PHÇN §¹I Sè BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỢT ẨN A TÓM TẮT LÍ THÚT: Các phép biến đởi bất phương trình: a) Phép cợng: Nếu f(x) xác định D thì P(x) < Q(x) ⇔ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x) b) Phép nhân: * Nếu f(x) >0, ∀ x ∈ D thì P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) < Q(x).f(x) * Nếu f(x) Q(x).f(x) c) Phép bình phương: Nếu P(x) ≥ và Q(x) ≥ 0, ∀ x ∈ D thì P(x) < Q(x) ⇔ P ( x ) < Q ( x) B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Bài 1: Tìm điều kiện của các phương trình sau đây: a) x+2 < x+2 ( x − 3) b) x+2 + x3 ≥ x − 3x + Bài 2: Giải bất phương trình sau: − x + x − ≥ −10 a) d) 3x + x+2 −1 ≤ +x b) ( x − 2) x − − x − x+2 − x +1 > x + 3 f) ( x − 4) ( x + 1) > Bài 3: Giải các hệ phương trình:  5x +  ≥ − x a)   − x < 3x +  13  x −1 ≤ 2x −  c) 3 x < x +  − 3x  ≤ x −3  DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT  4x −  < x + b)   3x + > x −  3(2 x − 7)   −2 x + > d)   x − < 5(3x − 1)  2 A TÓM TẮT LÍ THÚT: Dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b x –∞ − f(x) (Trái dấu với hệ số a) * Chú ý: Với a > ta có: b a +∞ (Cùng dấu với hệ số a)  f ( x) ≤ −a f ( x) ≥ a ⇔   f ( x) ≥ a f ( x) ≤ a ⇔ −a ≤ f ( x) ≤ a B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Xét dấu biểu thức Bài 1: Xét dấu các biểu thức a) f(x) = 3x(2x + 7) b) g(x) = (–2x + 3)(x – 2)(x + 4) ( x + 1)(4 − x) c) h(x) = − 2x d) k(x) = 1 − 3− x 3+ x Dạng 2: Giải các phương trình và bất phương trình Bài 1: Giải các bất phương trình a) x(x – 1)(x + 2) < −4 x + ≤ −3 3x + g) x − > x − d) b) (x + 3)(3x – 2)(5x + 8)2 < x + 3x − > −x 2− x h) x − x − = e) c) >1 3− x f) x − < k) x + ≤ x − x + BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BPT BẬC NHẤT HAI ẨN A TÓM TẮT LÍ THÚT: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c (1) ( a + b ≠ ) Bước 1: Trong mp Oxy, vẽ đường thẳng ( ∆ ) : ax + by = c Bước 2: Lấy M o ( xo ; yo ) ∉ (∆) (thường lấy M o ≡ O ) Bước 3: Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c Bước 4: Kết ḷn  Nếu axo + byo < c thì nửa mp bờ ( ∆ ) chứa Mo là miền nghiệm của ax + by ≤ c  Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ ( ∆ ) khơng chứa Mo là miền nghiệm của ax + by ≤ c Bỏ bờ miền nghiệm của bpt (1) ta được miền nghiệm của bpt ax + by < c Miền nghiệm của các bpt ax + by ≥ c và ax + by > c được xác định tương tự Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất ẩn:  Với mỡi bất phương trình hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại  Sau làm lần lượt đới với tất cả các bpt hệ cùng mợt mp tọa đợ, miền còn lại khơng bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã cho B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Bài 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình sau: a) 2x + 3y + 1>0 b) x – 5y < c) 4(x – 1) + 5(y – 3) > 2x – d) 3x + y > Bài 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình: 3 x + y − ≥ a)  x − y + ≥ 3 − x < b)  2 x − y + > x − 3y <  c)  x + y > −3 y + x <   y − x x  DẤU TAM THỨC BẬC HAI A TÓM TẮT LÍ THÚT: Định lí dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, ∆ = b2 – 4ac * Nếu ∆ < f(x) dấu với hệ số a (a f(x)>0), ∀ x ∈ R * Nếu ∆ = f(x) dấu với hệ số a (a f(x)>0), ∀ x ≠ −b 2a * Nếu ∆ > f(x) dấu với hệ số a x < x1 x > x2; f(x) trái dấu với hệ số a x1 < x < x2.( Với x1, x2 hai nghiệm f(x) x1< x2) Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, ∆ = b2– 4ac > x –∞ x1 x2 +∞ f(x) (Cùng dấu với hệ số a) (Trái dấu với hệ số a) (Cùng dấu với hệ số a) Một số điều kiện tương đương: Cho f(x) = ax2 +bx +c, a ≠ a) ax2 +bx +c = có nghiệm ⇔ ∆ = b2– 4ac ≥ b) ax2 +bx +c = có nghiệm trái dấu ⇔ a.c <  ∆ ≥  c ⇔ c) ax +bx +c = có nghiệm dương  >0 a  b  − a > a > e) ax2 +bx +c >0, ∀ x ⇔  ∆ < a < g) ax2 +bx +c 0 a  b  − a < a > f) ax2 +bx +c ≥ 0, ∀ x ⇔  ∆ ≤ a < h) ax2 +bx +c ≤ 0, ∀ x ⇔  ∆ ≤ B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Xét dấu tam thức bậc hai Bài 1: Xét dấu tam thức bậc hai: a) 3x2 – 2x +1 b) – x2 – 4x +5 d) x2 +( − )x – Bài 2:Xét dấu biểu thức sau:   a) A =  x − x − c) C = x2 +( +1)x +1 e) 2 c) 2x2 +2 x +1 f) x2 – ( − )x + 3x − x − − x2 x − 3x − d) D = − x2 + x −1 1  7 ÷ −  2x − ÷ 2  2 b) B = 11x + − x + 5x − Bài 3: Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm: a) 2x2 + 2(m+2)x + + 4m + m2 = b) (m–1)x2 – 2(m+3)x – m + = Bài 4: Tìm giá trị m để phương trình: a) x2 + 2(m + 1)x + 9m – = có hai nghiệm âm phân biệt b) x2 – 6m x + – 2m + 9m2 = có hai nghiệm dương phân biệt c) (m2 + m + 1)x2 + (2m – 3)x + m – = có hai nghiệm dương phân biệt Dạng 2: Tìm giá trị tham số để biểu thức khơng đổi dấu Bài 1:Xác định m để tam thức sau ln dương với x: a) x2 +(m+1)x + 2m +7 b) x2 + 4x + m –5 c) (3m+1)x2 – (3m+1)x + m +4 d) mx2 –12x – Bài 2: Xác định m để tam thức sau ln âm với x: a) mx2 – mx – b) (2 – m)x2 + 2(m – 3)x + 1– m c) (m + 2)x2 + 4(m + 1)x + 1– m2 d) (m – 4)x2 +(m + 1)x +2m–1 Bài 3: Xác định m để hàm số f(x)= mx − x + m + xác định với x Bài 4: Tìm giá trị tham số để bpt sau nghiệm với x a) 5x2 – x + m > b) mx2 –10x –5 < c) m(m + 2)x + 2mx + >0 d) (m + 1)x2 –2(m – 1)x +3m – ≥ < Bài 5: Tìm giá trị tham số để bpt sau vơ nghiệm: a) 5x2 – x + m ≤ b) mx2 –10x –5 ≥ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa: Bất phương trình bậc bpt có dạng f(x) > (Hoặc f(x) ≥ 0, f(x) < 0, f(x) ≤ 0), f(x) tam thức bậc hai ( f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ ) Cách giải: Để giải bất pt bậc hai, ta áp dụng định lí vầ dấu tam thức bậc hai Bước 1: Đặt vế trái f(x), xét dấu f(x) Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu chiều bpt để kết luận nghiệm bpt B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Giải bất phương trình bậc hai Bài 1: Giải bất phương trình sau: a) x2 + x +1 ≥ d) x(x+5) ≤ 2(x2+2) b) x2 – 2(1+ )x+3 +2 >0 e) x2 – ( +1)x + > g) 2(x+2)2 – 3,5 ≥ 2x g) x2 – 3x +60 b) (–x2 +3x –2)( x2 –5x +6) ≥ d) (3x2 –7x +4)(x2 +x +4) >0 Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn mẫu Bài 1: Giải bất phương trình sau: a) 10 − x > 5+ x2 x − 10 x + ≥0 x2 + x + x2 − 5x + x + g) ≥ x + 5x + x d) b) − 2x > 2x − 1− 2x c) + < x +1 x + x + 2 1 − ≤0 h) + x x −1 x +1 e) f) x2 + x + 0, a = const) Elip (E) là tập hợp các điểm M : F1M + F2M = 2a Hay (E) = {M / F1M + F2 M = 2a} Phương trình chính tắc của elip (E) là: x2 y + = (a2 = b2 + c2) a b Các thành phần của elip (E) là:  Hai tiêu điểm : F1(-c; 0), F2(c; 0)  Bớn đỉnh : A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(-b; 0), B2(b; 0)  Đợ dài trục lớn: A1A2 = 2b  Đợ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b  Tiêu cự F1F2 = 2c Hình dạng của elip (E);  (E) có trục đới xứng là Ox, Oy và có tâm đới xứng là gớc tọa đợ  Mọi điểm của (E) ngoại trừ đỉnh đều nằm hình chữ nhật có kích thức 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ± a, y = ± b Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật sở của elip B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Xác định các ́u tớ của elip Bài 1: Tìm đợ dài các trục, tọa đợ các tiêu điểm, các đỉnh của (E) có các phương trình sau: a) x + 16 y = 112 b) x + y = 16 c) x + y − = d) mx + ny = 1(n > m > 0, m ≠ n) Bài 2: Cho (E) có phương trình x2 y + =1 a) Tìm tọa đợ tiêu điểm, các đỉnh, đợ dài trục lớn trục nhỏ của (E) b) Tìm (E) những điểm M cho M nhìn đoạn thẳng nới hai tiêu điểm dưới mợt góc vng Bài 3: Cho (E) có phương trình x2 y2 + = Hãy viết phương trình đường tròn(C ) có đường kính F1F2 đó F1 và F2 25 là tiêu điểm của (E) Bài 4: Tìm tiêu điểm của elip (E): x cos α + y sin α = (450 < α < 900 ) Dạng 2: Lập phương trình của elip Bài 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết: a) Mợt đỉnh trục lớn là A(-2; 0) và mợt tiêu điểm F(- ; 0) b) Hai đỉnh trục lớn là M( 2; 3 ), N (−1; ) 5 Bài 2: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết: a) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật sở là x = ±4, y = ± b) Đi qua điểm M (4; 3) và N (2 2; − 3) c) Tiêu điểm F1(-6; 0) và tỉ sớ Bài 3: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết: 13 c = a a) Tiêu cự bằng 6, tỉ sớ c = a b) Đi qua điểm M ( ; ) và ∆ MF1F2 vng tại M 5 b) Hai tiêu điểm F1(0; 0) và F2(1; 1), đợ dài trục lớn bằng Dạng 3: Điểm M di đợng mợt elip  x = cos t , đó t là tham  y = 5sin t Bài 1: Trong mặt phẳng tọa đợ Oxy cho điểm M(x; y) di đợng có tọa đợ ln thỏa mãn  sớ Hãy chứng tỏ M di đợng mợt elip Bài 2: Tìm những điểm elip (E) : x2 + y = thỏa mãn c) Nhìn tiêu điểm dưới mợt góc 60o a) Nhìn tiêu điểm dưới mợt góc vng x2 y + = Tìm những điểm elip cách đều điểm A(1; 2) và B(-2; 0) x2 y Bài 4: Cho (E) có phương trình + = và đường thẳng d: y = 2x Tìm những điểm (E) cho khoảng cách từ điểm đó đến d bằng Bài 3: Cho (E) có phương trình 14 [...]... : F1M + F2M = 2a Hay (E) = {M / F1M + F2 M = 2a} 2 Phương trình chính tắc của elip (E) là: x2 y 2 + 2 = 1 (a2 = b2 + c2) 2 a b 3 Các thành phần của elip (E) là:  Hai tiêu điểm : F1(-c; 0), F2(c; 0)  Bốn đỉnh : A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(-b; 0), B2(b; 0)  Độ dài trục lớn: A1A2 = 2b  Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b  Tiêu cự F1F2 = 2c 4 Hình dạng của elip (E);  (E) có 2 trục đối... kính nếu có: a) x2 + 3y2 – 6x + 8y +100 = 0 b) 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 2 = 0 2 2 c) (x – 5) + (y + 7) = 15 d) x2 + y2 + 4x + 10y +15 = 0 2 2 Bài 2: Cho phương trình x + y – 2mx – 2( m– 1)y + 5 = 0 (1), m là tham số a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn? b) Nếu (1) là đường tròn hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn theo m Dạng 2: Lập phương trình... b) bán kính R có dạng : (x – a )2 + (y – b )2 = R2 (1) hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2) với c = a2 + b2 – R2 • Với điều kiện a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I(a ; b) bán kính R • Đường tròn (C) tâm I (a ; b) bán kính R tiếp xúc với đường thẳng ∆: αx + βy + γ = 0 khi và chỉ khi : d(I ; ∆) = α a + β b + γ 2 + 2 =R  ∆ cắt ( C ) ⇔ d(I ; ∆)... d1: – 3x + 2y – 7 = 0 và d2: 6x – 4y – 7 = 0  x = −1 − 5t  x = −6 + 5t và d2:   y = 2 + 4t  y = 2 − 4t  x = −6 + 5t  y = 6 − 4t c) d1:  d) d1: 8x + 10y – 12 = 0 và d2:  Dạng 4: Góc và khoảng cách Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng  x = −6 + 5t  y = 6 − 4t b) d1: 8x + 10y – 12 = 0 và d2:  a) d1: 2x – 5y +6 = 0 và d2: – x + y – 3 = 0 c)d1: x + 2y + 4 = 0 và d2: 2x – y + 6... tuyến với đường tròn (C) : ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 36 tại điểm Mo(4; 2) thuộc đường tròn Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ) : ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 13 tại điểm M thuộc đường tròn có hoành độ bằng xo = 2 Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x 2 + y 2 + 2 x + 2 y − 3 = 0 và đi qua điểm M (2; 3) Bài 4: Viết phương trình tiếp... Hãy chứng tỏ M di động trên một elip Bài 2: Tìm những điểm trên elip (E) : x2 + y 2 = 1 thỏa mãn 9 c) Nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc 60o a) Nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc vuông x2 y 2 + = 1 Tìm những điểm trên elip cách đều 2 điểm A(1; 2) và B( -2; 0) 6 3 x2 y 2 Bài 4: Cho (E) có phương trình + = 1 và đường thẳng d: y = 2x Tìm những điểm trên (E) sao cho khoảng cách... thức 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ± a, y = ± b Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Xác định các yếu tố của elip Bài 1: Tìm độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh của (E) có các phương trình sau: a) 7 x 2 + 16 y 2 = 1 12 b) 4 x 2 + 9 y 2 = 16 c) x 2 + 4 y 2 − 1 = 0 d) mx 2 + ny 2 = 1(n... 0; BC: y = 0 Bài 10* : Xét vị trí tương đối của đường thẳng ∆ và đường tròn (C) sau đây: 3x + y + m = 0 và x2 + y2 – 4x + 2y + 1 = 0 Bài 11*: Viết pt đường tròn (C ) đi qua điểm A(1, 0) và tiếp xúc với 2 đt d1: x + y – 4 = 0 và d2: x + y + 2 = 0 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: 1 Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và F1F2 = 2a (a > c > 0, a... tiêu điểm của (E) Bài 4: Tìm tiêu điểm của elip (E): x 2 cos 2 α + y 2 sin 2 α = 1 (450 < α < 900 ) Dạng 2: Lập phương trình của elip Bài 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết: a) Một đỉnh trên trục lớn là A( -2; 0) và một tiêu điểm F(- 2 ; 0) b) Hai đỉnh trên trục lớn là M( 2; 3 2 3 ), N (−1; ) 5 5 Bài 2: Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết: a) Phương... – 4 = 0, x + y – 2 = 0 Viết pt đường thẳng qua A và tạo với AC một góc 45 0 Bài 6: Cho 2 điểm M (2; 5) và N(5; 1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cách điểm N một khoảng bằng 3 Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và cách điểm M(1; 2) một khoảng bằng 2 Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song2 và cách đều 2 đường thẳng x + 2y – 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0 Bài 9*: ... cosin: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB; c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC Hệ quả: cosA = b2 + c2 − a2 2bc cosB = a2 + c2 − b2 2ac cosC = a2 + b2 − c2 2ab Định lý sin: a b c = 2R (với... phương trình sau: a) x2 + x +1 ≥ d) x(x+5) ≤ 2( x2 +2) b) x2 – 2( 1+ )x+3 +2 >0 e) x2 – ( +1)x + > g) 2( x +2) 2 – 3,5 ≥ 2x g) x2 – 3x +6 phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = phương trình đường