng giải quyết tiếp Thường thì ở các bài toán sử dụng phương pháp này thì ý tưởng tổng quát của ta như sau: Giả sử nếu ta có phương trình dạng với xác định trên một miền D nào đó và ta nhẩm được một nghiệm x = a của phương trình thì ta có thể biến đổi phương trình đã cho lại thành . Đến đây ta chỉ việc xử lí phương trình G(x) = 0 nữa là ổn (Việc xử lí phương trình G(x)= 0 có thể sử dụng công cụ đạo hàm hoặc bằng bất đẳng thức). II. Các ví dụ minh họa: Sau đây, để làm rõ thêm nội dụng và ý tưởng của phương pháp, mời các bạn cùng thử sức với các ví dụ sau: II.1. Các bài toán mở đầu Các bạn hãy thử sức mình với các bài toán này trước nhé Bài toán 1: Giải phương trình sau: Bài toán 2: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) II. 2. Bài tập minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình (1) Giải: Ta dự đoán được nghiệm , và ta viết lại phương trình như sau: Mặt khác, ta có: Nên phương trình thức hai vô nghiệm. Vậy (1) có 2 nghiệm . Ví dụ 2: Giải phương trình sau (2) Giải: Ý tưởng: Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử . Ta có nhận xét rằng: và Ta đi đến lời giải như sau: (2) Mặt khác, ta có: > 0 với mọi x Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2. Ví dụ 3: Giải phương trình (3) Giải: Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử . Ta viết lại như sau: (4) Để ý rằng hai phương trình và vô nghiệm nên nhân liên hợp hai vế của (4) ta có: Pt () Đến đây ta có hai hướng giải quyết: Hướng 1: bình phương hai vế… Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 9 lần phương trình thứ hai, ta thu được: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm . Ví dụ 4: Giải phương trình Giải: Phương trình đã cho tương đương với:
Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 HỆ PHƢƠNG TRÌNH a2 1 xa ya za 3 a Bài Giải hệ phương trình: x, y a2 1 ax ay az 3 a (Trích đề thi thử tuyển sinh quốc gia số 19 – 2015) Giải Xét véc-tơ: u x a; y a; z a , v 1;1;1 ne ta ilie u t u v x a y a z a 3a x y z 1 Tương tự a x a y a z 3a x y z 2 x a y a z a a x a y a z 18a u.v Mà cộng hai phương trình hệ ta có: xa ya za ax ay az ox 18a b Tức dấu đẳng thức phải xảy bất đẳng thức (1) (2), hay: w w w a2 1 xa ya za a xyz a a 1 a x a y a z a Vậy hệ phương trình có nghiệm x y z a 2x 4x y y Bài Giải hệ phương trình x x y xy 2xy x y (Trích Trƣờng THPT Hàn Thuyên, Bắc Ninh lần – 2015) Giải Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 2x 4x y y x x y xy 2xy x y 1 2 20152016 Điều kiện x y xy * Vì t t nên 4x y y 2x y 2x y 4x 4x y 4x y ne t t t Từ kết hợp với x ta ilie x u 3 x 4 Đặt t x x x x x x Khi x ta 0 y 2x y 2x y y 2x Thay y 2x vào (2) ta x 3x 2x 4x 3x x x t 1 2x 37 37 ;y thỏa mãn điều kiện (*) 14 17 17 ;y thỏa mãn điều kiện (*) Vậy hệ có cặp nghiệm… ox x ta Khi x ta t t t Từ kết hợp với x ta w w b 2 x 4y x 4y x 2y Bài Giải hệ phương trình x, y 4y x x x (Trích Tƣờng THPT Chuyên Quốc học – Huế lần – 2015) Giải w 2 x 4y x 4y x 2y 1 2 4y x x x x Điều kiện Với điều kiện y 1 x 4xy 20y 4y2 x 2y 2 4xy 16y x x Thay vào (1) ta có x x 2y 1 2 2y 1 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 Xét hàm số u g t t t với t 1; Hàm số đồng biến Vì x x 2y 1 2y 1 x 2y x 2y Thay vào (2) ta 2x 9x x x x 2x 2 x 1 x 2x 2 2x 2 x 10 x 2x 2 2x 2 t 52 ; x Nghiệm x bị loại 2 nên có 2x 2 u Hoàn toàn tương tự ta có ilie hai nghiệm x1 ne Phương trình bậc hai 2x 2 x 10 có Δ 2 x 2x 2 x 52 2 ox ta 5 2 32 5 2 3 2 ; ; Vậy hệ cho có hai nghiệm 2 w w b y x 3y x y x Bài Giải hệ phương trình x, y x y x3 y 2 (Trích Trƣờng THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định – 2015) Giải w y x 3y x y x x y x3 y 2 1 2 I x y x y Điều kiện: x 0, y x 1, y Nhận xét x 1, y không nghiệm hệ Xét y pt (1) hệ (I) x x x x x y 1 y 1 y 1 x y 1 3 0 y 1 y 1 y 1 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế Đặt t 20152016 x , t Khi đó, pt (1) trở thành y 1 t t t t 1 t t 2t t Với t x y x , vào pt (2) ta y 1 ta 1 3 y 2 b Với x 1 x 1 ox x2 x 1 x ilie u ne x x x2 x 1 0 x x 1 x x 12 x x x x 1 0 2 3 x3 x 1 x x 1 t 3 x x x x 1 x x x x 1 w 1 ; Đối chiếu với điều kiện, hệ phương trình có nghiệm x, y w w y x y x 3y x xy y Bài Giải hệ phương trình y2 y 5x (Trích Trƣờng THPT Trần Phú, Hải Phòng – 2015) Giải y x y x 3y x xy y y2 y 5x 1 2 y Điều kiện: (vì y không thỏa hpt) x y 1 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 1 x 1 y x y 1 20152016 x 1 x x 3y x 1 x y 1 x 1 x x 3xy 3y 3y 0 y x y x 1 x 3y 1 x 3y 3y 0 y x y 3 Xét A x 3y 1 x 3y2 3y A x, y t ne Δ 3 y 1 x 3 x 1 ilie (loaïi) ta 1 17 y 1 17 y u Thay x 1 vào (2) ta có: y2 y ox 1 17 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; w w w b 2x x y x 2y 3x Bài Giải hệ phương trình x, y 2xy x 2y 2y x x (Trích đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng lần – 2015) Giải Điều kiện: x 2y x 2y Từ phương trình (2) ta có 2xy x 2y 2xy x 2y 2xy 1 x 2y 2xy 1 2xy 1 x 2y 1 2xy x 2y 1 (loaïi) Thay vào phương trình (1) ta có x2 2x x 3x x Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế x 2y Điều kiện x 1,x 1;0 Khi ** x x 20152016 ** 1 1 3 x x 3 x x x x t Khi ta có phương trình t 2t t 3 (loaïi) 1 1 thỏa mãn, suy y 2x ilie Kết hợp với điều kiện ta x ne 1 x2 x x x u Với t x t 1 Đặt t x , t t x x x ta 1 1 ; ; Vậy, hệ có nghiệm x;y , b ox 3x 2y x y 11 Bài Giải hệ phương trình x y 2x y (Trích đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng lần – 2015) Giải Đặt w w w 3x 2y Điều kiện x y 8 2x y 3x 2y a; x y b; 2x y c a;b;c 0 a 11 3b 11 1 2c a 3b 11 b 2c Ta có hệ tương đương b 2c 2 2 * a b c 4 a b c 4 c 2 Khi * 6c 1 2c c2 4 33c2 100c 67 c 67 33 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế a x 3x 2y Với c y 1 b 8 x y 3 46 a 0 67 11 Với c Mâu thuận điều kiện Loại 33 145 b 11 20152016 Vậy hệ phương trình có nghiệm x;y 2;1 ilie u ne t x2 xy 2y2 y2 xy 2x2 x y Bài Giải hệ phương trình 8y x y y x (Trích Trƣờng THPT Nông Cống 1, lần – 2015) Giải Điều kiện: x;y 2 ta x x x x x PT 1 1 y y y y y x t;t ta phương trình y t t 2t t t 1 3 ox Đặt b Bình phương hai vế (3) giải ta x y 4x w 4x w Thay x y vào (2) ta được: 8x x x x x 1 x x 4 w Xét hàm số f t t t đồng biến 4x x Giải (5) ta x x 1 4 nên 5 34 34 34 Vậy hệ có nghiệm x;y 2;2 x; y ; 9 2x y 3y 2x y y Bài Giải hệ phương trình x y y Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 x, y Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 (Trích Trƣờng THPT Lƣơng Thế Vinh, Hà Nội lần – 2015) Giải 2x y 3y 2x y y 1 2 x y y Điều kiện: y y y y y y 3 y y x 2x 2x y y x 2 y3 y x4 2x x y t 1 2x3 2x ne x 2y y x y u y x : x 2x 4x x x x; y 1;1 , 1;1 ilie 2x x x 2x x 1 x 3x 3x x 4x b x x 3x 3x x y ta 2 3 ox y 2x x w x 3x 3x x x 3 3x 4 w Từ (3) suy 2x x x vô nghiệm w Vậy x; y 1;1, 1;1 3 x y 3y 3x Bài 10 Giải hệ phương trình 2 x x 2y y (Trích Trƣờng THPT Ngô Gia Tự, Bắc Ninh – 2015) Giải x y3 3y 3x 2 x x 2y y 1 2 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 1 x 1 x Điều kiện: 2y y 0 y Đặt t x t 0;2 Ta có 1 t 3t y3 3y2 Hàm số f u u 3u nghịch biến đoạn 0;2 nên: 1 y t y x 2 x x ne v v2 2v v 3 (loaïi) t Đặt v x v 0;1 v2 2v u Với v ta có x y Vậy hệ có nghiệm x;y 0;1 ox ta ilie 3 x 6x 13x y y 10 Bài 11 Giải hệ phương trình 2x y x y x 3x 10y (Trích Trƣờng THPT Lý Tự Trong, Khánh Hòa lần – 2015) Giải b x 6x 13x y3 y 10 1 2x y x y x 3x 10y w 1 x 3 x y3 y w Xét hàm số f t t t, t w f t đồng biến Thay (3) vào (2): có f ' t 3t t 1 x y 3 3x 2x x 3x 10x 26 ; x 5 + Chứng minh g x 3x 2x đồng biến đoạn 1; 2 5 + Chứng minh h x x3 3x 10x 26 nghịch biến đoạn 1; 2 g 2 h x nghiệm pt (4) Đáp số x; y 2;0 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 2 x y xy 4y Bài 12 Giải hệ phương trình x, y 2 y x y 2x 7y (Trích Trƣờng THPT Đông Thọ, Tuyên Quang lần – 2015) Giải Nhận xét: hệ nghiệm dạng x ;0 x2 xy4 x y xy 4y y Với y , ta có: 2 x2 y x y 2x 7y x y 7 y x2 , v x y ta có hệ: y Với v 3,u ta có hệ ta ilie v 3, u u v u v v 5, u v 2u v 2v 15 u Đặt y ne t ox x y x y x x x 1, y x 2, y x y y x y x b Vậy hệ có hai nghiệm là: 1;2 2;5 x 9y x 9y x 9x 46 Với v 5,u ta có hệ: x y 5 y 5 x y 5 x Hệ vô nghiệm w w w Vậy hệ cho có hai nghiệm: x; y 1;2 , 2;5 x y3 3y2 x 4y Bài 13 Giải hệ phương trình x, y x x x y (Trích Trƣờng THPT Nguyễn Huệ, Đăk Lăk lần – 2015) Giải 3 x y 3y x 4y x x x y 1 2 Điều kiện: x 2 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 10 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 y2 yt t 3t 0, x, t TH1: Do y2 yt t y t t 3y nên hệ phương trình vô nghiệm y t 1 y t t y TH2: y t t 3y y 3y y 1 x 1; y x 1 Vậy hệ có nghiệm x; y 1; 1 ; ;2 2 ne u ilie 1 2 ta x 2y y 2x x 2x x 3x y y t x 2y y 2x Bài 113 Giải hệ phương trình: x, y 2 x 2x x 3x y y (Trích Trƣờng THPT Chuyên Quốc Học – Huế lần – 2014) Giải Điều kiện: x 2y ox x y b 2 x y x 2x y x 2x y w w w x x y (không thỏa Từ (1) suy 2x y 0x 2x y 2x y mãn (1)) Thay y x vào (1), ta được: x x 2x x x 1 x 2x x Với x ta y (thỏa điều kiện) 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x;y 1;1 x y x y y x y 1 Bài 114 Giải hệ phương trình x, y x 4x y Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 94 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 (Trích Trƣờng THPT Thu n Thành 1, Bắc Ninh – 2014) Giải x y x y y x y 1 x 4x y Điều kiện: x 1 2 1 x y2 xy2 y3 xy x x y y 1 x y3 y t ne Δ x y2 y ilie u x y Từ tìm x y (loaïi) Thay y x vào (2) ta được: x 4 x x 4 x x (vô nghiệm) b Với x x 4x x y w Với ox ta x 1 2x x x 4 x 4x x 2x 3 1 x 4 x 4 x x w Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 2;1 w 3 x 12x 8y 24y 16 Bài 115 Giải hệ phương trình 2 x x 12 2y y 8 (Trích Trƣờng THPT Phan Đăng Lƣu, Nghệ An lần – 2014) Giải x 12x 8y3 24y 16 2 x x 12 2y y 8 1 2 2 x Điều kiện: 0 y Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 95 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 1 x3 12x 2y 23 12 2y 2 Xét hàm số f t t 12t 2;2 có f ' t 3t 12 0, t 2;2 Hàm số nghịch biến 2;2 nên 1 f x f 2y 2 x 2y Thế vào (2) ta được: 2y 2 2y 12 2y y 8 2y y 2y y t 2y y y x ne Vậy hệ có nghiệm x; y 0;1 ta ilie u x 1 2y y Bài 116 Giải hệ phương trình x, y y y x x (Trích Trƣờng THPT Chuyên ĐH Vinh lần – 2014) Giải Điều kiện: x ox Đặt t x 1, t Khi x t hệ trở thành: t y y t 3 t y t y y t 2 w w Suy t y b t 1 2y y t y 2ty t y 2ty 2 2 y ty t t y 3ty y y t t w Với y t , ta có 2t t Suy x 2, y Với y t Suy x 3 13 3 , ta có 2t t 4t 6t t 2 19 13 13 , y 19 13 13 ; Vậy nghiệm hệ là: 2;1 , Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 96 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 x y 4 : x5 y5 6 (Trích Trƣờng THPT Việt Trì, Phú Thọ - 2014) Giải Bài 117 Giải hệ phương trình sau tập số thực x y x y Điều kiện: x 0, y 1 2 ne t x x y y 10 x x y y 10 HPT 5 2 x x y y y5 y x 5 x u y y 10 x x x y x x y y 25 y5 y 5 3x 5x 3y 7y 24xy Bài 118 Giải hệ phương trình ilie x 5 x ta ox b 2 x y xy 7x 6y 14 (Trích Trƣờng THPT Tống Duy T n, Thanh Hóa lần – 2014) Giải 3x 5x 3y 7y 24xy x y2 xy 7x 6y 14 1 w 2 w Ta có 2 x y x y2 6y 14 w Đ tồn x điều kiện là: Δ x y y2 6y 14 3y2 10y y Mặt khác 2 y2 x y x 7x 14 Đ tồn y điều kiện là: Δ y x x 7x 14 3x 16y 20 x 10 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 97 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế Xét phương trình (1) với điều kiện x 20152016 10 y , ta có: 3 2 3y 24 x y Xét hàm số f t 3t với t 1; t Ta có: f ' t với t 1; nên hàm số f(t) đồng biến 1; t 10 Nên với điều kiện x y , ta có: 3 ne t 1 3x u x 2 2 3x 3y 3.2 3.1 24 hay 1 y x y ta ilie x Thay vào phương trình (2) ta thấy không thỏa mãn y Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm Bài 119 Giải hệ phương trình x xy x x, y 2 x 1 y 1 xy x y 2y (Trích Trƣờng THPT Gia Lộc, Hải Dƣơng lần – 2014) Giải w b ox w Điều kiện: x y 2y y w Từ phương trình thứ hệ ta có: xy x x Thế vào phương trình thứ hai ta được: x 12 y 1 2x 2x x y 2y x 3y x y 2y y x 2 Suy 2 y x 2 y x 2 1 hay y x Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 98 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 Thay vào phương trình thứ hệ ta được: x x x x x 1 x x 1 Suy y Vậy nghiệm hệ x; y 1;3 ne t x y x 1 y Bài 120 Giải hệ phương trình x, y 2 y x 4x x y (Trích Trƣờng THPT Thanh Chƣơng 1, Nghệ An lần – 2014) Giải Điều kiện: y 5 1 ilie x y x y 5, x u Khi phương trình x y x 1 y x y y t t 1 x 2 t 1 x2 t 1 2 1 y y 1 2 0, x Do 2 f y f x y x b Hàm số f(t) đồng biến t ; f ' t ox Xét hàm số: f t ta Phương trình y x 4x x y w w w x y Hệ phương trình cho y x Giải hệ đối chiếu với điều kiện suy hệ phương trình có nghiệm 13 13 ; x; y x x 4y y Bài 121 Giải hệ phương trình x, y 2 x y x y x y 1 Giải x x 4y y x y x y x y 1 2 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 99 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế x y Điều kiện: x x 4y 20152016 3 y y Ta có 1 2 2 x y x x x 4y y 1' u, v 0 Đặt u x y, v x y Thế vào (1’) (2) ta được: t 3 2 ne 2u v u v u v uv u Lại đặt S u v, P uv S2 4P 0, S 0, P , vào (3) (4), ta được: ilie 2P S2 2P S P ta S 4, P Giải hệ ta , suy ra: S 2, P 3 (loaïi) b ox x y u 3, v x y x 5, y u 1, v x y x 5, y 4 x y w So sánh điều kiện ta thấy hệ có nghiệm x; y 5;4 w w x2 y2 8 Bài 122 Giải hệ phương trình y 2 x 12 8x 4y 3xy Giải Điều kiện: x 1 y 2 Ta có: 8x 4y 3xy x 1 4y x 1 xy x 1 y xy x y 4 y x 1 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 100 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế Đặt 20152016 x y u; v y2 x 1 u v 4 u v u v Hệ trở thành: hay uv uv uv ne x y x 2y x Với u 2;v ta được: y 2x y 10 y 2 x t Ta u 2; v 2 hay u 2;v 2 ilie u x y 2 x 2y x Với u 2;v 2 ta được: (loại) y 2x y y 2 x ta 10 Hệ phương trình có nghiệm: ; 3 w b ox 1 xy xy x Bài 123 Giải hệ phương trình 1 y y 3 y x x x (Trích Trƣờng THPT Chuyên Hạ Long lần – 2014) Giải Điều kiện: x 0; y hai vế w (cả w Biến đổi phương trình sau thành xy xy x 3x xy x xy xy dương) xy xy xy xy xy xy vào phương trình ta xy Biến đổi phương trình thành pt bậc xy ta được: 2xy xy 4xy xy Giải phương trình ta xy T nh x 1; y Vậy nghiệm hệ x; y 1;0 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 101 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 3 x 4y 3x 4y Bài 124 Giải hệ phương trình x, y 2 3x 4y 6x (Trích Trƣờng THPT Chuyên Lƣơng Thế Vinh, Đồng Nai lần – 2014) Giải x 13 x 1 4y3 4y HPT 2 3 x 1 4y ne Suy a 4y3 3a 4y 3a 4y2 t a 4y3 3a 4y Đặt a x , ta có hệ: 2 3a 4y ilie u 5a 12a y 12ay2 32y3 5a 8y a 2y a y a 2y ta 25 y a y thay vào hệ ta có y 4y2 y2 23 23 8 a x 1 23 23 5 y y 23 23 w b ox 8 a x 1 23 23 5 y y 23 23 1 Thay a 2y vào hệ ta có: y2 y 2 w w a x y y 2 a x y y 2 ; Vậy hệ có cặp nghiệm x;y 1 23 , 1 2; 23 2 x 4x y 2y Bài 125 Giải hệ phương trình x 2x xy 3x 2 0 (Trích đề thi thử Thầy Đặng Việt Hùng lần – 2014) Giải Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 102 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế x 4x y 2y x 2x xy 3x 2 0 Điều kiện: x 4; y Ta 1 2x 4x 1 2y 1 2 có 2y 2x 2x 2y 2y Xét hàm số f t t t , ta có f ' t 3t 0, t 2y f 2x f t x 4x x 2y 6x 2x ta 2y ilie x 2x 2y 4x 2y Từ (2) ta có 2x xy 3x nên f(t) đồng biến u 2y * ne * 2x 3 2x 20152016 ox 4x x 4x 6x 2x 4x 4x 7x 2x 4x 2x 1 2x 2x 0, x nên g(x) đồng biến n a khoảng 2x w 0; w b Xét hàm số g x 4x 4x 7x 2x 8; g ' x 12x 8x w 1 Mặt khác ta dễ thấy g x y 2 1 Vậy hệ cho có nghiệm x; y ;1 2 5 x 5x y 5y Bài 126 Giải hệ phương trình x, y 2 2 x 2x y (Trích Đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng lần – 2014) Giải Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 103 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 1 x 5x y5 5y 2 2 x 2x y 2 1 x x Điều kiện: 2 2 2x y 2x y Xét u x; y , v x '; y' u.v u v cos u;v u v u.v u v * x y x ' y' ne Dấu xảy cos u; v u; v 00 u kv t xx ' yy' x y2 x '2 y'2 u p d ng (*) cho phương trình (2) ta được: y2 ilie 2 2x 2x y 2x 2x y y y2 y2 Khi x 1; y2 3 ta Xét hàm số f t t 5t với t b 0;1 ox Ta có f ' t 5t t t 0, t 0;1 f t hàm nghịch biến w Khi 1 f x f y x y Thay vào (2) ta được: x x Đặt u x ; u ta được: w u u u u 1 u u u 5u u w u 0 u x 0; y u4 u 16 x y 25 5 4 4 Vậy hệ phương trình cho có cặp nghiệm: x; y 0;0 , ; , ; 5 5 2 x x y Bài 127 Giải hệ phương trình x, y x y y x 4x (Trích Đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng, lần – 2014) Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 104 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 Giải 2 x x y x y y x 4x 1 2 Từ (2) suy y x y x 4x Thay vào (1) ta x 4x x 2 x Đặt t x 6; x t 2 có phương trình biến đổi ne t 2t 16t 16t 57 t 3 t 5t t 19 thành t Ta Ta dễ dàng chứng minh phương trình t 5t t 19 vô nghiệm với ilie u t2 Vậy phương trình có nghiệm t , suy x 3; y b ox ta x 2x 5x y 6x 11 Bài 128 Giải hệ phương trình x, y y2 x x y2 (Trích Đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng, lần – 2014) Giải y 13 w x x 3 x2 x w Điều kiện: y Khi hệ cho tương đương với w y 6 Đặt u x x 3; v y2 7, v Khi hệ phương trình trở thành u 2 u v 13 u v 2uv 13 u v u v 1 v u 3 u.v 6 uv 6 uv 6 uv 6 v 2 2 u 3 x x 3 Với nghiệm hệ 0; 11 , 1; 11 v y Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 105 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế u 2 x x 2 v y Với nghiệm 20152016 hệ 1 1 ;4 , ; 4 2 1 1 ;4 , ; 4 Vậy hệ cho có nghiệm 0; 11 , 1; 11 , 2 xy y ta x y x y y xy xy 0 x y xy x y xy y xy x y b ox 1 ilie u ne t xy x y xy x y y Bài 129 Giải hệ phương trình x 1 y xy x x (Trích Đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng, lần – 2014) Giải x; y Điều kiện: xy x y xy w w y xy x y 0 x y xy x y xy y w Từ (2) ta có y xy x x y xy xy x y xy y 3 4 x 1 x 22 x 1 x 1 x y 0 x 3 x y , thay vào (2) ta x 2x 3x 17 x Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 106 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế Kết hợp với điều kiện ta có x x 20152016 17 thỏa mãn hệ phương trình 17 17 ; Vậy hệ cho có nghiệm 1;1 , t 2 x 2y x y 2xy Bài 130 Giải hệ phương trình x, y 3 x 2y y 14 x (Trích Đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng, lần – 2014) Giải ne 1 x 2y2 x y 2xy 3 2 x 2y y 14 x u 2 Điều kiện: x 2y ilie x 2y L Từ (1) ta x 2y x y x y ta Khi x 2x x3 14 x ox x 2x x 14 x x 2x b x 14 x x 14 w w w x 2x x 2x 1 x x 3 14 x x 0 6x 12x 14 x 14 x x 0 0 2 x 14 x x x 2x x 14 3 x 2x x y Từ ta x 2x x y Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 107 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế Vậy phương hệ 2;1 , 2;1 cho có hai nghiệm w w w b ox ta ilie u ne t x; y 1 trình 20152016 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 108 [...]... ta có 0, x 2;4 f x nghịch biến f x f 2 1 1 2 1 Do đó f x g x , x 2;4 hay phương trình (4) vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm là 3;5 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 35 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 2 9x 9xy 5x 4y 9 y 7 Bài 39 iải hệ phương trình: ... mãn phương trình (2) ** 2 x 2 2 x t t 2 10 3x 4 4 x 2 t 0 Phương trình (**) trở thành 3t t 2 0 t 3 6 Với t 0 : x , y 5 5 Với t 3: 2 x 2 2 x 3 , phương trình vô nghiệm vì vế trái 2 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 27 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 6 Vậy hệ phương. .. (do xy x 1 0 ) 2 y2 2 1 y 1 y2 2 1 y y2 2 y 2 Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x 4, y 2 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 15 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 x 2 3y 9 Bài 19 Giải hệ phương trình: 4 2 y 4 2x 3 y 48y 48x 155 0 (Trích Trƣờng THPT Nhƣ... 0 đ ng t 0 w Suy ra (*) vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm duy nhất x; y 3; 11 Bài 38 iải hệ phương trình: xy 2y 3 y x 1 y 3x 5 x, y 1 y 2x y 2 x 1 2x y 1 y (Trích Trƣờng THPT Đào Duy T , Thanh Hóa lần 1 – 2015) Giải Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 34 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1... Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 17 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 Với 2 x 2y 0 mà y 0 y 0 và x 2 Th lại ta có x 2, y 0 là nghiệm 30 2 17 Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là 2;0 , ; 17 17 x 4 2x y 4 y Bài 21 iải hệ phương trình x, y 2 2 3 3 x y (Trích Sở Giáo dục và... 5 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ là 5;2 2 x y 6 1 y Bài 24 iải hệ phương trình: 2 9 1 x xy 9 y 0 (Trích Trƣờng THPT Qu nh Lƣu 3, Nghệ n lần 1 – 2015) Giải 2 x y 6 1 y 2 9 1 x xy 9 y 0 1 2 Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 20 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP... 16 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 1 x 3 2 6 2 3 2 Giải ra ta được nghiệm x; y là: ; y 3 6 2 1 1 1 x 3 2 6 2 3 x 3 2 6 2 3 x 3 2 6 2 3 2 2 2 ; ; ** y 3 6 2 y 6 2 3 y 3 2 6 Vậy hệ có 6 nghiệm x; y theo (*) và (**) Bài 20 iải hệ phương trình. .. 5 y 16 thỏa mãn ( ) Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 28 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế x5 x 9 4 2 x 3 3 x 1 2 x 5 x 9 4 2 20152016 5 x 5 3 3 1 (5) vô nghiệm x4 2 2 x 1 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 5;16 5x 2 2xy 2y2 2x y * , dấu “=” khi x y Thật vậy b... 3 Nếu a , b c2 thì x c2 2 c 2c 2 c 2c c 3 3 3 3 1 3 3 1 2 1 ; Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là x; y , 3 ; 3 2 3 3 2 Bài 22 iải hệ phương trình: Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 18 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế 20152016 x x 6y 4 3y 3y 4 8 2 x y x... giải th ch) x 1 x 2 2x 22 5 1 x 1 y 0 Vậy hệ có nghiệm x; y 1;0 x 3 xy x y 2 y 5y 4 Bài 23 iải hệ phương trình: 2 4y x 2 y 1 x 1 (Trích Trƣờng THPT Bạch Đ ng, Hải Phòng – 2015) Giải Trần Đình Cƣ Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 Page 19 Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế x 3 xy