MỤC LỤC Nội dung Đặt vấn đề Giải vấn đề 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3.Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp chung 2.3.2 Một số ứng dụng cụ thể 2.3.2.1 Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư vào để học sinh nhớ Trang 2 4 5 kiến thức phương pháp cách hệ thống 2.3.2.2 Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ tránh số sai lầm giải tốn liên quan đến khảo sát 2.3.2.3 Giải pháp 3: Chia tốn thành dạng theo 15 hàm số đưa cách giải dạng 2.4 Hiệu sang kiến Kết luận Tài liệu tham khảo 21 22 23 Đặt vấn đề Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN năm tốn liên quan đến khảo sát khơng thể thiếu học sinh THPT tốn liên quan đến khảo sát tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp giải Trong q trình dạy giải tích lớp 12 tơi thấy học sinh lúng túng giải bài toán liên quan đến khảo sát, đứng trước tốn liên quan đến khảo sát học sinh khơng biết đâu, dùng phương pháp để làm, đặc biệt tốn có tham số bên cạch học sinh mắc số sai lầm mà khơng phát ra, nhầm lẫn giưa kiến thức đồng biến, nghịch biến cực trị Trong thực tế đa số học sinh giải tốn liên quan đến khảo sát cách máy móc Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tơi nhận thấy rõ yếu điểm học sinh tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến “Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ giải tốn liên quan đến khảo sát” Giải vấn đề 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề Trong q trình giảng dạy lớp 12 với chương trình sách giáo khoa với việc tiếp cận với tốn tính tích phân đặc biệt tập sách giáo khoa nhiều học sinh làm đơn giản, học sinh yếu khơng biết xác định phương pháp cho tốn đơn giản Do tơi chia dạng tập với dạng đưa tốn tổng qt từ dễ đến khó phương pháp giải Để đáp ứng việc thay đổi chương trình sách giáo khoa cần thay đổi phương pháp giảng dạy Đặc biệt đổi phương pháp giải tập hay phương pháp giải tốn Ở trường phổ thơng học sinh xem việc giải hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học Trong dạy tốn tập tốn học sử dụng với dụng ý khác nhau, dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động để làm việc với nội dung mới, để củng cố, kiểm tra Ở thời điểm cụ thể tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng chức khác nhau, chức hướng tới chức dạy học Tìm lời giải hay tốn, tức khai thác đặc điểm riêng tốn, điều làm cho học sinh biết quyến rũ sáng tạo niềm vui thắng lợi Khi thực giải tốn cần đảm bảo: lời giải khơng có sai lầm, lập luận phải có xác, lời giải phải đầy đủ ngồi cần lời giải ngắn gọn, đơn giản cách trình bày rõ ràng hợp lý Khi thực giải tốn việc quan trọng phương pháp tìm tòi lời giải trước hết: Tìm hiểu nội dung tốn tức tìm hiểu giả thiết, kết luận, hình vẽ minh hoạ Bài tốn thuộc dạng tốn (chứng minh hay tìm tòi, tính tốn) Những kiến thức cần áp dụng (các định lý, khái niệm, điều kiện tương tương, phương pháp) Xây dựng chương trình giải cần xác định rõ bước tiến hành…… Thực chương trình giải trình bày giải theo bước đặt ý sai lầm thường gặp tính tốn, biến đổi Kiểm tra chương trình giải Trong bài, chương sử dụng đồ tư để tổng hợp kiến thức học sinh dễ nhớ dễ hiểu 2.2 Thực trạng vấn đề Đối với học sinh học liên qua đến khảo sát cảm thấy khó nó có nhiều dạng, mỡi dạng chia làm nhiều dạng nhỏ đặc biệt nó còn liên quan nhiều đến kiến thức cũ dấu tam thức, nhị thức, cách giải phương trình, bất phương trình, tính đạo hàm Nhiều học sinh đứng trước toán khơng biết phải dung để giải Việc phân tích nhận dạng tốn cho học sinh yếu Khi cho học sinh giải tốn cụ thể học sinh lại qn phương pháp ngay, có giải sai khơng biết làm sai 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp chung Đối với đối tượng học sinh trung bình, khá, giỏi cho học sinh tự xây dựng lời giải cho tốn tổng qt sau giải lớp tốn cụ thể nhằm phát triển tư cho học sinh Đối với đối tượng học sinh yếu hướng dẫn học sinh đưa học sinh lời giải tốn tổng qt học sinh áp dụng giải lớp tốn cụ thể Một tốn tổng qt đưa nhiều cách giải cách giải khả áp dụng, trường hợp xảy Trong q trình tìm tòi cách giải, học sinh biết phân tích nhận dạng tìm kiến thức vận dụng Tìm mối quan hệ yếu tố tốn Có thể sử dụng hình vẽ để học sinh quan sát tìm hướng giải Khi tiếp cận với tốn cần cho học sinh hiểu nắm vững nội dung bài, gợi mở cho học sinh tốn quen thuộc có sử dụng phương pháp giải Có thể đặc điểm nhận dạng Có thể ngun nhân để có kết lời giải tốn Thực lời giải, kiểm tra q trình phương pháp vận dụng kiến thức vận dụng Mở rộng tốn có thể, giúp học sinh phát triển tư Ta đưa tốn gốc sau giúp học sinh giải lớp tốn tưng tự với hàm khác Đưa sai lầm hay mắc phải để học sinh nhận biết tránh mắc phải sai lầm Dự nhận định tơi đưa giải pháp sau: Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư vào để học sinh nhớ kiến thức phương pháp cách hệ thống Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ tránh số sai lầm giải tốn lien quan đến khảo sát Giải pháp 3: Chia tích phân thành dạng theo hàm số đưa cách giải dạng 2.3.2 Một số ứng dụng cụ thể 2.3.2.1 Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư vào để học sinh nhớ kiến thức phương pháp cách hệ thống Việc sứ dụng đồ tư qua trình dạy học giúp cho học sinh nhớ kiến thức chương, tồn cấp, một cách dễ dàng Bản đồ tư giúp học sinh học phương pháp học: Việc rèn luyện phương pháp học tập cho học sinh khơng biện pháp nâng cao hiệu dạy học mà mục tiêu dạy học Thực tế cho thấy số học sinh học chăm học kém, mơn tốn, em thường học biết đấy, học phần sau qn phần trước khơng biết liên kết kiến thức với nhau, khơng biết vận dụng kiến thức học trước vào phần sau Phần lớn số học sinh đọc sách nghe giảng lớp khơng biết cách tự ghi chép để lưu thơng tin, lưu kiến thức trọng tâm vào trí nhớ Sử dụng thành thạo đồ tư dạy học học sinh học phương pháp học, tăng tính độc lập, chủ động, sáng tạo phát triển tư Bản đồ tư giúp học sinh học học tập cách tích cực Một số kết nghiên cứu cho thấy não người hiểu sâu, nhớ lâu in đậm mà tự suy nghĩ, tự viết, vẽ theo ngơn ngữ việc sử dụng đồ tư giúp học sinh học tập cách tích cực, huy động tối đa tiềm não Việc học sinh tự vẽ đồ tư có ưu điểm phát huy tối đa tính sáng tạo học sinh, phát triển khiếu hội họa, sở thích học sinh, em tự chọn màu sắc (xanh, đỏ, vàng, tím,…), đường nét (đậm, nhạt, thẳng, cong…), em tự “sáng tác” nên đồ tư thể rõ cách hiểu, cách trình bày kiến thức học sinh đồ tư em tự thiết kế nên em u q, trân trọng “tác phẩm” Trên sở tơi đưa sơ đồ tư váo số tiết dạy cụ thể tơi hay đưa vào dạy tiết ơn tập chương, tập thường u cầu học sinh xây dụng đồ tư kiến thức trước nhà Sau tơi đưa vài ví dụ sơ đồ tư dạy học sinh nắm kiến thức cách đơn giản: Khi bắt đầu dậy chương giáo viên giới thiệu học sinh nội dung kiến thức chương sơ đồ tư Có thể cho học sinh chuan bị trước theo hướng dẫn giáo viên cụ thể chương khào sát hàm số giới thiệu với học sing sơ đồ sau Hướng dẫn học sơ đồ tư giúp học sinh: Sáng tạo Ghi nhớ tốt Có nhìn tổng thể kiến thức *Sau dạy xong , để thực ơn tập tơi thực bước sau: Bước 1: Xây dựng sơ đồ tóm tắt dạng tập phương pháp giải Sau học lý thuyết tơi hướng dẫn học sinh nhà học theo sơ kiến thức dạng tập Làm học sinh có dịp ơn lại kiến thức học tự sáng tạo sơ đồ theo lực khiếu thân Đặc biệt sau học song chương I tơi câu u cầu học sinh viết sơ đồ tốn liên quan đến khảo sát học sinh đưa ý tưởng ( Có bản đính kèm) Nhưng bảng sơ đồ tư Minh họa thự tế giảng dạy tơi u cầu học sinh chia nhỏ kiến thức đưa phương pháp cụ thể Bài tính đơn điệu hàm số Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a0) Tìm m để hàm số thỏa mãn số tính chất sau: Dạng 1: Để hàm số đồng biến R Dạng 2: Để hàm số nghịch biến R Dạng 3: Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến, (nghịch biến) (x1; x2)bằng d ta thực bước sau: -TXĐ: D = R -Tính y’ -Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến): (1) -Biến đổi thành (2) -Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo m -Giải phương trình, đối chiếu điều kiện (1) để chọn nghiệm 2.3.2.2.Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ tránh số sai lầm giải tốnbài tốn liên quan đến khảo sat Phân tích sai lầm thơng qua số ví dụ minh họa a Sai lầm xét tính đơn điệu hàm số Các em thường mắc phải sai lầm khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu hàm số: y = f ( x) = x −1 x +1 Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = ¡ \ { - 1} Ta có: y ' = ( x + 1)2 > 0, ∀x ∈ D Bảng biến thiên: x y' - ¥ +¥ -1 + + +¥ y - ¥ Suy ra: Hàm số đồng biến (- ¥ ;- 1) È (- 1; + ¥ ) Phân tích: Lời giải rồi, ta khơng ý đến kết luận tốn ! Chú ý rằng: hàm số y = f(x) đồng biến tập D với x 1, x2 thuộc D, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Trong kết luận tốn, ta lấy x1 = - Ỵ D x2 = Ỵ D x1 < x2 f(x1) = > - = f(x2) ??? Lời giải là: Tập xác định: D = ¡ \ { - 1} Ta có: y ' = ( x + 1)2 > 0, ∀x ∈ D Bảng biến thiên: x y' - ¥ +¥ -1 + + +¥ y - ¥ Suy ra: Hàm số đồng biến khoảng (- ¥ ; - 1) (- 1; + ¥ ) Nhiều em khơng ý đến điểm tới hạn hàm số, việc xét dấu đạo hàm y' bị sai b Sai lầm chứng minh bất đẳng thức Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm khơng nhớ xác định nghĩa tính đơn điệu hàm số để vận dụng Ví dụ 2: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban bản) Chứng minh rằng: tanx > x, với " x Ỵ ỉ pư ç 0; ÷ ç ÷ ç ÷ è 2ø Một số học sinh trình bày sau: ỉ pư 0; ÷ Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x Ỵ ç ç ÷ ç è 2÷ ø Ta có: f '(x) = - = tan x > , " x Ỵ cos x ỉ pư ç 0; ÷ ç ÷ ç ÷, suy hàm số f(x) đồng biến è 2ø ỉ pư 0; ÷ khoảng ç ç ÷ ç ÷ è ø Từ x > Þ f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - hay tanx > x, với " x Ỵ ỉ pư ç ç0; ÷ ÷ ç è 2÷ ø Phân tích: Lời giải đúng, sai lầm tinh vi (?!) Sau kết luận f(x) đồng biến khoảng ỉ pư ç 0; ÷ Þ f(x) > f(0) ç ÷ ç ÷thì từ x > è 2ø ỉ pư 0; ÷ Sai lầm Ï ç ç ÷ ç è 2÷ ø Nhớ rằng: f(x) đồng biến đoạn [ a; b ] (tức f(x) liên tục [ a; b ] f '(x)> với " x Ỵ ( a; b ) ) với " x1 , x2 Ỵ [ a; b ] , x1 > x Þ f (x1 ) > f (x ) Lời giải là: é pư 0; ÷ Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x Ỵ ê ÷ ÷ ê ë 2ø Ta có: f '(x) = - = tan x ³ , " x Ỵ cos x é pư ê0; ÷ ÷, dấu "=" xảy x = 0, suy ê ø ë 2÷ é pư 0; ÷ hàm số f(x) đồng biến nửa khoảng ê ÷ ê ÷ ø ë Từ x > Þ f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - hay tanx > x, với " x Ỵ ỉ pư ç 0; ÷ ç ÷ ç ÷ è 2ø Ø Các em hay mắc sai lầm vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến c Sai lầm giải tốn liên quan tới đạo hàm Sai lầm vận dụng cơng thức tính đạo hàm Ví dụ 3: Tính đạo hàm hàm số y = (2x+1)x Một số học sinh trình bày sau: Ta có y' = x(2x + 1)x- (2x + 1) ' = 2x.(2x + 1) x- Phân tích: a a- Lời giải vận dụng cơng thức ( u ) ' = a u u ' Vận dụng sai, cơng thức áp dụng cho số mũ a số Lời giải là: Điều kiện: x > - , x ¹ (khi y > 0) Từ y = (2x+1)x Þ ln y = x.ln(2x + 1) Þ (ln y ) ' = ( x.ln(2x + 1)) ' Þ y' 2x = ln(2x + 1) + y 2x + é 2x ù ú Þ y ' = (2x + 1) x êln(2x + 1) + ê 2x + ú ë û Ø Sai lầm tính đạo hàm hàm số điểm a a- Các em hay mắc phải sai lầm dạng áp dụng cơng thức ( u ) ' = a u u ' , a Ỵ ¡ , qn a khơng ngun cơng thức u nhận giá trị dương d Sai lầm giải tốn liên quan tới cực trị hàm số Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu hàm số em qn điều kiện đủ khơng phải điều kiện cần 10 Quy tắc: Ÿ y ' > , " x Ỵ (a; b ) Þ hàm số đồng biến khoảng (a;b) Ÿ y ' < , " x Ỵ (a; b ) Þ hàm số nghịch biến khoảng (a;b) Điều ngược lại nói chung khơng (!) Ví dụ 4: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + x- đồng biến ¡ Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = ¡ ìï a > ïỵ D ' < y ' = 3x2 - 2mx + Hàm số đồng biến ¡ Û y ' > , " x Ỵ ¡ Û ïíï ìï > Û ïí Û ïïỵ m - < 3< m< Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x đồng biến ¡ , y ' = 3x2 ³ , " x Ỵ ¡ , dấu "=" xảy x= (!) Nhớ rằng: hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b), f '(x) ³ , " x Ỵ (a; b) dấu "=" xảy hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) hàm số y = f(x) đồng biến khoảng (a;b) Lời giải là: ìï a > Hàm số đồng biến ¡ Û y ' ³ , " x Ỵ ¡ Û ïíï ïỵ D ' £ > ïì Û ïí Û ïïỵ m - £ 3£ m£ Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị hàm số em qn điều kiện đủ khơng phải điều kiện cần Quy tắc: ìï f '(x ) = Þ x điểm cực tiểu Ÿ ïíï ïỵ f ''(x ) > ìï f '(x ) = Þ x điểm cực đại Ÿ ïíï ïỵ f ''(x ) < Điều ngược lại nói chung khơng (!) Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) = mx Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực đại x = ? 11 Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2 ïì f '(0) = Û Điều kiện để hàm số đạt cực đại x = là: ïíï ïỵ f ''(0) < ïìï 4m.0 = í hệ vơ ïïỵ 12m.0 < nghiệm m Vậy khơng tồn giá trị m để hàm số đạt cực đại x = Phân tích: Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = Û x = Bảng biến thiên: x y' - ¥ +¥ + - y - ¥ - ¥ Suy hàm số đạt cực đại x = (!) Vậy lời giải sai đâu ??? ìï f '( x0 ) = Þ x điểm cực đại hàm số, điều Nhớ rằng, x0 thỏa mãn ïíï ïỵ f ''( x0 ) < ngược lại chưa (!) Vì x0 điểm cực đại f ''(x0) = Lí điều kiện f ''(x 0) < điều kiện đủ để hàm số g(x) = f '(x) nghịch biến lân cận (x0 - h; x0 + h) (với h > 0), đó: ìïï f '(x) > f '(x ) = 0, " x Ỵ (x - h; x ) Þ x điểm cực đại hàm số í ïïỵ f '(x) < f '(x ) = 0, " x Ỵ (x ; x + h) Lời giải là: Cách 1: Ta có y ' = 4mx3 Để hàm số đạt cực đại x = y '(x) > 0, " x Ỵ (- h;0) , với ïìï 4mx3 > Þ h > Tức là: íï h < x < ïỵ m < Thử lại, ta thấy với m < điều kiện cần tìm Cách 2: xét trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0) m = 0: Ta có y = f(x) = hàm nên hàm số khơng có cực trị 12 m > 0: Ta có y ' = 4mx , y ' = Û x = Lập bảng biến thiên ta thấy x0 điểm cực tiểu hàm số m < 0: Ta có y ' = 4mx , y ' = Û x = Lập bảng biến thiên ta thấy x0 điểm cực đại hàm số Kết luận: Hàm số đạt cực đại x = m < e Sai lầm giải tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Các em thường mắc sai lầm khơng nắm vững định nghĩa giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số miền D Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = f(x) = cos x + + cos x ỉ ÷ 2ç cosx + - ç ÷ ç ÷ è cosx ø Một số học sinh trình bày sau: Đặt t = cosx + 1 Þ cos x + = t2 - cosx cos x Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - = (t+1)2 - ³ - 4, " t Ỵ ¡ Vậy f (x) =- , t = - Phân tích: Sai lầm chuyển tốn khơng tương đương Giá trị nhỏ hàm f(x) khơng trùng với giá trị nhỏ hàm g(t), " t Ỵ ¡ Có thể thấy t = - khơng tồn giá trị x để cosx + = - (!) cosx  f ( x) ≥ m , ∀x ∈ D ∃x ∈ D : f ( x ) = m f ( x) ⇔  Nhớ rằng, số m = D Lời giải là: Đặt t = cosx + , với cosx ìp ü 1 x Ỵ D = ¡ \ ïí + kp , k Ỵ ¢ ïý Þ t = cosx + = cosx + ³ Dấu "=" xảy ïỵï ïïþ cosx cosx cosx = Khi đó: cos x + = t2 - 2 cos x Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với t ³ ): t - ¥ -2 -1 13 +¥ g '(t) - - + + +¥ +¥ g(t) -3 g(t) = - f (x) = Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: m = t ≥2 D Đạt t = - Û cosx + =- cosx Û cosx =- Û x = p + k 2p , k Ỵ ¢ g Sai lầm viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Ví dụ 7: Cho hàm số y = f(x) = - x + 3x2, có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;4) y Một số học sinh trình bày sau: A h (x) = 4 f '(x) = - 3x + 6x Ta có điểm A(-1;4) Ỵ đồ thị (C) suy phương trình tiếp tuyến là: x y = f '(-1).(x+1)+4 Û y = - 9(x + 1) + Û y = - 9x - Phân tích: O -1 q (x) = -9⋅x-5 f(x) = -x3 +3 ⋅x2 Phương trình tiếp tuyến y = - 9x - tiếp tuyến A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên kẻ từ A Nhưng có -5 tiếp tuyến đồ thị (C) qua A mà khơng nhận A làm tiếp điểm Lời giải là: Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(-1;4) có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm: ìï - x3 + 3x = k (x + 1) + ï í (I) ïï k = x + x ỵ ìï x3 - 3x - = éx = 2, k = Û Û ê Hệ (I) ïíï ê ëx = - 1, k = - ïỵ k = - 3x + 6x 14 Từ ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = y = - 9x - 2.3.2.3 Giải pháp 3: Chia tốn thành dạng theo hàm số đưa cách giải dạng Bài toán : Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) Tìm m để hàm số thỏa mãn số tính chất sau: a > Dạng 1: Để hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ≤  y' a < Dạng 2: Để hàm số nghịch biến R y ' ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ≤  y' Dạng 3: Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến, (nghịch biến) (x 1; x2)bằng d ta thực bước sau: - TXĐ: D = R - Tính y’ a ≠ - Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến): ∆ >  (1) - Biến đổi x1 − x2 = d thành ( x1 + x2 )2 − x1x2 = d (2) - Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo m - Giải phương trình, đối chiếu điều kiện (1) để chọn nghiệm Dạng 4: Để hàm số có cực trị (Cực đại, cực tiểu) ⇔ y ' = có nghiệm a ≠ phân biệt ⇔ ∆ >  y' Dạng 5: Để hàm số khơng có cực trị (Cực đại, cực tiểu) ⇔ y ' = có nghiệm kép vơ nghiệm a ≠ ⇔ ∆ y ' ≤ Lưu Ý: Hàm số ln có cực trị ⇔ phương trình y’ = ln có nghiệm phân biệt ∀m ⇔ ∆ y ' > 0, ∀m  f '( A) =  f "( A) < Dạng 6: Để hàm số đạt cực đại x = A ⇔  15  f '( B) =  f "( B) > Dạng 7: Để hàm số đạt cực tiểu x = B ⇔   f '( x0 ) =  f ( x0 ) = h Dạng 8: Để hàm số đạt cực trị h x = x0 ⇔   f '( x0 ) =  f ( x0 ) = y0 Dạng 9: Để hàm số qua điểm cực trị M( x0 ; y0 ) ⇔  Dạng 10: Để hàm số có cực trị nằm phía đường thẳng (d): Phương pháp: Hiển nhiên y’ = có nghiệm phân biệt x 1; x2, điểm cực trị M1 (x1; y1 )& M (x ; y ) Nếu (d) trục Oy ycbt ⇔ x1 < < x 2 Nếu (d) đường thẳng x = k ycbt ⇔ x1 < k < x2 Nếu (d) đường thẳng ax + by + c = ycbt ⇔ (ax1 + by1 + c)(ax + by + c) < 4/ Nếu đường tròn (C) tương tự trường hợp Dạng 11: Để hàm số có cực trị nằm phía đường thẳng (d): Phương pháp: Hiển nhiên y’ = có nghiệm phân biệt x 1; x2, điểm cực trị M1 (x1; y1 )& M (x ; y )  x1 < x < Nếu (d) trục Oy ycbt ⇔   < x1 < x  x1 < x < k Nếu (d) đường thẳng x = k ycbt ⇔   k < x1 < x Nếu (d) đường thẳng ax + by + c = ycbt ⇔ (ax1 + by1 + c)(ax + by + c) > Nếu đường tròn (C) tương tự trường hợp Dạng 12: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số, ta thực bước sau: - TXĐ: D = ¡ - Đạo hàm: y’ = f’(x); y’ = (*) a ≠ ∆ > - Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ Pt(*) có hai nghiệm phân biệt ⇔  (**) - Khi đó, tọa độ điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số thỏa mãn hệ: 16  f '( x ) = ⇒ y = Ax + B   y = f '( x ).g ( x ) + Ax + B Tức là, tọa độ điểm cực đại, cực tiểu thỏa mãn phương trình y = Ax + B - Vậy đối chiếu điều kiện (**) phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số có dạng y = Ax + B Dạng 13: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số, ta thực bước sau:  b'   a'  - TXĐ: D = ¡ \ −  - Đạo hàm: y’ = f’(x); y’ = ⇔ g ( x) = Ax + Bx + C = (*) b' - Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ Pt(*) có hai nghiệm phân biệt khác − a'  A ≠  ⇔ ∆ > (**)  b'  g (− ) ≠ a'  - Khi đó, tọa độ điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số thỏa mãn hệ:  ax + bx + c '  f '( x) =  ÷=0 (ax + bx + c)' 2ax + b   a ' x + b '   ⇒y= = (ax + bx + c ) ⇔   y = ( a ' x + b ')' a'   ax + bx + c ( a ' x + b ')   y = a ' x + b ' Tức là, tọa độ điểm cực đại, cực tiểu thỏa mãn phương trình y= 2ax + b a' - Vậy đối chiếu điều kiện (**) phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số có dạng y = 2ax + b a' Dạng 14: Để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng (d): y = mx + n, (m ≠ 0) Phương pháp: - Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu (1) - Lập phương trình đường thẳng (∆) qua điểm cực trị - Gọi I(x I ; y I ) trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị 17 -  Đk (1)  ycbt ⇔ (d) ⊥ ( ∆) ⇒ kết I ∈ (d)  Hướng dẫn hoc sinh hệ thống bảng Một số dạng tập cực trị thường gặp Để hàm số y = f(x) có cực trị: Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía trục hồnh:  a ≠ ⇔  ∆ y ' > a ≠  ⇔ ∆ y ' >   yCĐ yCT < (Hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu) Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm 1phía trục hồnh: Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía trục hồnh: Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía trục hồnh: Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía trục a ≠  ⇔ ∆ y ' >   yCĐ yCT > a ≠ ∆ >  y' ⇔  yCĐ + yCT >  y y >  CĐ CT a ≠ ∆ >  y' ⇔  yCĐ + yCT >  y y <  CĐ CT a ≠  ⇔ ∆ y ' >   xCĐ xCT < tung: Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía trục tung: 18 a ≠  ⇔ ∆ y ' >   xCĐ xCT > Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm bên phải trục tung: a ≠ ∆ >  y' ⇔  xCĐ xCT > x + x > CT  CĐ Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm bên trái trục tung: a ≠ ∆ >  y' ⇔  xCĐ xCT > x + x < CT  CĐ 10 Để hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc với trục hồnh: ⇔ yCĐ yCT = Bài toán Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) PTTT M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) có dạng: y = f '( x0 )( x −x0 ) + y0 *Dạng 1: Tiếp tuyến thường gặp: PTTT (C) điểm có hồnh độ x0:  y = f(x ) ⇒ PTTT cần tìm : y = f '(x )(x − x ) + y Ta tìm:  f '(x )   PTTT (C) điểm có hồnh độ y0: Ta tìm: x cách Gpt :f(x ) = y ⇒ PTTT cần tìm : y = f '(x )(x − x ) + y  ⇒ f '(x )  PTTT (C) cho biết hệ số góc k: Ta tìm:  x cách Gpt :f '(x ) = k ⇒ PTTT cần tìm : y = f '(x )(x − x ) + y  ⇒ y = f(x )  0  PTTT (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b: Ta tìm: x cách Gpt :f '(x ) = a ⇒ PTTT cần tìm : y = f '(x )(x − x ) + y  ⇒ y = f(x )  0 19 PTTT (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b: Ta tìm:  x cách Gpt : a.f '(x ) = −1 ⇒ PTTT cần tìm : y = f '(x )(x − x ) + y  ⇒ y = f(x )  0  PTTT (C) điểm thỏa mãn phương trình f”(x) = 0: Ta tìm: x cách Gpt : f ''(x ) =  ⇒ PTTT cần tìm : y = f '(x )(x − x ) + y ⇒ y = f(x ) ⇒ f '(x )  * Dạng 2: Sự tiếp xúc hai đường cong có phương trình: (C) y = f(x) (C’) y = g(x)  f(x) = g(x) Phương pháp: (C) tiếp xúc (C’) ⇔  có nghiệm, nghiệm hệ  f '(x) = g'(x) phương trình hồnh độ tiếp điểm hai đường cong * Dạng 3: Tìm A, để từ A kẻ n tiếp tuyến tới đồ thị y = f(x) (C) Phương pháp: - Giả sử A(x0; y0) - Phương trình đường thẳng qua A(x0; y0) có hệ số góc k có dạng (d): y = k(x-x0) + y0 f(x) = k(x − x ) + y (1) - Đường thẳng (d) tiếp xúc (C) ⇔  có nghiệm (2) f '(x) = k - Thay (2) vào (1) ta được: f(x) = f’(x)(x - x0) + y0 (3) ⇒ Số nghiệm phương trình (3) số tiếp tuyến kẻ từ A tới (C) Vậy để từ A kẻ n tiếp tuyến tới đồ thị (C) ⇔ (3) có n nghiệm phân biệt ⇒ điểm A(nếu có) * Dạng 4: Viết PTTT đồ thị hàm số y = f(x) (C) qua điểm A(x0; y0) Phương pháp: 20 - Gọi phương trình đường thẳng qua A(x0; y0) có hệ số góc k có dạng (d): y = k(x-x0) + y0 f(x) = k(x − x ) + y (1) - Để đường thẳng (d) tiếp tuyến (C) ⇔  có (2) f '(x) = k nghiệm - Thay (2) vào (1) ta được: f(x) = f’(x)(x - x0) + y0 (3)  y = f(x ) - Giải (3) tìm x ⇒  , ta tìm tiếp tuyến k = f '(x )   2.4 Hiệu sang kiến Kết kháo sát lớp 12A1 12A3 năm học 2013-2014 chưa áp dụng giải pháp tơi nghiên cứu kiểm tra có kết sau Lớp Số lượng Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 12A1 27 0 18,5 33,4 29,6 18,5 12A3 27 0 14,8 10 37 33,4 14,8 Sau dó tơi bắt đầu nghiên cứu đưa vào áp dụng kết sau: Đựơc phân tích kỹ, chi tiết cho đối tượng học sinh qua tiết ơn tập, tăng tiết Kết kiểm tra tiết chương I đối tượng lớp 12A3 (27 học sinh) ; 12A1 (27học sinh) sau Lớp Số lượng Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 12A1 27 18,5 22,2 14 51,9 7.4 0 12A3 27 11,2 10 37 44,4 7.4 0 12 Nhận thấy kết số học sinh khá, giỏi tăng lên nhiều số học sinh đạt điểm yếu, giảm rõ rệt so với năm học trước mà hai lớp có học lực ngang Hy vọng em có nhiều thành cơng kỳ thi tới Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú đặc biệt giải tốn tích phân em tính tích phân thận trọng hiểu 21 chất vấn đề khơng tính rập khn cách máy móc trước, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Kết luận Từ kinh nghiệm thực tế giảng dạy áp dụng thử nghiệm thí hầu hết học sinh làm cách đơn giản Qua kết dạy học sinh tốn phức tạp giáo viên cần hướng dẫn học từ tốn đơn giản gần gũi với xét hướng dẫn từ học sinh tìm cách giải cho tốn phức tạp Để tạo khả tư nhóm học sinh tơi đưa tốn tổng qt cho học hoạt động nhóm tìm hướng giải, nêu cách giải khác nhau, so sánh tính ưu việt cách giải Đối với đối tượng học sinh trung bình, khá, giỏi cho học sinh tự xây dựng lời giải cho tốn tổng qt sau giải lớp tốn cụ thể nhằm phát triển tư cho học sinh Đối với đối tượng học sinh yếu hướng dẫn học sinh đưa học sinh lời giải tốn tổng qt học sinh áp dụng giải lớp tốn cụ thể Tơi đưa vài giải pháp mang tính chất khả thi hiệu Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư vào để học sinh nhớ kiến thức phương pháp cách hệ thống Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ tránh số sai lầm giải tốn lien quan đến khảo sát Giải pháp 3: Chia tích phân thành dạng theo hàm số đưa cách giải dạng Trên vài kinh nghiệm mà tơi tâm đắc qua giảng dạy thực tế có nhiều tác dụng tơi tiếp tục năm học Tơi mong đóng góp ý kiến để đề tài tơi hồn chỉnh hơn, xin chân thành cảm ơn Tài liệu tham khảo Giải tích nâng cao 12 – Nhà xuất Giáo dục Bài tập giải tích nâng cao 12 – Nhà xuất Giáo dục Sách giáo viên giải tích nâng cao 12 – Nhà xuất Giáo dục 22 Giải tích 12 – Nhà xuất Giáo dục Bài tập Giải tích 12 – Nhà xuất Giáo dục Sách giáo viên Giải tích 12 – Nhà xuất Giáo dục Những vấn đề chung đổi giáo dục phổ thơng – Mơn Tốn - Nhà xuất Giáo dục 23 [...]... dụng giải lớp các bài tốn cụ thể Tơi đưa ra một vài giải pháp mang tính chất khả thi và hiệu quả Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư duy vào để học sinh nhớ kiến thức cơ bản và phương pháp một cách hệ thống Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ năng tránh một số sai lầm khi giải tốn lien quan đến khảo sát Giải pháp 3: Chia tích phân thành các dạng theo hàm số và đưa ra cách giải đối với từng dạng Trên đây là một vài... cho học hoạt động nhóm tìm ra hướng giải, và nêu các cách giải khác nhau, so sánh tính ưu việt của các cách giải đó Đối với đối tượng học sinh trung bình, khá, giỏi cho học sinh tự xây dựng lời giải cho bài tốn tổng qt sau đó đi giải một lớp các bài tốn cụ thể nhằm phát triển tư duy cho học sinh Đối với đối tượng học sinh yếu hướng dẫn học sinh và đưa học sinh lời giải của bài tốn tổng qt học sinh. .. sáng tạo của học sinh 3 Kết luận Từ kinh nghiệm thực tế giảng dạy và áp dụng thử nghiệm thí hầu hết học sinh làm một cách đơn giản Qua kết quả đó khi dạy học sinh những bài tốn phức tạp mỗi giáo viên cần hướng dẫn học từ những bài tốn đơn giản gần gũi với bài đang xét và hướng dẫn từ đó học sinh tìm ra cách giải cho bài tốn phức tạp Để tạo khả năng tư duy của một nhóm học sinh tơi đưa ra các bài tốn tổng... - 9x - 5 2.3.2.3 Giải pháp 3: Chia bài tốn thành các dạng theo hàm số và đưa ra cách giải đối với từng dạng Bài toán 1 : Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) Tìm m để hàm số thỏa mãn một số tính chất sau: a > 0 Dạng 1: Để hàm số đồng biến trên R thì y ' ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ≤ 0  y' a < 0 Dạng 2: Để hàm số nghịch biến trên R thì y ' ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ≤ 0  y' Dạng 3: Để hàm số có độ dài khoảng... cực trị thường gặp 1 Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị: 2 Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hồnh:  a ≠ 0 ⇔  ∆ y ' > 0 a ≠ 0  ⇔ ∆ y ' > 0   yCĐ yCT < 0 (Hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu) 3 Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 1phía đối với trục hồnh: 4 Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía trên trục hồnh: 5 Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía... phân tích kỹ, chi tiết cho các đối tượng học sinh qua các tiết ơn tập, tăng tiết Kết quả bài kiểm tra 1 tiết chương I trên các đối tượng lớp 12A3 (27 học sinh) ; 12A1 (2 7học sinh) như sau Lớp Số lượng Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 12A1 27 5 18,5 6 22,2 14 51,9 2 7.4 0 0 12A3 27 3 11,2 10 37 44,4 2 7.4 0 0 12 Nhận thấy kết quả số học sinh khá, giỏi tăng lên nhiều và số học sinh đạt điểm... điểm cực tiểu của hàm số m < 0: Ta có y ' = 4mx 3 , y ' = 0 Û x = 0 Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm cực đại của hàm số Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi và chỉ khi m < 0 e Sai lầm khi giải bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số Các em thường mắc sai lầm khi khơng nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D Ví dụ... tắc: Ÿ y ' > 0 , " x Ỵ (a; b ) Þ hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) Ÿ y ' < 0 , " x Ỵ (a; b ) Þ hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) Điều ngược lại nói chung là khơng đúng (!) Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + x- 1 đồng biến trên ¡ Một số học sinh trình bày như sau: Tập xác định: D = ¡ ìï a > 0 ïỵ D ' < 0 y ' = 3x2 - 2mx + 1 Hàm số đồng biến trên ¡ Û y ' > 0 ,... a' Dạng 14: Để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = mx + n, (m ≠ 0) Phương pháp: - Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu (1) - Lập phương trình đường thẳng (∆) đi qua 2 điểm cực trị - Gọi I(x I ; y I ) là trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị 17 -  Đk (1)  ycbt ⇔ (d) ⊥ ( ∆) ⇒ kết quả I ∈ (d)  Hướng dẫn hoc sinh hệ thống bằng bảng Một số dạng bài tập về cực trị... nhất của hàm số y = f(x) = cos x + 1 + cos 2 x ỉ 1 ư ÷ 2ç cosx + - 1 ç ÷ ç ÷ è cosx ø Một số học sinh trình bày như sau: Đặt t = cosx + 1 1 Þ cos 2 x + = t2 - 2 cosx cos 2 x Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 ³ - 4, " t Ỵ ¡ Vậy min f (x) =- 4 , khi t = - 1 Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài tốn khơng tương đương Giá trị nhỏ nhất của hàm f(x) khơng trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g(t), ... đưa giải pháp sau: Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư vào để học sinh nhớ kiến thức phương pháp cách hệ thống Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ tránh số sai lầm giải tốn lien quan đến khảo sát Giải pháp. .. dạy nhiều năm tơi nhận thấy rõ yếu điểm học sinh tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ giải tốn liên quan đến khảo sát Giải vấn đề 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề Trong... phương pháp cách hệ thống Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ tránh số sai lầm giải tốn lien quan đến khảo sát Giải pháp 3: Chia tích phân thành dạng theo hàm số đưa cách giải dạng Trên vài kinh nghiệm