SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán PHẦN I: LÝ DO NGHIÊN CỨU I Cơ sở lý luận Trong trình phát triển, xã hội đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo người Chính mà dạy Toán không ngừng bổ sung đổi để đáp ứng với đời đòi hỏi xã hội Vì người giáo viên nói chung phải luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi Đảng Nhà nước đặt Trong chương trình môn toán lớp THCS kiến thức Giá trị tuyệt đối không nhiều song lại quan trọng, tiền đề để học sinh tiếp tục học lên cấp THPT Khi giải toán có áp dụng Giá trị tuyệt đối đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức phương trình, hệ phương trình, phép biến đổi đại số Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức, kỹ từ đơn giản đến phức tạp “Ứng dụng Giá trị tuyệt đối giải toán” giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo giải toán Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức,thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh II Cơ sở thực tiễn Giá trị tuyệt đối loại toán mà học sinh THCS coi loại toán khó, nhiều học sinh cách áp dụng Giá trị tuyệt đối để giải toán nào? Có phương pháp nào? Mặt khác, nội dung thi vào cấp THPT có áp dụng Giá trị tuyệt đối hạn chế nên học sinh lại không ý Các toán ứng dụng Giá trị tuyệt đối dạng toán hay khó, có nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, tài liệu viết vấn đề hạn chế chưa hệ thống thành phương pháp định gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, công tác tự bồi dưỡng giáo viên GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán Mặt khác, việc tìm hiểu phương pháp giải có ứng dụng Giá trị tuyệt đối giáo viên nghiên cứu Vì việc nghiên cứu phương pháp giải toán có ứng dụng Giá trị tuyệt đối thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt chất lượng học sinh giỏi giáo viên giỏi trường THCS III Mục đích nghiên cứu + Nghiên cứu “Ứng dụng Giá trị tuyệt đối giải toán” giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức học, mở rộng, đào sâu hoàn thiện hiểu biết Từ có phương pháp giảng dạy phần có hiệu + Nghiên cứu vấn đề để nắm thuận lợi, khó khăn dạy học phần Giá trị tuyệt đối bồi dưỡng học sinh giỏi, từ định hướng nâng cao chất lượng dạy học môn toán + Nghiên cứu vấn đề giúp giáo viên có tư liệu tham khảo dạy thành công Giá trị tuyệt đối IV Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tình hình dạy học học vấn đề nhà trường Hệ thống hoá số phương pháp giải có ứng dụng Giá trị tuyệt đối Tìm hiểu mức độ kết đạt triển khai đề tài Phân tích rút học kinh nghiệm V Phạm vi đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: a Các tài liệu b Giáo viên, học sinh giỏi trường THCS Đông Thái GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp ứng dụng Giá trị tuyệt đối giải toán thường gặp THCS VI Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp điều tra, khảo sát Phương pháp thử nghiệm Phương pháp tổng kết kinh nghiệm VII Giả thuyết khoa học Nâng cao chất lượng dạy học sau nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán PHẦN II: NỘI DUNG A Lý thuyết giá trị tuyết đối Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm trục số giá trị tuyệt đối số a (a số thực) * Giá trị tuyệt đối số không âm nó, giá trị tuyệt đối số âm số đối Tổng quát: Nếu a ≥ ⇒ a = a Nếu a < ⇒ a = −a Nếu x-a ≥ 0=> = x-a Nếu x-a ≤ 0=> = a-x Tính chất * Giá trị tuyệt đối số không âm * Tổng quát: a ≥ với a ∈ R * Cụ thể: =0 a=0 ≠ a ≠ * Hai số đối có giá trị tuyệt đối nhau, ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối chúng hai số đối Tổng quát: a = b a =b ⇔  a = −b * Mọi số lớn đối giá trị tuyệt đối đồng thời nhỏ giá trị tuyệt đối Tổng quát: − a ≤ a ≤ a − a = a ⇔ a ≤ 0; a = a ⇔ a ≥ * Trong hai số âm số nhỏ có giá trị tuyệt đối lớn Tổng quát: Nếu a < b < ⇒ a > b GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán * Trong hai số dương số nhỏ có giá trị tuyệt đối nhỏ Tổng quát: Nếu < a < b ⇒ a < b * Giá trị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối a.b = a b Tổng quát: * Giá trị tuyệt đối thương thương hai giá trị tuyệt đối a a = b b Tổng quát: * Bình phương giá trị tuyệt đối số bình phương số a = a2 Tổng quát: * Tổng hai giá trị tuyệt đối hai số lớn giá trị tuyệt đối hai số, dấu xảy hai số dấu a + b ≥ a + b a + b = a + b ⇔ a.b ≥ Tổng quát: B Các dạng toán : I Tìm giá trị x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: A(x) = k (Trong A(x) biểu thức chứa x, k số cho trước) * Cách giải: - Nếu k < giá trị x thoả mãn đẳng thức (Vì giá trị tuyệt đối số không âm) - Nếu k = ta có A( x) = ⇒ A( x) =  A( x ) = k  A( x ) = − k - Nếu k > ta có: A( x) = k ⇒  Bài 1.1: Tìm x, biết: a) x − = b) − − 2x = 4 c) 1 − x+ = d) GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ − 2x + = SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán Giải: a) x − = ⇔ 2x – = ± * 2x – = * 2x – = – 2x = 2x = – x = 4,5 2x = x = 0,5 Vậy: x = 4,5 ; x =0,5 b) − − 2x = 4 ⇔ 1 − 2x = − = 4 12 5   − x = 12 2 x = ⇔ ⇔   − 2x = − 2 x =   12 14  − = x=  12 12 ⇔ 12  14 x = − =  12 12 12 8 7 Vậy: x ∈  ;  12 12  Bài 1.2: Tìm x, biết: a) 2 x − = b) 7,5 − − x = −4,5 c) x + − − 3,75 = − − 2,15 15 Bài 1.3: Tìm x, biết: a) 3x − + = b) x −1 = c) − x + + = 3,5 d) x − 1 =2 Bài 1.4: Tìm x, biết: a) x + c) − = 5% 4 + x− = 4 b) − −5 x− = 4 d) 4,5 − 5 x+ = Bài 1.5: Tìm x, biết: a) 6,5 − : x + =2 b) 11 + : 4x − = GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán c) 15 − 2,5 : x + = 4 21 x + 3: − = d) Dạng 2: A(x) = B(x) (Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x) * Cách giải: a = b Vận dụng tính chất: a = b ⇔   a = −b  A( x) = B ( x ) Ta có: A( x) = B( x) ⇒   A( x) = − B ( x) Bài 2.1: Tìm x, biết: a) x − = x + b) x − − 3x + = c) + 3x = x − d) x + − x + = Giải: a) x − = x + * 5x – = x + * 5x – = – x – 5x – x = + 5x + x = – + 4x = 6x = x =1,5 x= Vậy: x= 1,5 ; x= Bài 2.2: Tìm x, biết: a) x + = 4x − 2 c) x + = x− 3 b) x − d) − x+ =0 x+ − x+5 = Dạng 3: A(x) = B(x) (Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x) * Cách 1: Ta thấy B(x) < giá trị x thoả mãn giá trị tuyệt đối số không âm Do ta giải sau: A( x ) = B ( x) (1) Điều kiện: B(x) ≥ (*) GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán  A( x) = B ( x) (1) Trở thành A( x) = B( x) ⇒   A( x) = − B ( x) (Đối chiếu giá tri x tìm với điều kiện (*)) * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu a ≥ ⇒ a = a Nếu a < ⇒ a = −a Ta giải sau: A( x) = B( x) (1) • Nếu A(x) ≥ (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện ) • Nếu A (x ) < (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện ) Ví dụ: Tìm x ∈ Q biết =2x (TMĐK) * Xét x+ ≥ , ta có x + = 2x ⇔ x = *Xét x+ < , ta có x + = – 2x ⇔ x = − Vậy : x = (Không TMĐK) 15 Bài 3.1: Tìm x, biết: a) x = − 2x b) x − = 3x + c) x = x − 12 d) − x = x + c) x + − = x d) x − + x = 21 c) x + 15 + = 3x d) x − + x = c) 3x − = x + d) x − + = x Bài 3.2: Tìm x, biết: a) + x = x b) x − 3x = Bài 3.3: Tìm x, biết: a) + x = −4 x b) 3x − + = x Bài 3.4: Tìm x, biết: a) x − = x + b) 3x − − = x Bài 3.5: Tìm x, biết: GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán a) x − + = x b) x + − x = c) 3x − + = 3x d) − x + = x Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối * Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: A( x ) + B ( x ) + C ( x) = m Căn bảng xét khoảng giải toán (Đối chiếu điều kiện tương ứng) Ví dụ1 : Tìm x biết x − + x − = x − (1)  Nhận xét: Như biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta biến đổi biểu thức vế trái đẳng thức Từ tìm x Giải: Xét x – = ⇔ x = 1; x – < ⇔ x < 1; x – > ⇔ x > x – = ⇔ x = 3; x – < ⇔ x < 3; x – > ⇔ x > Ta có bảng xét dấu đa thức x – x – đây: x x–1 x–3 – – + – + + Xét khoảng x < ta có: (1) ⇔ (1 – x ) + ( – x ) = 2x – ⇔ – 2x + ⇔ x= = 2x – (giá trị không thuộc khoảng xét) Xét khoảng ≤ x ≤ ta có: (1) ⇔ (x – ) + ( – x ) = 2x – ⇔ = 2x – GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán ( giá trị thuộc khoảng xét) ⇔ x = Xét khoảng x > ta có: (1) ⇔ (x – ) + (x – ) = 2x – ⇔ 0.x = – ( Phương trình vô nghiệm) Kết luận: Vậy x = Ví dụ : Tìm x, biết + =0 Nhận xét : x+1 = => x = –1 x –1 = => x =1 Ta lập bảng xét dấu x –1 x+1 – + x–1 – – Căn vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp + + Nếu x< – 1, ta có PT : – x – – x + = ⇔ x = (không TMĐK) Nếu –1 ≤ x ≤ 1, ta có PT : x + – x + = ⇔ 0.x = – (PT vô nghiệm) Nếu x >1, ta có PT : x + + x – = ⇔ x = (không TMĐK) Vậy giá trị x thỏa mãn đề Bài 4.1: Tìm x, biết: a) 3x − + x − x − + x − = 12 5 b) x + − x + − x + + x − = 5 c) − x + x − + = 1,2 d) x + + x − = − x Bài 4.2: Tìm x, biết: a) x − + x + = b) x + + x − = d) x + + x − + x + = c) x − + x − + x − = e) x + + − x = 11 Bài 4.3: Tìm x, biết: a) x − + x − + x − = b) 3x x + − x x + = 12 c) x − + x − − x − = d) x + − − x = x GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 10 SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán Bài 6.3: Tìm x, biết: a) x x − =x 1 3  b)  x +  x − = x − c) x − x − b) x − − = c) 3x + − =  2 4 3 = 2x − 4 Bài 6.4: Tìm x, biết: a) x − − x + = x − Dạng 7: A + B = Vận dụng tính chất không âm giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức * Nhận xét: Tổng số không âm số không âm tổng số hạng tổng đồng thời * Cách giải chung: A + B = Bước1: Đánh giá: A ≥ 0 ⇒ A + B ≥0 B ≥ 0 A = B = Bước 2: Khẳng định: A + B = ⇔  Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn: a) 3x − + y + = b) x − y + y + =0 25 c) − x + y + = Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn: a) − x + b) y −3 = 11 23 − + x + 1,5 − + y =0 17 13 c) x − 2007 + y − 2008 = Chú ý 1: Bài toán cho dạng A + B ≤ kết không thay đổi * Cách giải: A + B ≤ (1) A ≥ 0 ⇒ A + B ≥0 B ≥ 0 (2) GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 12 SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán A = B = Từ (1) (2) ⇒ A + B = ⇔  Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn: a) x + + y − ≤ b) x + y + y − ≤ c) x − y + + y + ≤ Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn: a) 12 x + + 11y − ≤ b) 3x + y + y − ≤ c) x + y − + xy − 10 ≤ Chú ý 2: Do tính chất không âm giá trị tuyệt đối tương tự tính chất không âm luỹ thừa bậc chẵn nên kết hợp hai kiến thức ta có tương tự Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: a) x − y − + y + = b) x − y 2006 c) ( x + y ) + 2007 y − = d) 2007 + y+4 2008 x − y − + 2007( y − 3) =0 2008 =0 Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn : a) ( x − 1) + ( y + 3) = c) 3( x − y ) 2004 +4y+ =0 b) 2( x − 5) + y − = d) 1  x + 3y −1 + 2 y −  2  b) x − y + 10 y + 2000 =0 Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn: a) x − 2007 + y − 2008 ≤ c) 13 1  x−  24 2 2006 + 2007 y+ ≤0 2008 25 ≤0 2008 2007 d) 2007 x − y + 2008 y − ≤ Dạng 8: A + B = A + B * Cách giải: Sử dụng tính chất: a + b ≥ a + b Từ ta có: a + b = a + b ⇔ a.b ≥ Bài 8.1: Tìm x, biết: GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 13 SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán a) x + + − x = b) x − + x − = c) 3x − + 3x + = d) x − + x + = 11 e) x + + x − = 3x − f) x − + − x + x − = Bài 8.2: Tìm x, biết: a) x − + x − = b) x + + x + = c) 3x + + − x = 13 d) x + + − x = + 3x e) x + + 3x − + x − = f) x − + x − = II Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: A + B = m với m ≥ * Cách giải: A = B = Nếu m = ta có A + B = ⇔  Nếu m > ta giải sau: A + B = m (1) Do A ≥ nên từ (1) ta có: ≤ B ≤ m từ tìm giá trị B A tương ứng Ví dụ : Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: |x – y – 2| + |y + 3| = Giải: |x – y – 2| + |y + 3| = x − y − =  x = −1 ⇔ ⇔ y +3 =  y = −3 Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x − 2007 + x − 2008 = b) x − y − + y + = c) ( x + y ) + y − = Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x − y + y + = b) x − y − + ( y − 3) = c) x + y − + y + = Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn: a) x + + y − = b) x + + y − = GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 14 SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán c) 3x + y + = d) x + y + = Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x − + y + = b) x + + y − = 12 c) 3x + y + = 10 d) x + y + = 21 Bài 1.5: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) y = − x − b) y = − x − c) y = − x + d) y = 12 − x − 2 Dạng 2: A + B < m (với m > 0) * Cách giải: Đánh giá A + B < m (1) A ≥ 0  ⇒ A + B ≥ (2) B ≥ 0 Từ (1) (2) ⇒ ≤ A + B < m từ giải toán A + B = k dạng với 0≤k d) ( 3x + 1)( − x ) > Bài 4.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) ( − x )( x + 1) = y + b) ( x + 3)(1 − x ) = y c) ( x − 2)( − x ) = y + + Bài 4.3: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) ( x + 1)( − x ) = y + b) ( x − 2)( − x ) − y + = c) ( x − 3)( x − 5) + y − = Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế đẳng thức * Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B Đánh giá: A ≥ m (1) Đánh giá: B ≤ m (2) A = m B = m Từ (1) (2) ta có: A = B ⇔  Bài 5.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x + + x − = − ( y + 2) 12 b) x − + − x = y + + GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 16 SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán c) y + + = 10 ( x − 6) d) x − + − x = y + + +2 Bài 5.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 16 a) x + + x − = 2( y − 5) + b) x + + x − = y − + y + 12 10 c) 3x + + 3x − = ( y + 3) + d) x − y − + = y − + Bài 5.3: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 14 20 a) ( x + y − 2) + = y − + y − b) ( x + 2) + = y + + 30 c) x − 2007 + = y − 2008 + d) x + y + + = y + + III Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối * Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối thu gọn Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 ≤ x ≤ 4,1 a) A = x − 3,5 + 4,1 − x b) B = − x + 3,5 + x − 4,1 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau x < – 1,3: a) A = x + 1,3 − x − 2,5 b) B = − x − 1,3 + x − 2,5 Bài 3: Rút gọn biểu thức: a) A = x − 2,5 + x − 1,7 b) B = x + Bài 4: Rút gọn biểu thức a) A = x − − x+ + 5 − x− 5 c) C = x + + x − −3 IV Tính giá trị biểu thức Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a) M = a + 2ab – b b) N = a − b với a = 1,5; b = −0,75 với a = 1,5; b = −0,75 Bài 2: Tính giá trị biểu thức: −3 a) A = x + xy − y với x = 2,5; y = b) B = 3a − 3ab − b với a = ; b = 0,25 c) C = 5a − b d) D = 3x − x + 1 3 với a = ; b = 0,25 với x = Bài 3: Tính giá trị biểu thức: a) A = x − 3x + x + với x = −2 b) B = x − y với x = ; y = −3 c) C = x − − 31 − x với x = 5x − x + d) D = 3x − với x = V Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm giá trị tuyệt đối GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 18 SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán * Cách giải chủ yếu từ tính chất không âm giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất bất đẳng thức để đánh giá giá trị biểu thức Bài 1.1: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = 0,5 − x − 3,5 d) D = 2x +3 x −1 c) C = e) E = 5,5 − x − 1,5 f) F = − 10,2 − 3x − 14 5,8 g) G = − x − − y + 12 h) H = 2,5 − x + 5,8 k) K = 10 − x − l) L = − x − 1 3x +2 b) B = − 1,4 − x − 4x −5 i) I = − 2,5 − x − 5,8 12 m) M = x − + n) N = + x + + Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = 1,7 + 3,4 − x b) B = x + 2,8 − 3,5 c) C = 3,7 + 4,3 − x d) D = 3x + 8,4 − 14,2 e) E = x − + y + 7,5 + 17,5 f) F = 2,5 − x + 5,8 g) G = 4,9 + x − 2,8 h) H = x − k) K = 3x − − l) L = 3x − + + i) I = 1,5 + 1,9 − x m) M = 51 − x − Bài 1.3: Tìm giá trị lớn biểu thức: −1 15 a) A = + 3x + + 20 24 c) C = + 3x + + y + + 21 b) B = + 815 x − 21 + d) D = −6 + x − y + x + + 21 e) E = + ( x + y ) + x + + 14 Bài 1.4: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = x + + 11 7x + + b) B = y + + 13 2y + + c) C = 15 x + + 32 x +1 + Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 19 SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán −8 a) A = + x + + 24 C= 14 b) B = − y − + 35 c) 15 28 − 12 x − y + x + + 35 Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = 21 x + + 33 4x + + b) B = y + + 14 y + + 14 c) C = − 15 x + − 68 x + + 12 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị biểu thức: Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + − x b) B = x − + x + c) C = 3x + + − 3x d) D = x + + x − e) E = x − + + x f) F = x + + − x Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x − + x + b) B = x − + − 3x c) C = x + + 4x − Bài 2.3: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = − x − + x + b) B = − x + + x + c) C = − 3x − + − 3x Bài 2.4: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = −2 x − + x + b) B = −3 x − + − 3x c) C = −5 − x + x + Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + x − b) B = x − + x − + c) C = x − + x + Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + x − b) B = x − + x + c) C = x − + 3x + GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 20 SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + x + + b) B = 3x − + 3x + + c) C = x + + x − + 12 Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + x − + x − b) B = x + + 3x − + x − + c) C = x + + x − + x − d) D = x + + x + + x − + Bài 3.4: Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x +1 + y − Bài 3.5: Cho x – y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = x − + y +1 Bài 3.6: Cho x – y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = 2x + + y + Bài 3.7: Cho 2x+y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = 2x + + y + + GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 21 SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán PHẦN III : KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Nội dung giá trị tuyệt đối đưa vào khóa thời gian cuối học kỳ II lớp 8, kiến thức khó, học sinh dễ nhầm lẫn giải toán lượng thời gian dành cho vấn đề nên giáo viên lảng tránh nội dung phần ôn tập kiểm tra học kỳ II Chính vậy, học sinh gặp nội dung đề thi thường nghĩ khó ngại làm Để khắc phục tình trạng này, thời gian ôn tập hè hàng năm dành ba buổi học có nội dung “Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán” để dạy cho học sinh, giúp học sinh lên lớp nắm kiến thức chương trình Tùy theo chất lượng học sinh hang năm điều chỉnh lượng kiến thức phù hợp để em hiểu hứng thú học tập Qua ba năm triển khai cho học sinh từ lớp lên lớp thấy hiệu đạt tích cực, em không ngại làm có giá trị tuyệt đối, chí thích toán có nhiều tình Sau kết bước đầu thực đề tài “Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán” cho học sinh lớp lên lớp Độ hiểu Năm học Lớp 2009 – 2010 2010 – 2011 2011 - 2012 8E 8C 8A Lớp 20% 40% 50% 9C 9C 9A GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 60% 70% 80% 22 SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán PHẦN IV : KẾT LUẬN I Bài học kinh nghiệm Ứng dụng Giá trị tuyệt đối dạng toán thiếu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa chưa đủ, đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ xung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm vấn đề * Để dạy cho học sinh hiểu vận dụng tốt ứng dụng Giá trị tuyệt đối thân giáo viên phải hiểu nắm vững Giá trị tuyệt đối : dạng Giá trị tuyệt đối , phân biệt khác dạng, đồng thời phải nắm vững phương pháp giải dạng toán có ứng dụng Giá trị tuyệt đối * Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho thân nâng cao kiến thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt trình dạy học II-Kết luận chung: Để thực tốt công việc giảng dạy, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi người thày phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu Trong trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu tham khảo , rút số kinh nghiệm nêu Hy vọng đề tài “Ứng dụng Giá trị tuyệt đối giải toán” kinh nghiệm để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nâng cao lực tư duy, sáng tạo rèn kỹ giải toán có ứng dụng Giá trị tuyệt đối cho học sinh Trong trình nghiên cứu tránh khỏi sai sót, hạn chế mong giúp đỡ, góp ý đồng nghiệp Đông Thái, ngày 15 tháng năm 2013 Người viết GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 23 SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán Tường Thị Thanh Mai GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 24 SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán MỤC LỤC PHẦN I: LÝ DO NGHIÊN CỨU I Cơ sở lý luận II Cơ sở thực tiễn III Mục đích nghiên cứu IV Nhiệm vụ nghiên cứu V Phạm vi đối tượng nghiên cứu VI Phương pháp nghiên cứu VII Giả thuyết khoa học PHẦN II: NỘI DUNG A Lý thuyết B Các dạng toán I.Tìm giá trị x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối II Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 14 III Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 17 IV.Tính giá trị biểu thức 18 V Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 19 PHẦN III KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 22 PHẦN IV KẾT LUẬN 23 GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 25 SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán LỜI CAM ĐOAN  Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm Các nội dung nghiên cứu kết đề tài trung thực chưa công bố sáng kiến kinh nghiệm trước Nếu phát có gian lận xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước Hội đồng, kết sáng kiến kinh nghiệm Đông Thái, ngày 15 tháng năm 2013 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Người viết Tường Thị Thanh Mai GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 26 [...]... luỹ kinh nghiệm về vấn đề này * Để dạy cho học sinh hiểu và vận dụng tốt các ứng dụng của Giá trị tuyệt đối thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về Giá trị tuyệt đối : các dạng của Giá trị tuyệt đối , phân biệt sự khác nhau giữa các dạng, đồng thời phải nắm vững các phương pháp giải của các dạng toán có ứng dụng Giá trị tuyệt đối * Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng... PHẦN II: NỘI DUNG 4 A Lý thuyết 4 B Các dạng toán 5 I.Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối 5 II Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 14 III Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 17 IV.Tính giá trị biểu thức 18 V Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 19 PHẦN III KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 22 PHẦN IV... Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 60% 70% 80% 22 SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán PHẦN IV : KẾT LUẬN I Bài học kinh nghiệm Ứng dụng của Giá trị tuyệt đối là một dạng toán không thể thiếu được trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng... 1 Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = 2x + 3 + y + 2 + 2 GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 21 SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán PHẦN III : KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Nội dung về giá trị tuyệt đối được đưa vào chính khóa trong thời gian cuối của học kỳ II lớp 8, tuy là kiến thức khó, học sinh rất dễ nhầm lẫn khi giải toán nhưng lượng thời gian... Tính giá trị của các biểu thức: 3 2 a) A = 6 x − 3x + 2 x + 4 với x = −2 3 1 2 b) B = 2 x − 3 y với x = ; y = −3 c) C = 2 x − 2 − 31 − x với x = 4 5x 2 − 7 x + 1 d) D = 3x − 1 với x = 1 2 V Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 1 Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 18 SKKN: Ứng dụng của giá. .. của giá trị tuyệt đối GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 18 SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán * Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) A = 0,5 − x − 3,5 d) D = 2x +3 3 x −1 c) C = e) E = 5,5 − 2 x − 1,5 f) F = − 10,2... Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 23 SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán Tường Thị Thanh Mai GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 24 SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán MỤC LỤC PHẦN I: LÝ DO NGHIÊN CỨU 1 I Cơ sở lý luận 1 II Cơ sở thực tiễn 1 III Mục đích nghiên cứu 2 IV Nhiệm vụ nghiên cứu 2 V Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 2 VI Phương pháp nghiên cứu... dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x + 2 + x − 3 b) B = 2 x − 4 + 2 x + 5 c) C = 3 x − 2 + 3x + 1 GV: Tường Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 20 SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x + 5 + x + 1 + 4 b) B = 3x − 7 + 3x + 2 + 8 c) C = 4 x + 3 + 4 x − 5 + 12 Bài 3.3: Tìm giá. .. Thị Thanh Mai- Trường THCS Đông Thái – Tây Hồ 17 SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán 1 5 1 5 c) C = 2 − x + x − + 8 1 2 d) D = x + 3 + x − 3 1 5 với 1 2 1 1 ≤x≤2 5 5 với x > 0 IV Tính giá trị biểu thức Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: a) M = a + 2ab – b b) N = a 2 − 2 b với a = 1,5; b = −0,75 với a = 1,5; b = −0,75 Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: −3 4 a) A = 2 x + 2 xy − y với x... Hồ 3 =x 4 11 SKKN: Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán Bài 6.3: Tìm x, biết: 2 a) x x − 3 =x 4 1 3 3  b)  x +  2 x − = 2 x − c) x − 2 x − b) x − 1 − 1 = 2 c) 3x + 1 − 5 = 2  2 4 4 1 2 3 3 = 2x − 4 4 Bài 6.4: Tìm x, biết: a) 2 x − 3 − x + 1 = 4 x − 1 7 Dạng 7: A + B = 0 Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức * Nhận xét: Tổng của các số không .. .SKKN: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán Mặt khác, việc tìm hiểu phương pháp giải có ứng dụng Giá trị tuyệt đối giáo viên nghiên cứu Vì việc nghiên cứu phương pháp giải toán có ứng dụng Giá. .. số nhỏ có giá trị tuyệt đối nhỏ Tổng quát: Nếu < a < b ⇒ a < b * Giá trị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối a.b = a b Tổng quát: * Giá trị tuyệt đối thương thương hai giá trị tuyệt đối a a... dụng Giá trị tuyệt đối thân giáo viên phải hiểu nắm vững Giá trị tuyệt đối : dạng Giá trị tuyệt đối , phân biệt khác dạng, đồng thời phải nắm vững phương pháp giải dạng toán có ứng dụng Giá trị