Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN HỌC  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH LŨY THỪA CỦA MA TRẬN VUÔNG Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực ThS Nguyễn Hoàng Xinh Nguyễn Thị Mỹ Cầm MSSV: 1110007 Lớp: SP Toán K37 Cần Thơ, 2015 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông LỜI CẢM ƠN Trong sống thành công mà không dựa nỗ lực, tâm cá nhân với giúp đỡ hỗ trợ người Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin gửi đến quý Thầy Cô Bộ môn Toán nói riêng, Khoa Sư phạm nói chung lời cảm ơn chân thành tạo điều kiện để em học tập, nghiên cứu, mở rộng kiến thức tạo hội để em thực hoàn thành luận Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hoàng Xinh tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Song tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến quý báu từ quý Thầy cô bạn đọc để luận văn em hoàn thiện Cuối lời, em xin kính chúc quý Thầy Cô dồi sức khỏe, thành công công tác giảng dạy sống Cần Thơ, ngày 20 tháng 04 năm 2015 Sinh viên thực Nguyễn Thị Mỹ Cầm GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG Chương 1: Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông…………….5 1.1 Tính lũy thừa ma trận vuông phương pháp tính trực tiếp…… 1.2 Tính lũy thừa ma trận vuông phương pháp quy nạp toán học……………………………………………………………….10 1.3 Tính lũy thừa ma trận vuông phương pháp sử dụng nhị thức Newton………………………………………………………20 1.4 Tính lũy thừa ma trận vuông phương pháp chéo hóa ma trận……………………………………………………………….27 1.5 Tính lũy thừa ma trận vuông phương pháp đưa dạng chuẩn Jordan…………………………………………………… 35 1.6 Tính lũy thừa ma trận vuông phương pháp sử dụng định lý Cayley – Hamilton……………………………………………41 Chương 2: Bài tập lời giải…………………………………………………….45 PHẦN KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số tuyến tính môn học quan trọng sinh viên ngành Toán sinh viên ngành Kỹ thuật khác, học phần tạo cho em nhiều hứng thú học Đại số tuyến tính gồm nhiều vấn đề em đặc biệt quan tâm vấn đề liên quan đến ma trận Được gợi ý GVHD em chọn đề tài “ Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông” Mục đích nghiên cứu  Thực đề tài em hướng đến mục đích nghiên cứu rèn luyện kỹ tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề toán học  Việc nghiên cứu giúp em có nhiều kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi sau Phương pháp nghiên cứu  Thu thập tài liệu từ giáo trình, sách, vở, trang web  Phân tích, tổng hợp xếp lại cách thích hợp  Trao đổi với GVHD Nội dung nghiên cứu Luận văn gồm hai chương:  Chương 1: Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông Trong chương gồm phương pháp tính: tính trực tiếp, sử dụng công thức Newton, quy nạp, chéo hóa ma trận, đưa dạng chuẩn tắc Jordan, sử dụng định lý Cayley – Hamilton  Chương 2: Bài tập lời giải GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông PHẦN NỘI DUNG Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH LŨY THỪA CỦA MA TRẬN VUÔNG 1.1 Tính lũy thừa ma trận vuông phương pháp tính trực tiếp 1.1.1 Phương pháp Phân tích ma trận ma trận đặc biệt ma trận đơn vị, ma trận không 1.1.2 Các ví dụ a) Ví dụ  1 Tính    1  2014 Giải  1 1 0 Đặt A   suy A4      1  0 1 Ta có: A2014   A4  503  1  A2  A2     1  Sử dụng Maple > with(linalg): A:=matrix(2,2,[0,1,-1,0]): A2014:=evalm( A2014 );  1  A2014 :    1 b) Ví dụ Trong M   cho 1 0 2014 A  , tính A  1 Giải GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông 1 0 Ta có A3    0 1 Khi A2014   A3  671  0 A A   1  Sử dụng Maple > with(linalg): A:=matrix(2,2,[1,0,2,1]): A2014:=map(irem,evalm( A2014 ),3); 1 0 A2014 :    1 c) Ví dụ 0 0 Cho A   0  0 0 0 0 0  , tính An , n  1  0 * Giải Ta thấy A4   An  0, n   0   0  0   0  Vậy An  0, n   0   0   0  0 0 0  ,n  0  0 0 0 1  ,n  0  0 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông  Sử dụng Maple > with(linalg): A:=matrix(4,4,[0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0]): A2:=evalm( A2 ); A3:=evalm( A3 ); A4:=evalm( A4 ); 0 0 A2 :  0  0 0 0 0 0 0  0 1 A3 :  0 0   0 0 0 0 0 0 1 0  0 0 A4 :  0 0   0 0 0 0 0 0 0  0  0 d) Ví dụ a b Cho ma trận A    với a, b, c  0 c i) Chứng minh A2014  A2  ii) Tìm ma trận A để n  : An  I Giải i) 2014 Ta có A  a 2014   d   với d số thực c 2014  0 b Từ A2014   a  c  nên A   A2   0 0 ii)  an Ta có: An   0 e  với e số thực cn  Từ giả thiết An  I  a n  c n  Vì xảy trường hợp: 1 b  nb  A1    A1n   nên b = thỏa A12  I   0 1 0   1   A22  I Tương tự ta có A2     1 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông 1 A3   0  1 A4   0 b  A32  I  1 b  A42  I  1 e) Ví dụ Tìm tất ma a, b, c, d  , n  trận a b A  c d  cho  an An   n c bn   dn  với * Giải 0 0 Ta thấy A    ma trận cần tìm 0 0  an Vì A   n c n bn   với n  dn  *  an  A  n c n  a  bc b  a  d    a Khi ta có: A       c2 c a  d bc  d      a  bc  a bc    b  a  d   b   b a  d  b   c a  d  c     c  a  d  c    2 bc  d  d  bn   với n = dn  b2   d2  1  2  3 Trường hợp 1: c  b  Từ hệ phương trình ta có:  a  d  c   4 Từ đẳng thức:  a3 A  c  a2  a   a3 0 b3   A A       2 3 3    d   c  a  d  d   c d   ac  a  d   d c d   c3  ac  a  d   d 2c GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông Từ  4 a  d  ta có c = a+d thay vào phương trình ta được:  a(a  d )  d (a  d )  ad  b  0 0 + Nếu a = từ   ta có:   A ,c  c c d  c  b  d  c 0 + Nếu d = từ   ta có:   A ,c  c 0 a  c  Trường hợp 2: b  0 b b b , b  A   Tương tự trường hợp ta có: A    ,b  0 b  0 Trường hợp 3: b = c = a 0  A  0 d  Thử lại trường hợp thỏa  0 b 0 0 c  d d   e , , , , Vậy ma trận cần tìm  a a   b   c   0   0 f  Với a, b, c, d, e, f số thực f) Ví dụ  a b Cho ma trận A    , a, b   b a  , tính An , n  * Giải  a b   | a, b   Đặt M     b a   Xét ánh xạ f : a  bi M  a b  b a    Dễ dàng chứng minh f đẳng cấu trường GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông  a     | a     a   Xét g : a a 0 0 a   Dễ dàng chứng minh g đẳng cấu trường a 0 Nên ta đồng a    0 a    1   1   1  i  i   Ta thấy:      1   1  1   a b Như với   tùy ý thuộc M ta có:  b a   a b   a   b    b a    a    b  1   a  bi        Khi  a b   r  cos  sin    b a    r   sin  cos           sin    r    cos         cos    1  sin     r  r  a  b  Với  a b ,sin   cos   a  b2 a  b2  Áp dụng công thức Moivre ta tính được:    sin n   a b   r n    cos n            n cos n   1  sin n    b a   r   n  cos n sin n   rn     sin n cos n  1.2 Tính lũy thừa ma trận vuông phương pháp quy nạp toán học 1.2.1 Phương pháp 10 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông  3020 3019 1006   f  A  R  A  1008 A  A   3019 3017 1005   3018 3015 1004    Cách  3 1  3 1     Ta tính được: A2   3 1 , A3   3 1  3 1  3 1      3 1   Dễ dàng chứng minh quy nạp An   3 1 , n   3 1   Suy f  A  2014 A2014  2013 A2013   A2  A  2014 A2  2013 A2   A2  A   2014  2013    A2  A  3020 3019 1006   1008 A2  A   3019 3017 1005   3018 3015 1004     Sử dụng Maple > with(linalg): A:=matrix(3,3,[4,-5,2,5,-7,3,6,-9,4]): f :  i  1 xi : i 1 fA:=evalm(subs(x = A, f);  3020 3019 1006  fA :  3019 3017 1005   3018 3015 1004    105 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông  1 1  1 1   , B  A2  A  I Chứng minh ma Bài 44 Cho ma trận A    1 1     1 1  trận B 2014 khả nghịch tìm ma trận nghịch đảo ma trận B 2014 Giải Cách Đa thức đặc trưng A : PA        2  1   2  3     2  1  Theo định lý Cayley – Hamilton ta có: A  A  I   4I   B  4I  det  B    B khả nghịch Và B 1  B Khi đó,  B  B2  2014   2014 1 1007   B  1 2014 1    B 4  2014  2014 B 2014 41007 I  2014 I 2014 4 Cách  1  1 0 0 D  O  Đặt C   , ,   1  0 0  1     C D Khi đó, A    D C Dễ dàng tính được: C  2C, D2  I , CD  DC  C 106 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông O 2C  D   Theo giả thiết ta có: B  A2  A  I    O  2C  D  I  B2   O O  det  B    B khả nghịch I  Và B 2014   B  1007   B 2014   1 I  41007  O  I2  O 2014 O I  O  2014 I  I2   Sử dụng Maple > with(linalg): A:=matrix(4,4,[1,1,0,-1,1,1,-1,0,0,-1,1,1,-1,0,1,1]): B:=evalm( A2  A  1): ifactor(det(evalm( B 2014 ))); 28056 > “Suy B kha nghich” “Suy B kha nghich” > map(ifactor,evalm( ( B 2014 )1 )); 107 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông   22014          0 2014 0 2014 0           22014  a b Bài 45 Cho ma trận A    trường số phức c d  f  x  đa thức tùy ý Tính f  A Giải Gọi  ,  giá trị riêng A Suy đa thức đặc trưng A : PA              Lấy f    chia cho PA    giả sử thương Q    dư R    Khi đó, f     PA    Q     R     f  A  PA  A Q  A  R  A  R  A Vì theo định lý Cayley – Hamilton PA  A  Giả sử R     a  b  c với a, b, c  + Thường hợp 1:     f    R   Suy   f     R    Vì PA    PA     108 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông f   f  f    f     a     a  b         a  b b   f      f       f  A  R  A  f    f     f      f   A I2     + Trường hợp 2:    Vì  nghiệm bội PA     nên  a  f '     f    a  b   f    R     '   ' ' ' f   R  f   a            b  f     f   f  A  R  A  f '   A   f     f '    I Bài 46 Cho ma trận A  M   f  x  đa thức tùy ý Tính f  A , từ suy cách tính lũy thừa An Giải Gọi PA  x  đa thức đặc trưng A Theo định lý Cayley – Hamilton PA  A  Lấy f  x  chia cho PA  x  giả sử thương Q  x  dư R  x  Khi đó, f  x   PA  x  Q  x   R  x   f  A  PA  A Q  A  R  A  R  A Giả sử R  x   ax  bx  c với a, b, c  Giả sử  ,  ,  giá trị riêng A 109 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông + Trường hợp 1:  ,  ,  phân biệt a  b  c  f    a, b, c nghiệm hệ phương trình a  b  c  f     a  b  c  f    + Trường hợp 2:    ,  phân biệt a  b  c  f    a, b, c nghiệm hệ phương trình 2a  b  f '    a  b  c  f    + Trường hợp 3:      a  b  c  f    a, b, c nghiệm hệ phương trình 2a  b  f '    ''  a  f   Chọn f  x   x n An  aA2  bA  cI với a, b, c cách xác định Bài 47 Cho A, B ma trận vuông thực cấp thỏa A  0, B  0, AB  BA , A2014  B2014  Tính det f  C  biết : C   A  B   2014 2014 2014  I    A  B   I     A  B   I       10 10 Giải Ta có: A2014  B 2014   A2  B    A  B  2014 0 Khi đó, C   211  36  I suy det  C   211  36 110 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông 1 3   Bài 48 Cho ma trận A   1  đa thức 1 2   f  x   x10  x9  x7  x6  5x5  x  Tính f  A Giải Đa thức đặc trưng A : PA       2  4  Lấy f    chia cho PA    ta dư R     7662  10909  6718  48275 10909 117009    Khi đó, f  A  R  A  7662 A2  10909 A  6718I   15324 3471 37142   33895 7662 82170     Sử dụng Maple > with(linalg): A:=matrix(3,3,[1,1,3,0,-1,2,1,0,2]): f : x10  x9  x7  x6  5x5  x  : fA:=evalm(subs(x = A,f));  48275 10909 117009  fA :  15324 3471 37142   33895 7662 82170    111 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông Bài 49 Tính An  1 1 a) A   3   1 0 0  với n nguyên dương 3   1   4   5 2   với n = 2014 b) A    0 2     0 1  Giải a) Giả sử S ' sở tắc , f  End  Đa thức đặc trưng A PA          cho  f  S' A Suy đa thức cực tiểu A g A         Số khối Jordan liên kết với đa thức     là:   rank  A  2I   2rank  A  2I   rank  A  2I   Vì A ma trận vuông cấp số khối Jordan nên cấp khối Jordan 2 0 Dạng chuẩn tắc Jordan A là: J   0  0 0 0 0  1  2 112 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông  2n  n Dễ dàng tính J   0  0 n2n 1 2n 0 2n 0 Gọi S  u1 , u2 , u3 , u4  sở f  f  f f     n2n 1   2n  cho  f S  J  u1   2u1  u2   u1  2u2  u1 , u3 vectơ riêng A ứng với giá trị riêng    u3   2u3  u4   u3  2u4 u1   1, 1,1,0   u3  1,1,0,1 Giả sử u2   a, b, c, d  với a, b, c, d  Ta có:  f S  A ,  ui S  ui , i  1, f  u2   u1  2u2  Au2  u1  2u2 ' '  a  b  1 a  c     3a  3c  3d   4a  b  3c  3d  b   c  d     a   1  Chọn c  0, d     u2   , ,0,0  3  b    Tương tự ta tìm u4   0, 1,0,0  Gọi P ma trận chuyển sở từ S ' sang S 113 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông   1  Suy P   1  1 0  0  0  1   0   n2n 1  2n  n2n 1 n n 1  Khi đó, A  PJ P   3n2n 1  n 1  4n 2n 1 n n n 1 2 n n 1 3n2  2n n2n 1 3n2n 1    n 1  3n2  2n  3n2n 1   Sử dụng Maple > with(linalg): A:=matrix(4,4,[3,-1,0,0,1,1,0,0,3,0,5,-3,4,-1,3,-1]): J:=jordan(A,’P’); 2 0 J :  0  0 0 0 0  1  2 Jn:=matrix(4,4,[ 2n , n.2n1 ,0,0,0,2n ,0,0,0,0,2n , n.2n1,0,0,0,2n ]): An:=multiply( P, Jn, P 1 );  n2n 1  2n  n2n 1  An :  3n2n 1  n 1  4n 2n 1 n n n 1 2 n n 1 3n2  2n n2n 1 3n2n 1    n 1  3n2  2n  3n2n 1  114 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông b) Giả sử S ' sở tắc , f  End  Đa thức đặc trưng A PA        1    1  cho  f  S' A Suy đa thức cực tiểu A g A        1    1 2 Số khối Jordan liên kết với đa thức    1 là:   rank  A  I   2rank  A  I   rank  A  I   1 Số khối Jordan liên kết với đa thức    1 là:   rank  A  I   2rank  A  I   rank  A  I   1 Vì A ma trận vuông cấp số khối Jordan nên cấp khối Jordan 1 0 Dạng chuẩn tắc Jordan A là: J   0  0 0 0  1   0 1 1 0  n Dễ dàng tính J    0  0 Gọi S  u1 , u2 , u3 , u4  f  f  f f   u1   u1  u2   u1  u2  u3   u3  u   u3  u n 0  1 0    n 1 n  1   n  1  n sở cho f S J 115 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông  u1 , u3 vectơ riêng A ứng với giá trị riêng   1,   1 u1  1,1,1,1  u3  1,1,0,0  Giả sử u2   a, b, c, d  với a, b, c, d  Ta có:  f S  A ,  ui S  ui , i  1, f  u2   u1  u2  Au2  u1  u2 ' '  a  d  2a  4b  2d     4a  6b  2c  4d   b  d 2c  2d    c   d   a    1  Chọn d   b   u2   ,0, ,0  2   c   1  Tương tự ta tìm u4   ,0,0,0  4  Gọi P ma trận chuyển sở từ S ' sang S  1  Suy P   1  1  2 1 0 1 4  0  0   116 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông Khi đó, A2014  8055 8056 12084 12084   8056 8057 12084 12084  2014 1   PJ P    0 4029 4028    4028 4027    Sử dụng Maple > with(linalg): A:=matrix(4,4,[3,-4,0,2,4,-5,-2,4,0,0,3,-2,0,0,2,-1]): J:=jordan(A,’P’): A2014:=multiply(P,evalm( J 2014 ), P 1 );  8055 8056 12084 12084   8056 8057 12084 12084   A2014 :   0 4029 4028    4028 4027   117 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông PHẦN KẾT LUẬN Luận văn nêu được:  Các phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông tập liên quan đến lũy thừa ma trận vuông  Cách tính lũy thừa ma trận, chéo hóa ma trận, tìm dạng chuẩn tắc Jordan ma trận phần mền Maple Ngoài ra, số toán đại số tuyến tính quy giải số phức ngược lại Đây hai điều mà em tâm đắc luận văn Bên cạnh điều đạt luận văn số hạn chế: tính lũy thừa ma trận cấp cao, phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông phương pháp đưa dạng chuẩn tắc Jordan luận văn chưa nêu cách giải trường số phức Qua luận văn em học hỏi nhiều kinh nghiệm kiến thức Đại số tuyến tính tảng cho trình học sau em Nếu điều kiện cho phép em nghiên cứu sâu ma trận vuông nhằm cung cấp thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên đặc biệt bạn thi Olympic Toán học sinh viên Tuy cố gắng nhiều bảo tận tình GVHD hạn chế mặt kiến thức, thời gian nên luận văn nhiều thiếu sót mong nhận ý kiến quý báu từ quý thầy cô bạn đọc 118 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thanh Bình – Nguyễn Hoàng Xinh (2006), Giáo trình Đại số tuyến tính, Đại học Cần thơ [2] Trần Lưu Cường (2000), Toán Olympic cho sinh viên tập II, Nhà xuất giáo dục [3] Lê Tuấn Hoa (2005), Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội [4] Hội toán học Việt Nam (2012), Các đề dự tuyển đáp án Olympic toán học sinh viên lần thứ XX – 2012, Hà Nội [5] Hội toán học Việt Nam (2013), Kỷ yếu kỳ thi Olympic toán sinh viên lần thứ XXI, Đại học Duy Tân, Đà Nẵng [6] Hoàng Việt Long (2013), Chuyên đề số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông, Đại học giao thông vận tải [7] Nguyễn Văn Mậu (2006), Các đề thi Olympic toán sinh viên toàn quốc, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [8] Ngô Việt Trung (2001), Giáo trình Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội [9] Nguyễn Hoàng Xinh (2005), Tài liệu bồi dưỡng Toán Olympic sinh viên phần Đại số, Đại học Cần thơ, Cần Thơ [10] Nguyễn Hoàng Xinh (2005), Bài giảng Maple, Đại học Cần Thơ, Cần Thơ [11] Jean – Marie Monier (2006), Giáo trình toán – tập Đại số 2, Nhà xuất giáo dục 119 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm [...]... 1.5 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp đưa ma trận về dạng chuẩn tắc Jordan 1.5.1 Khối Jordan Ta gọi ma trận sau đây là một khối Jordan  0 J    0  0 1  0 0 0 0  1   Nếu cấp của khối Jordan bằng 1 ta qui ước J        35 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông Ta gọi ma trận sau đây là ma trận. .. trong đó BC = CB, B, C là các ma trận tính lũy thừa dễ dàng n Bước 2: An   B  C    Cnk B nk C k n k 0 20 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông a 0  Chú ý: Ma trận    0 0 a 0 0 0   aI n giao hoán với mọi ma trận vuông   a cùng cấp 1.3.2 Các ví dụ a) Ví dụ 1  4 1 Cho ma trận A   , tính lũy thừa An , n    0 3 *... bằng Maple > with(linalg): A:=matrix(3,3,[2,0,0,1,1,0,0,0,2]): B:=matrix(3,3,[2,1,0,0,1,0,0,0,2]): C:=det(evalm( A10  B10 )); C:=-2134902784 1.4 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp chéo hóa ma trận 1.4.1 Thuật toán chéo hóa ma trận Cho ma trận A  M n ( ) Để chéo hóa ma trận A (nếu có thể) ta có thuật toán chéo hóa như sau: Bước 1: Lập phương trình đặc trưng A   I n  0 và giải phương. ..   sin 2014 x cos 2014 x   Sử dụng Maple > with(linalg): A:=matrix(2,2,[cos(x),-sin(x),sin(x),cos(x)]): A2014:=combine(evalm( A2014 ));  cos(2014 x)  sin(2014 x)  A2014 :    sin(2014 x) cos(2014 x)  1.3 Tính lũy thừa của ma trận vuông bằng phương pháp sử dụng nhị thức Newton 1.3.1 Phương pháp Giả sử A là ma trận vuông cấp k, tính lũy thừa bậc n của ma trận A với n nguyên dương Bước 1 : Phân.. .Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông Bước 1: Tính các lũy thừa A2 , A3 , A4 , Bước 2: Dự đoán công thức tổng quát An Bước 3: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đã dự đoán ở bước 2 1.2.2 Các ví dụ a) Ví dụ 1  1 1 Cho ma trận A   , tính A2014   0 1 Giải  1 2  3  1 3 4  1 4  Ta tính được: A2    , A   0 1 ,...  Với n cụ thể ta có thể kiểm tra bằng Maple Giả sử n = 2014 > with(linalg): A:=matrix(2,2,[4,1,0,3]): A1:=evalm( A2014 ): A2:=matrix(2,2,[ 42014 , 42014  32014 ,0,32014 ]): equal(A1,A2); true 21 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông b) Ví dụ 2 1 1 0   Cho ma trận A   0 1 1  , tính lũy thừa An , n  0 0 1   * Giải 1 0 0... ta có thể kiểm tra bằng Maple Giả sử n = 100 Theo cách giải trên thì Tr  A  3 Bây giờ ta sử dụng Maple để giải 23 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông > with(linalg): A:=matrix(3,3,[-1,a,a,1,-1,0,-1,0,-1]): TrA:=simplify(trace(evalm( A100 ))); TrA:=3 d) Ví dụ 4 Tính tổng các phần tử trên đường chéo phụ của ma trận An biết  1 1 1... 2014 ta được: A2014   1  0  Sử dụng Maple 11 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông > with(linalg): A:=matrix(2,2,[1,1,0,1]): A2014:=evalm( A2014 );  1 2014  A2014 :   0 1   b) Ví dụ 2  1 1 1   Cho ma trận B  1 1 1 , tính B n với n   1 1 1   * Giải  3 3 3 9 9 9     Ta tính được: B 2   3 3 3   3B, B 3 ...   0 1 1993   0 0 1   0 0 1   Bây giờ ta sử dụng Maple để giải > with(linalg): A:=matrix(3,3,[1,1,0,0,1,1,0,0,1]): A1993:=evalm( A1993 ); 22 GVHD: Th.S Nguyễn Hoàng Xinh SVTH: Nguyễn Thị Mỹ Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông  1 1993 1985028  A1993 :  0 1 1993  0  0 1   c) Ví dụ 3 Tìm vết của ma trận A , n  n *  1 a a    biết A   1 1 0   1 0 1... Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa của ma trận vuông 0 0 0 lim aij  n    0 0 0  n  0 0 0    Sử dụng Maple > with(linalg): A:=matrix(3,3,[ 1 1 1 ,1,1,0,3, ,1,0,0, ]): 2 3 6 eigenvects(A): 1 1 1 [ ,1,{[-6,1,0]}],[ ,1,{[15,-6,1]}],[ ,1,{[1,0,0]}] 3 6 2 > Bn:=matrix(3,3,[ 1 1 1 ,0,0,0, n ,0,0,0, n ]): n 2 3 6 T:=matrix(3,3,[3,3,[1,-6,15,0,1,-6,0,0,1]): Limit( aij (n),n = infinity) = map(limit,multiply(T,Bn, ... Cầm Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông PHẦN NỘI DUNG Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH LŨY THỪA CỦA MA TRẬN VUÔNG 1.1 Tính lũy thừa ma trận vuông phương pháp tính trực tiếp 1.1.1 Phương. .. DUNG Chương 1: Một số phương pháp tính lũy thừa ma trận vuông ………….5 1.1 Tính lũy thừa ma trận vuông phương pháp tính trực tiếp…… 1.2 Tính lũy thừa ma trận vuông phương pháp quy nạp... 1.3 Tính lũy thừa ma trận vuông phương pháp sử dụng nhị thức Newton………………………………………………………20 1.4 Tính lũy thừa ma trận vuông phương pháp chéo hóa ma trận …………………………………………………………….27 1.5 Tính lũy thừa