Bài 1.2: CHUỖI SỐ DƯƠNG NỘI DUNG: 1.2.1 Các định lí so sánh 1.2.2 Quy tắc D’Alembert 1.2.3 Quy tắc Cauchy 1.2.4 Quy tắc tích phân Định nghĩa:  Chuỗi số  u n gọi chuỗi số dương n 1 un  0, n  1,  Ví dụ:   n 1 n  n  n n 1 ( n  1)!2  n 1  n 1 n  Các Các chu chuỗỗiitrên có ph nhữ ảing chuỗchu i sốỗdi ươ số ng dươ không ng ? Điều kiện đủ để chuỗi số dương hội tụ Nếu dãy số S n bị chặn , n  1,  tức A   cho S n  A,  n chuỗi số dương  u n hội tụ n 1 Nếu dãy số Sn không bị chặn trên, Sn ∞ n∞ chuỗi số phân kì 1.2.1 Các định lí so sánh a Định lí 1.2: (Tiêu chuẩn so sánh 1)   Cho hai chuỗi số dương  u n  n 1 n 1 u n  v n ,  n  Khi ta có:   - Nếu  v n hội tụ  u n hội tụ n 1 n 1   - Nếu  u phân kì  v n phân kì n n 1 n 1 Ví dụ: Xét hội tụ chuỗi số dương sau  a) 3 n 1 n n  b)  n 1 n   c)  n n 1  d)  n 1 n   n 1 n b Định lí 1.3: (Tiêu chuẩn so sánh 2)  un K Cho chuỗi số dương  u n  Giả sử nlim  v n 1 n 1 n  Khi ta có:   - Nếu < K < +∞  u  v hội tụ n n 1 n n 1 phân kì   - Nếu K =  v hội tụ  u hội tụ n n n 1 n 1  - Nếu K = +∞ v n 1  n phân kì  u n phân kì n 1 Ví dụ: Xét hội tụ hay phân kì chuỗi số   a)  n n 1  b)  n 1    1 c)  ln1   n n 1  d) n   sin 2n n 1 Chú thích  Cho chuỗi số dương  un , un n 1  n  ∞ Nếu tồn VCB  tương đương với VCB un  un hội n 1  tụ (phân kì)  hội tụ (phân kì) n 1 1.2.2 Quy tắc D’Alembert un1 Cho chuỗi số dương  u n Giả sử lim l n 1 n un Khi đó:   * Nếu l < u n hội tụ n 1  * Nếu l >  n 1 un phân kì (l = +∞) Ví dụ Xét hội tụ hay phân kì chuỗi số  n  b)  n 1 n  (n!) d ) n (  R) n 1 n 2n  a ) n n 1 n! c) n n 1 n  1.2.3 Quy tắc Cauchy  n u l Cho chuỗi số dương  u n Giả sử nlim n  n 1 Khi đó: * Nếu l <   u hội tụ n n 1  * Nếu l >  u n phân kì n 1 Ví dụ Xét hội tụ hay phân kì chuỗi số:   2n   a)    n1  3n   n   5n   b)    n 1  n   n2 1.2.4 Quy tắc tích phân Nếu hàm f(x) liên tục, dương, giảm [a, +∞) với a ≥ 1, f(x)  x  +∞ chuỗi số dương  u có u n  f (n), n  1, n n 1 Khi đó:  - Nếu  f ( x) dx hội tụ chuỗi số  u n hội tụ  -  n 1  Nếu  f ( x) dx phân kì chuỗi số  u n phân kì n 1 Ví dụ: Xét hội tụ hay phân kì chuỗi số:  a)  n 1 n b)  n2 n (lnn)  Chú ý Một số chuỗi số đặc biệt thường dùng để so sánh xét hội tụ hay phân kì chuỗi số  1)  n 1 n  2)  q n 1 n  Hội tụ     Phân kì    Hội tụ q    Phân kì q  [...]... số  n  3 b)  3 n 1 n  (n!) d ) n (  R) n 1 n 2n  1 a ) n n 1 3 n! c) n n 1 n  1 .2. 3 Quy tắc Cauchy  n u l Cho chuỗi số dương  u n Giả sử nlim n  n 1 Khi đó: * Nếu l < 1 thì   u hội tụ n n 1  * Nếu l > 1 thì  u n phân kì n 1 Ví dụ Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số:   2n  1  a)    n 1  3n  5  n 2   5n  1  b)    n 1  2 n  3  n2 1 .2. 4 Quy tắc tích phân... 1, f(x)  0 khi x  +∞ và chuỗi số dương  u có u n  f (n), n  1,  n n 1 Khi đó:  - Nếu  f ( x) dx hội tụ thì chuỗi số  u n hội tụ 1  -  n 1  Nếu  f ( x) dx phân kì thì chuỗi số  u n phân kì 1 n 1 Ví dụ: Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số:  a)  n 1 1 n 1 b)  2 n 2 n (lnn)  Chú ý Một số chuỗi số đặc biệt thường dùng để so sánh khi xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số  1 1)...  a)  n 1 1 n 1 b)  2 n 2 n (lnn)  Chú ý Một số chuỗi số đặc biệt thường dùng để so sánh khi xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số  1 1)  n 1 n  2)  q n 1 n  Hội tụ khi   1   Phân kì khi   1  Hội tụ khi q  1   Phân kì khi q  1 ... DUNG: 1 .2. 1 Các định lí so sánh 1 .2. 2 Quy tắc D’Alembert 1 .2. 3 Quy tắc Cauchy 1 .2. 4 Quy tắc tích phân Định nghĩa:  Chuỗi số  u n gọi chuỗi số dương n 1 un  0, n  1,  Ví dụ:   n 1 n ... hội tụ n 1 n 1   - Nếu  u phân kì  v n phân kì n n 1 n 1 Ví dụ: Xét hội tụ chuỗi số dương sau  a) 3 n 1 n n  b)  n 1 n   c)  n n 1  d)  n 1 n   n 1 n b Định lí 1. 3: (Tiêu... hội tụ n 1 Nếu dãy số Sn không bị chặn trên, Sn ∞ n∞ chuỗi số phân kì 1 .2. 1 Các định lí so sánh a Định lí 1 .2: (Tiêu chuẩn so sánh 1)   Cho hai chuỗi số dương  u n  n 1 n 1 u n  v n