Đang tải... (xem toàn văn)
TÓM TẮT GIÁO KHOA ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH 1. Phương trình bậc 2: ax2+bx+c = 0 với x1, x2 là nghiệm thì ax2+ bx + c = a(xx1)(xx2); với =b2 4ac (’=b’2ac với b’=b2) Nếu a+ b+ c=0 thì x1= 1; x2= ca; Nếu a – b+ c=0 thì x1= –1; x2= – ca; Định lý viet: S= x1+ x2 = – ba; P = x1.x2= ca 2. Tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c B và B > C A > C b. A > B A + C > B + C c. Nếu C > 0 thì A > B AC > BC d. Nếu C < 0 thì A > B AC < BC 2. Các hệ quả: a. Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều b. c. Với d. Với A, B ≥ 0, e. Với A, B và f. A > B ≥ 0 g. A > B 3. Bất đẳng thức Cô si (Cauchy) cho hai số không âm: Cho a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có: . Dấu “=” xảy ra a = b. 4. Bất đẳng thức Cô si cho ba số không âm: Cho ba số ta có : . Dấu “=” xảy ra a = b = c. Các chuyển dạng của bất đẳng thức Cô si : Dấu “=” xảy ra a = b Dấu “=” xảy ra a = b = c 5. Bất đẳng thức Bunhiacopski: a. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 4 số: Với 4 số thực bất kỳ ta có: . Dấu “=” xảy ra b. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 6 số: Với 6 số thực bất kỳ ta có: Dấu “=” xảy ra c. Các chuyển dạng của bất đẳng thức Bunhiacopski (1) (2) 7. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Với hai số A, B tùy ý, ta có: a. . b. . Dấu “=” xảy ra A.B ≥ 0. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: a. Công thức cơ bản : b. Công thức cộng: cos(a+b)=cos a.cos b–sin a.sin b cos(ab)=cos a.cos b+sin a.sin b sin(a+b)=sin a.cos b+cos a.sin b sin(ab)=sin a.cos b cos a.sin b tan(a+b) = tan (a b )= cot ( a + b) = cot ( a – b )= c. Công thức nhân đôi: sin 2a = 2 sin a.cos a cos 2a = cos2a sin2a = 2 cos2a1 = 12sin2a tan 2a = cot 2a = d. Công thức hạ bậc: cos2a = sin2a = tan2a = e. Công thức biến đổi tổng thành tích: cos a + cos b = 2 cos .cos cos a–cos b = 2sin . sin sin a + sin b=2 sin .cos sin a – sin b = 2 cos .sin sinx+cosx= sin = cos(x ) sinx–cosx= sin(x– )= – cos f. Công thức biến đổi tích thành tổng PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình LG cơ bản: trong đó k Z 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. asin2x+bsinx+c = 0 (đặt t= sinx, đk:–1t1) acos2x+bcosx+c = 0 (đặt t=cosx, đk:–1t1) atan2x+btanx+c = 0 (đặt t= tanx) acot2x+bcotx+c = 0 (đặt t= cotx) 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) với Chia hai vế pt(1) cho ta được: (2) Ta xác định sao cho: Khi đó ta được phương trình: Điều kiện để pt(3) có nghiệm là 4. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: (1) Với cosx = 0: ta kiểm tra có phải là nghiệm của pt (1) không. Với cosx 0: chia 2 vế pt (1) cho cos2x ta được pt: Lưu ý: Nếu cosx = 0 thì =1 5. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: a. Dạng của phương trình đối xứng: a(sinx+cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1) b. Dạng tương tự: a(sinx – cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (2) PP: Giải (1): Đặt Giải (2): Đặt t = QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc A có thể được thực hiện theo một trong k phương án A1, A2, …, Ak. Mỗi phương án Ai (i = 1, 2, …, k) có ni cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n1 + n2 +… + nk cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử thực hiện công việc A bao gồm k công đoạn A1, A2, …, Ak. Mỗi công đoạn Ai (i = 1, 2, …, k) có ni cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n1. n2 … nk cách. Lưu ý: Khi thực hiện một công việc, có nhiều phương án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong công việc. Khi đó ta dùng quy tắc cộng (cộng tất cả số cách thực hiện của từng phương án) ta được số cách thực hiện công việc. Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua nhiều bước mới xong công việc thì ta dùng quy tắc nhân (nhân tất cả số cách thực hiện cho từng bước) ta được số cách thực hiện công việc. 3. Hoán vị. a) Cho một tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A. (Gọi tắt là một hoán vị của A hay một hoán vị của n phần tử) b) Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: 4. Chỉnh hợp. a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của n). b) Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: 5. Tổ hợp. a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A (Gọi tắt là tổ hợp chập k của A) b) Số tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử là: Chú ý: Quy ước: Với quy ước này ta có: ; đúng với Tính chất 1. Tính chất 2. (hằng đẳng thức Pascal): NHỊ THỨC NEWTON 1) Công thức nhị thức Newton: Nhận xét: Trong công thức (1) có n + 1 số hạng. Số hạng thứ k + 1 là Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất Trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b luôn bằng n. 2) Các dạng đặc biệt của nhị thức Newton: XÁC SUẤT Một số lưu ý: Cho hai tập hợp A, ký hiệu n(A) hoặc |A| là để chỉ số phần tử của tập A Nếu A B = thì n(AB) = n(A) + n(B) Nếu A B ≠ thì: n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) 1. Phép thử và không gian mẫu. Phép thử : là một thí nghiệm hay một hành động mà: Kết quả của nó không thể dự đoán trước được. Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của hành động đó. Không gian mẫu: Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là KGM của T và kí hiệu là .
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn A Lý chọ chọn đề đề tài Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ toán có mặt hầu hết kỳ thi HSG tuyển sinh Đại Học Không toán hay khó đề thi Trong chương trình giảng dạy học tập bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chủ đề hấp dẫn người dạy lẫn người học Việc giảng dạy để cho học sinh học tốt chủ đề môt vấn đề khó Chủ đề thường dành cho học sinh giỏi nên toán đưa thường hay khó Để chứng minh Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ có nhiều phương pháp, phương pháp vạn để giải toán cực trị mà chỉ có phương pháp giải nhóm toán mà Một phương pháp hiệu dùng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng khảo sát biến, cách xem biến lại tham số cố định Không có thuật giải chi tiết cho phương pháp mà thông qua ví dụ để HS rèn luyện để tự tìm cách giải toán cụ thể từ tìm thấy sơ đồ giải cho riêng Vì lý viết chuyên đề nhằm giúp học sinh có nhìn rộng phương pháp sử dụng đạo hàm toán chứng minh BĐT tìm GTLN, GTNN B Nội Dung Phương pháp đưa v ề biế biến toán hai biế biến Biế đổi giả giả thiế thiết biể biểu thứ thức cầ cần tìm cự cực trị trị để tìm mố mối quan hệ hệ giữ giữ chúng rồ Biến đổ tìm tìm cách đặt ẩn phụ phụ hợp lý, lý, đưa biể biểu thứ thức cho về hàm hàm mộ biế biến để để khả khảo sát Thí dụ dụ 1: Cho x, y số thực thoả mãn xଶ + yଶ = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: 2008ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: - - ܲ = 2ሺ ݔଷ + ݕଷ ሻ − 3ݕݔ ሺCao đẳ đẳng khố khối A, B – Từ giả thiết xଶ + yଶ = đưa toán ẩn không? Ta nghĩ tới đẳng thức: ݔଶ + ݕଶ = ሺ ݔ+ ݕሻଶ − 2 ݔ ; ݕݔଷ + ݕଷ = ሺ ݔ+ ݕሻሺ ݔଶ − ݕݔ+ݕ2 Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất x ଶ + yଶ để sử dụng giả thiết Biến đổi biểu thức P vào ݔଶ + ݕଶ = ta có: ܲ = 2ሺ ݔ+ ݕሻሺ ݔଶ − ݕݔ+ ݕଶ ሻ − 3ݕݔ Từ giả thiết: ሺ ݔ+ ݕሻଶ − 2 = ݕݔ2 ⇒ = ݕݔ = 2ሺ ݔ+ ݕሻሺ − ݕݔሻ − 3ݕݔ ሺ௫ା௬ሻమିଶ ଶ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa P hàm biến số ta đặt: ݔ = ݐ+ ݕ Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức: ݔଶ + ݕଶ ≥ Lời giả giải: Ta có: ሺ௫ା௬ሻమ ଶ ܲ = 2ሺ ݔ+ ݕሻሺ ݔଶ − ݕݔ+ ݕଶ ሻ − 3ݕݔ = 2ሺ ݔ+ ݕሻሺ − ݕݔሻ − 3ݕݔ Ta có: = ݕݔ ሺ௫ା௬ሻమ ିଶ ଶ Ta có: ݔଶ + ݕଶ ≥ , sau đặt ݔ = ݐ+ ݕ, ܲ ሺݐሻ = 2 ݐቆ2 − ሺ௫ା௬ሻమ ଶ ݐଶ − ݐଶ − ቇ−3 = − ݐଷ − ݐଶ + 6 ݐ+ 2 ⇒ ሺ ݔ+ ݕሻଶ ≤ ⇒ −2 ≤ ≤ ݐ2 Xét hàm số: ܲ ሺݐሻ = − ݐଷ − ݐଶ + 6 ݐ+ với −2 ≤ ≤ ݐ2 ଷ ଶ Ta có: ܲ ᇱ ሺݐሻ = −3 ݐଶ − 3 ݐ+ Ta có bảng biến thiên t -2 P’ሺtሻ − + ଵଷ Pሺtሻ Vậy: ଶ -7 max ሾିଶ;ଶሿ ݂ ሺݐሻ = ݂ ሺ1ሻ = ଵଷ ଶ =ݔ ;= ݕ ଶ ଶ ଵା√ଷ ଵି√ଷ ;= ݕ =ݔ ଵା√ଷ ଵି√ଷ ଶ ଶ minሾିଶ; ଶሿ ݂ ሺݐሻ = ݉݅݊ሼ݂ሺ−2ሻ; ݂ ሺ2ሻሽ = ݉݅݊ሼ−7; 1ሽ = −7 = ݕ = ݔ−1 SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Thí dụ dụ 2: Cho x, y ≥ x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: ܵ = ሺ4 ݔଶ + 3ݕሻሺ4 ݕଶ + 3ݔሻ + 25ݕݔ 2009ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: - ሺĐạ ሺĐại họ học khố khối D – Từ giả thiết x + y = đưa toán cho ẩn không? Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất ݔ+ ݕđể sử dụng giả thiết Chú ý đẳng thức: ݔଶ + ݕଶ = ሺ ݔ+ ݕሻଶ − 2ݕݔ ݔଷ + ݕଷ = ሺ ݔ+ ݕሻሺ ݔଶ − ݕݔ+ ݕଶ ሻ Sau khai triển vào x + y = 1, ta có: ܵ = 16 ݔଶ ݕଶ − 2 ݕݔ+ 12 - Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa S hàm biến số ta đặt: ݕݔ = ݐ Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức: ≤ ≤ ݕݔ Lời giả giải: ሺ௫ା௬ሻమ ସ Ta có: ܵ = ሺ4 ݔଶ + 3 ݕሻሺ4 ݕଶ + 3ݔሻ + 25 = ݕݔ16 ݔଶ ݕଶ + 12ሺ ݔଷ + ݕଷ ሻ + 34ݕݔ = 16 ݔଶ ݕଶ + 12ሺ ݔ+ ݕሻሺ ݔଶ − ݕݔ+ ݕଶ ሻ + 34ݕݔ = 16 ݔଶ ݕଶ + 12ሾሺ ݔ+ ݕሻଶ − 3ݕݔሿ + 34ݕݔ = 16 ݔଶ ݕଶ − 2 ݕݔ+ 12 ሺ݀ ݔ + = ݕ1ሻ Đặt xy = t Ta có: ≥ ݔ0, ≥ ݕ0 ݊ê݊ ≤ ≤ ݕݔ ሺ௫ା௬ሻమ ସ ሺ݀ ݔ + = ݕ1ሻ = ଵ ସ ⇒ 0≤≤ݐ ଵ ସ Xét hàm số: ݂ሺݐሻ = 16 ݐଶ − 2 ݐ+ 12 với ≤ ≤ ݐ Ta có: ݂ ᇱ ሺݐሻ = 32 ݐ− Bảng biến thiên t f’ሺtሻ fሺtሻ ଵ ସ ଵ ଵ ଵ ସ 12 − SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net + KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ଶହ ଶ Vậy: minቂ;భቃ ݂ሺݐሻ = ݂ ቀ ቁ = ଵ ଵ ర ଵଽଵ ଵ =ݔ =ݔ ଶା√ଷ ଵଽଵ ଵ ;= ݕ ସ ଶି√ଷ ;= ݕ ସ max ቂ;భቃ ݂ ሺ ݐሻ = ݉ܽ ݔቄ݂ሺ0ሻ; ݂ ቀ ቁቅ = ݉ܽ ݔቄ12; ଵ ଶହ ସ ర ଶ ଶି√ଷ ቅ= ସ ଶା√ଷ ସ ଶହ ଶ = ݕ = ݔ Thí dụ dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: ଵ ଶ = ܣ3ሺ ݔସ + ݕସ + ݔଶ ݕଶ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + với x, y số thoả mãn điều kiện: ሺ ݔ+ ݕሻଷ + 4 ≥ ݕݔ2 ሺĐạ ሺĐại họ học khố khối B – 2009ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: - Vì giả thiết biểu thức phức tạp nên ta khai thác trước cho gọn để dễ sử dụng ݔଶ + ݕଶ = ሺ ݔ+ ݕሻଶ − 2ݕݔ Chú ý đẳng thức: ݔଷ + ݕଷ = ሺ ݔ+ ݕሻሺ ݔଶ − ݕݔ+ ݕଶ ሻ ሺ ݔ+ ݕሻଶ ≥ 4ݕݔ Khi điều kiện toán trở thành: ݔ+ ≥ ݕ1 - Ta biến đổi A sau: = ܣ3ሺ ݔସ + ݕସ + ݔଶ ݕଶ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + = ଶ ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ + ଶ ሺ ݔସ + ݕସ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + ଷ ≥ ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ + ଷ ଶ hay - ଷ ଷ൫௫ మ ା௬ మ൯ ሺdo ݔସ + ݕସ ≥ ସ ൫௫ మା௬ మ൯ ଶ మ మ ≥ ܣሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + ଽ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + ሻ ସ Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa A hàm biến số không?ሺnếu ta đặt: ݔ = ݐଶ + ݕଶ ሻ Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức: ݔଶ + ݕଶ ≥ Lời giả giải: ሺ௫ା௬ሻమ ଶ Theo bất đẳng thức hiển nhiên: ሺ ݔ+ ݕሻଶ ≥ 4ݕݔ, nên từ ሺ ݔ+ ݕሻଷ + 4 ≥ ݕݔ2 ⇒ ሺ ݔ+ ݕሻଷ + ሺ ݔ+ ݕሻଶ ≥ ሺ ݔ+ ݕሻଷ + 4 ≥ ݕݔ2 SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ⇒ ሺ ݔ+ ݕሻଷ + ሺ ݔ+ ݕሻଶ ≥ ⇒ ሾሺx+yሻ-1ሿሾ ሺ ݔ+ ݕሻଶ + ሺ ݔ+ ݕሻ + 2ሿ ≥ ⇒ ሺx+yሻ - 1≥ ଵ ଶ ሺdo ሺ ݔ+ ݕሻଶ + ሺ ݔ+ ݕሻ + = ቂሺ ݔ+ ݕሻ + ቃ + > 0, ∀ݔ, ݕሻ ଶ ସ Bài toán đưa tìm min, max của: = ܣ3ሺ ݔସ + ݕସ + ݔଶ ݕଶ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + với x, y thoả mãn: x+y ≥ Ta biến đổi A sau: = ܣ3ሺ ݔସ + ݕସ + ݔଶ ݕଶ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + = ଷ ଶ ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ + ሺ ݔସ + ݕସ ሻ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + ≥ ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ + ଷ ଶ Vì ݔଶ + ݕଶ ≥ ଶ ଶ ଽ ସ ଽ ସ ᇱ ሺݐሻ ⇒݂ = ݐ−2 ଽ ସ Ta có bảng biến thiên: ସ +∞ ଽ ଽ ଵ ଵ ଶ ଵ ଽ ଵ ଵ ଶ ଶ + ଵ ଽ ଵ +∞ xẩy t = ଵ ଶ Mặt khác ta dễ thấy = ݕ = ݔthì = ܣ Tóm lại: minA = ሻ ଶ f’ሺtሻ Vậy min௧ஹభ ݂ ሺݐሻ = ݂ ቀ ቁ = ଶ ଶ మ ଵ ଽ fሺtሻ ൫௫ మା௬ మ൯ − 2ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ + ሺdo x+y ≥ 1ሻ nên ݔଶ + ݕଶ ≥ Ta có: ݂ሺݐሻ = ݐଶ − 2 ݐ+ với ≥ ݐ t ସ మ ≥ ܣሺ ݔଶ + ݕଶ ሻଶ − 2ሺ ݔ+ ݕଶ ሻ + ሺ௫ା௬ሻమ Đặt ݔ = ݐ+ ݕ ଶ Suy ≥ ܣ ଶ ଷ൫௫ మ ା௬ మ൯ ሺdo ݔସ + ݕସ ≥ hay మ ଷ = ݕ = ݔ ଵ ଵ ଶ ଽ ଵ ଶ Thí dụ dụ 4: Cho hai số thực x, y ሺkhác 0ሻ thay đổi thoả mãn điều kiện: ሺ ݔ+ ݕሻ ݔ = ݕݔଶ + ݕଶ − ݕݔ Tìm giá trị lớn biểu thức: SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN =ܣ Hoạ Hoạt độ động khám phá: Gv Thái Văn Duẩn 1 + ଷ ଷ ݔ ݕ ሺĐạ ሺĐại họ học khố khối A – 2006ሻ 2006ሻ Từ giả thiết ሺ ݔ+ ݕሻ ݔ = ݕݔଶ + ݕଶ − ݕݔcó thể đưa toán ẩn không? Biến đổi biểu thức A, ta được: - =ܣ ሺ ݔ+ ݕሻሺ ݔଶ − ݕݔ+ ݕଶ ሻ ݔ+ ݕଶ 1 ଶ ݔଷ + ݕଷ ൬ ൰ ൬ = = + ൰ = ݔଷݕଷ ݕݔ ݕ ݔ ݔଷݕଷ Do giả thiết biểu thức mà số mũ hạng tử vế trái lớn vế phải nên ta đặt x = ty ta rút x y theo t: ሺ ݔ+ ݕሻ ݔ = ݕݔଶ + ݕଶ − ⟹ ݕݔđặt x = - ty ⟹ = ݕ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ మ ା௧ ; = ݕݐ = ݔ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ାଵ Vậy đến ta đưa A hàm biến t Đến ta khảo sát hàm biến t đến kết - Lời giả giải: Từ giả thiết, ta có: ሺ ݔ+ ݕሻሺ ݔଶ − ݕݔ+ ݕଶ ሻ 1 ݔଷ + ݕଷ ݔ+ ݕଶ 1 ଶ ൰ = ൬ + ൰ =ܣଷ+ ଷ= = =൬ ݔଷݕଷ ݕ ݔ ݔ ݕ ݔଷݕଷ ݕݔ Đặt: ݕݐ = ݔ từ giả thiết ሺ ݔ+ ݕሻ ݔ = ݕݔଶ + ݕଶ − ⟹ ݕݔሺ ݐ+ 1ሻ ݕݐଷ = ሺ ݐଶ − ݐ+ 1ሻ ݕଶ đó: = ݕ Từ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ మ ା௧ ; = ݕݐ = ݔ Xét hàm số: Ta có bảng biến thiên: t f’ሺtሻ −∞ +∞ ௧ మ ି௧ାଵ ௧ାଵ ݐଶ + 2 ݐ+ 1 ଶ ቇ =ܣ൬ + ൰ = ቆ ଶ ݐ−ݐ+1 ݕ ݔ ݂ ሺ ݐሻ = - ଶ ݐଶ + 2 ݐ+ −3 ݐଶ + ᇱሺ ሻ ܿó ݂ ݐ = ሺ ݐଶ − ݐ+ 1ሻଶ ݐଶ − ݐ+ -1 + SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net - KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN fሺtሻ Gv Thái Văn Duẩn ଵ Vậy: GTLN A là: ݂ ଶ ሺ1ሻ = 16 = ݕ = ݔ ଶ khả ảo sát lầ Phương pháp kh lần lượ lượt từ biế biến toán ba biế biến Đối vớ với bấ bất đẳ đẳng thứ thức nhiề nhiều biế biến, ta thể khả khảo sát lầ lần lượ lượt từ biế biến mộ bằ cách chọ chọn mộ biế biến làm tham số số biế biến thiên cố cố định biế biến lạ lại, toán lúc trở trở thành bấ bất đẳ đẳng thứ thức mộ biế biến Luôn Luôn có tâm thế nhìn biể biểu thứ thức nhiề nhiều biế biến mà ta cầ cần tìm tìm GTLN, GTNN dướ dạng hàm số số để ta sử sử dụng đượ công cụ cụ hiệ hiệu quả giả giải toán đạ đạo hàm hàm Sơ đồ đồ tổng quát Giả Giả sử tìm cự cực trị trị biể biểu thứ thức ba biế biến x, y, z: Pሺx, y, zሻ với điề điều kiệ kiện T • Bướ Bước 1: Xem Pሺx, y, zሻ hàm theo biế biến x, y, z la hằ số số Khả Khảo sát hàm tìm cự cực trị trị với điề điều kiệ kiện T Ta đượ được: ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≥ ࢍሺ࢟, ࢠሻሺࢎặࢉ ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≤ ࢍሺ࢟, ࢠሻሻ • Bướ Bước 2: Xem gሺy, zሻ hàm biế biến y, z số số Khả Khảo sát hàm này vớ với điề điều kiệ kiện T Ta đượ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≥ ࢎሺࢠሻ ሺࢎặࢉ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≤ ࢎሺࢠሻሻ • Bướ Bước 3: Cuố Cuối Khả Khảo sát hàm mộ biế biến hሺz hሺzሻ với điề điều kiệ kiện T tìm min, max hàm này Ta đế đến kế kết luậ luận: ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≥ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≥ ࢎሺࢠሻ ≥ ሺࢎặࢉ ࡼሺ࢞, ࢟, ࢠሻ ≤ ࢍሺ࢟, ࢠሻ ≤ ࢎሺࢠሻ ≤ ࡹሻ Thí dụ dụ 5: Cho hai số thực x, y, z số thực thuộc ሾ1; 4ሿ ݕ ≥ ݔ, ݖ ≥ ݔ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2011ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: ܲ= ݔ ݕ ݖ + + 2 ݔ+ 3 ݕ ݕ+ ݖ ݖ+ ݔ ሺĐạ ሺĐại họ học khố khối A – Khảo sát biến nào? Xem P hàm theo biến z, x, y số Khảo sát hàm số với điều kiện cho suy GTNN P, tức ܲሺݔ, ݕ, ݖሻ ≥ ܲሺݔ, ݕሻ - Khảo sát hàm Pሺx, yሻ, đưa Pሺx, yሻ hàm biến không? - - Bằng cách đặt ẩn phụ = ݐට௬ để đưa ܲሺݔ, ݕሻ hàm biến Tìm GTNN hàm ௫ biến ଷସ - Vậy ܲሺݔ, ݕ, ݖሻ ≥ ܲ ሺݔ, ݕሻ = ܲሺݐሻ ≥ ଷଷ Lời giả giải: SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Ta có: Gv Thái Văn Duẩn ݕ ݖ ݔ + + 2 ݔ+ 3 ݕ ݕ+ ݖ ݖ+ ݔ ܲ= Xem hàm theo biến z; x, y số ሺ ݔ− ݕሻሺ ݖଶ − ݕݔሻ ݔ −ݕ + = ܲ ݖሻ = ሺ ݕ+ ݖሻଶ ሺ ݖ+ ݔሻଶ ሺ ݕ+ ݖሻଶ ሺ ݖ+ ݔሻଶ ᇱሺ Theo giả thiết: ݔ ⇒ ݕ ≥ ݔ− ≥ ݕ0 ܲ ≥ ⇔ ≥ ݖඥ ݕݔሺdo x, y, z ∈ ሾ1; 4ሿሻ t P’ሺzሻ ඥݕݔ - Pሺzሻ + Từ bảng biến thiên: ܲ ≥ ܲ൫ඥݕݔ൯ = = ௫ ଶ௫ାଷ௬ ೣ ೣ ଶାଷ + + ଶ√ ௬ √௫ା√௬ ଶ ೣ ଵାට Đặt = ݐට , ݕ ≥ ݔ, ݖ ≥ ݔvà x, y, z ∈ ሾ1; 4ሿ nên ≤ ≤ ݐ2 ௫ Xét hàm ௬ ݂ሺݐሻ = ݂ ᇱ ሺݐሻ = ௧మ ଶ௧ మ ାଷ + ଶ ଵା௧ ିଶൣସ௧ య ሺ௧ିଵሻାଷሺଶ௧ మ ି௧ାଷሻ൧ ሺଶ௧ మ ାଷሻమ ሺଵା௧ሻమ < 0, ∀ ∈ ݐሾ1; 2ሿ Suy fሺtሻ giảm ሾ1; 2ሿ, ܲ ≥ ܲ൫ඥݕݔ൯ = ݂ ሺݐሻ ≥ ݂ሺ2ሻ = SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net ଷସ ଷଷ KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Đẳng thức xẩy ra: ቐ Vậy: ܲ = ଷସ ଷଷ = ݖඥݕݔ =ݐට =2 ௫ ௬ Gv Thái Văn Duẩn ⇒ = ݔ4, = ݕ1, = ݖ2 ݇ℎ݅ = ݔ4, = ݕ1, = ݖ2 Thí dụ dụ 6: Cho hai số thực ܽ, ܾ, ܿ số thực thuộc ቂଷ ; 3ቃ Tìm giá trị lớn biểu ଵ thức: ܲ= Hoạ Hoạt độ động khám phá: ܽ ܾ ܿ + + ܽ+ܾ ܾ+ܿ ܿ+ܽ Khảo sát biến nào? Xem P hàm theo biến a, b, c số Khảo sát hàm số với điều kiện cho, suy GTLN P của, tức ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ݃ሺܾ, ܿሻ - Xem Pሺb, cሻ hàm theo biến c, b số Khảo sát hàm số với điều kiện cho, suy GTLN Pሺb, cሻ, tức ݃ሺ ܾ, ܿሻ ≤ ℎሺܾሻ ଼ - Tiếp theo khảo sát hàm hሺbሻ suy ℎሺܾሻ ≤ ହ - - Vậy: ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ݃ሺܾ, ܿሻ ≤ ℎሺܾሻ ≤ ହ ଼ Lời giả giải: Đặt ܲሺܽሻ = ܽ ܾ ܿ + + ܽ+ܾ ܾ+ܿ ܿ+ܽ Xem hàm theo biến a; b, c số ܲᇱ ሺܽሻ = ሺܾ − ܿሻሺܽ ଶ − ܾܿሻ ܾ ܿ − = ሺܽ + ܾሻଶ ሺܽ + ܿሻଶ ሺܽ + ܾሻଶ ሺܽ + ܿሻଶ • Trường hợp 1: ܽ ≥ ܾ ≥ ܿ ܽ, ܾ, ܿ ∈ ቂ ; 3ቃ ଵ ଷ Suy ra: ܾ − ܿ ≥ 0; ܽ − ܾܿ ≥ nên ܲ ܽ ሻ ≥ Do đó: Pሺaሻ tăng ቂ ; 3ቃ ଶ ᇱሺ ܾ ܿ ⇒ ܲ ሺܽ ሻ ≤ ܲ ሺ3ሻ = + + = ݃ሺܿ ሻ 3+ܾ ܾ+ܿ ܿ+3 ሺxem gሺcሻ hàm theo biến cሻ Mặt khác ݃ᇱ ሺܿሻ = ଵ ଷ ሺܾ − 3ሻሺ3ܾ − ܿ ଶ ሻ −ܾ + = ≤0 ሺܾ + ܿሻଶ ሺܿ + 3ሻଶ ሺܾ + ܿሻଶ ሺܿ + 3ሻଶ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Do đó: gሺcሻ giảm ቂ ; 3ቃ ଵ ଷ 3ܾ 1 + + = ℎሺܾሻ ⇒ ݃ሺܿ ሻ ≤ ݃ ൬ ൰ = + ܾ 3ܾ + 10 ሺxem hሺbሻ hàm theo biến bሻ Ta có ℎ ᇱ ሺܾ ሻ = Ta có bảng biến thiên: b ሺ1 − ܾሻሺ1 + ܾሻ 3 − = ሺ3ܾ + 1ሻଶ ሺܾ + 3ሻଶ ሺ3ܾ + 1ሻଶ ሺܾ + 3ሻଶ ଵ ଷ h’ሺbሻ + ଼ ହ hሺbሻ Suy ℎሺܾ ሻ ≤ ℎሺ1ሻ = - ଼ ହ Vậy: ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ ܲሺ3, ܾ, ܿሻ ≤ ܲ ቀ3, ܾ, ቁ ≤ ܲ ቀ3, 1, ቁ = ଵ ଷ ଵ ଷ • Trường hợp 2: ܿ ≥ ܾ ≥ ܽ ܽ, ܾ, ܿ ∈ ቂ ; 3ቃ ଵ ଷ Từ kết trường hợp 1, ta có: ܲሺܿ, ܾ, ܽሻ ≤ Mặt khác: ܲ ሺܽ, ܾ, ܿሻ − ܲ ሺܿ, ܾ, ܽ ሻ = = ଼ ହ ܽ = 3; ܾ = 1; ܿ = ଵ ଷ ଼ ହ ሺܽ − ܾሻሺܾ − ܿሻሺܽ − ܿሻ ≤0 ሺܽ + ܾሻሺܾ + ܿሻሺܽ + ܿ ሻ ⇒ ܲሺܽ, ܾ, ܿሻ ≤ Vậy = ܵ ݔܽܯ, xẩy ሺܽ, ܾ, ܿ ሻ = ቄቀ3, 1, ቁ ; ቀ , 3, 1ቁ ; ቀ3, ଼ ହ ଵ ଷ ଵ ଷ ଵ ଷ , 1ቁቅ Thí dụ dụ 7: Cho ba số thực dương ܽ, ܾ, ܿ thảo mãn điều kiện: abc + a + c = b SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net 10 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Tìm giá trị lớn biểu thức: ܲ= 2008 2008ሻ 08ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: Gv Thái Văn Duẩn 2 − + ܽଶ + ܾଶ + ܿଶ + ሺĐề ሺĐề thi GV giỏ giỏi tỉ tỉnh– nh– Từ giả thiết abc + a + c = b đưa toán ẩn không? ା - Biến đổi giả thiết ܽ + ܿ = ܾሺ1 − ܽܿ ሻ > : ta có ܾ = , đưa P biến ଵି - - ሺchặn biến: ܽ < ሻ ଵ Khi đó: ܲ = మାଵ + ሺమାଵሻሺ మାଵሻ − + మାଵ ሺ0 < ܽ < ሻ ଶ ଶሺାሻమ ଷ Với suy nghĩ khám phá hàm số nào? Ta nhìn biểu thức P hàm biến a, c xem số ଵ ଶ ଷ Khảo sát hàm biến a fሺaሻ với < ܽ < suy ݂ሺܽሻ ≤ √ଵା మ + మାଵ = ݃ሺܿሻ Tiếp tục khảo sát hàm gሺcሻ với ܿ ∈ ሺ0, +∞ሻ suy ݃ሺܿሻ ≤ Vậy: ܵ ≤ ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ ሻ = Lời giả giải: ଵ ଷ Biến đổi giả thiết thành: ܽ + ܿ = ܾ ሺ1 − ܽܿ ሻ > ⇒ ܽ < Thay vào biểu thức P ta được: ܲ= Xét hàm số: Ta có ଵ ݂ ሺ ݔሻ = ଵ ଷ ܽ+ܿ ݒà ܾ = − ܽܿ ܿ 2ሺܽ + ܿሻଶ + + −2 ܽ ଶ + ܿ ଶ + ሺܽ ଶ + 1ሻሺܿ ଶ + 1ሻ 2ሺܽ + ܿሻଶ = ଶ + ଶ −2+ ଶ ଶ ܽ + ሺܽ + 1ሻሺܿ + 1ሻ ܿ +1 ሺ ݔ+ ܿሻଶ + − ݒớ݅ < ݒ < ݔà ݈ܿ ܿ ݅à ݐℎܽ݉ ݏố ሺܿ > 0ሻ ଶ ଶ ଶ ݔ+ ሺ ݔ+ 1ሻሺܿ + 1ሻ ܿ ݂ ᇱ ሺݔሻ = −2ܿሺ ݔଶ + 2ܿ ݔ− 1ሻ =0 ሺ1 + ݔଶ ሻଶ ሺ1 + ܿ ଶ ሻ ⇔ ݔ = −ܿ + √ܿ ଶ + ∈ ቀ0, ቁ ଵ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net 11 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Bảng biến thiên: x ଵ ୡ f’ሺxሻ fሺxሻ ݔ + ݂ሺݔሻ ≤ ݂ሺݔ ሻ = ܵ = 2݂ ሺܽ ሻ + Ta có ݃ Bảng biến thiên: c g’ሺcሻ gሺcሻ ᇱ ሺܿሻ = ܿଶ ܿ √1 + ܿ ଶ 2ܿ 3 ≤ + ଶ = ݃ሺܿሻ + √1 + ܿ ଶ ܿ + 2ሺ1 − 8ܿ ଶ ሻ ሺ1 + ܿ ଶ ሻଶ ሺ3ܿ + √1 + ܿ ଶ ሻ ⇔ܿ = ܿ = +∞ - fሺݔ ሻ Khi đó: Từ bảng biến thiên ଵ √଼ ∈ ሺ0, +∞ሻ ܿ + ܿ= ଵ √଼ ⇒ ܵ ≤ ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ ሻ = , ܽ= √ଶ ଶ , ܾ = √2 ݐℎì = ܵ ݔܽܯ =0 - gሺܿ ሻ Từ bảng biến thiên suy ra: ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ ሻ Vậy với Gv Thái Văn Duẩn 10 ଵ ଷ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net 12 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Thí dụ dụ 8: Cho ba số thực dương ܽ, ܾ, ܿ thảo mãn điều kiện: 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ܲ= + + ܽ ܾ ܿ ሺĐề ሺĐề thi Olympic Olympic 30/4 – 2004ሻ 2004ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: Với suy nghĩ khám phá hàm số nào? ሺcó thể chuyển theo ẩn không?ሻ - Có thể biểu diễn để biểu thức P giả thiết cho đơn giản không? ଵ ଵ ଵ - Nếu đặt: = ݔ, = ݕ, = ݖbài toán chuyển thành toán gì? - Có thể chuyển toán cho ẩn không? ଶ௫ା଼௬ - Từ giả thiết: 2 ݔ+ 8 ݕ+ 21 ≤ ݖ12≥ ݖ ⇒ ݖݕݔ ݒà > ݔ ଵଶ௫௬ିଶଵ ସ௬ - - - - Khi đó: ܵ ≥ ݔ+ 2 ݕ+ ସ௫௬ି = ݂ሺݔሻ ଶ௫ା଼௬ Khảo sát hàm fሺxሻ xem y tham số cố định Ta được: ܵ ≥ ݂ሺݔሻ ≥ ݂ሺݔ ሻ = 2 ݕ+ ସ௬ + ඥଷଶ௬ మାଵସ ଶ௬ = ݃ሺݕሻ Tiếp tục khảo sát biến gሺyሻ Ta đến kết luận: ܵ ≥ ݂ሺݔሻ ≥ ݃ሺݕሻ ≥ Lời giả giải: Đặt: Từ: =ݔ ଽ ଵହ ଶ 1 , = ݕ, ݔ ⇒ = ݖ, ݕ, > ݖ0; 2 ݔ+ 8 ݕ+ 21 ≤ ݖ12ݒ ݖݕݔà ܵ = ݔ+ 2 ݕ+ 3ݖ ܽ ܾ ܿ 2 ݔ+ 8 ݕ+ 21 ≤ ݖ12≥ ݖ ⇒ ݖݕݔ Từ biểu thức S suy được: ܵ ≥ ݔ+ 2 ݕ+ 2 ݔ+ 8ݕ ݒà > ݔ 12 ݕݔ− 21 4ݕ 2 ݔ+ 8ݕ = ݂ሺݔሻ 4 ݕݔ− ⇒ ݂ ᇱ ሺ ݔሻ = − 14 − 32 ݕଶ =0 ሺ4 ݕݔ− 7ሻଶ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net 13 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN ⇔ ݔ = ݔ = Bảng biến thiên: x f’ሺxሻ ସ௬ + ඥଷଶ୷మାଵସ ସ୷ +∞ fሺxሻ ସ௬ , +∞ቁ ݔ ସ௬ ∈ ቀ + Gv Thái Văn Duẩn - fሺݔ ሻ Khi đó: Từ bảng biến thiên ඥ32 ݕଶ + 14 ܵ ≥ ݂ሺݔሻ ≥ ݂ሺݔ ሻ = 2 ݕ+ + = ݃ሺݕሻ 4ݕ 2ݕ ⇒ ݃ ᇱ ሺ ݕሻ = ሺ8 ݕଶ − 9ሻඥ32 ݕଶ + 14 − 28 4 ݕଶ ඥ32 ݕଶ + 14 Đặt: = ݐඥ32 ݕଶ + 14 phương trình ݃ᇱ ሺݕሻ = =0 ⇔ ሺ8 ݕଶ − 9ሻඥ32 ݕଶ + 14 − 28 ⇔ ݐଷ − 50 ݐ− 122 = ⇔ = ݐ8 ⇔ = ݕ y g’ሺxሻ gሺxሻ +∞ ହ ସ ହ ସ - + ଵହ ଶ Từ bảng biến thiên suy ra: ݃ሺݕሻ ≥ ݃ ቀ ቁ ହ ସ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net 14 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 15 ⇒ ܵ ≥ ݃ሺݕሻ ≥ ݃ ൬ ൰ = Vậy với: =ݕ ହ ସ Gv Thái Văn Duẩn , = ݔ3, = ݖ ଶ ଷ ⇔ ܽ = , ܾ = ,ܿ = ଵ ସ ଷ ହ ଷ ଶ ݐℎì = ܵ ݊݅ܯ ଵହ ଶ Thí dụ dụ 9: Chứng minh ܽ, ܾ, ܿ độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ của: ܶ = 3ሺܽ ଶ +ܾଶ + ܿ ଶ ሻ + 4ܾܽܿ Hoạ Hoạt độ động khám phá: Bài toán cần chứng minh chứa ẩn a, b, c thoả mãn ܽ + ܾ + ܿ = Hãy suy nghĩ biến đổi ܶ = 3ሺܽ ଶ +ܾ ଶ + ܿ ଶ ሻ + 4ܾܽܿ cho ẩn hơn? ଷ - Từ giả thiết: ܽ + ܾ + ܿ = ⇒ ܽ + ܾ = − ܿ, ݉à ܽ + ܾ > ܿ ⇒ ≤ ܿ ≤ ଶ - - Khi đó: ܶ = 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ܾܽሺ2ܿ − 3ሻ Tích ab tổng a + b = – c gợi cho em nghĩ đến bất đẳng thức nào? - Khi ܶ ≥ 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ሺ2ܿ − 3ሻ ቀ - ܽ+ܾ ଶ 3−ܿ ଶ ൰ =൬ ൰ ܾܽ ≤ ൬ 2 ଷି ଶ Khảo sát hàm biến fሺcሻ đen kết Ta đến kết luận ܶ ≥ ݂ ሺܿ ሻ ≥ ݂ ሺ1ሻ = 13 ଶ ቁ = ܿଷ − ܿଶ + ଷ ଶ ଶ ଶ = ݂ሺܿሻ Lời giả giải: Do vai trò bình đẳng a, b, c nên ta giả sử: < ܽ ≤ ܾ ≤ ܿ Chu vi nên ܽ + ܾ + ܿ = ⇒ ܽ + ܾ = − ܿ, ݉à ܽ + ܾ > ܿ ⇒ ≤ ܿ ≤ Ta biến đổi: ܶ = 3ሺܽ ଶ +ܾ ଶ + ܿ ଶ ሻ + 4ܾܽܿ = 3ሺܽ ଶ +ܾ ଶ ሻ + 3ܿ ଶ + 4ܾܽܿ Măt khác: ܾܽ ≤ ቀ Do đó: ଶ = 3ሾሺܽ + ܾ ሻଶ − 2ܾܽሿ + 3ܿ ଶ + 4ܾܽܿ = 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ܾܽሺ2ܿ − 3ሻ ା ଶ ଶ ଷ ଷି ଶ ቁ =ቀ ଶ ቁ ⇒ ܾܽሺ2ܿ − 3ሻ ≥ ቀ ଷି ଶ ଶ ቁ ሺ2ܿ − 3ሻ ሼݒì ܿ < ⇒ 2ܿ − < 0ሽ ܶ ≥ 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ሺ2ܿ − 3ሻ ቀ Xét hàm số: ݂ ሺܿ ሻ = ܿ ଷ − ܿ ଶ + ଷ ଶ ଶ ଶ , ݎݐê݊ ቂ1; ቃ ଷ ଷ ଶ ଷି ଶ ଶ ቁ = ܿଷ − ܿଶ + ଷ ଶ ଶ ଶ = ݂ሺܿሻ ଷ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net 15 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ⇒ ݂ ᇱ ሺܿ ሻ = 3ܿ ଶ − 3ܿ = ⇔ ܿ = Bảng biến thiên c f’ሺcሻ ଷ ଷ + fሺcሻ 13 Khi đó: Từ bảng biến thiên suy ݂ ሺܿ ሻ ≥ ݂ ሺ1ሻ = 13 Suy ܶ ≥ ݂ ሺܿሻ ≥ ݂ ሺ1ሻ = 13 ܿ = 1, ܽ = 1, ܾ = Vậy P =13 c = 1, a = 1, b = ݔ+ݕ+=ݖ4 = ݖݕݔ2 Thí dụ dụ 10: Cho số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau: ൜ Chứng minh rằng: 2004ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: 183 − 165√5 ≤ ݔସ + ݕସ + ݖସ ≤ 18 ሺĐề ሺĐề thi Olympic Toán THPT Việ Việt Nam – Biểu thức ܲ = ݔସ + ݕସ + ݖସ đối xứng với ba ẩn x, y, z Biến đổi P theo ݔ+ ݕ+ ݖ, ݖݕݔ, ݕݔ+ ݖݕ+ ݔݖnhư nào? - Ta có ܲ = ݔସ + ݕସ + ݖସ = ሺ ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ ሻଶ − 2ሺ ݔଶ ݕଶ + ݕଶ ݖଶ + ݖଶ ݔଶ ሻ - = ሺ4ଶ − 2ሺ ݕݔ+ ݖݕ+ ݔݖሻሻଶ − 2ሺ ݕݔ+ ݖݕ+ ݔݖሻଶ − 2ݖݕݔሺ ݔ+ ݕ+ ݖሻ - - Với quan hệ trên, chuyển P theo biến nào? Đặt ݕݔ = ݐ+ ݖݕ+ ݔݖvà từ giả thiết ݔ+ ݕ+ = ݖ4; = ݖݕݔ2 ta có ܲ = 2ሺ ݐଶ − 32 ݐ+ 144ሻ Tìm điều kiện theo ẩn nào? ଶ ଶ Từ điều kiện x, y, z ta ݕ+ = ݖ4 − = ݖݕ ;ݔ௫ ݔ = ݐሺ4 − ݔሻ + ௫ Tìm điều kiện ẩn x chuyển điều kiện theo ẩn t Áp dụng bât đẳng thức Côsi cho số dương y, z ta có SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net 16 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ሺ ݕ+ ݖሻଶ ≥ 4 ⇔ ݖݕሺ4 − ݔሻଶ ≥ ⇔ ݔଷ − 8 ݔଶ + 16 ݔ− ≥ ⇔ ሺ ݔ− 2ሻሺ ݔଶ − 6 ݔ+ ଼ ௫ 4≥0 - ⇔ − √5 ≤ ≤ ݔ2 Xét hàm số ݐሺݔሻ = ݔሺ4 − ݔሻ + ௫ đoạn ൣ3 − √5; 2൧, ta có ݐᇱ ሺݔሻ = ଶ Từ việc xét dấu ݐᇱ ሺݔሻ đoạn ൣ3 − √5; 2൧, ta ≤ ≤ ݐ Khảo sát hàm số ܲ = 2ሺ ݐ− 32 ݐ+ 144ሻ ≤ ≤ ݐ ଶ ଷ ଶ 183 − 165√5 ≤ ݔସ + ݕସ + ݖସ ≤ 18 Bài tậ tập đề đề nghị nghị ଶ ହ√ହିଵ ݔ, ݕ, ≥ ݖ0 Cho ൜ ݔ+ݕ+=ݖ1 Tìm GTLN ܵ = ݔଶ ݕ+ ݕଶ ݖ+ ݖଶ ݔ ିଶሺ௫ିଵሻሺ௫ మ ି௫ିଵሻ ௫మ ହ√ହିଵ ଶ suy Đáp số số: ܵ = ଶ ݔẩ݇ ܽݎ ݕℎ݅ = ݔଷ , = ݕ0, = ݖ ସ ଵ Cho x, y, z số thực thoả mãn ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ = Tìm GTLN, GTNN biểu thức: ܲ = ݔଷ + ݕଷ + ݕଷ − 3ݖݕݔ Đáp số số: max ܲ = 2√2 ݔẩ݇ ܽݎ ݕℎ݅ √ = ݔ2, = ݖ = ݕ0 ܲ = −2√2 ݔẩ݇ ܽݎ ݕℎ݅ = ݔ−√2, = ݖ = ݕ0 Cho > ݔ0, > ݕ0, > ݔ0 thoả mãn điều kiện ݔ+ ݕ+ = ݖ1 Tìm giá trị lớn biểu thức: ܲ = ݕݔ+ ݖݕ+ ݔݖ− 2ݖݕݔ ଵ ଷ Cho ܽ, ܾ, ܿ ∈ ሾ1; 2ሿ Chứng minh rằng: Tìm GTNN của: Đáp số số: ܲ = ଶ ݔẩ݇ ܽݎ ݕℎ݅ = ݖ = ݕ = ݔ 1 ሺܽ + ܾ + ܿሻ ൬ + + ൰ ≤ 10 ܽ ܾ ܿ ܽ ସ ܾସ ܽଶ ܾ ଶ ܽ ܾ ቇ ቆ + − + + + ܾସ ܽସ ܾଶ ܽ ଶ ܾ ܽ Đáp số số: ܶ = −2 ݔẩ݇ ܽݎ ݕℎ݅ ܽ = −ܾ Cho ܽ, ܾ, ܿ ∈ ሾ0; 1ሿ Chứng minh ܾ ܿ ܽ + + + ሺ1 − ܽሻሺ1 − ܾሻሺ1 − ܿሻ ≤ ܾ+ܿ+1 ܿ+ܽ+1 ܽ+ܾ+1 ܶ= SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net 17 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Cho > ݔ0, > ݕ0, > ݔ0 thoả mãn điều kiện ݔ+ ݕ+ ≤ ݖ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ܲ =ݔ+ݕ+ݖ+ ଵ ଶ C Kết luậ luận 1 + + ݖ ݕ ݔ Đáp số số: ܲ = SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net ଷ ଶ ଵହ ଶ ݔẩ݇ ܽݎ ݕℎ݅ = ݖ = ݕ = ݔ 18 [...]... chuyển điều kiện đó theo ẩn t Áp dụng bât đẳng thức Côsi cho 2 số dương y, z ta có SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net 16 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ሺ ݕ+ ݖሻଶ ≥ 4 ⇔ ݖݕሺ4 − ݔሻଶ ≥ ⇔ ݔଷ − 8 ݔଶ + 16 ݔ− 8 ≥ 0 ⇔ ሺ ݔ− 2ሻሺ ݔଶ − 6 ݔ+ ଼ ௫ 4≥0 - ⇔ 3 − √5 ≤ ≤ ݔ2 Xét hàm số ݐሺݔሻ = ݔሺ4 − ݔሻ + ௫ trên... ݕℎ݅ ܽ = −ܾ Cho ܽ, ܾ, ܿ ∈ ሾ0; 1ሿ Chứng minh rằng ܾ ܿ ܽ + + + ሺ1 − ܽሻሺ1 − ܾሻሺ1 − ܿሻ ≤ 1 ܾ+ܿ+1 ܿ+ܽ+1 ܽ+ܾ+1 ܶ= SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net 17 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Cho > ݔ0, > ݕ0, > ݔ0 và thoả mãn điều kiện ݔ+ ݕ+ ≤ ݖ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ܲ =ݔ+ݕ+ݖ+ ଵ ଶ C Kết luậ... này suy nghĩ khám phá hàm số như thế nào? Ta nhìn biểu thức P là hàm một biến a, còn c xem như hằng số ଵ ଶ ଷ Khảo sát hàm biến a là fሺaሻ với 0 < ܽ < suy ra ݂ሺܽሻ ≤ √ଵା మ + మାଵ = ݃ሺܿሻ Tiếp tục khảo sát hàm gሺcሻ với ܿ ∈ ሺ0, +∞ሻ suy ra ݃ሺܿሻ ≤ Vậy: ܵ ≤ ݃ሺܿሻ ≤ ݃ሺܿ ሻ = Lời giả giải: ଵ ଷ Biến đổi giả thiết thành: ܽ + ܿ = ܾ ሺ1 − ܽܿ ሻ > 0 ⇒ ܽ < Thay vào biểu thức P ta được: ܲ= Xét hàm số: Ta có ଵ ݂ ሺ... http://boxtailieu.net 12 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Thí dụ dụ 8: Cho ba số thực dương ܽ, ܾ, ܿ thảo mãn điều kiện: 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 2 3 ܲ= + + ܽ ܾ ܿ ሺĐề ሺĐề thi Olympic Olympic 30/4 – 2004ሻ 2004ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: Với bài này suy nghĩ khám phá hàm số như thế nào? ሺcó thể chuyển... ඥ32 ݕଶ + 14 Đặt: = ݐඥ32 ݕଶ + 14 thì phương trình ݃ᇱ ሺݕሻ = 0 =0 ⇔ ሺ8 ݕଶ − 9ሻඥ32 ݕଶ + 14 − 28 ⇔ ݐଷ − 50 ݐ− 122 = 0 ⇔ = ݐ8 ⇔ = ݕ y g’ሺxሻ gሺxሻ 0 +∞ ହ ସ ହ ସ - 0 + ଵହ ଶ Từ bảng biến thiên suy ra: ݃ሺݕሻ ≥ ݃ ቀ ቁ ହ ସ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net 14 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 5 15 ⇒ ܵ ≥ ݃ሺݕሻ ≥ ݃ ൬ ൰ =... và tổng a + b = 3 – c gợi cho các em nghĩ đến bất đẳng thức nào? - Khi đó ܶ ≥ 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ሺ2ܿ − 3ሻ ቀ - ܽ+ܾ ଶ 3−ܿ ଶ ൰ =൬ ൰ ܾܽ ≤ ൬ 2 2 ଷି ଶ Khảo sát hàm một biến fሺcሻ đi đen kết quả Ta đi đến kết luận ܶ ≥ ݂ ሺܿ ሻ ≥ ݂ ሺ1ሻ = 13 ଶ ቁ = ܿଷ − ܿଶ + ଷ ଶ ଶ ଶ = ݂ሺܿሻ Lời giả giải: Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên ta có thể giả sử: 0 < ܽ ≤ ܾ ≤ ܿ Chu vi bằng 3 nên ܽ + ܾ + ܿ = 3 ⇒ ܽ + ܾ = 3 − ܿ, ݉à ܽ... 3ሻ ≥ ቀ ଷି ଶ ଶ ቁ ሺ2ܿ − 3ሻ ሼݒì ܿ < ⇒ 2ܿ − 3 < 0ሽ ܶ ≥ 3ሺ3 − ܿሻଶ + 3ܿ ଶ + 2ሺ2ܿ − 3ሻ ቀ Xét hàm số: ݂ ሺܿ ሻ = ܿ ଷ − ܿ ଶ + ଷ ଶ ଶ ଶ , ݎݐê݊ ቂ1; ቃ ଷ ଷ ଶ ଷି ଶ ଶ ቁ = ܿଷ − ܿଶ + ଷ ଶ ଶ ଶ = ݂ሺܿሻ ଷ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net 15 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn ⇒ ݂ ᇱ ሺܿ ሻ = 3ܿ ଶ − 3ܿ = 0 ⇔ ܿ = 1 Bảng biến thiên c f’ሺcሻ...KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ܲ= 2008 2008ሻ 08ሻ Hoạ Hoạt độ động khám phá: Gv Thái Văn Duẩn 2 2 3 − + ܽଶ + 1 ܾଶ + 1 ܿଶ + 1 ሺĐề ሺĐề thi GV giỏ giỏi tỉ tỉnh– nh– Từ giả thiết... ݕ+ 3ݖ ܽ ܾ ܿ 2 ݔ+ 8 ݕ+ 21 ≤ ݖ12≥ ݖ ⇒ ݖݕݔ Từ biểu thức S suy ra được: ܵ ≥ ݔ+ 2 ݕ+ 2 ݔ+ 8ݕ 7 ݒà > ݔ 12 ݕݔ− 21 4ݕ 2 ݔ+ 8ݕ = ݂ሺݔሻ 4 ݕݔ− 7 ⇒ ݂ ᇱ ሺ ݔሻ = 1 − 14 − 32 ݕଶ =0 ሺ4 ݕݔ− 7ሻଶ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net 13 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN ⇔ ݔ = ݔ = Bảng biến thiên: x f’ሺxሻ ସ௬... 1ሻ ܿ ݂ ᇱ ሺݔሻ = −2ܿሺ ݔଶ + 2ܿ ݔ− 1ሻ =0 ሺ1 + ݔଶ ሻଶ ሺ1 + ܿ ଶ ሻ ⇔ ݔ = −ܿ + √ܿ ଶ + 1 ∈ ቀ0, ቁ ଵ SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12 http://boxtailieu.net 11 KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Bảng biến thiên: x 0 ଵ ୡ f’ሺxሻ fሺxሻ ݔ + ݂ሺݔሻ ≤ ݂ሺݔ ሻ = ܵ = 2݂ ሺܽ ሻ + Ta có ݃ Bảng biến thiên: c g’ሺcሻ gሺcሻ ᇱ ሺܿሻ = ܿଶ ܿ √1 + ܿ ଶ 2ܿ 3 3 ≤ + ଶ = ݃ሺܿሻ ... PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Gv Thái Văn Duẩn Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa P hàm biến số ta đặt: ݔ = ݐ+ ݕ Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng. .. ta nghĩ đến việc đưa A hàm biến số không?ሺnếu ta đặt: ݔ = ݐଶ + ݕଶ ሻ Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức: ݔଶ + ݕଶ ≥ Lời giả giải: ሺ௫ା௬ሻమ ଶ Theo bất đẳng thức hiển nhiên: ሺ ݔ+... http://boxtailieu.net - KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN fሺtሻ Gv Thái Văn Duẩn ଵ Vậy: GTLN A là: ݂ ଶ ሺ1ሻ = 16 = ݕ = ݔ ଶ khả ảo sát lầ Phương pháp kh lần lượ