MỞ ĐẦU Toán học môn khoa học bản, trang bị cho học sinh kiến thức, kỹ phương pháp tư Là môn thuộc khối khoa học tự nhiên, học tốt Toán học giúp em có tiền đề tốt để em tiếp cận học tốt môn Vật lý, Hóa học, Sinh học Việc trang bị cho em vốn kiến thức vững vàng môn Toán đòi hỏi tất yếu - giáo viên tổ Toán trường THPT Yên Khánh A Vì vậy, nhằm tạo cho học sinh vốn kiến thức với mục đích hình thành kỹ phân tích, tổng hợp, phát triển lực trí tuệ, sáng tạo lao động, phát triển người nhằm đáp ứng yêu cầu đòi hỏi xã hội mục tiêu Trong Toán học, môn hình học nghiên cứu hình tạo thành từ đường tròn, đường thẳng, cung tròn, elip, tam giác đường giao chúng tạo nên góc khác đời từ sớm Việc giúp em học tốt hình học phát triển trí tưởng tượng phong phú, tư trực quan sinh động, em trưởng thành sống hình học gắn liền với thực tế Giáo dục có nhiều đổi mới, đổi cách quản lý, đổi hình thức thi nội dung đề thi Đối với môn Toán, đề thi minh họa kỳ thi THPT quốc gia nay, theo cấu trúc Bộ giáo dục đào tạo, toán tọa độ mặt phẳng xuất câu hỏi khó Để giải toán này, em học sinh cần nắm vững số tính chất hình học phẳng đó, điều làm cho em cảm thấy lúng túng, thấy khó nên thi thường bỏ Với thực trạng học sinh trường THPT Yên Khánh A, đa phần em có lực học từ trở lên, điểm tuyển vào trường đứng tốp đầu trường THPT tỉnh Vì vậy, với vai trò giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán, băn khoăn, trăn trở: Làm để em không thấy khó, không thấy ngại gặp câu hỏi đề thi, làm để tạo cho em tâm lý nhẹ nhàng thoải mái trước bước vào kỳ thi THPT quốc gia chung? Chúng thảo luận xin trình bày sáng kiến giảng dạy với đề tài: “Cải tiến dạy chuyên đề hình học mặt phẳng tọa độ phương pháp sử dụng tính chất hình học phẳng” NỘI DUNG A GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM Trước đây, dạy em học sinh toán hình học mặt phẳng tọa độ, thường dạy sau: Cung cấp lý thuyết: Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình đường elip, công thức tính góc, khoảng cách Nhấn mạnh việc tìm tọa độ điểm theo hướng: Gọi M (x; y) Căn vào giả thiết, thiết lập hệ hai ẩn hai phương trình Giải tìm nghiệm (x; y) Từ suy tọa độ M ur r Nhấn mạnh việc tìm tọa độ vec tơ theo hướng: Gọi u (a;b) ≠ Căn vào giả thiết, lập phương trình theo hai tham số a, b Giải tìm mối quan hệ a b Sau chọn a suy b ngược lại Sau cho tập tổng hợp áp dụng, phân dạng Vì mà thấy có nhiều hạn chế Đó là: Học sinh lúng túng không phân biệt rõ việc tìm tọa độ điểm với việc tìm tọa độ vec tơ Đôi việc tham số hóa tọa độ điểm M dẫn đến việc giải hệ cồng kềnh phức tạp Học sinh qui lạ quen Khi đứng trước toán em thường có cảm giác khó, ngại nên thường bỏ Học sinh xây dựng hệ thống tập từ tập cho Học sinh không định hướng lời giải chưa có hệ thống tập phân theo dạng B GIẢI PHÁP MỚI CẢI TIẾN Để khắc phục hạn chế em học sinh, tìm tòi, thảo luận qua năm đứng lớp, nhằm giúp em tiếp cận toán hình học mặt phẳng tọa độ theo phương thức đề thi Chúng cải tiến phương pháp giảng dạy Thay dạy theo phương pháp truyền thống trước (đã nêu trên), đổi sau: Vẫn cung cấp hệ thống lý thuyết có liên quan Trang bị thêm lý thuyết phép dời hình Trang bị cho em số tính chất hình học phẳng thông qua số ví dụ vận dụng là: Chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc 2 Thay tham số hóa tọa độ điểm M trước Chúng hướng dẫn thêm cho học sinh: Tìm đối tượng chứa điểm M thông qua tương giao hai đường thẳng, hai đường tròn đường thẳng đường tròn Hệ thống tập cung cấp phân theo dạng, có ví dụ minh họa theo dạng hệ thống tập vận dụng dạng Giúp hướng dẫn em xây dựng tập tọa độ từ tính chất toán hình học phẳng thông thường Bằng hướng cải tiến nêu trên, nhận thấy có ưu điểm sau: Học sinh củng cố kiến thức hình học phẳng Rèn luyện cho em kỹ phân tích, tổng hợp Biết nhìn toán theo hai chiều xuôi ngược Rèn cho em kỹ sáng tạo toán Khi em chủ nhân đề toán mới, em chủ động không thấy khó đứng trước lớp tập dạng 4.Học sinh nhìn nhận toán tìm tọa độ điểm trở nên đơn giản 5.Hệ thống tập phân theo dạng, giúp em định hướng tốt phương pháp đứng trước đề toán xác định rõ mục tiêu dạng C PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH I MỘT SỐ VÍ DỤ MỞ ĐẦU Bài toán hình học tọa độ mặt phẳng thường xuyên xuất đề thi Đại học, Cao đẳng năm gần với mức độ tương đối khó Vì vậy, để giải dạng toán này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm hiểu chất xây dựng phương pháp tư giải toán đặc trưng Cụ thể, hình thành phương pháp tư giải toán cho em, là: “ Phân tích chất hình học phẳng toán hình học tọa độ tương ứng” Bước đầu, giúp em làm quen với phương pháp này, thường xuất phát từ toán hình học phẳng đơn Sau đó, gắn mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, sáng tạo cho em toán hình học tọa độ Yêu cầu học sinh tìm lời giải cho toán theo bước sau: • Bước 1: Vẽ hình biểu thị cho toán Trên sở kiện yêu cầu toán, phân tích yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán • Bước 2: Lập sơ đồ bước giải • Bước 3: Trình bày lời giải toán theo sơ đồ bước Rõ ràng làm vậy, em chứng minh tính chất hình học phẳng em giải toán hình học tọa độ trở nên đơn giản Xét số ví dụ minh họa sau: µ = 450 Vẽ ♦ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T) có A đường cao BB’ CC’ Gọi T’ điểm đối xứng T qua B’C’ Chứng minh tứ giác AB’T’C’ nội tiếp đường tròn Lời giải: · · Ta có BTC = 2BAC = 900 ⇒ T, B’, C’ nhìn BC góc 900 ⇒ điểm T, B’, C’, B, C thuộc đường tròn đường kính BC · · Ta có tứ giác BC’TB’ nội tiếp nên C'TB'=180 - C'BB'=1800 - 450 =1350 · · Theo tính chất đối xứng ta có C'T'B'= C'TB' =1350 · · Xét tứ giác AB’T’C’ có B'T'C' + B'AC' =1350 + 450 =1800 Vậy tứ giác AB’T’C’ nội tiếp đường tròn * Nhận xét: Như sau hướng dẫn học sinh chứng minh xong ví dụ 1, giáo viên làm thao tác ngược: Gắn mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, chọn trước tọa độ µ = 450 Chẳng hạn A(2; 2), B(0; 0), điểm A, B, C cho tam giác ABC thỏa mãn A C(2; -1) Sau lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta đường tròn (T): x + y -3x - y = Và tìm tọa độ B’, C’ hình chiếu B, 1 2 C cạnh AC, AB, ta B’(2; 0) C'( ; ) Kết đời tập sau: µ = 450 , nội tiếp Bài 1.1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1 2 đường tròn (T): x + y -3x - y = Biết B’(2; 0) C'( ; ) hình chiếu B, C cạnh AC, AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC * Nhận xét: Rõ ràng cung cấp tập cho học sinh sau em tiếp cận đưa lời giải ví dụ với số em có lực học trung bình theo hướng giải ví dụ nêu đưa sơ đồ lời giải 1.1 sau: Cách 1: • Gọi T tâm đường tròn (T) Gọi T’ đối xứng với T qua BC Tìm tọa độ điểm T’ • Chứng minh tứ giác AB’T’C’ nội tiếp (Nội dung ví dụ 1) • Lập phương trình đường tròn (T’): Qua T’, B’, C’ • Khi tọa độ A cần tìm giao điểm hai đường tròn (T) (T’) Từ dễ dàng tìm tọa độ B C Tuy nhiên số em có học lực khá, giỏi, nắm vững tính chất hình học phẳng, em đưa sơ đồ lời giải đa dạng sau: Cách 2: · • Chứng minh BTC = 900 Khi điểm B, C, B’, C’, T thuộc đường tròn (K) • Lập phương trình đường tròn (K): Qua T, B’, C’ • Khi tọa độ B, C cần tìm giao điểm đường tròn (T) (K) Với tọa độ B, C tìm ta dễ dàng tìm tọa độ điểm A Cách 3: • Gọi M trung điểm AB Do tam giác AB’B vuông cân ⇒ B'M ⊥ AB Do B’M qua tâm T • Lập phương trình AB qua C’, vuông góc với TB’ • Lập phương trình AC qua B’, vuông góc với TC’ • Từ tìm tọa độ điểm A giao điểm AC AB Tọa độ B giao AB đường tròn (T) Tọa độ C giao điểm AC đường tròn (T) Cách 4: • Chứng minh tam giác BTC vuông cân • Sử dụng biểu thức tọa độ phép quay Sau lời giải hoàn chỉnh (Trình bày theo sơ đồ lời giải cách 3) Lời giải: A M I B' C' B C Ta có tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T), tâm I ( ; ) 2 Gọi M trung điểm AB ta có IM ⊥ AB (1) µ = 450 ⇒ tam giác BB’A vuông Lại có tam giác BB’A vuông B’ có A cân B’ ⇒ B'M ⊥ AB (2) Từ (1) (2) ⇒ M, I, B’ thẳng hàng Đường thẳng AB qua C’, vuông góc với IB’ có phương trình: x – y = Tương tự AC qua B’, vuông góc với IC’ có phương trình: x – = x − = x = ⇔ ⇒ A(2; 2) x − y = y = Khi tọa độ A thỏa mãn hệ  x − y = x = y x = y = ⇔ ⇔   x = y = ⇒ B(0;0) 2 x + y − 3x − y = x − 2x =    Tọa độ B thỏa mãn hệ  x = x − = x =  ⇔ ⇔   y = −1 ⇒ C (2; −1) Tọa độ C thỏa mãn hệ  2  x + y − 3x − y = y − y − =  x = y = Vậy A(2; 2), B(0; 0), C(2; –1) * Nhận xét: Rõ ràng, qua ví dụ trên, giáo viên củng cố, ôn tập giúp học sinh tái nhiều kiến thức hình học phẳng Các em cảm thấy hứng thú học tập Bài toán hình học tọa độ giải phương pháp sử dụng tính chất hình học phẳng không khó Nhằm giúp em phát triển phong phú tư duy, sáng tạo giáo viên yêu cầu học sinh chọn cho tọa độ A, B, C thích hợp tự tạo cho tập tương tự 1.1 Cụ thể, xuất phát từ đề 1.1: • Nếu sử dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy r theo vec tơ v (1;1) Ta có: µ = 450 , nội tiếp Bài 1.2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A 3 2 đường tròn (T): x + y -5x -3y + = Biết B’(3; 1) C'( ; ) hình chiếu B, C cạnh AC, AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC • Nếu sử dụng biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm I(1; 1) Ta có µ = 450 , nội tiếp Bài 1.3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A 3 2 đường tròn (T): x + y - x -3y - = Biết B’(0; 2) C'( ; ) hình chiếu B, C cạnh AC, AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC • Nếu sử dụng biểu thức tọa độ phép đối xứng trục qua (d): x – y = Ta có: µ = 450 , nội tiếp Bài 1.4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1 2 đường tròn (T): x + y - x -3y = Biết B’(2; 0) C'( ; ) hình chiếu B, C cạnh AC, AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC • Nếu sử dụng biểu thức tọa độ phép quay tâm O, góc quay 900 Ta có: µ = 450 , nội tiếp Bài 1.5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A -1 2 đường tròn (T): x + y + x -3y = Biết B’(0; 2) C'( ; ) hình chiếu B, C cạnh AC, AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC ♦ Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, gọi E D giao điểm tia phân giác hai góc B C Đường thẳng ED cắt cung nhỏ BC M Chứng minh: a Tứ giác BECD nội tiếp đường tròn b Các tam giác MBE tam giác MBD cân M, suy M trung điểm ED Lời giải: · · a Tứ giác BECD nội tiếp đường tròn có EBD + ECD = 1800 · · · · b Xét tam giác BEA, có BEM góc nên BEM = BAE + ABE · · · · · · · · · · Lại có: EBM = EBC + ·CBD Mà BAE = EAC; ABE = EBC; MBC = MAC nên BEM = EBM · · Vậy tam giác MBE cân M Khi từ tam giác vuông EBD có MBD nên = MDB tam giác MBD cân M Từ hai tam giác cân MBE MBD, ta có ME = MB = MD Vậy M trung điểm ED * Nhận xét: Bằng cách sử dụng tính chất hình học phẳng nội dung ví dụ 2, tính chất M trung điểm ED, với hướng phân tích tương tự ví dụ 1, giáo viên cung cấp: Bài 2.1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1;1), tâm µ D (7; 7) Tìm tọa đường tròn ngoại tiếp I ( ;3) , tâm đường tròn bàng tiếp góc A độ đỉnh B C Lời giải: 5 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I ( ;3) , bán kính R = AI = , có phương 5 25  (C) trình  x − ÷ + ( y − 3) = 2  Đường thẳng AD qua A, qua D có phương trình: x – y = (d) Khi đường thẳng (d) cắt đường tròn (C) M Tọa độ M thỏa mãn hệ  5 25 x = y = (C) 9  x − ÷ + ( y − 3) = ⇔ ⇒ M( ; ) 2  x = y = 2  x − y = (d)   Theo kết ví dụ 2, ta chứng minh MB = MC = MD 9 Vậy B, C thuộc đường tròn (T) có tâm M ( ; ) , bán kính MD = có phương trình 2 2 9  9 25  (T) x − ÷ +y− ÷ = 2  2  Khi tọa độ B, C thỏa mãn hệ x =  5 25 (C)   x − ÷ + ( y − 3) = 2   y = ⇔  2 x = 9  9 25   x − + y − = (T) ÷  ÷  2  2   y =  Vậy B(1; 5) C(4; 1) ngược lại ♦ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có góc nhọn, đường cao AH Gọi M, N điểm đối xứng H qua AB, AC a Chứng minh tứ giác AMBH nội tiếp đường tròn b Gọi giao điểm MN với AB AC E F Chứng minh điểm E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMBH c Chứng minh ba đường AH, BE, CF đồng qui Lời giải: · · a Ta có ∆AMB = ∆AHB(c.c.c) ⇒ AMB = AHB = 900 · · Do tứ giác AMBH nội tiếp đường tròn có AMB + AHB = 1800 b Ta có MA = NA (vì AH), nên tam giác AMN cân A · · · · · · ⇒ AMN = ANM ⇒ ∆AEH = ∆AEN(c.c.c) ⇒ AHE = ANE ⇒ AME = AHE ⇒ M, H nhìn AE góc không đổi nên tứ giác AMHE nội tiếp đường tròn ⇒ E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMBH Hay điểm A, M, B, H, E thuộc đường tròn · · c Do điểm A, M, B, H, E thuộc đường tròn nên AEB = AHB = 900 , hay BE ⊥ AC Chứng minh tương tự CF ⊥ AB ⇒ AH, BE, CF ba đường cao nên chúng đồng qui Sau hướng dẫn học sinh chứng minh xong tập trên, giáo viên cung cấp: Bài 3.1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Gọi M, N điểm đối xứng H qua AB, AC Biết phương trình AC: 3x + 4y – = 0, biết phương trình MN: 9x – 13y + 20 = biết tọa độ điểm K( -3 ; ) trung điểm AB Tìm tọa độ đỉnh A, B, C 2 Lời giải: 5 Gọi E giao điểm AC MN ⇒ E (− ; ) Theo kết ví dụ trên, chứng minh BE ⊥ AC Do đường thẳng BE qua E vuông góc với AC, phương trình BE là: 4x – 3y + = Điểm B(b; 4b + 5 − 3a ) ∈BE, A(a; ) ∈AC Vì K trung điểm AB nên  −3 = a + b  a = −1  Vậy A(–1; 2), B(–2; –1)  4b + 5 − 3a ⇔   b = −2 1 = + Đường thẳng AB qua A, qua B có phương trình: 3x – y + = Gọi F giao điểm AB MN ⇒ F( -3 ; ) (F trùng với K) 2 Đường thẳng CF qua F vuông góc với AB, phương trình CF là: x + 3y = Khi C giao điểm CF AC nên C(3; -1) Kiểm tra rõ ràng thấy tam giác ABC thỏa mãn tam giác nhọn Vậy A(–1; 2), B(–2; –1) C(3; –1) Bằng cách khai thác tốt tính chất hình học ví dụ 3, giáo viên cung cấp tiếp tập sau: Bài 3.2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;6), B(1;1), C(6;3) Tìm AB, BC, CA điểm F, H, E cho tam giác FHE có chu vi nhỏ Lời giải: Kiểm tra thấy tam giác ABC nhọn Gọi M, N điểm đối xứng H qua AB, AC Ta có chu vi tam giác FHE là: CΔFHE = FH + FE + EH = FM + FE + EN ≥ MN (1) · · Ta có AM = AH = AN ⇒ Tam giác AMN cân A MAN=2BAC Gọi T trung điểm MN · · = 2HAsinBAC ≥ Ta có MN = 2MT = 2MAsinBAC Từ (1) (2) ⇒ CΔFHE ≥ 2SΔABC (2) R 2SΔABC 2S Vậy MinCΔFHE = ΔABC R R Dấu “ = ” xảy H chân đường cao kẻ từ A xuống BC E, F tương ứng giao điểm MN với AC, AB Khi theo kết ví dụ 3, chứng minh BE ⊥ AC, CF ⊥ AB Vậy H, E, F tương ứng chân đường cao kẻ từ A, B, C xuống BC, AC, AB tam giác ABC Lập phương trình cạnh: AB: 5x-y-4=0; AC: 3x+4y-30=0; BC: 2x-5y+3=0 Lập phương trình đường cao: 10 • AI ⊥ EF • MT ⊥ EF uuur r Bài toán 2: Cho tam giác ABC với vectơ AB (x0; uuu y0r) ≠ , ta có điều kiện cần đủ dể uuur ta giác ABC vuông cân A AC (y0; –x0) AC (–y0; x0) Bài toán 3: Với ba điểm A, B, C ta có: • AB + AC ≥ BC Dấu xảy A, B, C thẳng hàng A thuộc đoạn BC • AB − AC ≤ BC Dấu xảy A, B, C thẳng hàng A không nằm B, C Bài toán 4: Cho tia Ot phân giác góc xOy, M∈Ox Nếu điểm N đối xứng với M qua Ot N∈Oy 4.3 Ví dụ minh hoạ ♦ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = ngoại tiếp tam giác ABC có đỉnh A(4; 7), trực tâm H(4; 5) Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác Lời giải : 46 Đường tròn (C) có tâm I(1; 3),bán kính R = Gọi D giao điểm thứ AI với đường tròn (C) suy D(–2; –1) Ta có tứ giác HCDB hình bình hành Gọi M = HD ∩ BC M trung điểm HD BC nên M(1; 2) uuur Đường thẳng BC qua M nhận AH (2;0) véc tơ pháp tuyến có phương trình : y – = Điểm B, C giao điểm đường thẳng BC đường tròn (C), tọa độ B,C nghiệm hệ : Giải hệ, tìm B (1 − 6;2) , C( + 6;2 ) ngược lại * Nhận xét: Mục tiêu toán tìm tọa độ B, C, ta nhận thấy B, C giao điểm (C) đường thẳng chứa BC Như để tìm tọa độ B,C ta phải lập phương trình đường tròn qua B,C đường thẳng BC, ví dụ cần lập uuur phương trình BC, để lập phương trình BC có véc tơ pháp tuyến AH ta cần tìm tọa độ điểm mà BC qua, từ kiện toán nhận thấy cần tìm tọa độ điểm M trung điểm BC dựa vào toán công cụ ta có số cách tìm tọa độ M Cách : Như lời giải trình bày Cách : Dựa vào tính chất đường thẳng ơle tìm trọng tâm G Từ suy Toạ độ điểm M uuur uuur Cách : Dựa vào nhận xét AH = 2IM Suy toạ độ điểm M Từ ý tưởng ta hoán đổi giả thiết, sau vận dụng toán công cụ để giải Ví dụ cần lập phương trình BC thay cho tọa độ đỉnh A trực tâm H ta cho phương trình đường phân giác góc A BC qua điểm ta toán sau: 47 Bài 1.1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho tam giác ABC nội tiếp đường µ có phương trình : x – y = tròn (T): x2 + y2 – 4x – 2y = Đường phân giác góc A (d), biết BC qua M(1; 1), điểm A có tung độ dương Tìm tọa độ đỉnh tam giác Hoặc thay cho phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ta cho phương trình đường thẳng BC, dựa vào yếu tố cho lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ta toán sau: Bài 1.2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho tam giác ABC có trực tâm H(6; 6), phương trình đường thẳng chứa cạnh BC : x + y – 10 = Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua hai điểm M(8; 4), N(5; 3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác Hoặc coi B, C giao hai đường tròn ta toán : Bài 1.3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho tam giác ABC đỉnh A(1;5), tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp K(2; 2), I( ;3) Tìm tọa độ B, C Hoặc dựa vào giả thiết ta phải thiết lập phương trình BC, phương trình đường tròn qua hai điểm B, C Ta có toán : Bài 1.4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho tam giác ABC có A(–2;–1) trực tâm H(2; 1), BC= Biết trung điểm BC nằm đường thẳng: x – 2y – = (d) Tìm tọa độ đỉnh tam giác Trong toán thay đổi kiện ta lại lớp toán ♦ Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho điểm A(2; 2) hai đường thẳng d1 : x + y – = 0, d : x + y – = Tìm tọa độ hai điểm B, C thuộc d 1, d2 cho tam giác ABC vuông cân A Lời giải : uuur B ∈ d ⇒ B b;2 − b ( ) Khi AB ( b − 2; −b ) nên theo toán công cụ điều Ta có uuur uuur kiện cần đủ để tam giác ABC vuông cân A AC ( b;b − ) AC ( −b;2 − b ) nên C ( + b;b ) C ( − b;4 − b ) Nếu C ( + b;b ) mà C ∈ d ⇒ b = ⇒ C ( 5;3) , B ( 3; −1) Nếu C ( − b;4 − b ) mà C ∈ d ⇒ b = −1 ⇒ C ( 3;5 ) ,B ( −1;3) * Nhận xét: Trong ví dụ sử dụng định nghĩa tính chất phép quay, uuur quay véc tơ AB quanh điểm A với góc quay 900 để tìm tọa độ điểm B, C với việc sử dụng phép quay ta thay đối tượng B, C thuộc đường thẳng B, C thuộc đường tròn Hoặc thay đối tượng góc quay từ 90 giả thiết tam giác vuông cân thành góc quay 600 giả thiết tam giác Cũng ta mở 48 rộng, thay đối tượng tam giác vuông cân thành hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi ta toán Cụ thể : Bài 2.1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho đường tròn (C): x + y − 6x − 2y + = đường thẳng (d): x – y = Tìm toạ độ hai điểm A, B thuộc d hai điểm E, D thuộc (C) cho tứ giác ABCD hình vuông Lời giải : 2 Ta có (C): ( x-3) + ( y-1) = Do A, B thuộc d nên A ( a;a ) , B ( b;b ) (a ≠ b) uuur Suy AB ( b − a;b − a ) Do vai trò A, B nên không tính tổng quát uuur uuur ta giả sử AB quay 900 thành AD uuur uuur Từ suy BE = AB ( a − b;b − a ) Do D ( 2a − b;b ) ; E ( a;2b − a ) Mà D, E thuộc đường tròn (C) nên ta có a = 3;b = ( a-3) + ( 2b-a-1) = a + b = ⇔ ⇔  11 2 2  a = ;b = a-3 + 2b-a-1 = ( ) ( ) 2a-b-2 + b-1 =  ) ( ) (  5  Vậy A(3; 3), B(1; 1), E(3; -1), D(7; 1)  9   11 11   13   11  Hoặc A  ; ÷, B  ; ÷, E  ; ÷, D  ; ÷ 5 5  5  5  5  Bài 2.2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho hình chữ nhật ABCD có giao 1  điểm hai đường chéo điểm I  ;0 ÷, AB = 2AD Phương trình đường thẳng AB là: 2  x – 2y + = Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết điểm A có hoành độ âm Lời giải : Ta có A, B thuộc đường thẳng AB: x – 2y + = ⇒ A ( 2a − 2;a ) ;B ( 2b − 2;b ) ( a ≠ b;a < 1) uuur AB ( 2b − 2a;b − a ) Gọi K điểm thuộc AD cho tam giác ABK vuông cân ta có uuur uuur AK ( b − a;2a − 2b ) AK ( a − b;2b − 2a ) , mà AB = 2AD nên AK = 2AD uuur uuur ⇒ AK = ±2AD uuur uuur uuur  1  AK = 2AD ⇒ AD  (b − a);a − b ÷⇒ D  b + a − 2;2a − b ÷ Do I trung điểm TH1: 2  2  BD ta tìm a = 0, b = 49 uuur uuur TH2: AK = −2AD giải tương tự, trường hợp kết tìm bị loại không thỏa mãn điều kiện * Nhận xét: Trong tập thay kiện AB = 2AD ta cho diện tích hình chữ nhật cho AC = kAB (k > 0), thay kiện tọa độ tâm I biết ta cho tọa độ đỉnh, phương trình đường chéo ta lại toán liên quan tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật.Tương tự cho toán hình thoi, hình vuông Tương tự ta có tập sau: Bài 2.3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho điểm A(1; 0) đường tròn (T) có phương trình: x + y − 2x + 4y − = Tìm tọa độ điểm B, C thuộc đường tròn (T) cho tam giác ABC vuông cân A Bài 2.4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho điểm A(1; 1) Tìm điểm B thuộc trục tung, C thuộc đường thẳng: x = cho tam giác ABC Bài 2.5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho hình chữ nhật ABCD biết AB = AD Đỉnh D(–1; 3), đường chéo có phương trình: x – 8y – = Tìm toạ độ đỉnh phương trình đường chéo lại ♦ Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho đường thẳng d: x + y – = Tìm d điểm B, C cho tam giác ABC vuông cân B biết A(1; 4) Lời giải : Do tam giác ABC vuông B nên B hình chiếu A lên đường thẳng d uuur r r B ∈ d ⇒ B ( b;1 − b ) ; AB ⊥ d ⇒ AB.u = , u ( 1; −1) véc tơ phương d ⇒ B ( −1;0 ) Lại có, tam giác ABC cân B nên BA = BC = 20 ⇒ C ( 3; −2 ) C ( −3;4 ) * Nhận xét: Trong lời giải ta dựa vào nhận xét B hình chiếu A d nên việc tìm tọa độ B dễ dàng Ta thay giả thiết tam giác ABC vuông cân tai B giải thiết khác để toán mà cách làm tương tự 50 Bài 3.1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho điểm A(1; 4), đường thẳng d : x + y – = Tìm d điểm B, C cho tam giác ABC vuông B thỏa mãn điều kiện a AB = k BC (k > 0) b AC = k AB (k > 0) c Tam giác ABC có góc C 300 d Tam giác ABC có diện tích 10 e Tam giác ABC có chu vi Hoặc thay tìm tọa độ đỉnh tam giác ta yêu cầu học sinh tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật, đỉnh hình vuông, đỉnh hình thoi Ta có toán sau: Bài 3.2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho hình chữ nhật ABCD biết A(1; 4), BC có phương trình: x + y – = Tìm tọa độ đỉnh lại hình chữ nhật biết hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện sau: a AB = 2BC b AC = AB c Hình chữ nhật có diện tích 20 d Hình chữ nhật có chu vi 20 Bài 3.3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho hình vuông ABCD biết A(1; 4), BC có phương trình: x + y – = Tìm tọa độ đỉnh lại hình vuông Bài 3.4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho hình vuông ABCD biết A(1; 0), AC có phương trình: x + y – = Tìm tọa độ đỉnh lại hình vuông Bài 3.5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho hình thoi ABCD biết A(1; 4), BD có phương trình: x + y – = Tìm tọa độ đỉnh lại hình thoi biết thỏa mãn điều kiện sau: a BD = 2AC b Diện tích hình thoi 10 · c Góc ABC = 1200 ♦ Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho đường thẳng d có phương trình: 2x + y – = điểm A(1; 2) Tìm d điểm B cho độ dài AB nhỏ Lời giải : 51 Gọi H hình chiếu vuông góc A d ta có tam giác ABH vuông H nên AB ≥ AH dấu xảy B trùng với H H hình chiếu vuông góc A d nên H ( −1;1) ⇒ B ( −1;1) * Nhận xét: Lời giải toán dựa vào tính chất hình học: Trong mặt phẳng cho d điểm A không thuộc d, khoảng cách từ A đến d nhỏ so với khoảng cách từ A đến điểm thuộc d, dựa vào nhận xét ta khai thác số toán tìm độ dài nhỏ Bài 4.1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho A(1; 2), B(3; – 1), C(4; – 2).Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d: x + 2y – = cho: uuuur uuur MA + 2MB nhỏ a b MA − 4MB2 + 2MC2 đạt giá trị lớn Bài 4.2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho đường tròn (C) có phương trình: x + y − 2x − 6y + = , đường thẳng d: x + y – = 0, A(2; 1) Tìm điểm M thuộc đường tròn (C) cho: a Khoảng cách từ M đến d lớn (nhỏ nhất) b Độ dài AM lớn (nhỏ nhất) ♦ Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho điểm A(3; 2), B(4; 1) Tìm đường thẳng d có phương trình: x + y – = điểm M cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Lời giải : 52 Ta có A, B nằm phía với d Gọi C điểm đối xứng với A qua d Ta có MA + MB = MC + MB ≥ CB Dấu xảy M = CB ∩ d C đối xứng với A qua d ⇒ C ( −1;0 ) Khi phương trình CB: x – 5y + = 7 2 Từ M = CB ∩ d ⇒ M  ; ÷ 3 3 Giáo viên phát vấn thêm học sinh trường hợp A, B hai phía đường thẳng d * Nhận xét: Bài toán giải dựa vào toán công cụ Trong giả thiết toán nhận thấy A, B hai điểm phía với d nên ta thay đổi cách hỏi để toán khác Chẳng hạn: Bài 5.1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho điểm A(3; 2), B(4; 1) Tìm đường thẳng d có phương trình: x + y – = điểm M cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Bài 5.2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho đường thẳng d: x + y + = hai x y2 x y2 elip ( E1 ) : + = 1, ( E ) : + = có tiêu điểm Biết ( E ) qua M ∈ d Tìm 10 a b tọa độ điểm M cho ( E ) có độ dài trục lớn nhỏ Bài 5.3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho điểm A(5; 2), B(4; 1) Tìm đường thẳng d có phương trình: x + y – = điểm M cho MA − MB đạt giá trị lớn ♦ Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho tam giác ABC đỉnh A(2; – 1), hai đường phân giác có phương trình: x – 2y +1 = 0(d), x + y + = (b).Tìm tọa độ đỉnh C, B Lời giải: 53 Kiểm tra thấy A không thuộc d b, giả sử d xuất phát từ B, b xuất phát từ C Gọi M, N điểm đối xứng với A qua d b ⇒ M(0; 3), N(– 2; – 5) Đường thẳng BC qua M, N nên phương trình BC: 4x – y + = Khi toạ độ B giao điểm đường thẳng d BC nên thoả mãn hệ:  x=−  x − 2y + =   ⇔   4x − y + = y =  Khi toạ độ C giao điểm đường thẳng b BC nên thoả mãn hệ:  x=−  x + y + =  ⇔  4x − y + = −  y =   1  9 Vậy B  − ; ÷, C  − ; ÷  7  5 * Nhận xét: Trong ví dụ ta thay d đường trung tuyến d đường cao, hai đường d b xuất phát từ đỉnh để toán khác Hoặc thay tọa độ đỉnh A yếu tố khác Ta có tập tương tự sau: Bài 6.1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), đường phân giác trung tuyến kẻ từ B có phương trình tương ứng BE: 2x – y + = 0, BM: 7x – y +15 = Tính diện tích tam giác ABC Bài 6.2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ xOy, xác định toạ độ đỉnh C tam giác ABC, biết hình chiếu vuông góc C AB H(–1;–1), đường phân giác µ : x – y +2 = 0, đường cao kẻ từ B: 4x + 3y – 1= góc A 54 4.4 Bài tập tự luyện Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, nội tiếp µ có đường tròn (T): x + y − 4x − 2y = , C(–4; 1) Đường phân giác góc A phương trình: x – y = Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết S ∆ABC = 3S∆IBC, A có tung độ dương, I tâm đường tròn (T) Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn µ có (C) có phương trình: x + y − 4x − 2y = Đường phân giác góc A phương trình: x – y = Tìm tọa độ đỉnh tam giác, biết S ∆ABC = 24 điểm A có hoành độ dương Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Đường phân giác góc µ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác D(3; – 2) Tìm tọa độ đỉnh B tam giác A biết A(1; 0), C(1 + ; – 2) Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (C) có phương trình: x + y − 25 = Chân đường cao hạ từ B, C là: M(– 1; 3), N(2; – 3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết A có tung độ âm Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, H(5; 5) trực tâm, đường thẳng chứa BC có phương trình: x + y – = 0, biết đường tròn ngoại tiếp tam giác qua điểm M(7; 3) có tâm thuộc đường thẳng d có phương trình: x – 2y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(– 2; – 1) H(2; 1) trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường thẳng d có phương trình: x – y – = 0, trung điểm M BC nằm đường thẳng d 1: x – 2y – = Tìm tọa độ đỉnh tam giác Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(– 2; – 1) H(2; 1) trực tâm Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết trung điểm M BC nằm đường thẳng d: x – 2y – = ME = , với E chân đường cao hạ từ B Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(– 2; – 1) H(2; 1) trực tâm Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết trung điểm M BC có tung độ dương, nằm đường thẳng d: x – 2y – = 0, đường thẳng qua chân đường cao kẻ từ B, C có phương trình là: 5x + 2y – = Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có H(2; 1), M(3; 1), I(1; 0) trực tâm, trung điểm BC, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tìm tọa độ đỉnh tam giác Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, A(– 1; 3), H(1; 3) trực tâm, trọng tâm G((– 3; 5) Tìm tọa độ điểm B, C 55 Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, A(– 1; 3), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường thẳng d: x + y – = 0, M(2; 2), N(1; – 4) chân đường cao kẻ từ B, C Tìm tọa độ điểm B, C Bài 12: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC đường cao qua A có phương trình: x + y – = 0, trực tâm H(1; 0) Đường tròn đường kính BC có phương trình: x + y − 4x − 2y = Tìm tọa độ đỉnh tam giác Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(– 3; 2), B(4; 1) Tìm đường thẳng d có phương trình: x + y – = điểm M cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Bài 14: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(– 3; 2), B(4; 1) Tìm đường thẳng d có phương trình: x + y – = điểm M cho MA − MB đạt giá lớn Bài 15: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 2) Tìm đường thẳng d có phương trình: 4x – 3y – 23 = điểm B, C cho chu vi tam giác ABC đạt giá trị nhỏ biết đoạn BC có độ dài Bài 16: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(5; 2), đường thẳng d: x – y + = 0, d : y – = 0.Tìm điểm B thuộc d, C thuộc d cho chu vi tam giác ABC đạt giá trị nhỏ Bài 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(7; 9), B(0; 8) đường tròn (C) có phương trình: x + y − 2x − 2y − 23 = Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho biểu thức P = MA + 2MB đạt giá trị nhỏ Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có đỉnh C(– 4; 1), phân giác góc A có phương trình: x + y – = Tìm tọa độ đỉnh A, B biết diện tích tam giác 24 Bài 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, có đỉnh B(– 4; 1), trọng tâm µ có phương trình: x – y – = Tìm tọa độ đỉnh A, C G(1; 1), phân giác góc A Bài 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, M(0; – 1), phân giác µ , đường cao xuất phát từ C có phương trình là: x – y = 0, 2x + y + = góc A Tìm tọa độ đỉnh, biết AC qua M AB = 2AM Bài 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x – y = d2: 2x + y – = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết A, C thuộc d 1, d2 B, D thuộc trục hoành Bài 22: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A, M(1; – 1) trung 2  điểm BC Điểm G  ;0 ÷ trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh 3  tam giác Bài 23: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ( x − 1) + y = Gọi I tâm · đường tròn Xác định tọa độ điểm M thuộc đường tròn cho góc IMO = 300 56 Bài 24: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 2); H(4; –1) chân đường cao hạ từ · đỉnh A tam giác ABC Tìm tọa độ hai đỉnh B, C biết tanB = 2, góc BAC = 450 Bài 25: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(1; 0) AC = 2BD Hai điểm A, B thuộc hai đường thẳng d1: x – 2y – = 0, d2: x + y + = Tìm tọa độ đỉnh hình thoi D KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Với hướng cải tiến giảng dạy mà trình bày trên, em học sinh hiểu vấn đề cách sâu sắc nhìn toán hình học phẳng phương pháp tọa độ nhiều cách thức khác Các em dễ dàng chuyển toán lạ toán quen thuộc Hiệu giảng dạy thể kết lên rõ nét Kết giảng dạy đại trà Khi chưa cải tiến phương pháp, kết điều tra lớp mà giảng dạy, thu sau: Năm học 2011-2012 2012-2013 Kết Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu 12H 4% 32% 52% 12% 12G 10% 40% 45% 5% 10E 8% 41% 47% 4% 12D 12% 38% 40% 10% 12E 8% 36% 44% 12% 10D 10% 42% 38% 10% Sau cải tiến phương pháp, tiếp tục khảo sát qua lớp mà trực tiếp đưa phương pháp vào, kết thu tốt sau: Năm học 2013-2014 Kết Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu 12D 34% 45% 21% 0% 12E 36% 44% 20% 0% 57 2014-2015 12P 35% 47% 18% 0% 10C 32% 46% 22% 0% 10E 34% 48% 16% 2% 12A 60% 40% 0% 0% 12H 21% 52% 27% 0% 12P 40% 40% 20% 0% 11M 30% 42% 28% 0% 10B 50% 38% 12% 0% Kết thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng Trong kỳ thi tuyển sinh vào trường Đại học Cao đẳng, kết lớp giảng dạy tăng rõ rệt Số lượng điểm khá, giỏi trường tăng nhanh Năm học 2013 – 2014, lớp giảng dạy, nhiều em làm tốt câu hình học phẳng đề thi dẫn đến điểm em tăng từ 6, năm trước lên 7, Xét điểm giỏi, lớp giảng dạy có em đạt từ điểm trở lên số 19 em toàn trường, chiếm tỉ lệ 42,1% Số lượng em đạt điểm chiếm tỉ lệ 52% tổng số học sinh dự thi Kết góp phần vào thành tích chung nhà trường THPT Yên Khánh A năm gần đứng tốp 100 trường có điểm bình quân thi Đại học cao nước Kết giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi Chuyên đề hình học phẳng chuyên đề khó, câu hỏi xuất kỳ thi học sinh giỏi cấp trường, học sinh giỏi cấp tỉnh kỳ thi giải toán Internet giải toán máy tính cầm tay Chúng áp dụng trình tham gia huấn luyện đội tuyển, kết đạt cụ thể sau: Năm học 2013 – 2014, phụ trách đội tuyển học sinh giỏi lớp 11 trường, đồng thời tuyển chọn huấn luyện đội tuyển dự thi giải toán qua Internet tỉnh Kết quả: em dự thi cấp trường tổng số em dự thi, có giải nhất, giải nhì, giải ba giải khuyến khích; đội tuyển thi giải toán qua Internet cấp tỉnh có 19 em đạt giải tổng số 25 em dự thi, có giải nhì, giải ba 10 giải khuyến khích Năm học 2014 -2015, tiếp tục huấn luyện em tham dự thi học sinh giỏi lớp 10, lớp 11 cấp trường có em đạt giải nhì, em đạt giải ba em đạt giải khuyến khích Trong kỳ thi văn hoá cấp tỉnh lớp 12 đạt giải ba tổng số em dự thi Kết thi giải toán máy tính cầm tay tốt, em đạt giải tổng 58 số em dự thi, có giải nhì, giải ba Đặc biệt, em tham dự đội tuyển thi giải toán máy tính cầm tay cấp quốc gia đạt giải nhì KẾT LUẬN Bản sáng kiến với đề tài “Cải tiến dạy chuyên đề hình học mặt phẳng tọa độ phương pháp sử dụng tính chất hình học phẳng” đạt số 59 kết trình bày Với cách dạy vậy, em hiểu vấn đề cách sâu sắc, thấu đáo, nhìn toán hình học nhiều góc độ khác nhau, em tư tốt hơn, suy luận tốt hơn, tăng cường trí tưởng tượng cách phong phú Hơn nữa, với cách truyền đạt nội dung vậy, với cách đề sáng tạo toán hình học toạ độ từ toán quen thuộc em không cảm thấy nhàm chán, em hứng thú say mê học tập Khi em chủ nhân đề toán việc tìm đưa lời giải không khó Điều tạo cho em tâm lý nhẹ nhàng, thoải mái, tự tin em tham gia kỳ thi cấp trường, cấp tỉnh đặc biệt kỳ thi THPT quốc gia năm Bản sáng kiến này, thân đúc rút trình dạy học theo hướng đổi phương pháp giảng dạy phương thức cấu trúc đề thi năm gần Chúng tích luỹ trình tự học, tự bồi dưỡng buổi sinh hoạt tổ nhóm nhằm nâng cao trình độ chuyên môn Bản sáng kiến chắn không tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến từ bạn đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn! Yên Khánh, tháng năm 2015 Nhóm tác giả thực Vũ Thị Diệp Nguyễn Thị Định Tống Thị Hồng Luyến Trịnh Đình Ngọc Nguyễn Hương Thơm XÁC NHẬN CỦA TRƯỜNG THPT YÊN KHÁNH A 60 [...]... có đề toán mới như sau: Bài 4.2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm F(2; 0) nằm trên cạnh AD, điểm E nằm trên cạnh AB sao cho AE = AF Gọi H(1; –1) là hình chiếu vuông góc của A trên DE Hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (T): (x + 1) 2 + (y − 2) 2 = 13 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông Để tăng mức độ khó về tính chất hình học phẳng, ta có thể thay thế giả thiết hình. .. đường chéo của hình chữ nhật Thông qua ví dụ 4, học sinh đã quen hơn với phương pháp, giáo viên có thể đưa ra trực tiếp bài tập tọa độ, yêu cầu học sinh phát hiện tính chất hình học phẳng và đưa ra lời giải ♦ Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; –7), trực tâm H(3; –1) và tâm đường tròn ngoại tiếp là I(–2; 0) Xác định tọa độ điểm C biết C có hoành độ dương (Đề thi khối... Nhận xét: Bản chất, tính chất hình học phẳng mà ta sử dụng trong bài tập trên là tính chất của đường thẳng Euler Giáo viên có thể nhắc lại, yêu cầu học sinh ghi nhớ: • Đường thẳng Euler trong tam giác ABC là đường thẳng đi qua 3 điểm: Trực tâm H, trọng tâm G, và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC, đồng thời thỏa mãn: uuur uur GH = −2GI Với việc khai thác tính chất hình học phẳng này, ta... D có phương trình x – 3y – 7 = 0 Đường thẳng AK qua K, vuông góc với BC có phương trình: y – 2 = 0 Tọa độ A là giao điểm của AB và AK, nên A(13; 2) C đối xứng với A qua P, nên C(1; –1) Vậy A(13; 2), B(1; –2), C(1; –1) * Nhận xét: Tính chất hình học phẳng trong bài tập trên mà chúng ta sử dụng chính là tính chất của đường tròn Euler Giáo viên nhắc lại, yêu cầu học sinh ghi nhớ • Đường tròn Euler trong. .. Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, AB=2AC, trọng tâm G(2; 3) ,phương trình AC là: x – y + 3 = 0.Viết phương trình CG Bài 6 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1), 1 3 AC=2BD Điểm M( 0; ) ∈ AB , N(0;7) ∈ CD Viết phương trình của BD Bài 7 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 2AC, trọng tâm G(2; 3), phương. .. thẳng đi qua và tìm toạ độ của vec tơ chỉ phương Trong đó, vec tơ chỉ phương chưa xuất hiện ngay mà ẩn đi thông qua dữ kiện đường thẳng đi qua hai điểm hoặc đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và để phát hiện ra học sinh phải chứng minh một tính chất về quan hệ song song trong hình học phẳng Cụ thể, ta xét một số ví dụ sau: ♦ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC... thiết của bài 3, thay vì cho tọa độ điểm H và I ta có thể cho tọa độ điểm H và G hoặc I và G Tương tự ta có các bài tập tự luyện sau: Bài 5.1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, biết đỉnh B(1; 4),   trực tâm H(2; 2), trọng tâm G  ; ÷ Tìm tọa độ A và C  3 3 11 1 Bài 5.2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(0; 3), trực tâm H(0;1) và trung điểm M(1; 0) của. .. điểm M(1; 0) của BC Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ âm ♦ Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với AK, CD là hai đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC Biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác DHK có phương trình (x − 2) 2 + y 2 = 5 Trung điểm của AC là P(7; 5) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết BC đi qua Q(1; 4) và hoành độ điểm D lớn hơn 3 Lời... là hình chiếu của A lên đường thẳng BD M, N lần lượt là trung điểm của đoạn CD và BH Biết A(2; 1) và phương trình MN là: 2x + y – 3 = 0 Viết phương trình của AN Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,cho tam giác ABC có A(1; 4), tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D, đường phân giác trong · của góc ADB có phương trình: x – y + 2 = 0, điểm M(–4; 1) thuộc cạnh AC.Viết phương. .. thành hình chữ nhật sao cho vẫn giữ nguyên các tính chất của các điểm E, F, H Tiếp tục ta có đề toán mới sau đây: Bài 4.3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD thỏa mãn AB = 2AD, nội tiếp trong đường tròn tâm O, có phương trình cạnh CD là: 2x – y – 3 = 0 Điểm F(2; 0) nằm trên cạnh AD, điểm E nằm trên cạnh AB sao cho AE = AF Gọi H(1; –1) là hình chiếu vuông góc của A trên DE Viết phương ... viên củng cố, ôn tập giúp học sinh tái nhiều kiến thức hình học phẳng Các em cảm thấy hứng thú học tập Bài toán hình học tọa độ giải phương pháp sử dụng tính chất hình học phẳng không khó Nhằm giúp... GIẢI PHÁP MỚI CẢI TIẾN Để khắc phục hạn chế em học sinh, tìm tòi, thảo luận qua năm đứng lớp, nhằm giúp em tiếp cận toán hình học mặt phẳng tọa độ theo phương thức đề thi Chúng cải tiến phương pháp. .. DUNG A GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM Trước đây, dạy em học sinh toán hình học mặt phẳng tọa độ, thường dạy sau: Cung cấp lý thuyết: Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ, phương trình đường thẳng, phương trình