Đang tải... (xem toàn văn)
PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. Một số kiến thức cần nhớ: I.1. Một số hằng đẳng thức hay sử dụng: + + + … + Sử dụng những hằng đẳng thức này, ta có thể quy phương trình vô tỉ ban đầu về dạng phương trình tích bằng việc làm xuất hiện các nhân tử chung. Từ đó ta có thể dễ dàng giải quyết tiếp Thường thì ở các bài toán sử dụng phương pháp này thì ý tưởng tổng quát của ta như sau: Giả sử nếu ta có phương trình dạng với xác định trên một miền D nào đó và ta nhẩm được một nghiệm x = a của phương trình thì ta có thể biến đổi phương trình đã cho lại thành . Đến đây ta chỉ việc xử lí phương trình G(x) = 0 nữa là ổn (Việc xử lí phương trình G(x)= 0 có thể sử dụng công cụ đạo hàm hoặc bằng bất đẳng thức). II. Các ví dụ minh họa: Sau đây, để làm rõ thêm nội dụng và ý tưởng của phương pháp, mời các bạn cùng thử sức với các ví dụ sau: II.1. Các bài toán mở đầu Các bạn hãy thử sức mình với các bài toán này trước nhé Bài toán 1: Giải phương trình sau: Bài toán 2: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) II. 2. Bài tập minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình (1) Giải: Ta dự đoán được nghiệm , và ta viết lại phương trình như sau: Mặt khác, ta có: Nên phương trình thức hai vô nghiệm. Vậy (1) có 2 nghiệm . Ví dụ 2: Giải phương trình sau (2) Giải: Ý tưởng: Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử . Ta có nhận xét rằng: và Ta đi đến lời giải như sau: (2) Mặt khác, ta có: > 0 với mọi x Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2. Ví dụ 3: Giải phương trình (3) Giải: Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử . Ta viết lại như sau: (4) Để ý rằng hai phương trình và vô nghiệm nên nhân liên hợp hai vế của (4) ta có: Pt () Đến đây ta có hai hướng giải quyết: Hướng 1: bình phương hai vế… Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 9 lần phương trình thứ hai, ta thu được: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm . Ví dụ 4: Giải phương trình Giải: Phương trình đã cho tương đương với:
Đ Bất phơng trình chứa thức GIớI THIệU K t nm 2005 n nay, thi i hc mụn toỏn cú bi toỏn v bt phng trỡnh cha cn: Bài ( thi i hc Khi D nm 2002): Gii bt phng trỡnh: (x 3x ) 2x 3x 0, x Bài ( thi i hc Khi B nm 2012): Gii bt phng trỡnh: x + + x 4x + x , (x ) Bài ( thi i hc Khi A nm 2005): Gii bt phng trỡnh: 5x x > 2x 4, x Bài ( thi i hc Khi A nm 2010): Gii bt phng trỡnh: x x 1, x ( x x + 1) ĐịNH HƯớNG Nhn thy: Bi thuc Dng bt phng trỡnh cha cn bc hai Bi thuc Dng bt phng trỡnh cha cn bc hai Bi thuc Dng bt phng trỡnh cha cn cú bc khỏc Bi 4, bi thuc Dng bt phng trỡnh cha nhiu cn T ú, cung cp cho cỏc em hc sinh mt giỏo trỡnh gn nh vi y kin thc, bi ging ny s c chia thnh phn (4 dng bt phng trỡnh) Vớ d u tiờn mi phn rt quan trng, bi nú s cung cp cỏc phng phỏp gii Hot ng sau mi vớ d chớnh l bi bất phơng trình chứa bậc hai Ví dụ 1: ( thi i hc Khi D nm 2002): Gii bt phng trỡnh: (x 3x ) 2x 3x 0, x http://boxtailieu.net Đánh giá định hớng thực hiện: Đây dạng bất phơng trình đơn giản dạng AB nhng nhiều học sinh không tìm đợc đầy đủ nghiệm Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tơng đơng sau: g(x) = f (x) g(x) , với f(x) g(x) có nghĩa g(x) > f (x) Giải Bất phơng trình tơng đơng với: x = x = 2x 3x = x x > x = 2x 3x > x < 1/ x 3x x 1/ x x Vậy, tập nghiệm bất phơng trình ; {2} [3; + ) HOT NG 1: Giải bất phơng trình: a (x 1) 2x 3(x 1), x b (x + 1) + (x + 1) + 3x x + > 0, x DNG C BN Vi bt phng trỡnh f(x) < g(x) ta cú phộp bin i tng ng: f(x) g(x) > f(x) < g2 (x) (*) Cỏc em hc sinh cn bit ỏnh giỏ tớnh gii c ca bt phng trỡnh (*) Ví dụ 2: Giải bất phơng trình: x + 2(x 1), x Đánh giá định hớng thực hiện: S dng lc DNG C BN bi trng hp ny (*) l mt bt phng trỡnh bc hai Gii c http://boxtailieu.net Giải Bất phơng trình tơng đơng với: x x 2(x 1) x x x + x 2x x 2(x 1) (x + 1) Vậy, tập nghiệm bất phơng trình [1; 3] {1} x = 1 x HOT NG 2: Gii cỏc bt phng trỡnh: Ví dụ 3: a x 3x 10 < x 2, x b x 2x 15 x 3, x Giải bất phơng trình: x + 3x 1, x Đánh giá định hớng thực hiện: S dng lc DNG C BN bi trng hp ny (*) l mt bt phng trỡnh trựng phng Gii c Ngoi ra, bt phng trỡnh cũn c gii theo cỏc cỏch khỏc: Nhm nghim x0 ri chuyn bt phng trỡnh v dng tớch (x x0)h(x) bng phộp nhõn liờn hp C th: Nhn xột rng x0 = l nghim ca bt phng trỡnh Bin i bt phng trỡnh v dng: x + 3x x2 + x +3 +2 (x 1) x +3 +2 ( x2 ) S dng phng phỏp t n ph, vi t = x + 3, t Giải Ta cú th trỡnh by theo cỏc cỏch sau: Cỏch 1: Vi iu kin 3x2 tc x ( x + 3x2 ) , ta bin i phng trỡnh v dng: ( )( ) 9x 7x x 9x + x x Vậy, tập nghiệm bất phơng trình (; 1] [1; +) Cỏch 2: Bin i phng trỡnh v dng: http://boxtailieu.net x + 3x x2 + x +3 +2 (x 1) x +3 +2 ( x2 ) (*) Nhn xột rng: x +3 +2 < x +3+2 3< nờn (*) c bin i v dng: x x Vậy, tập nghiệm bất phơng trình (; 1] [1; +) Cỏch 3: t t = x + 3, t Suy x2 = t2 Bt phng trỡnh cú dng: t 3(t2 3) 3t2 t 10 (3t + 5)(t 2) t t x + x2 + x2 x Vậy, tập nghiệm bất phơng trình (; 1] [1; +) HOT NG 3: Gii bt phng trỡnh: Ví dụ 4: a x + 4x 1, x R b x + < x, x Gii bt phng trỡnh: x3 x + 5, x Đánh giá định hớng thực hiện: S dng lc DNG C BN bi trng hp ny (*) l mt bt phng trỡnh bc ba Gii c Ngoi ra, bt phng trỡnh cũn c gii theo cỏch: Nhm nghim x0 ri chuyn bt phng trỡnh v dng tớch (x x0)h(x) bng phộp nhõn liờn hp C th: Nhn xột rng x0 = tho VT = VP Bin i bt phng trỡnh v dng: x3 x + x+2+ x3 x3 + x+2 x2 x + (x + 2) + x3 + x3 + x3 + S dng phng phỏp hm s, vi iu kin x nhn xột: http://boxtailieu.net VP l hm ng bin VT l hm nghch bin Hai th ct ti im cú honh x = Vậy, tập nghiệm bất phơng trình [2; 1] Giải Ta cú th trỡnh by theo cỏc cỏch sau: Cỏch 1: Bất bất phơng trình tơng đơng với: x x x x x + x + x (x + 5)2 x + x + 10x + 24 (x + 2)(x x + 12) x x x x x x x + Vậy, tập nghiệm bất phơng trình [2; 1] Cỏch 2: Vi iu kin x3 tc x 1, ta bin i bt phng trỡnh v dng: x3 x + x3 x3 + x+2 x+2+ x3 + x3 + x2 x + (x + 2) + x + x x3 + Vậy, tập nghiệm bất phơng trình [2; 1] Cỏch 3: Vi iu kin x nhn xột: VP l hm ng bin VT l hm nghch bin Hai th ct ti im cú honh x = Vậy, tập nghiệm bất phơng trình [2; 1] Nhận xét: Nh vậy, để giải bất phng trình chứa ta lựa chọn cách: Cách 1: Biến đổi tơng đơng Lu ý cách nhm nghim x0 ri chuyn bt phng trỡnh v dng tớch (x x0)h(x) bng phộp nhõn liờn hp, nhiều trờng hợp nhận đợc cách giải hay Cách 2: Đặt ẩn phụ Một nhiều ẩn phụ Cách 3: Sử dụng phơng pháp hàm số Sử dụng đạo hàm http://boxtailieu.net Cách 4: Đánhgiá HOT NG 4: Gii cỏc bt phng trỡnh: Ví dụ 5: a x3 + 3x 1, x b x + < 3x 4, x Với a > 0, giải bất phơng trình: x + a x a, x Đánh giá định hớng thực hiện: S dng lc DNG C BN bi trng hp ny (*) l mt bt phng trỡnh bc hai Gii c Ngoi ra, bt phng trỡnh cũn c gii theo cỏch lng giỏc hoỏ vi: x = a.cost, t [0; ] Giải Ta cú th trỡnh by theo cỏc cỏch sau: Cỏch 1: Biến đổi bất phơng trình dạng: a x2 a x a x a x = a 2 a x a x x a a x x a x (a x)2 Vậy, nghiệm bất phơng trình a x x = a Cỏch 2: Điều kiện a x a Đặt x = a.cost, với t [0, ] a x = a.sint Khi đó, bất phơng trình có dạng: a.cost + a.sint a cost + sint cos(t ) t cos t a a cos t a x cos t = a cos t = a x = a t = Vậy, nghiệm bất phơng trình a x x = a HOT NG 5: Gii bt phng trỡnh: x +a x+ DNG C BN Vi bt phng trỡnh 2a x2 + a2 , x f(x) > g(x) ta cú phộp bin i tng ng: http://boxtailieu.net g(x) f(x) (I) : hoc (II) : g(x) < f(x) > g (x) (*) Cỏc em hc sinh cn bit ỏnh giỏ tớnh gii c ca bt phng trỡnh (*) Giải bất phơng trình: 2x + > x, x Đánh giá định hớng thực hiện: S dng lc DNG C BN bi trng hp ny (*) l mt bt phng trỡnh bc hai Gii c Ngoi ra, phng trỡnh cũn c gii theo cỏc cỏch khỏc: Nhm nghim x0 ri chuyn bt phng trỡnh v dng tớch (x x0)h(x) bng phộp nhõn liờn hp C th: Nhn xột rng x0 = tho VT = VP Bin i bt phng trỡnh v dng: Ví dụ 6: ( ) 2x + + x > 2x + + x > x + > 2x + + 2x + + S dng phng phỏp hm s, vi nhn xột: VT l hm ng bin VP l hm nghch bin Hai th ct ti im cú honh x = Vy, nghim ca bt phng trỡnh l (0; +) Giải Ta cú th trỡnh by theo cỏc cỏch sau: Cỏch 1: Bt phng trỡnh tng ng vi: x 2x + (I) : (II) : x < 2x + > (1 x ) Ta lần lợt: Gii (I) ta c: x x > x > Gii (II) ta c: x x < x < x < x 4x < (1) (2) T (1) v (2) suy nghim ca bt phng trỡnh l (0; +) Cỏch 2: Vi iu kin 2x + tc x , ta bin i bt phng trỡnh v dng: http://boxtailieu.net ( ) 2x + + x > 2x + x > + x > x + > 2x + + 2x + + Vy, nghim ca bt phng trỡnh l (0; +) Cỏch 3: iu kin 2x + tc x t2 t t = 2x + 1, (t 0) Suy x = Bt phng trỡnh cú dng: t2 t > t > t2 + 2t > t < (loai) 2x + > 2x + > x > Vy, nghim ca bt phng trỡnh l (0; +) Cỏch 4: Nhn xột rng: VT l hm ng bin VP l hm nghch bin Hai th ct ti im cú honh x = Vy, nghim ca bt phng trỡnh l (0; +) HOT NG 6: Giải bất phơng trình: x + > x, x Ví dụ 7: Giải bất phơng trình: 1 x x + , x Đánh giá định hớng thực hiện: S dng lc DNG C BN bi trng hp ny (*) l mt bt phng trỡnh bc hai cú cha du giỏ tr tuyt i Gii c bng phng phỏp chia khong Giải Bt phng trỡnh tng ng vi: x+ >0 (I) : x + (II) : 2 x x + (*) Gii (I) ta c x (1) http://boxtailieu.net Gii (II): Ta cú bin i cho (*): 1 Vi x tc x thỡ: 4 1 x x + x2 + 2x x 0, tho 1 Vi x < tc x > thỡ: 4 1 x x + x + , vụ nghim Suy ra, nghim ca (*) l x V h (II) cú dng: x > < x 2 x (2) T (1) v (2) suy nghim ca bt phng trỡnh l (; 0] HOT NG 7: Giải bất phơng trình: x x , x Ví dụ 8: Giải bất phơng trình: x 3x + 3x 9x + 8, x Đánh giá định hớng thực hiện: Nu s dng lc DNG C BN thỡ (*) l mt bt phng trỡnh bc bn gii c bt phng trỡnh ny cn cú k nng phõn tớch a thc thnh nhõn t Ngoi ra, phng trỡnh cũn c gii theo cỏc cỏch khỏc: S dng phng phỏp t n ph, vi t = x 3x + 6, t Nhm nghim x0 ri chuyn phng trỡnh v dng tớch (x x0)h(x) bng phộp nhõn liờn hp C th: Nhn xột rng x0 = l nghim ca phng trỡnh Bin i phng trỡnh v dng: x 3x + = 3x 9x + x 3x + x 3x + + (x 3x + 2) = x 3x + + = 3(x 3x + 2) Giải http://boxtailieu.net Ta cú th trỡnh by theo cỏc cỏch sau: Cỏch 1: Bin i phng trỡnh v dng: ( ) x 3x + = x 3x + 10 t t = x 3x + 6, (t 0) ta c: t 3t 10 3t t 10 t2 t2 x 3x + x 3x + x Vy, nghim ca bt phng trỡnh l [1; 2] Cỏch 2: Ta cú bin i: x 3x + 3x 9x + x 3x + x 3x + + 2 3(x 3x + 2) (x 3x + 2) x 3x + + (*) Nhn xột rng: x 3x + + 2 < x 3x + + 2 3< nờn (*) c bin i v dng: x 3x + x Vy, nghim ca bt phng trỡnh l [1; 2] HOT NG 8: Giải bất phơng trình: x + 3x + > 2x + 6x 5, x Ví dụ 9: Giải bất phơng trình: 2x > 2x + 2, x 2x + Đánh giá định hớng thực hiện: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phơng trình, sử dụng phép nhận liên hợp để biến đổi bất phơng trình dạng Giải Điều kiện: x + 2x + x 2x + Trục thức, ta biến đổi bất phơng trình dạng: 10 http://boxtailieu.net (*) x x x 2x 2x 2x x < x < x < 2x 2x 2x x Vậy, tập nghiệm bất phơng trình [1; 5] b Hớng dẫn: Điều kiện x Biến đổi tơng đơng bất phơng trình: x2(x + 1) + 3x x + + > Đặt t = x x + Từ đó, ta nhận đợc nghiệm x HOT NG 2: a Bt phng trỡnh tng ng vi h: x 3x 10 (x 2)(x + 5) x x > x > x > x < 14 x 14 < x 3x 10 < (x 2) x < 14 Vậy, tập nghiệm bất phơng trình [5; 14) b Bt phng trỡnh tng ng vi h: x 2x 15 x 2x 15 x hoac x x x x 4x 24 x x 2x 15 (x 3) x Vậy, tập nghiệm bất phơng trình [5; 6] HOT NG 3: a Ta cú th trỡnh by theo cỏc cỏch sau: Cỏch 1: Vi iu kin 4x2 tc x ( x + 4x ) , ta bin i bt phng trỡnh v dng: ( )( ) 16x 9x x 16x + x x Vậy, tập nghiệm bất phơng trình (; 1] [1; +) 26 http://boxtailieu.net Cỏch 2: Bin i bt phng trỡnh v dng: x2 + x + 4x x +8 +3 ( x2 ) (x 1) x +8 +3 (*) Nhn xột rng: x +8 +3 < x +8+3 4 x > x 11x + 24 > x + < ( x ) Vậy, tập nghiệm bất phơng trình [1; 3) Cỏch 2: Vi iu kin x + tc x 1, ta bin i bt phng trỡnh v dng: x +1 x x +1 < x < 3x + x < x +1 + x +1 + ( x 3) + < x < x < x +1 + >1 Vậy, tập nghiệm bất phơng trình [1; 3) Cỏch 3: iu kin x + tc x t t = x + 1, (t 0) Suy x = t2 27 http://boxtailieu.net Bt phng trỡnh cú dng: t < (t2 1) t2 + t < < t < x +1 < x + < x < Vậy, tập nghiệm bất phơng trình [1; 3) Cỏch 4: iu kin x + tc x Nhn xột rng: VT l hm ng bin VP l hm nghch bin Hai th ct ti im cú honh x = Vậy, tập nghiệm bất phơng trình [1; 3) HOT NG 4: a Bất bất phơng trình tơng đơng với: x + x + x + 3x 3x 3x x + (3x 1)2 x 9x + 6x + (x 1)(x 8x 2) x 3 x + x x hoac x + Vậy, tập nghiệm bất phơng trình 1; + b Ta cú th trỡnh by theo cỏc cỏch sau: Cỏch 1: Bin i bt phng trỡnh v dng: x> x + x 3x > x > x > 3x > x + < (3x 4)2 9x 25x + 14 > x < Vậy, tập nghiệm bất phơng trình (2; +) Cỏch 2: Vi iu kin x + tc x , ta bin i bt phng trỡnh v dng: x + < 3x x+24 x+2 +2 (x 2) < x+2 +2 < 3x 28 http://boxtailieu.net (*) Nhn xột rng: 1 3< x+2 +2 x+2 +2 nờn (*) c bin i v dng: x > x > Vậy, tập nghiệm bất phơng trình (2; +) < Cỏch 3: iu kin x + tc x t t = x + 2, (t 0) Suy x = t2 Phng trỡnh cú dng: t < 3(t2 2) 3t2 t 10 > t > t < (loai) x + > x > Vậy, tập nghiệm bất phơng trình (2; +) HOT NG 5: Ta cú th trỡnh by theo cỏc cỏch sau: Cỏch 1: Đặt x = |a|tgt, với t ( x2 + a = |a| cos t , ) suy ra: 2 Khi đó, bất phơng trình có dạng: |a| cos t |a|tgt + 2a cos t |a| sint + 2cos2t 2sin2t sint sint tgt x Vậy, nghiệm bất phơng trình x |a| |a| Cỏch 2: Biến đổi bất phơng trình dạng: x2 + a2 x x + a + 2a2 x2 a2 x x + a Xét hai trờng hợp: Nếu x 0, (2) đợc viết lại dới dạng: x2 a2 (2) | x || a | x a | x || a | 2 2 x (x + a ) x a |a| | x | (x a )2 x (x + a ) x x 29 http://boxtailieu.net Nếu x < 0, (2) đợc viết lại dới dạng: x a (x a )2 x (x + a ) | a | x | a | x< |a| |a| x 3 Vậy, nghiệm bất phơng trình x |a| |a| x x > Gii (I) ta c: x x + > ( x ) (1) x x < x 2 < x < x 9x + 14 < (2) T (1) v (2) suy nghim ca bt phng trỡnh l (2; +) Cỏch 2: Vi iu kin x + tc x , ta bin i bt phng trỡnh v dng: x+2 >2x x+24 x+2 +2 >2x (x 2) + > x > x > x+2 +2 Vy, nghim ca bt phng trỡnh l (2; +) Cỏch 3: iu kin x + tc x t t = x + 2, (t 0) Suy x = t2 Bt phng trỡnh cú dng: t > t > (t2 2) t2 + t > t < (loai) x > Vy, nghim ca bt phng trỡnh l (2; +) Cỏch 4: Nhn xột rng: VT l hm ng bin 30 http://boxtailieu.net x+2 >2 VP l hm nghch bin Hai th ct ti im cú honh x = Vy, nghim ca bt phng trỡnh l (2; +) HOT NG 7: Bt phng trỡnh tng ng vi: x >0 (I) : x (II) : x x (*) Gii (I) ta c x Gii (II): Ta cú bin i cho (*): Vi x tc x thỡ: (1) 17 x x x x + , vụ nghim 16 Vi x < tc x < thỡ: 15 1 x x x + x x , tho 16 4 Suy ra, nghim ca (*) l x V d thy h (II) vụ nghim 4 Vy, nghim ca bt phng trỡnh l ; HOT NG 8: Ta cú th trỡnh by theo cỏc cỏch sau: Cỏch 1: Bin i bt phng trỡnh v dng: ( ) x + 3x + > x + 3x + 15 t t = x + 3x + 5, (t 0) ta c: t > 2t 15 2t t 15 < 2(x + 3x 4) 31 http://boxtailieu.net (x + 3x 4) > x + 3x + + (*) Nhn xột rng: x + 3x + + < x + 3x + + 2< nờn (*) c bin i v dng: x + 3x < < x < Vy, nghim ca bt phng trỡnh l (4; 1) HOT NG 9: Điều kiện: x < 4x x < x Cách 1: Thực phép nhân liên hợp: (1) (1 x )(1 + x ) x < 3(1 + 4x ) 4x < + 4x 4x > 4x x < 4x < 4x | x |< x x 2 x ( x ) > ( x ) 9(1 4x ) > (4x 3)2 x < < x Cách 2: Xét hai trờng hợp dựa điều kiện Với x < thì: 3x > (1) 4x2 < 3x 4x < (1 3x)2 x < x < 13x 6x > Kết hợp với điều kiện xét đợc nghiệm 32 http://boxtailieu.net x < Với < x thì: (1) 4x > 3x x > 3x < 1 1 < x 4x x < x 1 3x x 2 4x > (1 3x) 13x 6x < 0 x + + 2x + + (x + 1)(2x + 3) > 25 34 http://boxtailieu.net (*) 21 3x < (x + 1)(2x + 3) > 21 3x 21 3x 4(x + 1)(2x + 3) > (21 3x)2 x > Vậy, tập nghiệm bất phơng trình (3; +) Cách 2: Điều kiện: x + x 2x + (*) Biến đổi bất phơng trình dạng: x + + 2x + > Nhn xột rng: VT l hm ng bin VP l hm hng Hai th ct ti im cú honh x = Vậy, tập nghiệm bất phơng trình (3; +) b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Điều kiện: x x x + Biến đổi bất phơng trình: x > + x + x > + (x + 2) + x + x + < x x x x x < x < x + < ( x) x x > x > Vậy, tập nghiệm bất phơng trình [2; 1) Cách 2: Điều kiện: x x x + Biến đổi bất phơng trình dạng: x > + x + Nhận xét rằng: VT hàm nghịch biến 35 http://boxtailieu.net VP hàm đồng biến Hai th ct ti im cú honh x = Vậy, tập nghiệm bất phơng trình [1; 3) HOT NG 14: Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Đặt t = x2 3x + 3, ta có: 3 t = x + 4 đó, điều kiện cho ẩn phụ t t Khi đó, bất phơng trình có dạng: t + t + < t + t + + t(t + 3) < t t(t + 3) < (3 t) t(t + 3) < t t t < x2 3x + < t < x2 3x + < < x < Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm (1; 2) Cách 2: Biến đổi phơng trình dạng: ( ) ( x 3x + + x 3x + x 3x + + x 3x + ) x 3x + < x 3x + + x 3x + + x 3x + (**) t>2 x + > 2 x t < / Đặt X = x , X > 0, đó: X+ 2X > 2X2 4X + > 2+ X > 2 X < 2+ x> 2 x< Vậy, bất phơng trình có nghiệm (0, 3 x > + < x < )( + , + ) HOT NG 16: a Điều kiện: 2x + 12 x + x 2x (*) Biến đổi bất phơng trình dạng: 2(x + 2) + 2(2x 1) > x + + 2x (2) Đặt u = x v = x + Khi đó, bất phơng trình có dạng: 2u + v u + v > u + v 2 2u + v > (u + v ) u + v 2 (u v ) > u v Xét trờng hợp u = v x = 2x = x + x2 6x + = x = Suy ra, để u v, ta phải có x [ , + ) \ {1, 5} Vậy, nghiệm bất phơng trình x [ ; +) \ {1; 5} 37 http://boxtailieu.net b Hớng dẫn: Viết lại bất phơng trình dới dạng: 2(x 1) + 2(x 3)2 x + x Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ u = x v = x HOT NG 18: a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Viết lại bất phơng trình dới dạng: x 1+ x +1 + x x +1 > ( x + 1)2 + ( x 1)2 > 3 Điều kiện: x x Khi đó, phơng trình trở thành: (*) x x > x x + + | x 1| > x x < x < > Kết hợp với điều kiện (*) đợc x nghiệm bất phơng trình Cách 2: Điều kiện: x x + x x x x Bỡnh phng hai v ca bt phng trỡnh, ta c: 2x + x + x x x > 9 2x + x 4(x 1) > 2x + x 4x + > 4 9 (x 2)2 > 2x x > 2x 4 Ta cú bin i cho (1): Vi x tc x thỡ: 25 25 (1) 2(x 2) > 2x 4x > x> 4 16 Suy ra, nghim trng hp ny l x ( )( (*) ) 38 http://boxtailieu.net (1) Vi x < tc x < thỡ: 9 (1) 2(2 x) > 2x > , luụn ỳng 4 x + , vụ nghim Suy ra, nghim trng hp ny l x < 22 Suy (1) nghim ỳng vi mi x Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm [1; +) b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Điều kiện: x x x x x + x (*) Nhận xét rằng: VT = x x + x + x x x x + x = Vậy, bất phơng trình có nghiệm VT = x x = x + x x x = x + x x = x2 = x2 = x = (loai) Vậy, nghiệm bất phơng trình x = Cách 2: Điều kiện: x x x x x + x (*) Bỡnh phng hai v ca bt phng trỡnh, ta c: 2x + (x )( ) x2 x + x2 2x + x ( x 1) 2x + x Vậy, nghiệm bất phơng trình x = HOT NG 20: Điều kiện: 7x + x 7x (*) 39 http://boxtailieu.net Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ: u = 7x + v = 7x , với u, v Khi đó, bất phơng trình có dạng: u + v + 2uv < 181 (u2 + v2 1) (u + v)2 + (u + v) 182 < (u + v + 14)(u + v 13) < u + v < 13 7x + + 7x < 13 14x + + 49x + 7x 42 < 169 49x + 7x 42 < 84 7x Giải tiếp, ta nhận đợc nghiệm x < HOT NG 21: Biến đổi tơng đơng bất phơng trình dạng: ( x + + 1) x + < x + + x + < 2( x + + 1) x + < x + x +1 < x < x + < Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm [1; 3) Cách khác: Với điều kiện x 1, biến đổi bất phơng trình dạng: x + + x +1 < + x +1 ( ) ( x + + x +1 < + x +1 ) 3x < x < Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm [1; 3) 40 http://boxtailieu.net [...]... + 2x < 0 < x < 0 2 1 Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là T = ; 0 2 HOT NG 9: Giải bất phơng trình: 1 1 4x 2 < 3, x x Ví dụ 10: Giải bất phơng trình: 4x 2 < 2x + 2, x (1 1 + 2x )2 Đánh giá và định hớng thực hiện: Thi t lập điều kiện có nghĩa cho bất phơng trình, rồi sử dụng phép nhận liên hợp để biến đổi bất phơng trình về dạng cơ bản Giải Điều kiện: 2x + 1 0 1 0 2x + 1 1 ... x 0 x 2 Vậy, bất phơng trình có nghiệm x 0 HOT NG 12: Giải bất phơng trình: x2 + 4x (x + 4) x 2 2x + 4 2 bất phơng trình chứa hai căn bậc hai Ví dụ 13: Giải bất phơng trình: x + 9 > 5 2x + 4, x Đánh giá và định hớng thực hiện: Dễ thấy cha thể sử dụng ngay phép khai phơng cho bất phơng trình này, suy ra cần biến đổi: x + 9 + 2x + 4 > 5 Tới đây, ta sẽ nhận đợc bất phơng trình dạng cơ bản... luôn đúng vì với x 4 ta đợc VT > 0 và VP < 0 Vậy x 4 là nghiệm bất phơng trình Trờng hợp 2: Với x 1 thì: (1) (1 x)(2 x) + (1 x)(3 x) 2 (1 x)(4 x) Với x = 1, bất phơng trình nghiệm đúng Với x < 1, bất phơng trình có dạng: 2 x + 3 x 2 4 x 2 x 4 x 4 x 3 x Nhận xét rằng với x < 1 thì VT < 0 và VP > 0, phơng trình vô nghiệm Vậy, bất phơng trình có nghiệm x = 1 hoặc x 4 HOT NG 21: Giải bất. .. 1 0 < x 1 2 4 2 2 1 Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm là 0; [ 4; + ) 4 HOT NG 15: Giải bất phơng trình: 5 1 5 x+ < 2x + , x 2x 2 x Ví dụ 16: Giải bất phơng trình: 2x 2 6x + 8 x x 2, x Đánh giá và định hớng thực hiện: Biến đổi bất phơng trình về dạng: 2(x 2)2 + 2x x 2 + x S dng hai n ph: u = x 0 v = x 2 Giải Điều kiện x 0 Biến đổi bất phơng trình về dạng: (*) 2(x 2)2 + 2x... phơng trình có: VT là hàm đồng biến VP là hàm hằng Hai th ct nhau ti im cú honh x = 3 Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm là (3; +) HOT NG 14: Giải bất phơng trình: 15 http://boxtailieu.net x 2 3x + 3 + x 2 3x + 6 < 3, x Ví dụ 15: ( thi i hc Khi B nm 2012): Giải bất phơng trình: x + 1 + x 2 4x + 1 3 x, (x ) Đánh giá và định hớng thực hiện: Dễ thấy không thể sử dụng ngay phép khai phơng cho bất. .. x+ x2 4 >3 5 (1) Đánh giá và định hớng thực hiện: Thi t lập điều kiện có nghĩa cho bất phơng trình Dựa vào tập xác định để thực hiện phơng pháp chia khoảng ẩn phụ xuất hiện khi bình phơng hai vế của bất phơng trình Giải Điều kiện: x2 4 > 0 |x| > 2 (*) Trờng hợp 1: Với x < 2 thì bất phơng trình vô nghiệm (do vế trái âm) Trờng hợp 2: Với x > 2 thì bình phơng 2 vế phơng trình (1) ta đợc: x2 + 4x 2... 2005): Gii bt phng trỡnh: 5x 1 x 1 > 2x 4, x Đánh giá và định hớng thực hiện: Đây là bất phơng trình vô tỉ và có thể nhận thấy ngay rằng sau phép chuyển vế đợc bất phơng f (x) > g(x) + h(x) , do đó các bớc thực hiện bao gồm: Bớc 1: Thi t lập điều kiện có nghĩa cho bất phơng trình trình dạng (*) 23 http://boxtailieu.net Bớc 2: Biến đổi bất phơng trình về dạng: f(x) > g(x) + h(x) + 2 g(x).h(x) p(x) >... 2 2x + 4 0 Biến đổi bất phơng trình về dạng: (*) x + 9 + 2x + 4 > 5 Nhn xột rng: VT l hm ng bin VP l hm hng Hai th ct nhau ti im cú honh x = 0 Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là (0; +) HOT NG 13: Giải các bất phơng trình: Ví dụ 14: a x + 1 > 5 2x + 3, x b 3 x x + 2 > 1, x Giải bất phơng trình: x 2 + x 2 5 > 3, x Đánh giá và định hớng thực hiện: Bất phơng trình chứa hai căn bậc hai... của bất phơng trình Giải Điều kiện: 5x 1 0 x 1 0 x 2 2x 4 0 Biến đổi bất phơng trình về dạng: 5x 1 > 2x 4 + x 1 5x 1 > 2x 4 + x 1 + 2 (2x 4)(x 1) (*) (*) (2x 4)(x 1) < x + 2 (2x 4)(x 1) < (x + 2)2 x2 10x < 0 0 < x < 10 Kết hợp với (*), ta đợc nghiệm của bất phơng trình là 2 x < 10 HOT NG 20: Giải bất phơng trình: 7x + 7 + 7x 6 + 2 49x 2 + 7x 42 < 181 14x Giải bất phơng... luôn đúng hoặc: ( ) 2 x 2 x + 1 = x 2 + ( x 1) + 1 > 1 MS < 0 2 hoặc: 2 1 3 3 2 x x +1 = 2 x + > > 1 MS < 0 2 2 2 ( 2 ) Suy ra, bất phơng trình đợc biến đổi về dạng: ( ) ( ) x x 1 2 x 2 x + 1 2 x 2 x + 1 1 x + x (1) Tới đây, việc lựa chọn phơng pháp giải cho bất phơng trình (1) sẽ đợc dựa theo dạng xuất phát cơ bản là f g Tuy nhiên, nh đã trình bày trong phần cấu trúc đề thi đại học ... x x x Vậy, bất phơng trình có nghiệm x HOT NG 12: Giải bất phơng trình: x2 + 4x (x + 4) x 2x + bất phơng trình chứa hai bậc hai Ví dụ 13: Giải bất phơng trình: x + > 2x + 4, x... Vậy, tập nghiệm bất phơng trình T = ; HOT NG 9: Giải bất phơng trình: 4x < 3, x x Ví dụ 10: Giải bất phơng trình: 4x < 2x + 2, x (1 + 2x )2 Đánh giá định hớng thực hiện: Thi t lập điều... HOT NG 8: Giải bất phơng trình: x + 3x + > 2x + 6x 5, x Ví dụ 9: Giải bất phơng trình: 2x > 2x + 2, x 2x + Đánh giá định hớng thực hiện: Thi t lập điều kiện có nghĩa cho bất phơng trình, sử