20 CÁCH GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN Nguyễn Xuân Thành, ĐHBKHN Ở cấp THCS ta làm quen với định lí quen thuộc tam giác ABC cân có AM vừa trung tuyến vừa đường phân giác.Bài toán chứng minh không khó nhiên câu hỏi đặt có cách để chứng minh toán này.Chắc hẵn có nhiều cách chứng minh toán này.Khi học lớp 12 mày mò, lục lọi, để tìm 20 cách giải cho toán trên, tất nhiên cách giải khác có số cách dựa vào định lí kiến thức PHẦN 1:GIẢI THEO KIẾN THỨC TRUNG HỌC CƠ SỞ • Cách 1: Vì AM phân giác nên Mặt khác AM trung tuyến nên MB=MC Suy AB=AC,nghĩa tam giác ABC cân Cách 2: Kẻ ME⊥ AB MF⊥AC.Vì AM phân giác nên theo tính chất đường phân giác ta có ME=MF.Từ suy MEB=MFC (cạnh huyền-cạnh góc vuông)⇒⇒.Vậy ∆ABC cân B Cách A M N C Lấy điểm N thoả mãn⇒∆AMC=∆NMB (c.g.c)⇒AC=BN (1) Và ∆BAN cân B nên AB=BN (2) Từ (1) (2) ta có AB=AC.Vậy ∆ABC cân Cách 4: A I B M C Kẻ MI ⃦AB, Áp dụng định lí Talet ta có ⇒AB=2MI AC=2AI.(1) Do MI ⃦AB⇒(do AM phân giác) ⇒∆IAM cân⇒AI=IM (2) Từ (1) (2) ⇒AB=AC.Do ∆ABC cân Cách A E J I M B C Kẻ phân giác BE EJ ⃦BC Gọi I giao điểm AM BE Theo định lí Talet từ giả thiết: ⇒AB=AC Vì ∆ABC tam giác cân Cách 6: A Kẻ trung tuyến BN gọi G trọng tâm ∆ABC Thế AC=2AN GB=2GN Do AG phân giác nên ⇒AB=2AN N G Cách 7: B Do AB=AC=2AN Vậy ∆ABC cân M C A E C B M Giả sử AB>AC⇒tồn điểm E cạnh AB cho AE=AC.Dễ dàng nhận thấy ∆AEM=∆ACM (c.g.c)⇒ME=MC.Mà theo giả thiết MB=MC ⇒ME=MB⇒∆MBE cân M Nên ⇒Vô lí Vậy ABAC.Lập luận tương tự xét với trường hợp AB Do (1) xảy AB-AC=0 hay AB=AC.Nghĩa tam giác ABC cân Cách 15: C Đặt Áp dụng định lí sin: Thế mà MB=MC nên từ đẳng thức suy sinB=sinC ⇒ Tuy nhiên nên (2) bị loại.Vậy nên (1) tức tam giác ABC cân Cách 16: Đặt A Do MB=MC nên diện tích(dt) ∆ABM=dt∆AMC (1) Mà dt∆ABM= (2) Và dt∆ACM= (3) Từ (1) (2) (3) suy AB=AC.Vậy ∆ABC cân Cách 17: B C y B Trong cách dùng phương pháp gắn trục toạ độ M M A x Gắn A làm gốc toạ độ AM làm trục hoành Trục tung Ay ⊥AM Vì AM phân giác nên AB AC đối xứng qua AM C ⇒Phương trình AB: y=kx ⇒Phương trình AC: y=-kx Gọi B(b,kb) C(c,-kc).Vì M trung điểm BC nên tung độ M y=(kbkc)/2 Mà M thuộc trục hoành nên tung độ =0 ⇒(kb-kc)/2=0 ⇒ b=c ⇒ AB=AC Vậy tam giác ABC cân Cách 18: Gọi H trực tâm tam giác ABC A Trên tia đối tia MA lấy D thoả mãn Đặt BC=2a, áp dụng công thức T ta có AM.MD=MB.MC= ⇒ (1) H Ta có Và B Có điều M trung điểm BC Nhân vế theo vế hai đẳng thức ta để ý H trực tâm tam giác ABC ta có được: = = M D C = = (2) Cộng hai vế (1) (2) suy =0 ⇒=0 ⇒=0 ⇒M trung điểm DH suy A,H,M,D thẳng hàng ⇒AM đường cao tam giác ABC Nên ∆AMB=∆AMC(g.c.g)⇒AB=AC.Do ∆ABC cân Cách 19: Lấy D tia đối tia MA thoả mãn Theo công thức T ta có AM.MD=MB.MC (1) A Xét tam giác AMB CMD có Nên suy ⇒∆AMB∆ACD(g.g.g) ⇒⇒ AM.AD=AB.AC (2) Lấy (2)-(1) vế theo vế : AB.AC-MB.MC=AM.AD-AM.MD= B M Đặt AB=c,AC=b,BC=a ta có :bc - = D Nhưng mà theo công thức đường trung tuyến thì: C Thế nên: bc⇒⇒b=c ⇒AB=AC Vậy tam giác ABC cân Cách 20: Cách cuối xét từ toán tổng quát để suy toán trường hợp riêng nó.Xét tam giác ABC có trung tuyến AM phân giác AD.Thế toán ban đầu trường hợp riêng mà AM AD Đặt AB=c,AC=b,BC=a,BD=x,CD=y.⇒x+y=a (1) A Hoàn toàn tương tự cách 19 ta có : AB.AC-BD.DC=bc-xy.(3) Từ tính chất phân giác nên: (2) Từ (1) (2) suy x= y= (5) Thay vào (3) được=bc - B D AM trung tuyến nên Xét hiệu = Như AM vừa trung tuyến vừa phân giác AMAD (4) M C Để ý a,b,c cạnh tam giác nên đúng.Nghĩa (4) xảy hay b=c Vậy tam giác ABC cân  Ta làm ngắn gọn cách sau: Khi mà AM vừa trung tuyến vừa phân giác AMAD⇒DB=DC= ⇒x=y= (6) Từ (5) (6) giải ta đưa kết b=c.Tức ∆ABC cân Lời kết: hết !!!! [...]... giác ABC cân Cách 20: Cách cuối cùng này sẽ xét từ bài toán tổng quát để suy ra bài toán trên chỉ là một trường hợp riêng của nó.Xét một tam giác ABC bất kì có trung tuyến AM và phân giác trong AD.Thế thì bài toán ban đầu sẽ là trường hợp riêng khi mà AM AD Đặt AB=c,AC=b,BC=a,BD=x,CD=y.⇒x+y=a (1) A Hoàn toàn tương tự như cách 19 ta luôn có : AB.AC-BD.DC=bc-xy.(3) Từ tính chất phân giác nên: (2) Từ (1)... cân Cách 19: Lấy D trên tia đối của tia MA thoả mãn Theo công thức T ta có AM.MD=MB.MC (1) A Xét 2 tam giác AMB và CMD có Nên suy ra ⇒∆AMB∆ACD(g.g.g) ⇒⇒ AM.AD=AB.AC (2) Lấy (2)-(1) vế theo vế được : AB.AC-MB.MC=AM.AD-AM.MD= B M Đặt AB=c,AC=b,BC=a thì ta có :bc - = D Nhưng mà theo công thức đường trung tuyến thì: C Thế nên: bc⇒⇒b=c ⇒AB=AC Vậy tam giác ABC cân Cách 20: Cách cuối cùng này sẽ xét từ bài toán. .. (4) M C Để ý rằng a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên luôn đúng.Nghĩa là (4) xảy ra chỉ khi hay b=c Vậy là tam giác ABC cân  Ta có thể làm ngắn gọn hơn bằng cách sau: Khi mà AM vừa là trung tuyến vừa là phân giác thì AMAD⇒DB=DC= ⇒x=y= (6) Từ (5) (6) giải ra ta cũng đưa về kết quả b=c.Tức là ∆ABC cân Lời kết: hết rồi !!!! ... AB: y=kx ⇒Phương trình AC: y=-kx Gọi B(b,kb) và C(c,-kc).Vì M là trung điểm của BC nên tung độ của M là y=(kbkc)/2 Mà M thuộc trục hoành nên tung độ =0 ⇒(kb-kc)/2=0 ⇒ b=c ⇒ AB=AC Vậy là tam giác ABC cân Cách 18: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC A Trên tia đối của tia MA lấy D thoả mãn Đặt BC=2a, áp dụng công thức T ta có AM.MD=MB.MC= ⇒ (1) H Ta có Và B Có được điều trên là do M là trung điểm của BC ... bc⇒⇒b=c ⇒AB=AC Vậy tam giác ABC cân Cách 20: Cách cuối xét từ toán tổng quát để suy toán trường hợp riêng nó.Xét tam giác ABC có trung tuyến AM phân giác AD.Thế toán ban đầu trường hợp riêng mà... giác cân Cách 6: A Kẻ trung tuyến BN gọi G trọng tâm ∆ABC Thế AC=2AN GB=2GN Do AG phân giác nên ⇒AB=2AN N G Cách 7: B Do AB=AC=2AN Vậy ∆ABC cân M C A E C B M Giả sử AB>AC⇒tồn điểm E cạnh AB cho AE=AC.Dễ... tam giác ABC cân Cách 9: K A B M C Từ C kẻ CK ⃦AM (K).Khi ta được: Do ∆AKC cân A ⇒AK=AC (1) Hơn theo định lí Talet mà MB=MC nên BA=AK (2) Từ (1) (2) ta có AB=AC,vậy ∆ABC cân Cách 10: A K C B