Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập giới hạn hàm số có lời giải, các phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số và bài tập được giải chi tiết, bài tập giới hạn hàm số nâng cao có lời giải, đổi biến để tính giới hạn hàm số, giới hạn hàm số lượng giác hay
Contents Cỏc phng phỏp kh vụ nh 0/0 1.1 Kh nhõn t chung 1.2 i bin 1.3 Gi s hng vng 2 Gii hn hm s hu t 3 Gii hn hm vụ t 4 Gii hn hm s lng giỏc Bi tng hp 5.1 Gii hn hm phõn thc (hu t, vụ t) 5.2 Gii hn hm lng giỏc 15 5.3 Mt s bi gii hn s dng nh lý kp gia 17 Mt s bi gii hn lng giỏc 19 Cỏcphngphỏpkhvụnh0/0 Dng lim x x0 f ( x) g ( x) vi lim f ( x) = 0, lim g ( x) = x x0 x x0 1.1 Khnhõntchung Nu f ( x ) , g ( x ) cú nhõn t chung x - a thỡ ta n gin t v mu cho x - a Cỏc hng ng thc thng dựng a) a - b = (a - b)(a + b) b) a3 - b3 = (a - b)(a + ab + b ) c) a + b3 = (a + b)( a - ab + b ) d) a n - b n = (a - b)(a n-1 + a n-2b + + ab n-2 + b n-1 ) Xem cỏch s dng s hoocne phõn tớch a thc bc >3 thnh nhõn t 1.2 ibin Vớ d 1: lim x1 x -1 -1 x -1 t t = x -1 ú x thỡ t t = x -1 x -1 = t x -1 = t -1 2 x -1 -1 t -1 t -1 = lim = lim x1 x1 t -1 x t -1 x -1 t -1 = lim = lim = = x1 x1 t + t + t + (t -1)(t + t + t + 1) lim Vớ d 2: lim x lim x 1- x -1 t = 1- x , t , t x x = 1- t - x -1 t -1 -1 = lim = lim =5 x x 0 x 1- t t + t + t + t +1 1.3 Gishngvng Vớ d 1: lim x1 x3 - 3x - x -1 Ta cn tỡm nhõn t x-1 t trit tiờu mu, nhiờn khụng th ỏp dng hng ng thc trc tip a - b hay a - b c, ú ta thờm bt xut hin hng ng thc lim x1 x - 3x - = lim x1 x -1 = lim ( ( x3 -1) + 1- 3x - ( x -1)( x + x + 1) + x -1 -3( x -1) ) = lim ( x -1)( x + x + 1) + 1- (3x - 2) + 3x - x -1 x1 ửữ 3 + 3x - = lim ỗổ x + x + 1ữ= ỗ x1 ỗ x -1 ố + 3x - ứữ x Vớ d 2: lim x x +1 + x -1 x Ta khụng th ỏp dng hng ng thc a - b hay a - b cho thờm bt thỡ ta cú hai hng ng thc ( ) ( ) x + -1 + + x -1 x + + x -1 = lim = lim lim x x x x x ổ ửữ ỗỗ ữữ 1 = lim ỗỗ + 2ữ ữ= x ỗ x + + ỗốỗ 1- x -1 + x -1 ứữữ ( ) x + v x -1 c, nhng nu + ( x -1) x + -1 + x + + 1 - x -1 + x - ( x ) 2 Giihnhmshut Tớnh cỏc gii hn x2 + x - x x2 - x -16 lim x x + x - 20 x2 - 5x + lim x3 x - x + 15 x3 - 3x + lim x1 x - x + 3x - x3 +1 lim x1 ( x -1) x2 + x - x 1- x x3 - 3x + lim x1 x - x - x + x3 - x + x - lim x x - 3x x3 -1 lim x x - x +1 lim lim 2 x - x + x + x -1 x1 x - x + x -1 10 lim Gii: lim ( x + 3)( x - 2) x2 + x - x +3 = lim = lim = x ( x - 2)( x + 2) x x + x -4 lim ( x - 4)( x + 4) x -16 x+4 = lim = lim = x + x - 20 x4 ( x + 5)( x - 4) x4 x + lim ( x - 3)( x - 2) x2 - 5x + x-2 = lim = lim =2 x - x + 15 x3 ( x - 3)( x - 5) x3 x - lim x3 - 3x + x4 - x + x x x x1 Bng s hoocne phõn tớch c x3 - x + = ( x -1) ( x + 2) x - x + = ( x -1) ( x + x + 3) lim x1 lim x1 lim x1 x3 - 3x + x+2 = lim = x x - 4x + x + 2x + 3 x - x3 + ( x -1) ( x -1) (3 x + x + 1) = lim = lim (3 x + x + 1) = x x1 ( x -1) -( x + 2) ( x -1)( x + 2) x2 + x - = lim = lim = -1 x1 1- x + x + x 1- x ( )( ) x1 1+ x + x 2 ( x -1) ( x + 2) x3 - x + x+2 lim = lim = lim = 2 x1 x - x - x + x1 ( x -1) ( x + 1) x1 x + ( x - 3)( x - x + 1) x3 - x + x - x2 - x +1 lim lim lim = = = x3 x3 x3 x - 3x x ( x - 3) x 3 (2 x - 1)(4 x + x + 1) (2 x ) - x3 -1 4x2 + 2x + = lim = lim =6 lim = lim 1 1 3x -1 (2 x - 1)(3x - 1) x x - x + x x - x + x x 2 2 ( x - 1) (2 x + 1) x - x3 + 3x + x -1 2x +1 10 lim = lim = lim = 3 1 x1 x x 3x + 3x - x + x -1 ( x - 1) (3x + 1) Giihnhmvụt Tớnh cỏc gii hn + x -1 x x x + -3 lim x x2 - x + -1 lim x-1 x +5 -2 lim x0 x +1 -1 x +16 - 3x - - x - x - x1 x - 3x + x- x+2 lim x x +1 - x -1 - x x1 x -1 x + - 3x +1 lim x1 x -1 lim lim 1- 1- x x x x +7 -2 10 lim x1 x - x + lim lim Gii: + x -1 lim = lim x0 x0 x lim x )( ) = lim + x -1 1+ x +1 ( ) x 1+ 1+ x2 ( )( ( x0 x 1+ 1+ x2 ) ) =0 x + -3 x + + x + -3 x-2 = lim = lim x x -4 ( x - 2)( x + 2) x + + x2 ( x - 2)( x + 2) x + + = lim x2 ( ( x + 2)( x + + 3) lim x-1 = lim x + -1 = lim x + - x-1 x-1 ( ( = 24 )( x + - 2)( x + -1 ( x - 2)( x + + 2) ( x - 2)( x + +1) ( = lim x-1 )( x + + 2)( x + +1 x +5 + =2 x + +1 ) x + +1) x +5 + ) lim x1 x -1 - x x -1 -1 +1- x x -1 -1 1- x = lim = lim + lim x x x x -1 x -1 x -1 x -1 = lim ( x lim x1 ) + lim x -1 + ( x -1)( x -1 +1) x = lim )( x -1 -1 ( x -1) ( x -1)( x -1 +1) x1 + lim x1 1- x ( )( x -1 1- x ( )( x -1 ) x +1 ) x +1 -1 = + lim x -1 + x1 + x = lim x x + - 3x +1 x + - + - 3x +1 2x + - 2 - 3x +1 = lim = lim + lim x1 x1 x1 x -1 x -1 x -1 x -1 = lim ( x lim x ( x -1) ( x -1)( x + + 2) + lim x1 = lim x )( ( x -1)(2 + 3x + 1) x1 3(1- x ) ( x -1)(2 + 3x +1) x0 x +16 + x +1 +1 2 ) 3x +1 + 3x +1 = lim ( x +1 -1)( x +1 +1)( x = lim +16 - ( x +16 - 4)( x +16 + 4)( x +1 -1 x2 ) + lim (2 - 2x + + ( x -1)( x + + 2) x = lim )( 2x + - 2 x 2 -3 =+ lim x + + x1 + x + ) = lim x ( x +16 + 4) +1 +1) x ( x +1 +1) +16 + x2 x 2 =4 3x - - x - x - x - + 1- x - x - = l im x1 x1 x - 3x + ( x -1)( x - 2) lim 3x - 1- x - x - 3 + x - x2 + lim = lim + lim x1 ( x -1)( x - 2) x1 ( x -1)( x - 2) x1 x - x1 ( x -1)( x - 2) + x - x - = lim = lim x1 ( ) -(4 x + 3) + lim = x - x1 ( x - 2) + x - x - ( ) ( ( )( )( )( )( ) ) ( ) x- x+2 x+ x+2 x +1 + ( x - x - 2) x +1 + x- x +2 = lim = lim lim x x x + - x x + - x + + x + x + ( x - 2) x + x + = lim x2 ( x +1)( x +1 + 3) ( x+ x+2 ) = ( ) - 1- x lim = lim x x0 x = lim x (1- ( x + 1- x + x ( )( x + 1- x + ( 1- x )) = lim x )(( x +7 -2 10 lim = lim x - 3x + ( x -1)( x - 2)(( ( x1 = lim x1 = lim x1 x +7 -2 x1 ( ( 1- x + 1- x + ( 1- x 1- x )) )) 2 x0 + 1- x + ) x + 7) ( 1- x ) ) ) ( x - 2) ( x + ) + x + + + 23 =- x1 12 x x0 a) sin u ( x ) sin u ( x ) = lim =1 x xo u( x)0 u ( x ) u ( x) b) lim lim = lim u( x)0 tan u ( x) u ( x) =1 Cỏc phộp bin i lng giỏc 1- cos x + cos x = sin x , = cos x 2 b) sin x = sin x cos x; cos x = cos x - sin x a +b a -b c) cos a + cos b = cos cos 2 1ộ d) cos a cos b = cos ( a + b) + cos (a - b )ựỷ a) Tớnh cỏc gii hn 1- x )) ( x -1 ) ( x -1)( x - 2) ( x + ) + x + + sin x sin ax = , lim =1 x x x ax x ax Suy ra: lim = 1, lim =1 x sin x x sin ax tan x sin x sin x Ta cú lim = lim = lim =1 lim x x0 x x cos x x0 x x0 cos x tan x tan ax lim = 1, lim =1 x x x ax M rng: Nu lim u ( x) = thỡ: u ( x) ) x + + 4) = lim Gii hn c bn: lim x xo = ( 3 x + - 23 ( tan u ( x) ( x + 1- x + ) x +7 + 23 x +7 + 4 Giihnhmslnggiỏc ) ( 13 - 1- x = lim ( x -1)( x - 2) ( x + ) + x + + ( 2 sin x x x tan x lim x 3x tan x lim x sin x 1- cos x lim x x2 1- cos ax lim x x2 lim 10 1- cos x cos x cos x x x2 1- cos 2 x lim x x sin x sin 2 x - sin x sin x lim x x4 tan x - sin x lim x x3 + sin x - cos x lim x - sin x - cos x lim Gii: sin x sin x sin x = lim = lim = 2.1 = x x x x 2x 2x lim lim x tan x tan x tan x 2 = lim = = lim x x x x0 x 3 tan x tan x x tan x x = lim = lim lim x0 sin x x x0 sin x x sin x x0 x lim tan x 5x = = lim x x x0 sin x 5 = lim ổ x x x ỗỗ sin x ữữ sin sin sin 1- cos x 1 = lim = lim = lim ỗỗ ữữữ = 1 = = lim lim 2 2 ỗ x x x x ổ x x0 ỗỗ x ữữữ 2 x x ỗỗ x ữữ ữ ỗ ố ứ ỗố ữứ 2 ổ ax ửữ ax ax x ỗỗ sin ữ 2sin sin 2 2 sin a a 1- cos ax ỗỗ 2 2 ữữữ = a = a = = = = lim lim lim lim lim x0 x0 x a x x0 ổ x2 x2 x0 ỗỗỗ ax ữữữ 2 ax ửữ ỗ ỗố ứữ ữ ỗ ữ ỗ a ố2ứ 1- cos x cos x cos x x x2 lim Ta cú: cos x cos x cos x = cos x (cos x + cos x ) 1ổ = (cos x + cos x cos x) = ỗỗcos x + (cos x + cos x)ữữữ ứ 2 ỗố 1 = cos x + cos x + cos x 4 1 1- cos x - cos x - cos x 1- cos x cos x cos x 4 lim = lim 2 x x x x ổ1 ổ ổ ỗỗ - cos xữữ + ỗỗ - cos xữữ + ỗỗ - cos xữữ ốỗ 2 ứữ ốỗ 4 ứữ ốỗ 4 ứữ = lim x0 x 1 1 1 - cos x - cos x - cos x = lim 2 + lim 4 + lim 4 x0 x x x x x sin x 1- cos x 1- cos x 1 42 2 lim lim + + = + + =7 = lim x0 x x0 x2 x2 x2 4 (Xem li bi 5) ổ sin x ửữ 1- cos 2 x sin 2 x sin 2 x x x ỗỗ lim lim = lim = lim = = 4.1 = ữữ lim ỗ 0 0 x x x x x ố 2x ứ x sin x x sin x x sin x sin x sin 2 x - sin x sin x lim x x4 Ta cú: sin 2 x - sin x sin x = sin 2 x - sin x.2sin x cos x = sin x (sin x - 2sin x cos x ) = sin x (2sin x cos x - 2sin x cos x ) = 2sin x sin x (cos x - cos x) = 2sin x sin x.(-2) sin ổ xử 3x sin ỗỗ- ữữữ ỗố ứ x 3x = 4sin x sin x sin sin 2 x 3x 4sin x sin x sin sin sin x - sin x sin x 2 lim = lim 4 x x x x x x 3x 3x sin sin sin sin x x sin x sin x sin sin 2 lim = 4.lim lim = lim lim lim lim .lim x0 x x x x x x x x x x0 x x x x x 2 = 4.1.2 = 2 sin x sin x - sin x.cos x - sin x sin x (1- cos x) tan x - sin x cos x lim = lim cos x = lim = lim 3 x0 x x x 0 x x x x3 cos x = lim x0 sin x 1- cos x sin x 1- cos x 1 = lim lim lim = .1 = (xem li bi 4) 2 x x x 0 x x x x cos x cos x 2 (1- cos x) + sin x (1- cos x) + sin x + sin x - cos x x = lim = lim x0 1- sin x - cos x x (1- cos x ) - sin x x0 x (1- cos x)- sin x 10 lim = lim (1- cos x) + sin x x0 x x = L1.L2 x0 (1- cos x ) - sin x lim Ta cú: (1- cos x) + sin x L1 = lim x0 x x 2sin ổ1- cos x sin x ữử + lim sin x = lim ỗỗ + = lim ữ x0 ỗ x ố x x x ứữ x0 x x sin x + = + = = lim x0 x 2 sin x 1 = lim = x (1- cos x ) - sin x x (1- cos x ) - sin x ổ1- cos x sin x ửữ lim ỗỗỗ ữ x ố x x ữứ x 1 = = = -1 x -1 2sin 2 - lim sin x lim x x x x L2 = lim Vy lim x + sin x - cos x = -1 1- sin x - cos x Bitptnghp I nh lý kp gia Nu h ( x) Ê f ( x) Ê g ( x) v lim h ( x) = lim g ( x) = L x x0 x x0 Thỡ lim f ( x) = L x x0 II Nu lim f ( x) = L thỡ lim f ( x) = L x x0 x x0 H qu: lim f ( x) = thỡ lim f ( x ) = x x0 x x0 5.1 Giihnhmphõnthc(hut,vụt) Bi Tớnh cỏc gii hn x - 3x + lim x x-2 + x3 lim x -1 - x lim x lim x-1 1- x - + x x x -1 x + 3x +1 3x + x - x -2 x - x + x6 - x + lim x1 ( x -1) lim lim lim x x - x -1 3- x + - 12 x + x 4x Gii: lim x ( x - 2)( x -1) x - 3x + = lim = lim ( x -1) = x x x-2 x-2 (1 + x )(1- x + x + x3 lim = lim x -1 - x x -1 (1- x)(1 + x) ) 1- x + x = x -1 1- x = lim (3x -1)( x + 2) 3x + x - 3x -1 = lim = lim =2 x-2 x - x + x-2 x-2 ( x + 2)( x -1) ( x -1) lim lim x6 - x + ( x -1) x ( x -1) ( x + x + x + x + 5) = lim = lim ( x + x + x + x + 5) = 15 x1 x1 ( x -1) 1- x - + x = lim x0 x lim x ( 1- x - + x )( 1- x + + x ) = lim (1- x)-(1+ x) x0 x x -2 x = -2 x x = lim lim x -1 x-1 x + 3x +1 ( = lim x-1 ( x2 -1)(2 x - (2 x + ) ( x2 -1)(2 x - 3x2 +1) = lim x -(3x +1) 3x +1) x-1 x +1 )( 3x +1 x - ) = lim x - x + = -4 x-1 lim x5 ( = lim ( (4 x - 25 x + 25)(3 + x+4 (5 - x )(2 x + x -1) x5 1- 12 x + = lim x x 4x lim )( )( )( x - x -1 x + x -1 + x + x - x -1 = lim x5 3- x + - x + + x + x + x -1 (1- )( ) ) = lim -(4 x - 5)(3 + x5 x+4 ổ 12 x + ỗỗ1 + 12 x + + 12 x + ố 2ử ổ x ỗỗ1 + 12 x + + 12 x + ữữ ố ứ ) ữữửứ ( ( )=-9 2 x + x -1 ) ) ) = lim x 1- (12 x + 1) ổ x ỗỗ1 + 12 x + + ố ( 12 x + ữữ ứ ) = lim x0 -3 + 12 x + + x3 - 3x - x1 x -1 x + + x -1 2) lim x x x +1 - - x 3) lim x x Gii: 1) lim x1 4) lim x1 x + - - x2 x -1 - x2 - x2 + x x -1 x -1 + x - 6) lim x1 x -1 5) lim ( x -1)( x + x + 1) x -1 x1 + lim x1 = lim ( x + x + 1) + lim x1 x1 - 3x ( x -1)(1 + 3x - ) -3 3 = 3- = 2 + 3x - x + + x -1 x + - + + x -1 x + -1 + x -1 = lim = lim + lim x x x x x x x 2) lim x 1 + lim x x +1 +1 + x -1 + = lim x ( x -1 ) = 1 + = 2 x +1 - - x x +1 - + - - x = lim = lim x0 x0 x0 x x 3) lim + lim x + + x 2 + - x + = lim x = lim x1 x ( 8- x ) = 1+ ( ) + lim - x + -1 x x 8- x x 13 = 12 12 3 x + - - x2 x + - + - - x2 x +7 -2 - - x2 = lim = lim + lim x1 x1 x1 x -1 x -1 x -1 x -1 x 5) lim = -1 x3 - 3x - x -1 + - x - x -1 1- x - = lim = lim + lim x1 x1 x -1 x1 x -1 x -1 x -1 = lim 4) lim ) 12 x + Tớnh cỏc gii hn Bi 1) lim ( ( ) x + + x + + 22 + lim x1 x -1 ( x -1)(2 + - x ) = + = 12 12 - x2 - x2 + - x2 - + - x2 + - x2 - 2 - x2 + = lim = lim + lim x1 x1 x x -1 x -1 x -1 x -1 = lim x1 ( x -1)( - x + 2) = lim x1 6) lim x1 1- x -( x +1) 5- x + + lim x1 ổ ( x -1)ỗỗỗ22 + x + + ( x + ) ữữữ ố ứ -( x + 1) + lim x1 1- x 22 + x + + ( x2 + ) 2 =- 4 x -1 + x - 2 x -1 -1 + + x - 2 x -1 -1 1- - x = lim = lim + lim = L1 + L2 x1 x1 x1 x -1 x -1 x -1 x -1 Vi L1 = lim x1 x= x -1 -1 , i bin t = x -1 t x x -1 t +1 t -1 x -1 = 2 L1 = lim x1 t -1 t -1 = lim = = x1 t -1 t + t + t + t -1 ( )( ) 2 1- - x , i bin t = - x t x x1 x -1 Vi L2 = lim x = - t x -1 = - t 1- t 1- t = lim = x1 1- t x1 1- t + t + t + t + t ( )( ) L1 = lim Vy lim x1 Bi x -1 + x - 1 = + = x -1 10 tớnh cỏc gii hn x + x -15 lim x3 x -3 2 x + 3x +1 x-1 x -1 lim x - 3x +1 lim x1 x - x + x -1 10 lim x - 3x + 2 ( x - 2) x x - x + x -1 lim x1 x -1 11 lim x -16 x-2 12 lim lim x lim x1 x x3 - x2 - 3x - x +1 x+Ơ x2 - x - x5 + x ( x -1) 2 ( x -1) (7 x + 2) 13 lim x+Ơ (2 x + 1) lim x1 x9 - x + 3x - x +1 14 lim x+Ơ x -1 ( x -1) (3x +1)(5 x + 3) 15 lim x+Ơ x -1 x + ( )( ) x -1 lim x1 x -1 lim h ( x + h) - x h Gii: lim x ( x - 3)( x + 5) x + x -15 = lim = lim ( x + 5) = x3 x x -3 ( x - 3) ( x +1)(2 x +1) x + 3x +1 x +1 lim = lim = lim = x-1 x x 1 x -1 x -1 ( x -1)( x +1) ( x -1)( x +1) x - x + x -1 lim = lim =2 x1 x1 x -1 ( x -1) ( x - 2)( x + 2)( x + 4) ( x - 4)( x + 4) x -16 = lim = lim = 32 lim x x - x x x-2 x-2 lim x1 lim x1 x6 - x5 + x ( x -1) x9 - x + ( x -1) x ( x -1) (4 x + x + x + 1) = lim ( x -1) x1 = 10 ( x -1) ( x + x + x5 + x + x3 + x + x + 8) = lim = 36 x1 ( x -1) ( x -1)( x + x5 + x + x3 + x + x + 1) x -1 lim = lim = x1 x -1 x1 ( x -1)( x + x3 + x + x +1) lim h lim x1 10 lim x = lim h h ( x + h - x)(( x + h) + x ( x + h) + x ) ( x + h) - x h ( x -1)(2 x -1) x - 3x +1 x -1 = lim = lim = 2 x - x + x -1 x1 ( x -1)( x + 1) x1 x + x - 3x + 2 ( x - 2) ( x - 2)( x -1) x -1 = lim = Ơ x x x - ( x - 2) = lim ( x - 2)( x + x + 4) x3 - x2 + x + 11 lim = lim = lim =3 x x - x x x+2 ( x - 2)( x + 2) = 2.3x = x ổ 1ử x ỗỗ3 - + ữữữ 3- + 3x - x +1 ốỗ x x ứ x x =3 12 lim = lim = lim x+Ơ x+Ơ x+Ơ ổ 2 x2 - 1- x ỗỗ1- ữữữ ỗố x ứ x 2 2 ổ 1ử ổ ổ 1ử ổ 2ử 2ử x ỗỗ1- ữữữ x ỗỗ7 + ữữữ x ỗỗ1- ữữữ ỗỗ7 + ữữữ 2 ỗ ỗ ỗ ỗ x x + ( )( ) ố xứ ố ố xứ ố xứ xứ = lim = lim = +Ơ 13 lim 2 x+Ơ x+Ơ x +Ơ ửữ ổ ửữ 1 (2 x +1) 2ổ ỗỗ2 + ữ x ỗỗ2 + ữữ ỗố ốỗ xứ x ứữ ổ ổ 1ử 1ử x ỗỗ3 - + ữữữ x ỗỗ3 - + ữữữ 3x - x +1 ốỗ ốỗ x x ứ x x ứ 14 lim = lim = lim = +Ơ x+Ơ x+Ơ x+Ơ 1 x -1 3ổ ữ 1- x ỗỗ1- ữữ ỗố x ứ x ổ ổ ửổ 1ử ổ 3ử ỗỗ3 + 12 ữữỗỗ5 + ữữ x ỗỗ3 + ữữữ.x ỗỗ5 + ữữữ ữ ữ ỗố ỗ ỗ ỗ ố x ứ ố xứ x ứố xứ = lim = lim =0 15 lim x+Ơ x -1 x + ( )( ) x+Ơ x3 ổỗỗ2 - 13 ữữử.x ỗỗổ1 + ữữử x+Ơ x ỗỗổ2 - 13 ửổ ữữỗỗ1 + ửữữ ữỗ ỗố ốỗ x ữứ ỗố x ữứ x ứố x ứữ (3x +1)(5 x + 3) tớnh cỏc gii hn Bi lim x1 x +8 -3 x + 2x - 3 lim x lim x 2 x -1 - x + x - x1 x2 - 4x + lim 4x - x-2 x- x +2 x +1 - lim x + -1 2x + - x + lim x + -1 x-6 + x-1 x-2 Gii: lim x1 ( )( ( ) ) x +8 -3 x +8 + x +8 -3 1 = lim = lim = x1 x + x - x1 ( x -1)( x + 3) x + + ( x + 3) x + + 24 ( ) ổ x - ỗỗ x + x + 4ữữ ( x - 2) 4x - ố ứ lim = lim = lim 2 x x x ổ ổ x-2 ( x - 2)ỗỗố x + x + 4ứữữ ( x - 2)ốỗỗ x + x + 4ứữữ ( 3 )( ( = lim x ( ) 4x + 4x + = 12 ) ) ( ) ( ( )( )( )( )( ) ) x- x+2 x+ x+2 x +1 + x- x +2 = lim x + - x x + - x + + x + x + lim x = lim x ( x - x - 2)( ) = lim ( x +1)( x +1 + (4 x - 8)( x + x + ) )=9 x +1 + x+ x+2 x 2 (2 x -1) - ( x + x - 2) 3( x -1) x -1 - x + x - = lim = lim =0 lim x1 x1 x1 ( x -1)( x - 3) x2 - 4x + ( x -1)( x - 3) ( ( x-1 ổ lim ) ( x +1) x + + x + x + -1 = lim =2 x + - x + x-1 ( x +1) x + +1 lim x-2 x + -1 = lim x - + x-2 ) ( x + 2)ỗốỗ( x - ) - x - + 4ữữứ ( x + 2)( x + + 2) ( = lim ) x-6 -23 x-6 + x-2 x +3 + 5.2 Giihnhmlnggiỏc Bi tớnh cỏc gii hn sin 3x x 2x lim lim x sin (-x) sin x 1- x + x 1- cos x lim sin 2 x - sin x sin x lim x x4 lim tan 20 x 11x 10 lim lim tan x tan x 11 lim lim 1- cos 3x x2 12 lim lim cos x - cos x x x2 13 lim ổ ửữ lim x ỗỗ ữ x ỗ ố sin x sin x ứữ 14 lim x0 x0 x 1- cos 2 x x x sin x 1- cos x x0 sin 2 x cos x - cos 3x x sin x sin x + sin x x 3sin x Giai: sin 3x sin 3x sin 3x 3 = lim = lim = = x x 2x 3x x x 2 lim 1- sin x - cos x x sin x =4 lim sin (-x) sin x x = lim (-1) x sin (-x) -x sin (-x) x 5x 1 lim = - lim = (-1) = x x0 sin x sin x 5 -x lim tan 20 x 20 tan 20 x 20 tan 20 x = lim = lim = 20 /11 x x 11x 11 20 x 11 20 x lim tan x tan x x tan x 6x lim = lim = lim = = / x x x tan x x tan x 9x tan x x x 1- cos x 32 1- cos ax a lim (xem li bi = = ) x x x2 x2 lim cos x - cos x cos x -1 + 1- cos x cos x -1 1- cos x = lim = lim + lim 2 x x x x x x2 x x lim = lim x -(1- cos x) x2 1- cos x 72 + lim = - + = 24 x x2 2 ổ ửữ x 3x lim x ỗỗ = lim - lim = - = -2 ữ ữ ỗ x0 ố sin x sin x ứ x0 sin x x0 sin x 1- x + 1- x + x2 x2 1 = = = lim lim = lim x x x0 1- cos x x 1- cos x x x + x + lim 1- cos x x x lim ( ) sin 2 x - sin x sin x 2sin x.cos x.sin x - sin x.2sin x.cos x = lim x x x x4 lim = lim x 2sin x sin x (cos x - cos x) x sin x sin x cos x -1 +1- cos x x x x x2 = lim ổ 22 ữử sin x sin x ổỗ cos x -1 1- cos x ữử ỗ = lim + lim lim .ỗlim ữữứ = 2.1.2.ỗỗố- + ữữữứ = x x x ỗố x0 x x x x2 1- cos 2 x sin 2 x 4sin x cos x sin x cos x = 1.4 = = lim = lim = lim x x0 x sin x x x x sin x x sin x x 10 lim 1- cos x 1- cos x x2 1 (2 x) 1 11 lim lim = = lim = = 1/ 2 x0 sin x x x sin x x0 sin x ổ x ữử cos x - cos x cos x - cos 3x x cos x -1 + 1- cos x lim = lim lim ỗỗ = ữ 2 x x x0 ỗ ố sin x ữứ sin x sin x x0 x x 12 lim cos x -1 1- cos 3x 32 lim + = + =4 x x0 x2 x2 2 = lim 13 lim x sin x + sin x 2sin x cos x + sin x cos x + = lim = lim =1 x x 3sin x 3sin x 1- sin x - (1- 2sin x) 1- sin x - cos x 14 lim = lim = lim ( 2sin x -1) = -1 x x x0 sin x sin x 5.3 Mtsbigiihnsdngnhlýkpgia Chỳ ý: lim f ( x ) = lim f ( x ) = x x Gii hn ca hm s nu cú l nht tớnh cỏc gii hn Bi sin x x+Ơ x lim x sin x x+Ơ x + lim x cos ( x + 1) ổ 1ử lim ỗỗ x cos ữữữ x ỗ ố xứ ổ 1ử lim ỗỗ x sin ữữữ x ỗ ố xứ lim x sin lim x+Ơ x + x +1 cos x lim x+Ơ x0 ( ) x + x +1 x ổ1 10 lim x cos ỗỗ - ữữữ ỗố x x ứ x cos x + sin x x+Ơ x +1 sin x + cos x lim x+Ơ x + x +1 11 lim + cos x lim x+Ơ x 12 lim x+Ơ x + cos x x +1 Giai: sin x x+Ơ x lim sin x = nhiờn gii hn trờn x Ơ nờn khụng th ỏp dng c x0 x Ta bit lim Li cú sin Ơ khụng xỏc nh, ta cú: 0Ê sin x 1 Ê = ( x +Ơ) x x x sin x 1 = nờn theo nh lý kp gia ta cú lim Ê lim Ê lim =0 x+Ơ x+Ơ x+Ơ x x+Ơ x x M lim lim x+Ơ sin x sin x = vy lim =0 x +Ơ x x ổ 1ử lim ỗỗ x cos ữữữ x0 ỗ ố xứ lim cos = cos (Ơ) khụng xỏc nh x0 x Ta cú: Ê x cos Êx x M lim x = nờn theo nh lý kp gia suy lim x cos x x 1 = lim x cos = x x x ổ 1ử lim ỗỗ x sin ữữữ = (nh cõu 2) x ỗ ố xứ lim x+Ơ Ta cú: Ê V lim x+Ơ x + x +1 cos x ( x + x +1 cos x ) x + x +1 = ( ) x + x +1 Ê x + x +1 x x + x +1 =0 x sin x + cos x =0 x+Ơ x2 + x +1 lim -1 Ê sin x Ê -2 Ê cos x Ê -3 Ê sin x + cos x Ê Ê sin x + cos x Ê Ta cú: Ê + cos x =0 x+Ơ x lim Ta cú: Ê + cos x Ê x x x sin x =0 x+Ơ x + lim Ta cú: Ê sin x + cos x Ê 2 x + x +1 x + x +1 lim x+Ơ x sin x x Ê 2 x +1 x +1 x cos ( x + 1) Ta cú: lim x = +Ơ v lim cos ( x + 1) khụng xỏc nh nờn gii hn khụng tn ti lim x sin = (nh bi 2) x x+Ơ x x+Ơ ổ1 10 lim x cos ỗỗ - ữữữ = ỗố x x ứ x cos x + sin x = (nh bi 5) x+Ơ x +1 11 lim x + cos x 2x cos x = lim + lim = 2+0 = x+Ơ x+Ơ x + x+Ơ x + x +1 12 lim Mtsbigiihnlnggiỏc sin x m x0 sin n x lim m sin x m xn sin x m xn xm m sin x lim x lim lim lim = = x0 sin n x x x m x n sin n x x0 x m x0 sin n x x0 x n n ổ x ữử sin x m xm xm ỗ lim lim = lim m lim ỗ = ữ x x ỗ x x n ố sin x ữứ x0 x n x lim Nu m = n thỡ lim xm xm = lim =1 x x m xn Nu m > n thỡ lim xm = lim x m-n = n x0 x Nu m < n thỡ lim xm = lim n-m = Ơ n x x x x x x lim p x sin x 1- cos x i bin: t = x - p p t x 3 Ta cú: ổ pử sin x = sin 3ỗỗt + ữữữ = sin (3t + p ) = sin 3t.cos p + sin p.cos 3t = - sin 3t ỗố 3ứ ổ pử p p cos x = cos ỗỗt + ữữữ = cos t cos - sin t.sin = cos t - sin t ỗố 3ứ 3 ( lim p x ) sin 3x - sin 3t - sin 3t t = lim = lim t t 1- cos x t 1- cos t + sin t 1- cos t + sin t - sin 3t t sin 3t lim = - lim .lim t t 1- cos t + sin t t t 3t t 1- cos t + sin t t = lim = -3 1 -3 - = =- ổ c os t sin t 1- cos t + sin t + ữữ lim ỗỗ + lim t ỗ ố t t t ữứ t Ta co: lim t t t sin = lim sin t = t t t 2 2sin 1- cos t = lim t t lim x sin x+Ơ p x õy l dng 0.Ơ , ú ta nghch o s hng Ơ xut hin dng p lim x sin = lim x+Ơ x x+Ơ i bin: t = lim x sin x+Ơ sin x p x , õy l s hng x ổ ữử ỗỗ ữ ốỗ ứữ t x +Ơ x p = lim x x+Ơ p x = lim sin pt = p lim sin pt = p.1 = p t t pt t x sin 1- tan x p ổ x ỗ x - p ữữ sin ỗ ỗố ứữ lim i bin: t = x - p p t x 4 p tan t + tan ổ p ữử = 1- tan t + = -2 tan t Ta cú : 1- tan x = 1- tan ỗỗt + ữữ = 1ỗố p 4ứ 1- tan t 1- tan t 1- tan t.tan -2 tan t sin t -2 -2 1- tan x cos t = lim = lim 1- tan t = lim lim = -2 p t sin t (1- tan t ) t cos t (1- tan t ) ổ ửữ t sin t p x ỗx - ữ sin ỗ ỗố ứữ 1- cos x x sin x lim i bin : t = cos x t x Ta cú: sin x = 1- cos x = 1- t = (1- t )(1 + t + t + t ) 1- cos x 1- t 1 = lim = lim = x t 1- t t + t + t + t sin x lim ( lim sin x + - sin x x+Ơ ) Ta cú: sin x + - sin x = cos x +1 + x sin 2 V Ê cos M lim sin x+Ơ lim cos x+Ơ x +1 + x x +1 - x x +1 + x sin = cos sin 2 2 ( x +1 + x x +1 + x sin 2 Vy lim cos x ( ) ( x +1 + x ) Ê sin ( x +1 + x ( x +1 + x ) = sin = nờn theo nh lý kp gia suy ( x +1 + x sin 2 x +1 + x ( ) =0 x +1 + x ) =0 ) Hay lim sin x + - sin x = x+Ơ lim x sin x x ỡ sin x ù ù neu x 0+ sin x ùù x =ớ Ta cú: ù sin x x ù neu x 0ù ù x ù ợ sin x - sin x = -1 , vỡ gii hn ca hm s l nht nờn gii hn ó cho = v limx x x x khụng tn ti M lim+ ) [...]... x 3sin x 3 1- sin x - (1- 2sin 2 x) 1- sin x - cos 2 x 14 lim = lim = lim ( 2sin x -1) = -1 x 0 x 0 x0 sin x sin x 5.3 Một số bài giới hạn sử dụng định lý kẹp giữa Chú ý: lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = 0 x 0 x 0 Giới hạn của hàm số nếu có là duy nhất tính các giới hạn Bài 6 1 sin x x+¥ x 7 lim x sin x x+¥ x 2 + 1 lim x cos ( x 2 + 1) æ 1ö 2 lim çç x cos ÷÷÷ x 0 ç è xø 8 æ 1ö 3 lim çç x sin... ) - 2 3 x - 6 + 4÷÷ø 2 ( x + 2)( x + 3 + 2) ( = lim 3 ) 2 x-6 -23 x-6 + 4 x-2 x +3 + 2 5.2 Giới hạn hàm lượng giác Bài 5 tính các giới hạn sin 3x x 0 2x 1 lim 2 lim x 0 sin (-x) sin 5 x 1- 2 x 2 + 1 x 0 1- cos x 8 lim sin 2 2 x - sin x sin 4 x 9 lim x 0 x4 3 lim tan 20 x 11x 10 lim 4 lim tan 9 x tan 6 x 11 lim 5 lim 1- cos 3x x2 12 lim 6 lim cos x - cos 7 x x 0 x2 13 lim æ 1 3 ö÷ 7 lim x çç ÷... x + 2 cos x £ 3 0 £ sin 2 x + 2 cos x £ 3 Ta có: 0 £ 6 1 + cos x =0 x+¥ x lim Ta có: 0 £ 7 1 + cos x 2 £ x x x sin x =0 x+¥ x 2 + 1 lim Ta có: 0 £ 8 sin 2 x + 2 cos x 3 £ 2 2 x + x +1 x + x +1 lim x+¥ x sin x x £ 2 2 x +1 x +1 x cos ( x 2 + 1) Ta có: lim x = +¥ và lim cos ( x 2 + 1) không xác định nên giới hạn không tồn tại 9 lim x 2 sin 1 = 0 (như bài 2) x x+¥ x 0 x+¥ æ1 1 ö 10 lim x cos çç... ra ( x +1 + x sin 2 2 1 x +1 + x ( ) =0 1 x +1 + x ) =0 ) Hay lim sin x + 1 - sin x = 0 x+¥ 7 lim x 0 sin x x ì sin x ï ï neu x 0+ sin x ïï x =í Ta có: ï sin x x ï neu x 0ï ï x ï î sin x - sin x = -1 , vì giới hạn của hàm số là duy nhất nên giới hạn đã cho = 1 và limx 0 x 0 x x không tồn tại Mà lim+ ) ... = x 0 x0 5 sin 5 x sin 5 x 5 5 -x 3 lim tan 20 x 20 tan 20 x 20 tan 20 x = lim = lim = 20 /11 x 0 x 0 11x 11 20 x 11 20 x 4 lim tan 9 x tan 9 x x tan 9 x 1 6x 1 lim = lim = lim 9 = 9 = 3 / 2 x 0 x 0 x 0 tan 6 x x tan 6 x 9x 6 tan 6 x 6 x 0 x 0 1- cos 3 x 32 1- cos ax a 2 lim (xem lại bài tập = = ) x 0 x 0 x2 2 x2 2 5 lim cos x - cos 7 x cos x -1 + 1- cos 7 x cos x -1 1- cos 7 x =... hạn không tồn tại 9 lim x 2 sin 1 = 0 (như bài 2) x x+¥ x 0 x+¥ æ1 1 ö 10 lim x cos çç - 2 ÷÷÷ = 0 çè x x ø x 0 cos x + sin x = 0 (như bài 5) x+¥ x 2 +1 11 lim 2 x + cos x 2x cos x = lim + lim = 2+0 = 2 x+¥ x+¥ x + 1 x+¥ x + 1 x +1 12 lim Một số bài giới hạn lượng giác 1 sin x m x0 sin n x lim m sin x m 1 xn sin x m xn xm m sin x lim x lim lim lim = = x0 sin n x x 0 x m x n sin n x x0... + sin x x+¥ x 2 +1 sin 2 x + 2 cos x 5 lim x+¥ x 2 + x +1 11 lim 1 + cos x 6 lim x+¥ x 12 lim x+¥ 2 x + cos x x +1 Giai: 1 sin x x+¥ x lim sin x = 1 tuy nhiên giới hạn trên x ¥ nên không thể áp dụng được x0 x Ta biết lim Lại có sin ¥ không xác định, ta có: 0£ sin x 1 1 £ = ( x +¥) x x x sin x 1 1 = 0 nên theo định lý kẹp giữa ta có lim 0 £ lim £ lim =0 x+¥ x+¥ x+¥ x x+¥ x x Mà lim lim... đảo số hạng ¥ để xuất hiện dạng p lim x sin = lim x+¥ x x+¥ Đổi biến: t = lim x sin x+¥ 4 sin 1 x p x 0 , ở đây là số hạng x 0 æ 0 ÷ö çç ÷ èç 0 ø÷ 1 t 0 khi x +¥ x p = lim x x+¥ p x = lim sin pt = p lim sin pt = p.1 = p t 0 t 0 1 pt t x sin 1- tan x p æ ö x ç x - p ÷÷ 4 sin ç çè 4 ø÷ lim Đổi biến: t = x - p p t 0 khi x 4 4 p tan t + tan æ p ÷ö 4 = 1- tan t + 1 = -2 tan t Ta có :... = lim = 5 2 3 4 x1 1- t x1 1- t 1 + t + t + t + t ( )( ) 5 L1 = lim 4 Vậy lim x1 Bài 3 2 x -1 + 5 x - 2 1 1 7 = + = x -1 2 5 10 tính các giới hạn x 2 + 2 x -15 1 lim x3 x -3 2 2 x 2 + 3x +1 x-1 x 2 -1 lim 2 x 2 - 3x +1 9 lim 3 x1 x - x 2 + x -1 10 lim x 2 - 3x + 2 2 ( x - 2) x 2 x 2 - x 2 + x -1 3 lim x1 x -1 11 lim x 4 -16 x-2 12 lim 4 lim x 2 5 lim x1 x 2 x3 - 8 x2 - 4 3x 2 - 5 x +1 x+¥... ÷÷ö x+¥ x ççæ2 - 13 öæ ÷÷çç1 + 1 ö÷÷ ÷ç çè èç x ÷ø çè x ÷ø x øè x ø÷ (3x 2 +1)(5 x + 3) tính các giới hạn Bài 4 1 lim x1 x +8 -3 2 x + 2x - 3 3 2 lim x 2 3 lim x 2 2 x -1 - x 2 + 2 x - 2 x1 x2 - 4x + 3 4 lim 4x - 2 x-2 5 x- x +2 4 x +1 - 3 6 lim x + 2 -1 2x + 6 - x + 5 lim x + 3 -1 x-6 + 2 x-1 x-2 3 Giải: 1 lim x1 ( )( ( ) ) x +8 -3 x +8 + 3 x +8 -3 1 1 = lim = lim = 2 x1 x + 2 x - 3 x1 ( x ... (-1) = x x0 sin x sin x 5 -x lim tan 20 x 20 tan 20 x 20 tan 20 x = lim = lim = 20 /11 x x 11x 11 20 x 11 20 x lim tan x tan x x tan x 6x lim = lim = lim = = / x x x tan x x tan x 9x... x sin (-x) sin x 1- x + x 1- cos x lim sin 2 x - sin x sin x lim x x4 lim tan 20 x 11x 10 lim lim tan x tan x 11 lim lim 1- cos 3x x2 12 lim lim cos x - cos x x x2 13 lim ổ ửữ lim x ỗỗ ữ x ỗ ố... x-1 x -1 lim x - 3x +1 lim x1 x - x + x -1 10 lim x - 3x + 2 ( x - 2) x x - x + x -1 lim x1 x -1 11 lim x -16 x-2 12 lim lim x lim x1 x x3 - x2 - 3x - x +1 x+Ơ x2 - x - x5 + x ( x -1) 2 ( x -1)